A bit of maths and physics

Tag: energie

  • De betekenis van E=mc²

    De betekenis van E=mc²

    Het is waarschijnlijk de beroemdste vergelijking op deze planeet: $E = mc^2$. Energie is massa keer de lichtsnelheid in het kwadraat(beginfootnote)In de wiskunde laten we meestal het teken voor vermenigvuldiging, $\times$, achterwege.(endfootnote). Deze relatie, deze vergelijking tussen energie, massa en de lichtsnelheid, heeft een naam: de massa-energierelatie. Misschien heb je ooit ergens gelezen of heb je iemand horen uitleggen dat ‘Einstein bewees’ dat massa een vorm van energie is, dat massa bevroren energie is, dat massa omgezet kan worden in energie en dat, uiteindelijk, alle materie in essentie pure energie is.

    Dit alles is echter helemaal niet wat de vergelijking inhoudt. Niet in dit universum, in elk geval. Laten we hier de werkelijke betekenis ervan bespreken. We denken dat het tijd is om ons te ontdoen van het onnodig obscurantisme dat gepaard gaat met de vele populaire verklaringen. Alle wis- en natuurkundigen die vroeger hebben bijgedragen aan ons huidige begrip van massa en energie verdienen namelijk beter.

    Albert Einstein (rechts) met de Nederlandse natuurkundige Paul Ehrenfest (links) en Ehrenfests zoon in Ehrenfests huis in Leiden.

    Standing on the shoulders of giants

    Einstein was niet de eerste om de relatie tussen massa en energie te beschrijven. Er waren best nog wat mensen voor hem die, op een of andere manier de connectie tussen massa, energie en snelheid verkenden. Niettemin hielden de meesten er de hypothese op na dat er sprake was van een toename van mechanische massa uitsluitend als gevolg van interacties met elektromagnetische velden. Men sprak van zogenaamde elektromagnetische zelf-energie dat een vorm van elektromagnetische massa veroorzaakte (Miller, 1981; Okun 1989). Einstein toonde vervolgens aan dat een dergelijk concept niet nodig was en kwam als eerste met een correcte afleiding van de beroemde relatie. Desalniettemin publiceerde hij gedurende een aantal jaren daarna nog meer afleidingen van de vergelijking.

    Overigens bevatten geen van zijn publicaties de letterlijke vorm $E = mc^2$. Je zou ze mogelijk niet herkennen als je ze zag. Bovendien is de vergelijking niet universeel waar.

    Ten slotte is de beroemde formule niet de volledige versie. Meestal zijn mensen enkel bekend met de hippe editie die op een honkbalpetje past. De complete vergelijking is echter universeler en wordt ook wel door hedendaagse natuurkundigen de correcte versie genoemd(beginfootnote)cf. https://youtu.be/mkiCPMjpysc(endfootnote). Deze is echter niet als eerste door Einstein opgesteld, maar door Paul Dirac (Eisberg & Resnick, 1974; Miller 1981). Daar komen we nog op terug.

    Onder andere deze indrukwekkende geesten hebben allen een versie van de beroemde vergelijking afgeleid voordat Einstein dat deed.

    Energie is een mathematisch concept

    We herinneren ons eraan dat energie niet een ‘ding’ is. Zoals we al benoemden in een vorig artikel is het niet een of ander onzichtbare, immateriële, vloeistofachtige ‘essentie’ waar alles van gemaakt is, schuilgaand achter de façade van de tastbare wereld. Fork, no.

    Het is altijd slechts een getal geweest, een boekhoudkundig hulpmiddel, een belangrijk en heel praktisch mathematisch concept. Het werd voor het eerst voorgesteld door de zeventiende eeuwse, Duitse geleerde Gottfried Wilhelm von Leibniz. Wat het mathematisch concept is? Het is het getal dat je verkrijgt als je de massa van een object vermenigvuldigt met zijn snelheid in het kwadraat(beginfootnote)Later werd dit herijkt op 1/2 keer de massa keer de snelheid in het kwadraat.(endfootnote). Het is een pragmatische manier om de balans tussen deze twee eigenschappen op te maken.

