A bit of maths and physics

Tag: algemene relativiteitstheorie

  • De betekenis van E=mc²

    De betekenis van E=mc²

    Het is waarschijnlijk de beroemdste vergelijking op deze planeet: $E = mc^2$. Energie is massa keer de lichtsnelheid in het kwadraat(beginfootnote)In de wiskunde laten we meestal het teken voor vermenigvuldiging, $\times$, achterwege.(endfootnote). Deze relatie, deze vergelijking tussen energie, massa en de lichtsnelheid, heeft een naam: de massa-energierelatie. Misschien heb je ooit ergens gelezen of heb je iemand horen uitleggen dat ‘Einstein bewees’ dat massa een vorm van energie is, dat massa bevroren energie is, dat massa omgezet kan worden in energie en dat, uiteindelijk, alle materie in essentie pure energie is.

    Dit alles is echter helemaal niet wat de vergelijking inhoudt. Niet in dit universum, in elk geval. Laten we hier de werkelijke betekenis ervan bespreken. We denken dat het tijd is om ons te ontdoen van het onnodig obscurantisme dat gepaard gaat met de vele populaire verklaringen. Alle wis- en natuurkundigen die vroeger hebben bijgedragen aan ons huidige begrip van massa en energie verdienen namelijk beter.

    Albert Einstein (rechts) met de Nederlandse natuurkundige Paul Ehrenfest (links) en Ehrenfests zoon in Ehrenfests huis in Leiden.

    Standing on the shoulders of giants

    Einstein was niet de eerste om de relatie tussen massa en energie te beschrijven. Er waren best nog wat mensen voor hem die, op een of andere manier de connectie tussen massa, energie en snelheid verkenden. Niettemin hielden de meesten er de hypothese op na dat er sprake was van een toename van mechanische massa uitsluitend als gevolg van interacties met elektromagnetische velden. Men sprak van zogenaamde elektromagnetische zelf-energie dat een vorm van elektromagnetische massa veroorzaakte (Miller, 1981; Okun 1989). Einstein toonde vervolgens aan dat een dergelijk concept niet nodig was en kwam als eerste met een correcte afleiding van de beroemde relatie. Desalniettemin publiceerde hij gedurende een aantal jaren daarna nog meer afleidingen van de vergelijking.

    Overigens bevatten geen van zijn publicaties de letterlijke vorm $E = mc^2$. Je zou ze mogelijk niet herkennen als je ze zag. Bovendien is de vergelijking niet universeel waar.

    Ten slotte is de beroemde formule niet de volledige versie. Meestal zijn mensen enkel bekend met de hippe editie die op een honkbalpetje past. De complete vergelijking is echter universeler en wordt ook wel door hedendaagse natuurkundigen de correcte versie genoemd(beginfootnote)cf. https://youtu.be/mkiCPMjpysc(endfootnote). Deze is echter niet als eerste door Einstein opgesteld, maar door Paul Dirac (Eisberg & Resnick, 1974; Miller 1981). Daar komen we nog op terug.

    Onder andere deze indrukwekkende geesten hebben allen een versie van de beroemde vergelijking afgeleid voordat Einstein dat deed.

    Energie is een mathematisch concept

    We herinneren ons eraan dat energie niet een ‘ding’ is. Zoals we al benoemden in een vorig artikel is het niet een of ander onzichtbare, immateriële, vloeistofachtige ‘essentie’ waar alles van gemaakt is, schuilgaand achter de façade van de tastbare wereld. Fork, no.

    Het is altijd slechts een getal geweest, een boekhoudkundig hulpmiddel, een belangrijk en heel praktisch mathematisch concept. Het werd voor het eerst voorgesteld door de zeventiende eeuwse, Duitse geleerde Gottfried Wilhelm von Leibniz. Wat het mathematisch concept is? Het is het getal dat je verkrijgt als je de massa van een object vermenigvuldigt met zijn snelheid in het kwadraat(beginfootnote)Later werd dit herijkt op 1/2 keer de massa keer de snelheid in het kwadraat.(endfootnote). Het is een pragmatische manier om de balans tussen deze twee eigenschappen op te maken.

    Stel je een biljarttafel voor met drie biljartballen. We negeren iedere vorm van wrijving. Dit geïsoleerde systeem ondergaat een constante, interne verandering: de ballen ketsen voortdurend tegen elkaar en stuiteren tegen de rand. Leibniz veronderstelde dat de massa van de ballen niet veranderde. Wat wel veranderde was de snelheid van de ballen (en de bewegingsrichting). Hij merkte op dat als je van iedere bal het product berekent van zijn massa met zijn snelheid en alle producten dan bij elkaar optelt, dat deze som altijd constant blijft, op welk tijdstip ook, ongeacht de veranderende snelheid en richting van de ballen. (Totdat je iets veranderde aan het systeem door een stoot van de keu bijvoorbeeld.)

    Dit was de vroege formulering van wat we tegenwoordig de wet van behoud van energie noemen(beginfootnote)Hij noemde het resultaat van het product vis viva. Het woord energie had hier zijn intrede dus nog niet gedaan. Wellicht had hij een poëtische bui. Hij ondervond stevige competitie van zijn rivaal Newton die het begrip impuls had geïntroduceerd. Dit was een andere manier van de balans bijhouden. Dit was het product van massa keer de snelheid – gewoon, snelheid, dus niet het kwadraat ervan. Ook de totale impuls bleek constant. Dit is de wet van impulsbehoud. Later zou men begrijpen dat de twee kwantiteiten elkaar aanvullen en ten onrechte als twee met elkaar competerende concepten werden gezien.(endfootnote). Deze wet is geldig in een relatief klein gebied van het universum, zoals de aarde of ons zonnestelsel. Echter, op de schaal van het gehele, waarneembare universum blijft energie niet behouden. Dus hoewel de wet van energiebehoud fundamenteel lijkt voor ons aardlingen en onze experimenten, op de schaal van het waarneembaar universum is het dat niet(beginfootnote)Met dank aan een combinatie van het werk van de geniale Emmy Noether (Stelling van Noether) en Albert Einstein (algemene relativiteit).(endfootnote). 