    Stel je een biljarttafel voor met drie biljartballen. We negeren iedere vorm van wrijving. Dit geïsoleerde systeem ondergaat een constante, interne verandering: de ballen ketsen voortdurend tegen elkaar en stuiteren tegen de rand. Leibniz veronderstelde dat de massa van de ballen niet veranderde. Wat wel veranderde was de snelheid van de ballen (en de bewegingsrichting). Hij merkte op dat als je van iedere bal het product berekent van zijn massa met zijn snelheid en alle producten dan bij elkaar optelt, dat deze som altijd constant blijft, op welk tijdstip ook, ongeacht de veranderende snelheid en richting van de ballen. (Totdat je iets veranderde aan het systeem door een stoot van de keu bijvoorbeeld.)

    Dit was de vroege formulering van wat we tegenwoordig de wet van behoud van energie noemen(beginfootnote)Hij noemde het resultaat van het product vis viva. Het woord energie had hier zijn intrede dus nog niet gedaan. Wellicht had hij een poëtische bui. Hij ondervond stevige competitie van zijn rivaal Newton die het begrip impuls had geïntroduceerd. Dit was een andere manier van de balans bijhouden. Dit was het product van massa keer de snelheid – gewoon, snelheid, dus niet het kwadraat ervan. Ook de totale impuls bleek constant. Dit is de wet van impulsbehoud. Later zou men begrijpen dat de twee kwantiteiten elkaar aanvullen en ten onrechte als twee met elkaar competerende concepten werden gezien.(endfootnote). Deze wet is geldig in een relatief klein gebied van het universum, zoals de aarde of ons zonnestelsel. Echter, op de schaal van het gehele, waarneembare universum blijft energie niet behouden. Dus hoewel de wet van energiebehoud fundamenteel lijkt voor ons aardlingen en onze experimenten, op de schaal van het waarneembaar universum is het dat niet(beginfootnote)Met dank aan een combinatie van het werk van de geniale Emmy Noether (Stelling van Noether) en Albert Einstein (algemene relativiteit).(endfootnote). 

    Voor ons is dit voorlopig even irrelevant. Belangrijk is dat sindsdien de mensen, met hun natuurlijke neiging om complexe categoriesystemen te bedenken, onderscheid maakten tussen verschillende vormen van energie. Denk aan potentiële energie (iets bevindt zich op grote hoogte en kan naar beneden vallen of is iets is opgewonden en kan spontaan afwinden), warmte-energie (iets is heet), chemische energie (iets is ‘opgeladen’) en kinetische energie (iets beweegt). Deze begrippen, inclusief het moederbegrip energie, zijn menselijke constructen. Deze zelfstandige naamwoorden beschouwen als verwijzend naar fysieke, op zichzelf staande, tastbare dingen is, ironisch genoeg, een categoriefout.

    Energie is niet een vluchtige en/of etherische substantie. Het is een wiskundige maat voor het product van massa of momentum, en snelheid. In deze haastig genomen foto, genomen door een ooggetuige, betreft het geen bundels van pure energie, hoewel het appelleert aan onze verbeelding van wat ‘pure energie’ zou moeten zijn. Het zijn bundels van deeltjesstraling (oranje gekleurde bundels van radiaal gepolariseerde protonen), afgegeven door draagbare deeltjesversnellers op de rug, gericht op een spook. De Ghostbusters, zoals ze zichzelf noemen, stellen dat spoken negatief geladen vormen van energie zijn, in de vorm van slijmerig ectoplasma. Dus, zelfs hier – fictief of niet – als er iets vreemds is in de buurt, is het nooit ‘pure energie’. (© Sony Pictures Home Entertainment)

    It’s not all about that mass

    Af en toe interpreteerde men Albert Einstein verkeerd. In de oude tijd brachten mensen onderscheid aan in dingen, zoals ze altijd doen. Er waren nu verschillende vormen van ‘massa’: rustmassa en relativistische massa. Rustmassa is de massa van een object dat niet beweegt. Relativistische massa is de massa van een object dat wel beweegt. Als hij steeds sneller gaat bewegen dan zou zijn massa groeien, alsmaar groter en groter, want dat is wat hij zei.