    Voor ons is dit voorlopig even irrelevant. Belangrijk is dat sindsdien de mensen, met hun natuurlijke neiging om complexe categoriesystemen te bedenken, onderscheid maakten tussen verschillende vormen van energie. Denk aan potentiële energie (iets bevindt zich op grote hoogte en kan naar beneden vallen of is iets is opgewonden en kan spontaan afwinden), warmte-energie (iets is heet), chemische energie (iets is ‘opgeladen’) en kinetische energie (iets beweegt). Deze begrippen, inclusief het moederbegrip energie, zijn menselijke constructen. Deze zelfstandige naamwoorden beschouwen als verwijzend naar fysieke, op zichzelf staande, tastbare dingen is, ironisch genoeg, een categoriefout.

    Energie is niet een vluchtige en/of etherische substantie. Het is een wiskundige maat voor het product van massa of momentum, en snelheid. In deze haastig genomen foto, genomen door een ooggetuige, betreft het geen bundels van pure energie, hoewel het appelleert aan onze verbeelding van wat ‘pure energie’ zou moeten zijn. Het zijn bundels van deeltjesstraling (oranje gekleurde bundels van radiaal gepolariseerde protonen), afgegeven door draagbare deeltjesversnellers op de rug, gericht op een spook. De Ghostbusters, zoals ze zichzelf noemen, stellen dat spoken negatief geladen vormen van energie zijn, in de vorm van slijmerig ectoplasma. Dus, zelfs hier – fictief of niet – als er iets vreemds is in de buurt, is het nooit ‘pure energie’. (© Sony Pictures Home Entertainment)

    It’s not all about that mass

    Af en toe interpreteerde men Albert Einstein verkeerd. In de oude tijd brachten mensen onderscheid aan in dingen, zoals ze altijd doen. Er waren nu verschillende vormen van ‘massa’: rustmassa en relativistische massa. Rustmassa is de massa van een object dat niet beweegt. Relativistische massa is de massa van een object dat wel beweegt. Als hij steeds sneller gaat bewegen dan zou zijn massa groeien, alsmaar groter en groter, want dat is wat hij zei.

    Maar nee. Hij publiceerde in zijn derde artikel van 1905 (1905a, p. 920), Zur Elektrodynamik bewegter Körper, een vergelijking voor de energie van een elektron, dat luidde als volgt:

    Het lijkt er misschien niet op, maar je zou kunnen zeggen dat dit zijn eerste wiskundige expressie was van de relatie tussen (kinetische) energie, massa en de lichtsnelheid in de kwadraat(beginfootnote)Overigens had Max Abraham net daarvoor het werk van Walter Kaufman gepubliceerd die dezelfde vergelijking voor kinetische energie had opgesteld. Einstein was hier waarschijnlijk niet van op de hoogte (Miller, 1981).(endfootnote). Het vraagt om een beetje vertaling, maar het is niet echt moeilijk. Negeer het middelste gedeelte en concentreer je alleen op de letter $W$ en het deel achter het laatste isgelijkteken. Je moet dan alleen even weten dat Einsteins notatie zich als volgt laat vertalen: de kinetische energie $W = E_k$, rustmassa $mu = m_0$ en de lichtsnelheid $V = c$. Dus, in moderne notatie staat er eigenlijk:

    \begin{equation} E_k = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} – m_0c^2. \end{equation}

    Dit begint al aardig te lijken op de bekende $E=mc^2$.  Het stelt echter niet dat massa toeneemt. Het stelt alleen dat als de snelheid van een object, $v$, de lichtsnelheid $c$ nadert, het resultaat van deze hele vergelijking oneindig groot wordt – een oneindige hoeveelheid energie.

    Gezien de massa-energierelatie concludeerden mensen (van de oude garde) niettemin dat als de energie van een bewegend object oneindig wordt bij de snelheid van het licht, de massa van het object ook oneindig wordt, de relativistische massa, om precies te zijn.

    Dit is echter iets van het verleden – technisch gesproken. Al in 1940 negeerden de grote Lev Landau en Evgeny Lifshitz het onderscheid tussen rustmassa en relativistische massa in hun boek The Classical Theory of Fields. De legendarische John A. Wheeler en Edwin F. Taylor brachten een dito geüpdatete Spacetime Physics naar een ieders leestafel. Niettemin zijn er helaas nog talloze studieboeken die archaïsche begrippen, verlopen jargon en notatie hanteren.

    Hedendaagse natuurkundigen spreken echter niet langer van relativistische massa. Met speciale relativiteit toonde Einstein dat waarnemingen en metingen afhangen van het referentiekader. Per definitie zijn er ook een paar dingen zijn die daar niet van afhangen. Naast de ruimtetijdinterval, natuurwetten en de lichtsnelheid blijkt dat rustmassa te zijn.

    De rustmassa van een object is invariant, oftewel, het varieert of verandert niet door de beweging van de waarnemer in relatie tot het object (Taylor & Wheeler, 1992, p. 211). Zoals ook in Einsteins vergelijking voor kinetische energie te zien is, speelt alleen rustmassa een rol. Relativistische massa komt er niet in voor. Het is zelfs zo dat Einstein schreef (zoals geciteerd in Okun, 1989, p. 32): 

    ‘Het is niet goed om een concept van massa $M = m/(\sqrt{1-v^2/c^2})$ van een lichaam te introduceren waarvoor geen heldere definitie gegeven kan worden. Het is beter om geen ander massaconcept te introduceren dan de ‘rustmassa’ $m$. In plaats van de introductie van $M$ is het beter om de uitdrukking voor impuls en energie van een bewegend lichaam te noemen.’(beginfootnote)Vertaling door @kjrunia.(endfootnote)

    Uiteraard, $M$ is wat de mensen later relativistische massa zouden noemen, wat betekent dat ze het toch gewoon deden, tegen Einsteins voorkeur in.

    Heden ten dage – nou ja, in elk geval sinds 1940 – spreken natuurkundigen enkel van massa. We ontdeden ons van relativistische massa. Bovendien is het bijvoeglijk deel ‘rust’ in rustmassa overbodig. Massa betreft sowieso een object in rust. Als het beweegt, spreken we van het product van massa en snelheid in een bepaalde verhouding: als impuls of als energie. De massa van een object groeit niet als gevolg van zijn beweging.

    Resistance is crucial 

    Wat is massa dan? Voor de zekerheid, massa is niet hetzelfde als gewicht: dezelfde hoeveelheid massa heeft verschillend gewicht op verschillende planeten. Dit is ons op de middelbare school al geleerd. Een weegschaal meet gewicht, geen massa. Een ouderwetse balans met geijkte contragewichten – *kuch* contramassa’s – is de beste optie voor de interplanetaire reizen. Deze massa’s moeten uiteraard geijkt zijn aan de definitie van een kilogram volgens de International Bureau of Weights and Measures.

    Massa is ook niet hetzelfde als materie. Massa en materie behoren tot verschillende categorieën. De eerste is een eigenschap, de tweede is een ‘ding’. Elementaire ‘deeltjes’, dingen(beginfootnote)We gebruiken aanhalingstekens bij ‘deeltjes’ want hoewel de term makkelijk is in gebruik, erkennen we dat het eigenlijk kwantumveldoscillatoren zijn, of, mooier nog, golffuncties.(endfootnote), zoals elektronen, bezitten een zekere hoeveelheid massa. Een elektron verkrijgt massa door interactie met het Higgsveld, waarvan het bestaan bewezen werd in 2012 bij het CERN. De hoeveelheid elementaire deeltjes correleert met de hoeveelheid massa, echter, de massa van een object bestaat niet alleen hieruit: het betreft ook de beweging van gluonen (in de protonen), de beweging van de elektronen, atomen en moleculen – de kinetische, thermische en chemische energie in het object (in rust).

    Einstein schreef in zijn vierde artikel van 1905, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? (1905b, p. 641):

    ‘Als een lichaam energie afgeeft in de vorm van straling neemt de massa af met $L/V^2$’,(beginfootnote)Vertaling door @kjrunia.(endfootnote)

    waarbij, in moderne notatie, $L=E$, and $V=c$. De energie die hij noemt is niet de kinetische energie (van een lichaam in beweging) maar de interne energie (van een lichaam in rust), zoals warmte-energie. En inderdaad, dit betekent dat massa toeneemt of afneemt, afhankelijk van de interne energie van een object.

    Twee structureel identieke ballen van staal hebben verschillende massa als een bal heter is (meer massa) dan de ander; hun interne warmte-energie verschilt. Twee structureel identieke mobiele telefoons hebben verschillende massa als een opgeladen is (meer massa) en de ander is leeg; hun interne elektrochemische energie verschilt. Nota bene, we hebben het hier dus over objecten in rust.

    Bovendien, zodra een van de objecten licht of warmte uitstraalt, verliezen ze massa. De breuk $E/c^2$ is echter heel klein omdat de lichtsnelheid zo groot is. Daarom is de extra massatoename of -afname zo klein dat dit wellicht de reden is dat mensen massa met de hoeveelheid materie verwarren. Het is bijna hetzelfde. Het is de hoeveelheid materie plus iets meer, de interne energie.

    Massa zou beschreven kunnen worden als de weerstand tegen versnelling – een verhouding tussen de kracht benodigd om de versnelling te veroorzaken die het dan heeft. Massa is inerte massa, de inertie van een object (zoals Einstein het ook noemde in de titel van zijn artikel (1905a) uit 1905).

    De volledige vergelijking

    Als je geen vergelijkingen meer kunt zien, sla deze paragraaf dan maar over. Als je de echte, volledige versie wil zien: let’s go.

    Einstein publiceerde verschillende afleidingen. Een van de meest bekende was de volgende voor de totale energie van een object:

    \begin{equation} E_T = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}. \end{equation}

    Als je toevallig vloeiend algebra spreekt, kun je zien hoe we $E=mc^2$ verkrijgen. Zo niet, geen probleem. Als een object in rust is, heeft het geen snelheid, dus $v=0$. Als je dit getal in de vergelijking invult, wordt de noemer van de grote breuk gelijk aan 1. En alles dat je deelt door 1 blijft zichzelf, dus dat betekent dat je $E=mc_0c^2$ overhoudt.

    Uiteraard zouden we dat subscript 0 in $m_0$ gewoon weg kunnen laten. Het duidt ‘rustmassa’ aan, maar ‘rust’ is eigenlijk overbodig.

    Dit betekent ook dat de beroemde vergelijking $E=mc^2$ eigenlijk alleen toepasbaar is als het object niet beweegt. Bovendien is het niet toepasbaar op massaloze deeltjes, zoals het foton.

    $E=mc^2$ is niet universeel toepasbaar. Alleen in een inertiaalstelsel, waar het object niet beweegt, en alleen in het geval van ‘deeltjes’ met massa, is deze vergelijking geldig. Dus niet in het geval van fotonen en gluonen.

    De volgende vergelijking is echter wel geldig bij zowel massa-houdende en massaloze deeltjes. Hoewel Einstein het fundament legde was het de geniale Paul Dirac die deze uitdrukking voor het eerst optekende in 1928 (Eisberg & Resnick, 194; Miller, 1981), zij het op een enigszins meer technische manier dan hieronder weergegeven. De volgende vergelijking betreft alle objecten, inclusief licht:

    \begin{equation} E^2 = m^2c^4 + p^2c^2. \end{equation}

    De letter $p$ is de impuls. Stel, we willen de energie van een foton berekenen. Aangezien het foton geen massa heeft ($m=0$), verwordt deze vergelijking tot $E = pc$, wat inderdaad het correcte verband is tussen energie en een foton. Als je zou proberen om $E = mc^2$ te gebruiken om de energie van een foton te berekenen, zou je maar een mal antwoord krijgen.