    Maar nee. Hij publiceerde in zijn derde artikel van 1905 (1905a, p. 920), Zur Elektrodynamik bewegter Körper, een vergelijking voor de energie van een elektron, dat luidde als volgt:

    Het lijkt er misschien niet op, maar je zou kunnen zeggen dat dit zijn eerste wiskundige expressie was van de relatie tussen (kinetische) energie, massa en de lichtsnelheid in de kwadraat(beginfootnote)Overigens had Max Abraham net daarvoor het werk van Walter Kaufman gepubliceerd die dezelfde vergelijking voor kinetische energie had opgesteld. Einstein was hier waarschijnlijk niet van op de hoogte (Miller, 1981).(endfootnote). Het vraagt om een beetje vertaling, maar het is niet echt moeilijk. Negeer het middelste gedeelte en concentreer je alleen op de letter $W$ en het deel achter het laatste isgelijkteken. Je moet dan alleen even weten dat Einsteins notatie zich als volgt laat vertalen: de kinetische energie $W = E_k$, rustmassa $mu = m_0$ en de lichtsnelheid $V = c$. Dus, in moderne notatie staat er eigenlijk:

    \begin{equation} E_k = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}} – m_0c^2. \end{equation}

    Dit begint al aardig te lijken op de bekende $E=mc^2$.  Het stelt echter niet dat massa toeneemt. Het stelt alleen dat als de snelheid van een object, $v$, de lichtsnelheid $c$ nadert, het resultaat van deze hele vergelijking oneindig groot wordt – een oneindige hoeveelheid energie.

    Gezien de massa-energierelatie concludeerden mensen (van de oude garde) niettemin dat als de energie van een bewegend object oneindig wordt bij de snelheid van het licht, de massa van het object ook oneindig wordt, de relativistische massa, om precies te zijn.

    Dit is echter iets van het verleden – technisch gesproken. Al in 1940 negeerden de grote Lev Landau en Evgeny Lifshitz het onderscheid tussen rustmassa en relativistische massa in hun boek The Classical Theory of Fields. De legendarische John A. Wheeler en Edwin F. Taylor brachten een dito geüpdatete Spacetime Physics naar een ieders leestafel. Niettemin zijn er helaas nog talloze studieboeken die archaïsche begrippen, verlopen jargon en notatie hanteren.

    Hedendaagse natuurkundigen spreken echter niet langer van relativistische massa. Met speciale relativiteit toonde Einstein dat waarnemingen en metingen afhangen van het referentiekader. Per definitie zijn er ook een paar dingen zijn die daar niet van afhangen. Naast de ruimtetijdinterval, natuurwetten en de lichtsnelheid blijkt dat rustmassa te zijn.

    De rustmassa van een object is invariant, oftewel, het varieert of verandert niet door de beweging van de waarnemer in relatie tot het object (Taylor & Wheeler, 1992, p. 211). Zoals ook in Einsteins vergelijking voor kinetische energie te zien is, speelt alleen rustmassa een rol. Relativistische massa komt er niet in voor. Het is zelfs zo dat Einstein schreef (zoals geciteerd in Okun, 1989, p. 32): 

    ‘Het is niet goed om een concept van massa $M = m/(\sqrt{1-v^2/c^2})$ van een lichaam te introduceren waarvoor geen heldere definitie gegeven kan worden. Het is beter om geen ander massaconcept te introduceren dan de ‘rustmassa’ $m$. In plaats van de introductie van $M$ is het beter om de uitdrukking voor impuls en energie van een bewegend lichaam te noemen.’(beginfootnote)Vertaling door @kjrunia.(endfootnote)

    Uiteraard, $M$ is wat de mensen later relativistische massa zouden noemen, wat betekent dat ze het toch gewoon deden, tegen Einsteins voorkeur in.

    Heden ten dage – nou ja, in elk geval sinds 1940 – spreken natuurkundigen enkel van massa. We ontdeden ons van relativistische massa. Bovendien is het bijvoeglijk deel ‘rust’ in rustmassa overbodig. Massa betreft sowieso een object in rust. Als het beweegt, spreken we van het product van massa en snelheid in een bepaalde verhouding: als impuls of als energie. De massa van een object groeit niet als gevolg van zijn beweging.

    Resistance is crucial 

    Wat is massa dan? Voor de zekerheid, massa is niet hetzelfde als gewicht: dezelfde hoeveelheid massa heeft verschillend gewicht op verschillende planeten. Dit is ons op de middelbare school al geleerd. Een weegschaal meet gewicht, geen massa. Een ouderwetse balans met geijkte contragewichten – *kuch* contramassa’s – is de beste optie voor de interplanetaire reizen. Deze massa’s moeten uiteraard geijkt zijn aan de definitie van een kilogram volgens de International Bureau of Weights and Measures.

    Massa is ook niet hetzelfde als materie. Massa en materie behoren tot verschillende categorieën. De eerste is een eigenschap, de tweede is een ‘ding’. Elementaire ‘deeltjes’, dingen(beginfootnote)We gebruiken aanhalingstekens bij ‘deeltjes’ want hoewel de term makkelijk is in gebruik, erkennen we dat het eigenlijk kwantumveldoscillatoren zijn, of, mooier nog, golffuncties.(endfootnote), zoals elektronen, bezitten een zekere hoeveelheid massa. Een elektron verkrijgt massa door interactie met het Higgsveld, waarvan het bestaan bewezen werd in 2012 bij het CERN. De hoeveelheid elementaire deeltjes correleert met de hoeveelheid massa, echter, de massa van een object bestaat niet alleen hieruit: het betreft ook de beweging van gluonen (in de protonen), de beweging van de elektronen, atomen en moleculen – de kinetische, thermische en chemische energie in het object (in rust).

    Einstein schreef in zijn vierde artikel van 1905, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? (1905b, p. 641):

    ‘Als een lichaam energie afgeeft in de vorm van straling neemt de massa af met $L/V^2$’,(beginfootnote)Vertaling door @kjrunia.(endfootnote)

    waarbij, in moderne notatie, $L=E$, and $V=c$. De energie die hij noemt is niet de kinetische energie (van een lichaam in beweging) maar de interne energie (van een lichaam in rust), zoals warmte-energie. En inderdaad, dit betekent dat massa toeneemt of afneemt, afhankelijk van de interne energie van een object.

    Twee structureel identieke ballen van staal hebben verschillende massa als een bal heter is (meer massa) dan de ander; hun interne warmte-energie verschilt. Twee structureel identieke mobiele telefoons hebben verschillende massa als een opgeladen is (meer massa) en de ander is leeg; hun interne elektrochemische energie verschilt. Nota bene, we hebben het hier dus over objecten in rust.

    Bovendien, zodra een van de objecten licht of warmte uitstraalt, verliezen ze massa. De breuk $E/c^2$ is echter heel klein omdat de lichtsnelheid zo groot is. Daarom is de extra massatoename of -afname zo klein dat dit wellicht de reden is dat mensen massa met de hoeveelheid materie verwarren. Het is bijna hetzelfde. Het is de hoeveelheid materie plus iets meer, de interne energie.

    Massa zou beschreven kunnen worden als de weerstand tegen versnelling – een verhouding tussen de kracht benodigd om de versnelling te veroorzaken die het dan heeft. Massa is inerte massa, de inertie van een object (zoals Einstein het ook noemde in de titel van zijn artikel (1905a) uit 1905).

    De volledige vergelijking

    Als je geen vergelijkingen meer kunt zien, sla deze paragraaf dan maar over. Als je de echte, volledige versie wil zien: let’s go.

    Einstein publiceerde verschillende afleidingen. Een van de meest bekende was de volgende voor de totale energie van een object:

    \begin{equation} E_T = \frac{m_0c^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}. \end{equation}

    Als je toevallig vloeiend algebra spreekt, kun je zien hoe we $E=mc^2$ verkrijgen. Zo niet, geen probleem. Als een object in rust is, heeft het geen snelheid, dus $v=0$. Als je dit getal in de vergelijking invult, wordt de noemer van de grote breuk gelijk aan 1. En alles dat je deelt door 1 blijft zichzelf, dus dat betekent dat je $E=mc_0c^2$ overhoudt.

    Uiteraard zouden we dat subscript 0 in $m_0$ gewoon weg kunnen laten. Het duidt ‘rustmassa’ aan, maar ‘rust’ is eigenlijk overbodig.

    Dit betekent ook dat de beroemde vergelijking $E=mc^2$ eigenlijk alleen toepasbaar is als het object niet beweegt. Bovendien is het niet toepasbaar op massaloze deeltjes, zoals het foton.

    $E=mc^2$ is niet universeel toepasbaar. Alleen in een inertiaalstelsel, waar het object niet beweegt, en alleen in het geval van ‘deeltjes’ met massa, is deze vergelijking geldig. Dus niet in het geval van fotonen en gluonen.