    Dus, $E = mc^2$ is geen universele vergelijking aangezien het niet opgaat voor massaloze ‘deeltjes’. De vergelijking zoals eerst opgetekend door Paul Dirac echter wel en het past zelfs op een t-shirt.

    Vaak wordt die geschreven als

    \begin{equation} E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2, \end{equation}

    wat het mogelijk nog cooler maakt aangezien het een prachtige, pythagorische driehoeksverhouding blootlegt.

    Paul Dirac

    De betekenis van E = mc²

    Alles goed en wel, maar los van alle technische mitsen en maren, wat betekent het nou eigenlijk?

    Het betekent dat energie massa is, geproportioneerd door een factor $c^2$.

    Het betekent ook dat de massa van een object een maat is voor zijn totale intrinsieke energie (potentiële, thermische, chemische, elektrische, zelfs kinetische als delen aan de binnenkant van het object in beweging zijn), geproportioneerd door een factor van $1/c^2$.

    $E = mc^2$ zou eigenlijk geschreven moeten worden als $E_0 = mc^2$ want het gaat over de energie van een object in rust. Het subscript 0 betekent meestal dat het iets in rust betreft.

    Het is echter niet de volledige vergelijking.

    Het betekent niet dat energie materie is en materie energie. Massa is niet hetzelfde als materie. Dat is een categoriefout.

    Het betekent niet dat massa geconverteerd kan worden in energie en vice versa. Ten eerste, massa kan niet geconverteerd worden want het is een eigenschap, een meetbare eigenschap. Energie is een ook een eigenschap, een berekenbare eigenschap, wat gedaan kan worden door massa te meten.

    Stel je een object voor dat de volgende eigenschappen heeft: omvang, kleur, hardheid en energie. Stel, de vergelijking zou als volgt hebben geluid: $E =$ hardheid $\times c^2$. Wellicht wordt het zo duidelijk dat dit niet betekent dat hardheid geconverteerd wordt in energie. Wat het betekent, is dat je hiermee een mathematische manier hebt om een maat in termen van een andere maat te berekenen. Het enige dat hier wordt geconverteerd, is een getal, een kwantiteit.

    Materie is een ander beestje. Het is een klomp van dingen: ‘deeltjes’. Een object is een klomp materie en interacties. Zoals CERN dagelijks aantoont, kan materie in beweging geconverteerd worden in duizenden andere dingen in beweging. Als mensen erop staan om te spreken over dingen die geconverteerd worden, zouden ze kunnen spreken over de conversie van deeltje A met beweging $a$ en deeltje B met beweging $b$ naar deeltjes C, D, E, F, G, $\dots$ met beweging $c,d,e,f,g,\dots$

    Dus, de volgende keer dat iemand meent aan jou te moeten uitleggen dat $E = mc^2$ betekent dat massa geconverteerd kan worden naar energie en dat dingen nimmer de snelheid van het licht kunnen bereiken omdat anders de massa oneindig groot wordt, kun je volstaan met de volgende reactie: ‘Neh, man. Massa is een invariante eigenschap van een lichaam, calculeerbaar met de volledige vergelijking, $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$, weet je. Hoewel je het dan nog wel even moet oplossen voor $m$ en je niet vergeten moet om alleen de pseudo-euclidische norm van de impuls te nemen en niet de hele viervector, maar dat moet geen probleem zijn verder – het maakt het er alleen maar makkelijker op.’ Pauzeer even en voeg dan toe: ‘In de Minkowski-ruimte, uiteraard.’(beginfootnote)De Minkowsi-ruimte is als euclidische ruimte, maar dan in vier dimensies. Dit is misschien ook een goed moment om de voetnoot te plaatsen dat er nog zelfs een fundamentelere vergelijking is, namelijk Einsteins veldvergelijking van zijn algemene relativiteitstheorie (Carroll, 2014), maar dat is iets voor later.(endfootnote)

    Ten slotte, pure energie = puur nonsens. Als Leibniz het kon horen, zou hij schaterlachen en zich in zijn graf omdraaien – als hij er de energie voor kon vinden. Eerlijkheidshalve moet gezegd dat natuurkundigen het woord energie altijd en overal gebruiken. Het is kort en simpel, maar bijzonder krachtig als term. En dat is prima, zolang we het er allemaal over eens zijn wat we bedoelen.

    Energie ligt niet ten grondslag aan beweging, maar beweging(beginfootnote)Van kwantumvelden, beschreven door golffuncties.(endfootnote) en interacties liggen ten grondslag aan het construct energie.

    Hoe dan ook, mocht je toch ooit tegen een half-doorzichtige, zwevende kwak pure energie aanlopen aan het eind van de lange gang in dat duistere landhuis van je rijke tante, dan, ja, dat is dan iets vreemds.

    Referentielijst

    Carroll, S. (2014) Spacetime and Geometry: Pearson New International Edition : an Introduction to General Relativity. 1st. Pearson.

    Einstein, A. (1905a) ‘Zur Elektrodynamik bewegter Körper’, Annalen der Physik, 322(10), pp. 891-921.

    Einstein, A. (1905b) ‘Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?’, Annalen der Physik, 323(13), pp. 639-641.

    Eisberg, R. M. and Resnick, R. (1974) Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei, and particles. New York: Wiley.

    Miller, A. I. (1981) Albert Einstein’s special theory of relativity : emergence (1905) and early interpretation (1905-1911). Reading, Mass ;: Addison-Wesley.

    Okun, L. B. (1989) ‘The Concept of Mass’, Physics Today, 42(6), pp. 31-36.

    Taylor, E. F. and Wheeler, J. A. (1992) Spacetime physics : introduction to special relativity. 2nd ed. edn. New York: W.H. Freeman.