    De volgende vergelijking is echter wel geldig bij zowel massa-houdende en massaloze deeltjes. Hoewel Einstein het fundament legde was het de geniale Paul Dirac die deze uitdrukking voor het eerst optekende in 1928 (Eisberg & Resnick, 194; Miller, 1981), zij het op een enigszins meer technische manier dan hieronder weergegeven. De volgende vergelijking betreft alle objecten, inclusief licht:

    \begin{equation} E^2 = m^2c^4 + p^2c^2. \end{equation}

    De letter $p$ is de impuls. Stel, we willen de energie van een foton berekenen. Aangezien het foton geen massa heeft ($m=0$), verwordt deze vergelijking tot $E = pc$, wat inderdaad het correcte verband is tussen energie en een foton. Als je zou proberen om $E = mc^2$ te gebruiken om de energie van een foton te berekenen, zou je maar een mal antwoord krijgen.

    Dus, $E = mc^2$ is geen universele vergelijking aangezien het niet opgaat voor massaloze ‘deeltjes’. De vergelijking zoals eerst opgetekend door Paul Dirac echter wel en het past zelfs op een t-shirt.

    Vaak wordt die geschreven als

    \begin{equation} E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2, \end{equation}

    wat het mogelijk nog cooler maakt aangezien het een prachtige, pythagorische driehoeksverhouding blootlegt.

    Paul Dirac

    De betekenis van E = mc²

    Alles goed en wel, maar los van alle technische mitsen en maren, wat betekent het nou eigenlijk?

    Het betekent dat energie massa is, geproportioneerd door een factor $c^2$.

    Het betekent ook dat de massa van een object een maat is voor zijn totale intrinsieke energie (potentiële, thermische, chemische, elektrische, zelfs kinetische als delen aan de binnenkant van het object in beweging zijn), geproportioneerd door een factor van $1/c^2$.

    $E = mc^2$ zou eigenlijk geschreven moeten worden als $E_0 = mc^2$ want het gaat over de energie van een object in rust. Het subscript 0 betekent meestal dat het iets in rust betreft.

    Het is echter niet de volledige vergelijking.

    Het betekent niet dat energie materie is en materie energie. Massa is niet hetzelfde als materie. Dat is een categoriefout.

    Het betekent niet dat massa geconverteerd kan worden in energie en vice versa. Ten eerste, massa kan niet geconverteerd worden want het is een eigenschap, een meetbare eigenschap. Energie is een ook een eigenschap, een berekenbare eigenschap, wat gedaan kan worden door massa te meten.

    Stel je een object voor dat de volgende eigenschappen heeft: omvang, kleur, hardheid en energie. Stel, de vergelijking zou als volgt hebben geluid: $E =$ hardheid $\times c^2$. Wellicht wordt het zo duidelijk dat dit niet betekent dat hardheid geconverteerd wordt in energie. Wat het betekent, is dat je hiermee een mathematische manier hebt om een maat in termen van een andere maat te berekenen. Het enige dat hier wordt geconverteerd, is een getal, een kwantiteit.

    Materie is een ander beestje. Het is een klomp van dingen: ‘deeltjes’. Een object is een klomp materie en interacties. Zoals CERN dagelijks aantoont, kan materie in beweging geconverteerd worden in duizenden andere dingen in beweging. Als mensen erop staan om te spreken over dingen die geconverteerd worden, zouden ze kunnen spreken over de conversie van deeltje A met beweging $a$ en deeltje B met beweging $b$ naar deeltjes C, D, E, F, G, $\dots$ met beweging $c,d,e,f,g,\dots$

    Dus, de volgende keer dat iemand meent aan jou te moeten uitleggen dat $E = mc^2$ betekent dat massa geconverteerd kan worden naar energie en dat dingen nimmer de snelheid van het licht kunnen bereiken omdat anders de massa oneindig groot wordt, kun je volstaan met de volgende reactie: ‘Neh, man. Massa is een invariante eigenschap van een lichaam, calculeerbaar met de volledige vergelijking, $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$, weet je. Hoewel je het dan nog wel even moet oplossen voor $m$ en je niet vergeten moet om alleen de pseudo-euclidische norm van de impuls te nemen en niet de hele viervector, maar dat moet geen probleem zijn verder – het maakt het er alleen maar makkelijker op.’ Pauzeer even en voeg dan toe: ‘In de Minkowski-ruimte, uiteraard.’(beginfootnote)De Minkowsi-ruimte is als euclidische ruimte, maar dan in vier dimensies. Dit is misschien ook een goed moment om de voetnoot te plaatsen dat er nog zelfs een fundamentelere vergelijking is, namelijk Einsteins veldvergelijking van zijn algemene relativiteitstheorie (Carroll, 2014), maar dat is iets voor later.(endfootnote)