    Featured image: NASA’s Solar Dynamics Observatory captured this image of an X2.0-class solar flare bursting off the lower right side of the sun on Oct. 27, 2014. The image shows a blend of extreme ultraviolet light with wavelengths of 131 and 171 Angstroms. Credit: NASA/SDO. Retrieved 30 Aug 2019, from https://www.nasa.gov/content/goddard/sun-release-x20-class-flare-on-oct-27-2014

    Einstein and Ehrenfest. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 21 Aug 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1510430/1/132_1510430/cite

    Oliver Heaviside (1850-1925) – Science and Society Museum/ Universal Images Group. Oliver Heaviside, English physicist, c 1900.. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/102_541915/1/102_541915/cite

    Hendrik Lorentz (1853-1928) – Science and Society Museum/ Universal Images Group. Hendrik Antoon Lorentz, Dutch physicist, c 1920.. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/102_523268/1/102_523268/cite

    Henri Poincaré (1954-1912) – akg-images / Universal Images Group. Henri Poincare / Photo c. 1890. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 3 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/109_171035/1/109_171035/cite

    Joseph J. Thomson (1856-1940) – Science and Society Museum/ Universal Images Group. Sir Joseph J. Thomson, English physicist, late 19th century/early 20th century.. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/102_547694/1/102_547694/cite. Cropped by @kjrunia.

    George Frederick Charles Searl FRS(1864-1954) – Royal Society. As printed in Thomson, G. (1955) ‘George Frederick Charles Searle. 1864-1954’, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society,1, p. 247. Cropped by @kjrunia.

    Wilhelm Wien (1864-1928) – NATIONAL LIBRARY OF CONGRESS / SCIENCE PHOTO LIBRARY / Universal Images Group. Wilhelm Wien, German physicist. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1255736/1/132_1255736/cite

    Max Abraham (1875-1922) – Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen. Max Abraham around 1905. Public domain. Slightly cropped by @kjrunia.

    Albert Einstein, Swiss-German physicist. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 22 Aug 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1510416/1/132_1510416/cite

    Paul Dirac. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 24 Aug 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1254852/1/132_1254852/cite

  • Einstein’s speciale relativiteit binnen 6.999 minuten voor onderweg

    Einstein’s speciale relativiteit binnen 6.999 minuten voor onderweg

    In 1905 publiceerde Albert Einstein een artikel over bewegende lichamen en elektrodynamica. Hij merkte op dat Newtons mechanica der bewegende lichamen niet verenigbaar was met de wetten van Maxwell over het elektromagnetisme. In dit artikel zullen we enkele belangrijke aspecten bespreken. We beginnen met twee fundamentele stellingen. En voor de geeks eindigen we met te beantwoorden waarom speciale relativiteit speciaal is.

    Einsteins postulaten

    Zijn eerste stelling komt erop neer dat of je je nu bevindt in of op een bewegend object, zoals een schip, een trein of je auto, of dat je stilstaat aan de kade, langs het spoor of de weg, de natuurwetten blijven hetzelfde. Als je op het perron staat en je gooit een bal in de lucht zorgen de natuurwetten ervoor dat de bal weer naar beneden komt. Als je in een rijdende trein staat, komt de bal ook weer naar beneden omdat in de trein dezelfde natuurwetten gelden. Het feit dat je in beweging bent, heeft geen gevolgen voor de wetten van het universum.

    In het verlengde daarvan komt Einsteins tweede stelling erop neer dat de snelheid van het licht dezelfde is voor iedereen. Hij erkende dat Maxwell en collega’s een correcte beschrijving gaven van licht als een elektromagnetische verstoring die zich voortplant volgens de elektromagnetische wetten der natuurkunde. Hij zag ook in dat de snelheid van de lichtbron geen rol speelt in de wetten van Maxwell. Als het eerste postulaat waar is, dan plant licht zich altijd voort met de snelheid $c$ ($c$ is ongeveer 300 000 000 m/s), onafhankelijk van de beweging van de waarnemer. En niets kan sneller gaan.

    Een afbeelding van de binnenkant van een metro.
    Of je nu op het perron staat of dat je je in een rijdende trein bevindt, de natuurwetten zijn dezelfde. De voortplanting van het licht is een wet van de elektrodynamica waarbij de snelheid van de lichtbron geen rol speelt. Daarmee is de lichtsnelheid zoals gezien aan boord van de trein dezelfde zoals gezien vanaf het perron, onafhankelijk van de snelheid van de trein.

    Intuïtie klopt veelal, maar eigenlijk niet

    Stel, je staat op het perron. Een trein passeert met een snelheid van 30 meter per seconde. Vanaf de trein gooit een vriend een tennisbal het raam uit met een snelheid van 2 meter per seconde, in de bewegingsrichting van de trein. Je vangt de bal. Met welke snelheid raakt de bal je hand?

    Intuïtief zou je wellicht zeggen dat het antwoord 30 + 2 = 32 meter per seconde is. Deze manier van berekenen is in heel veel gevallen bruikbaar. Instinctief zou je de snelheid van de trein simpelweg optellen bij de werpsnelheid van de bal. Dit is hoe Isaac Newton(beginfootnote)En eerder al Galileo Galilei, aangezien dit de zogenaamde Galileitransformatie wordt genoemd.(endfootnote) gewild zou hebben dat je het zou berekenen. En in de meeste gevallen heeft hij gelijk. Maar eigenlijk niet.

    Laten we ons afvragen wat er zou gebeuren als onze vriend geen bal wierp maar een zaklamp inschakelde. De trein rijdt nog steeds met 30 m/s. Licht verlaat de zaklamp echter met een snelheid van ongeveer 300 000 000 m/s. Je heft je hand op. Het ‘vangt’ het licht. Met welke snelheid raakt het je hand?

    Je zou ook hier kunnen zeggen dat dit 30 + 300 000 000 = 300 000 030 m/s is. Maar nee. Dat is fout. Herinner je je Einsteins tweede postulaat nog? Onafhankelijk van de beweging van de waarnemer is de lichtsnelheid altijd 300 000 000 m/s en niets gaat sneller, punt. Dat betekent dat een simpele optelling zou bewijzen dat we een manier hebben gevonden om te zorgen dat licht sneller dan de lichtsnelheid gaat. We zouden zonder meer Nobelprijswinnaars worden. Behalve dan dat dit niet klopt en dat we dat niet worden.