    Ten slotte, pure energie = puur nonsens. Als Leibniz het kon horen, zou hij schaterlachen en zich in zijn graf omdraaien – als hij er de energie voor kon vinden. Eerlijkheidshalve moet gezegd dat natuurkundigen het woord energie altijd en overal gebruiken. Het is kort en simpel, maar bijzonder krachtig als term. En dat is prima, zolang we het er allemaal over eens zijn wat we bedoelen.

    Energie ligt niet ten grondslag aan beweging, maar beweging(beginfootnote)Van kwantumvelden, beschreven door golffuncties.(endfootnote) en interacties liggen ten grondslag aan het construct energie.

    Hoe dan ook, mocht je toch ooit tegen een half-doorzichtige, zwevende kwak pure energie aanlopen aan het eind van de lange gang in dat duistere landhuis van je rijke tante, dan, ja, dat is dan iets vreemds.

    Referentielijst

    Carroll, S. (2014) Spacetime and Geometry: Pearson New International Edition : an Introduction to General Relativity. 1st. Pearson.

    Einstein, A. (1905a) ‘Zur Elektrodynamik bewegter Körper’, Annalen der Physik, 322(10), pp. 891-921.

    Einstein, A. (1905b) ‘Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?’, Annalen der Physik, 323(13), pp. 639-641.

    Eisberg, R. M. and Resnick, R. (1974) Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei, and particles. New York: Wiley.

    Miller, A. I. (1981) Albert Einstein’s special theory of relativity : emergence (1905) and early interpretation (1905-1911). Reading, Mass ;: Addison-Wesley.

    Okun, L. B. (1989) ‘The Concept of Mass’, Physics Today, 42(6), pp. 31-36.

    Taylor, E. F. and Wheeler, J. A. (1992) Spacetime physics : introduction to special relativity. 2nd ed. edn. New York: W.H. Freeman.

    Featured image: NASA’s Solar Dynamics Observatory captured this image of an X2.0-class solar flare bursting off the lower right side of the sun on Oct. 27, 2014. The image shows a blend of extreme ultraviolet light with wavelengths of 131 and 171 Angstroms. Credit: NASA/SDO. Retrieved 30 Aug 2019, from https://www.nasa.gov/content/goddard/sun-release-x20-class-flare-on-oct-27-2014

    Einstein and Ehrenfest. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 21 Aug 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1510430/1/132_1510430/cite

    Oliver Heaviside (1850-1925) – Science and Society Museum/ Universal Images Group. Oliver Heaviside, English physicist, c 1900.. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/102_541915/1/102_541915/cite

    Hendrik Lorentz (1853-1928) – Science and Society Museum/ Universal Images Group. Hendrik Antoon Lorentz, Dutch physicist, c 1920.. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/102_523268/1/102_523268/cite

    Henri Poincaré (1954-1912) – akg-images / Universal Images Group. Henri Poincare / Photo c. 1890. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 3 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/109_171035/1/109_171035/cite

    Joseph J. Thomson (1856-1940) – Science and Society Museum/ Universal Images Group. Sir Joseph J. Thomson, English physicist, late 19th century/early 20th century.. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/102_547694/1/102_547694/cite. Cropped by @kjrunia.

    George Frederick Charles Searl FRS(1864-1954) – Royal Society. As printed in Thomson, G. (1955) ‘George Frederick Charles Searle. 1864-1954’, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society,1, p. 247. Cropped by @kjrunia.

    Wilhelm Wien (1864-1928) – NATIONAL LIBRARY OF CONGRESS / SCIENCE PHOTO LIBRARY / Universal Images Group. Wilhelm Wien, German physicist. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1255736/1/132_1255736/cite

    Max Abraham (1875-1922) – Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen. Max Abraham around 1905. Public domain. Slightly cropped by @kjrunia.