    Op de schop

    Als de lichtsnelheid even groot is voor onze vriend op de bewegende trein als voor ons op het perron (lees dit nog eens en besef hoe krankzinnig dit is), hoe in Walhalla’s naam krijgt het universum dit dan voor elkaar? Nadat hij wat relatief simpele wiskunde ter hand nam – die een middelbare scholier kan nadoen – realiseerde Einstein zich dat er iets aan de hand was met meters en seconden. Hij bewees dat een meter voor ons niet hetzelfde is als een meter voor onze vriend en vice versa. Bovendien is een seconde voor ons eveneens niet hetzelfde als een seconde voor onze vriend.

    Met andere woorden, aangezien wij, op het perron, meten dat het licht zich voortplant met 300 000 000 meter per seconde, en dat onze vriend in de trein precies dezelfde waarde meet, betekent dit dat ons begrip van wat meters en seconden zijn onjuist is.

    Het punt

    Dit is wat er gebeurt. Als twee ‘dingen’, ‘mensen’, ‘objecten’, of referentiekaders zoals natuurkundigen het noemen, ten opzichte van elkaar bewegen, gebeuren er vreemde dingen met ruimte en tijd. Ja, met ruimte en tijd zelve. Het zijn maffe dingen. We dachten altijd dat ze er gewoon zijn. Statisch. Onbewegelijk. Overal en altijd hetzelfde. Twee onveranderlijke entiteiten. Welnu, dat zijn ze niet.

    In Leiden heeft het project Leidse Muurformules natuurkundige vergelijkingen verspreid over het centrum van de stad. Dit is de Lorentzcontractie, toepasselijk naast het spoor geplaatst. Het beschrijft hoe ruimte (in dit geval, een een-dimensionale lengte) krimpt volgens Einsteins speciale relativiteit. Klik hier voor Google Street View.

    Stel, nu zijn wij in de trein. We bewegen ons ten opzichte van onze vriend op het perron. Die neemt vervolgens waar dat ruimte in onze bewegingsrichting kleiner wordt – het krimpt. Onze vriend zal feitelijk waarnemen dat onze trein korter wordt in vergelijking met toen de trein stilstond ten opzichte van onze vriend. Die zal ook waarnemen dat onze tijd wordt opgerekt – onze klok vertraagt. Als een seconde verloopt op de klok van onze vriend, ziet die dat er op onze klok in diezelfde tijd slechts 0.9999999995… seconden zijn verstreken(beginfootnote)Dit getal is metaforisch bedoeld. Het echte tijdsverschil is te klein voor mijn calculator om te tonen.(endfootnote).

    Vanuit ons perspectief, bezien vanaf de trein, beweegt onze vriend zich voort ten opzichte van ons (achterwaarts). Wat dat betreft beweegt de rest van de hele wereld zich voort ten opzichte van ons, achterwaarts. Dus, inderdaad, zouden wij de wereld zien krimpen in de tegenovergestelde richting. We zouden ook zien dat de tijd van de rest van de wereld langzamer loopt dan onze tijd.

    Twin paradox

    Nu zou je terecht kunnen opmerken dat als wij en onze vriend elkaars klokken zien vertragen, dan is er toch geen verschil tussen onze klokken? Niettemin, als we terugrijden naar onze vriend, stoppen op het perron en onze klok vergelijken met die van onze vriend, zien we dat onze klok achterloopt. Dit is de zogenaamde tweelingparadox. Als beiden hetzelfde kunnen beweren, hoe kunnen de klokken dan verschillen aan het eind, waarbij, in het geval van een tweeling, de ene helft jonger is (van de trein) dan de andere helft die achterbleef (op het perron)?

    Dit komt door het wisselen van referentiekaders: we bevonden ons in een bewegend referentiekader (de trein), wisselden naar een kader dat bewoog in de tegenovergestelde richting (terugkerende naar onze vriend), en, ten slotte, wisselden naar het kader van het perron, om naast onze vriend te staan zodat we onze klokken kunnen vergelijken. Onze vriend heeft nooit van referentiekader gewisseld – hij bleef op het perron staan(beginfootnote)In tegenstelling tot wat veel populaire en zelfs introductieteksten in de natuurkunde beweren, heeft het minder te maken met acceleratie, hoewel het wel een rol speelt – in de echte wereld is het niet mogelijk om zonder acceleratie (en deceleratie) van referentiekader te wisselen. Niettemin is acceleratie in wiskundig opzicht niet nodig – het wisselen van referentiekaders wel.(endfootnote). De situatie is dus niet symmetrisch.

    Lengte-contractie en tijddilatatie. Ze zijn niet illusoir, ze zijn echt. Vele experimenten toonden aan dat ruimte krimpt en tijd uitrekt voor dingen die bewegen ten opzichte van dingen die anders bewegen.

    Newton vs. Einstein

    Om het heel licht wiskundig samen te vatten – Newton leerde ons dat een meter op het perron en een meter in de trein hetzelfde zijn, net als seconden:

    1 perronmeter = 1 treinmeter,
    1 perronseconde = 1 treinseconde.

    Einstein leerde ons niettemin dat:

    1 perronmeter $\equiv \dfrac{1\text{ treinmeter}}{\gamma}$,
    1 perronseconde $\equiv \dfrac{1\text{ treinseconde}}{\gamma}$.

    Deze $\gamma$ (Griekse letter gamma) is cruciaal. Het is een benodigde factor om te bewerkstelligen dat de lichtsnelheid niet groter wordt dan de lichtsnelheid, zelfs aan boord van een rijdende trein. Deze factor wordt de Lorentz factor(beginfootnote)Vernoemd naar Hendrik Lorentz. De expressie voor de Lorentz factor is: \[ \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}, \] waarbij $v$ de snelheid van de ander is ten opzichte van ons en $c$ is de lichtsnelheid.(endfootnote) genoemd.

    We merken er echter bijna nooit iets van. Normaal gesproken zijn onze snelheden veel te laag voor het opmerken van de effecten van speciale relativiteit. Behalve als dingen heel snel gaan. Zonder Einsteins speciale relativiteit zouden gps-satellieten niet werken(beginfootnote)Uiteraard hebben we daarvoor ook nog Einsteins algemene relativiteitstheorie voor nodig, maar dat is iets voor een ander artikel.(endfootnote). Onderzoeksinstituten als CERN en Fermilab zijn ook genoodzaakt om rekening te houden met speciale relativiteit met de hoog-energetische, voortrazende deeltjes.

    Dus, onze intuïtie (Newton) is veelal voldoende maar niet precies correct.

    Wat er zo speciaal is aan speciale relativiteit

    Dit is een enigszins technische vraag waar een ietwat technisch antwoord bij hoort, waarvoor onze excuses. In tegenstelling tot wat vaak wordt beweerd in populair-wetenschappelijke teksten gaat het in speciale relativiteit niet echt om constante snelheden tegenover algemene relativiteit met acceleratie. Speciale relativiteit biedt wel degelijk een wiskundig raamwerk om met versnellingen om te gaan. Het punt is meer dat het prima werkt als je aanneemt dat de dingen zich bevinden in zogenaamde Euclidische ruimte, voldoend aan Euclidische geometrie(beginfootnote)Vernoemd naar Euclides.(endfootnote). Echter, na ampel beraad, concludeerde Einstein via zijn algemene relativiteitstheorie dat we helemaal niet in een Euclidisch-geometrische realiteit leven. We bestaan in een Riemann-variëteit(beginfootnote)Vernoemd naar Bernhard Riemann.(endfootnote). Kort gezegd, Euclidische ruimte is een speciaal geval van de meer algemene Riemann-variëteit(beginfootnote)Als we preciezer willen zijn heeft Hermann Minkowski een gewijzigde versie van Euclidische ruimte ontwikkeld, die we nu Minkowski-ruimte noemen, terwijl Riemann-variëteit eigenlijk pseudo-Riemann-variëteit zou moeten heten, maar natuurkundigen noemen het simpelweg Riemann-variëteit – wellicht omdat ze geen wiskundigen zijn.(endfootnote). Vandaar dat we van speciale relativiteit spreken tegenover algemene relativiteit.

    Uitgelichte foto door StockSnap van Pixabay, aangepast door @kjrunia (vergelijkingen toegevoegd).

  • Wat is een ruimtetijdinterval?

    Wat is een ruimtetijdinterval?

    Einstein en collega’s leerden ons dat ruimte en tijd geen gefixeerde entiteiten zijn. Ze kunnen worden uitgerekt en ingekort. Ze variëren. Er is echter een ding dat dit niet doet: de invariantie van de ruimtetijdinterval.

    Download pdf

    Ruimtelijk interval

    Stel, er wordt een foton afgevuurd van de oorsprong $O$ en het verplaatst zich naar punt $F$, zoals afgebeeld in Figuur 1. Laten we de gekwadrateerde afstand die het foton aflegt, $d(O,F)^2$, relateren aan de andere afstanden met gebruikmaking van die goeie, ouwe stelling van Pythagoras:

    $ d(O,F)^2 = d(O,A)^2 + d(A,B)^2 + d(B,F)^2. $

    We kunnen de vorige uitdrukking ook explicieter opschrijven in termen van de afstanden van de punten tot de oorsprong $O$:

    \begin{align}
    F &= (x, y, z),\quad O = (0,0,0), \\
    d(O,F)^2 &= (x-0)^2 + (y-0)^2 + (z-0)^2, \\
    \therefore d(O,F)^2 &= (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2. \label{eq:distance O-F}
    \end{align}

    Omdat de assen van de ruimte in Figuur 1 ruimtelijk en Euclidisch zijn, wordt $d(O,F)^2$ een ruimtelijke of Euclidische interval genoemd. Het interval kan overigens ook gezien worden als een balk (een recht prisma op een vierhoekig grondvlak) waarvan zijn ruimtelijke diagonaal gelijk is aan $d(O,F)$, hiermee een gebied in een 3D-ruimte afbakenend.

    In de echte wereld zouden we, om ons ervan te verzekeren dat we elkaar zullen ontmoeten op de juiste plek, de volgende coördinaten kunnen geven: 1 Einstein Drive, eerste verdieping. Zie Einstein Drive als een plek op de $x$-as (naast andere $x$-asplekken als Battle Road, Mercer Road), nummer 1 als een plek op de $y$-as en de eerste verdieping als een plek op de $z$-as.

    Wat we nu nog nodig hebben is een beetje extra informatie: wanneer ontmoeten we elkaar?

    Tijdsinterval

    Stel, Figuur 2 toont een tijdsserie van een foton op weg naar punt $F$ en verder. Het toont aan dat we in een wereld leven waar we niet alleen drie ruimte coördinaten, maar ook een tijdcoördinaat nodig hebben. Het is logisch de mensen die je zou moeten treffen niet alleen te vertellen waar in de ruimte je zal zijn, maar ook wanneer in de tijd je daar zal zijn.

    Ons foton $P$ vliegt door $F$ op $t=3$. Dit betekent dat de tijdcoördinaat van de gebeurtenis dat het foton $F$ heeft bereikt, gelijk is aan:

    $ t_{F}=3. $

    Aannemende dat op $t=0$ foton $P$ zich bij de oorsprong bevindt,

    $ t_{O}=0, $

    kunnen we schrijven voor een temporeel interval tussen wanneer het foton $O$ verlaat en $F$ bereikt:

    $ \Delta t_{OF} = t_{F} – t_{O} = 3 – 0 = 3. $

    Figuur 2 Een foton reist van O naar F in een driedimensionale ruimte in een bepaalde periode

    Eenheidsconversie van tijd naar afstand

    Zoals de vorige twee hoofdstukken hopelijk duidelijk maakten, hebben we vier coördinaten nodig om een gebeurtenis te beschrijven, zoals bijvoorbeeld de gebeurtenis waarbij foton $P$ punt $F$ bereikt. De drie ruimtelijke afstanden worden uitgedrukt in een afstandseenheid, meestal de meter. De enkele tijdsafsand is geen afstand in de traditionele zin van het woord en wordt meestal uitgedrukt in seconde. Dit maakt het wel lastig om ze op een zinvolle manier met elkaar te vergelijken.