    Albert Einstein, Swiss-German physicist. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 22 Aug 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1510416/1/132_1510416/cite

    Paul Dirac. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 24 Aug 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1254852/1/132_1254852/cite

  • Eenvoudige probleemstellingen over relativistische energie en impuls

    Eenvoudige probleemstellingen over relativistische energie en impuls

    We richten ons op een paar eenvoudige probleemstellingen waarbij we de vergelijkingen voor relativistische energie en impuls zullen manipuleren.

    Dit artikel is mogelijk op het niveau van tweedejaars natuurkundestudenten.

    Einstein had laten zien dat de lorentztransformaties de correcte wijze vormden om te wisselen van coördinatenstelsels van verschillende referentiekaders [1]. Hij leerde ons tevens dat Newtons wetten volstrekt geen relativistische natuurwetten waren. Newtoniaanse impuls, bijvoorbeeld, $ \mathbf{p} = m\mathbf{v} $, en energie, $ E = mv^2/2, $ waren in het geheel niet accuraat bij hoge snelheden.

    In plaats daarvan hebben we geleerd dat de relativistische impuls geschreven wordt als

    \begin{equation} \label{eq:relativistic momentum} \mathbf{p} = \frac{m\mathbf{v}}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}. \end{equation}

    En dat de correcte, relativistische expressie voor de totale energie is:

    \begin{equation} \label{eq:relativistic energy} E_{\text{tot}} = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}. \end{equation}

    We zullen de volgende probleemset oplossen.

    1. Bewijs, voor een deeltje dat zich voortbeweegt met snelheid $ c $, dat de grootte van de relativistische energie gegeven wordt door $ E = pc $.
    2. Toon aan dat de relatie tussen energie en impuls voor een deeltje met  iedere massa $ m $ met iedere snelheid $ v $ correct is en let op dat hier niet verwezen wordt naar de fameuze $ E=mc^2 $. De juiste alstublieft.
    3. Gegeven dat $ m_p $ de massa van een proton is, bereken zijn exacte snelheid als de relativistische translationele kinetische energie (dat is de relativistische, totale energie minus zijn relativistische massa energie) vier keer zo groot is als zijn relativistische massa energie.

    Probleem I

    Aangezien $ E $ wordt uitgedrukt in $ p $, herschrijven we $ \eqref{eq:relativistic momentum} $ door op te lossen voor $ m $:

    \[ m = \frac{p\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}{v}. \]

    Merk op dat we geen vectoren gebruiken, enkel de grootte. We vervolgen door dit in $ \eqref{eq:relativistic energy} $ te substitueren:

    \[ E_{\text{tot}} = \frac{\left(\dfrac{p\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}{v}\right)c^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}. \]

    Dit vereenvoudigen we tot

    \begin{align} E_{\text{tot}} &= \frac{pc^2\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}{v\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}, \\ \therefore E_{\text{tot}} &= \frac{pc^2}{v}. \label{eq:E = pc^2/v} \end{align}

    Aangezien we te maken hebben met een deeltje dat zich voortbeweegt met snelheid $ c $, weten we dat $ v = c $, waardoor $ \eqref{eq:E = pc^2/v} $ verwordt tot

    \begin{align}
    E_{\text{tot}} &= \frac{pc^2}{c}, \\
    \therefore E_{\text{tot}} &= pc.
    \end{align}

    Probleem II

    De energie-impuls-relatie is

    \[ E^2_{\text{tot}} = p^2c^2 + m^2c^4. \]

    Substitueren van $ \eqref{eq:relativistic momentum} $ en $ \eqref{eq:relativistic energy} $ geeft

    \[ \left(\frac{mc^2}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}}\right)^2 = \left(\frac{m \mathbf{v}}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}}\right)^2c^2 + m^2c^4, \]

    dat we verder als volgt kunnen uitwerken:

    \begin{align*}\left(\frac{mc^2}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}}\right)^2 – \left(\frac{m \mathbf{v}}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}}\right)^2c^2 – m^2c^4 &= 0, \\
    \frac{m^2c^4}{1 – \dfrac{v^2}{c^2}} – \frac{m^2v^2c^2}{1 – \dfrac{v^2}{c^2}} – m^2c^4 &= 0, \\
    \left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)\left(\frac{m^2c^4}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\right) \qquad &\qquad \\ – \left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)\left(\frac{m^2v^2c^2}{1-\dfrac{v^2}{c^2}}\right) &\qquad \\ – \left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)m^2c^4 &= 0, \\
    m^2c^4 – m^2v^2c^2 – m^2c^4 + \frac{m^2v^2c^4}{c^2} &= 0, \\
    m^2c^4 – m^2c^4 – m^2v^2c^2 + m^2v^2c^2 &= 0, \\
    0 – 0 &= 0.
    \end{align*}

    Dus voor elke waarde van $ m $, $ p $ en daarmee ook $ v $ is de relatie waar.