    Om tijdseenheden te converteren naar afstandseenheden vermenigvuldigen we met een natuurconstante, de lichtsnelheid $c$, die, bij Einsteins tweede postulaat [1], nota bene invariant is: onafhankelijk van welk referentiekader je verkiest, de lichtsnelheid is altijd constant. Voor een uitgebreidere beschrijving van deze conversie, lees hoofdstuk 4.3 van Deriving the Lorentz transformations from a rotation of frames of reference about their origin with real time Wick-rotated to imaginary time. We concluderen hier dat onze tijdinterval een temporele afstand wordt:

    $ \Delta t \mapsto c\Delta t.$

    Ruimtetijdinterval

    In Figuur 3 hebben we de ruimtelijke $z$-as laten vervallen en in de plaats daarvan de temporele $ct$-as (dat is dus tijd uitgedrukt in afstandseenheden) gebruikt zodat we een begrijpelijke tekening in het platte vlak kunnen maken. In werkelijkheid beweegt het foton uiteraard nog steeds in de $z$-richting. (We zijn tot dusverre niet in staat gebleken een vierdimensionaal object op een plat vlak te tekenen.) Let ook op de eenheidsvectoraanduiding rechtsboven en de afstandspunten die zijn aangegeven met $\Delta x$, $\Delta y$ en $c\Delta t$. Denk er vervolgens heel hard een toegevoegde vierde ruimtelijke afstandspunt $\Delta z$ bij, ergens.

    Om de ruimtelijke afstand $d(O,F)$ van ons foton te berekenen, laten we vergelijking \eqref{eq:distance O-F} nog eens bekijken:

    $ d(O,F)^2 = (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2.\quad\eqref{eq:distance O-F} $

    Aangezien we weten dat snelheid, in het algemeen, wordt berekend met $v = \Delta x / \Delta t$, waarbij $x$ de afgelegde afstand is in een richting, en $v = c$ in het geval van ons foton, kunnen we voor de afgelegde afstand van $O$ naar $F$ door ons foton schrijven:

    \begin{align} d(O,F) &= v\Delta t, \\ d(O,F)^2 &= (v\Delta t)^2, \\ \therefore d(O,F)^2 &= (c\Delta t)^2. \end{align}

    Dit wordt interessant, aangezien $(c\Delta t)^2$ ook (het kwadraat van) de temporele afstand is. Als we vergelijking \eqref{eq:distance O-F} in de vergelijking hierboven substitueren, verkrijgen we

    $ (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 = (c\Delta t)^2. $

    Als we dit enigszins herschikken, levert het

    \begin{equation}
    – (c\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2 = 0. \label{eq:spacetime-homogeneity}
    \end{equation}

    Hoewel dit leuk en aardig is, is de hamvraag nu wat is nul hier? Als we het antwoord hierop weten, weten wat alle termen aan de linkerzijde van het is-gelijkteken zijn.

    Als iets gelijk is aan nul is er in de natuur- en wiskunde iets bijzonders aan de hand: het kan betekenen dat je te maken hebt met een systeem in een bepaalde stabiele configuratie, misschien zelfs statisch, het kan wijzen op een constante beweging, een energetisch equilibrium met de laagste waarde, een attractor, de nulwaarde van een functie als oplossing van een specifieke set parameters, een behoudswet, homogeniteit of een minimum of maximum van het een of ander.

    In het algemeen betekent het dat er sprake is van een bepaalde symmetrie, wat op zijn beurt inhoudt dat er iets is dat behouden blijft. Hier zijn diepe inzichten aan te boren, zoals Emmy Noether ons leerde [2], en haar genialiteit verdient niets minder dan een hele serie artikelen op zich.

    Niettemin, voor nu concluderen we dat, onafhankelijk van welk coördinatenstelsel men hanteert, waarmee verschillende waarden voor $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$, en zelfs $\Delta t$ worden gegenereerd, zoals de lorentztransformaties ons leerden, de som van al deze variabelen blijft invariant. De nul wijst op het feit dat ongeacht zijn vier bewegende delen—los van welk referentiekader je verkiest—de resultante is een constante, oftewel, invariant.

    De kwantiteit aan de linkerzijde heeft een naam; het heet de ruimtetijdinterval en wordt aangeduid met $(\Delta s)^2$. De $s$ staat voor het Engelse ‘separation’, wat we hier zouden kunnen vertalen met ‘scheiding’. Het gaat om de scheiding tussen gebeurtenissen. Als we het woord afstand hadden gebruikt (dat wil zeggen, $d$ voor ‘distance’), had het misschien onbedoeld meer verwezen naar een ruimtelijke afstand dan iets anders, vandaar dat we scheiding gebruiken, $(\Delta s)^2$. Dus de ruimtetijdinterval wordt vaak als volgt opgeschreven:

    \begin{equation}
    (\Delta s)^2 = – (c\Delta t)^2 + (\Delta x)^2 + (\Delta y)^2 + (\Delta z)^2.
    \end{equation}

    De plus- en mintekens voor de termen kunnen omgedraaid worden in sommige boeken en artikelen, maar het is in elk geval belangrijk om op te merken dat, hoewel tijd vergelijkbaar gemaakt is met ruimte qua eenheden door vermenigvuldiging met $c$, nog steeds te zien is hoe tijd een speciale rol inneemt in het interval van het weefsel van de kosmos.

    Figuur 3 Een ruimtetijddiagram met twee ruimtelijke dimensies en een temporele dimensie

    Uitgelichte foto: Klaus P. Rausch

    References
    1. A. Einstein, Zur Elektrodynamik bewegter Körper, Annalen der Physik 322(1905), no. 10, 891—921.
    2. E. Noether, Invariante Variationsprobleme, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse 1918(1918), 235—257.