    Probleem III

    Waterstofbellenvat Fermilab

    De relativistische (totale hoeveelheid) energie is

    \[ E_{\text{tot}} = E_{\text{trans}} + E_{\text{mass}}. \]

    Als de relativistische, translationele, kinetische energie vier keer zo groot is als de relativistische massa-energie, dan kunnen we schrijven

    \[ E_{\text{trans}} = 4E_{\text{mass}}. \]

    Daarmee verwordt de relativistische energie:

    \[ E_{\text{tot}} = 4E_{\text{mass}} + E_{\text{mass}} = 5E_{\text{mass}}. \]

    Om de snelheid van het proton te berekenen, schrijven we vervolgens

    \begin{align*}
    \frac{m_pc^2}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}} &= 5E_{\text{mass}} = 5m_pc^2, \\
    \frac{1}{\sqrt{1 – \dfrac{v^2}{c^2}}} &= 5, \\
    \sqrt{1-v^2/c^2} &= \frac{1}{5}, \\
    1-\frac{v^2}{c^2} &= \frac{1}{25}, \\
    \frac{v^2}{c^2} &= \frac{24}{25}, \\
    v^2 &= \frac{24c^2}{25}, \\
    \therefore v &= \sqrt{\frac{24c}{25}} = \frac{2\sqrt{6}c}{5},
    \end{align*}

    wat ongeveer gelijk is aan $ 0,98c $, afgerond op twee decimalen, hetgeen betekent dat het zich met 98% van de lichtsnelheid voortbeweegt door het weefsel van de kosmos.

    Afbeelding Waterstofbellenvat Fermilab: een proton met 300 GeV energie produceert 26 geladen deeltjes in the 30 inch waterstofbellenvat bij Fermilab. Bron: Wikimedia Commons

    [1] Einstein, A. (1905) ‘Zur Elektrodynamik bewegter Körper’, Annalen der Physik, 322(10), pp. 891–921. doi: 10.1002/andp.19053221004.

    Dit is een opnieuw geplaatst artikel. Het oorspronkelijke van 28 december 2018 bevatte enkele foutjes in de verwerking van LaTeX.


  • Energie is niet fundamenteel en niet behouden

    Energie is niet fundamenteel en niet behouden

    Af en toe hoor je wel eens iemand zeggen dat ‘alles uiteindelijk energie is’. ‘Einstein zei immers dat massa energie is, wij zelf zijn energie, licht is energie en alles in het universum is energie.’ Het wordt vaak gepresenteerd als de fundamentele substantie waar alles van gemaakt is. En energie blijft behouden. Beide uitspraken zijn incorrect.

    Gottfried Wilhelm von Leibniz

    Om maar met de deur in huis te vallen: energie is een mathematisch concept. Het is geen substantie en het is geen mysterieus ‘ongrijpbaar iets’. Er vloeit niets van het ene object naar het andere object. Het is uitsluitend een getal, uiterst nuttig en vernuftig om berekeningen mee uit te voeren en voorspelling mee te doen over de toestand van een systeem. Het is slimme mathematische boekhouding afkomstig van de veelzijdige, zeventiende eeuwse geleerde Gottfried Wilhelm von Leibniz.

    Hier moeten we het verschil maken tussen fysieke objecten (niet energie dus) en eigenschappen van die fysieke objecten. Bij eigenschappen kun je denken aan positie, volume, massa, snelheid en energie. Deze vijf eigenschappen zijn getallen. Wiskundige kwantiteiten. Op de middelbare school leerden we ze grootheden noemen. Grootheden die we uitdrukken als getallen met eenheden, die verwijzen naar fysieke fenomenen van fysieke objecten, zoals, respectievelijk, locatie, ruimtelijke omvang, inertie, beweging en… waar energie naar verwijst, lees je hieronder.

    Laten we een voortrollende kanonskogel A als voorbeeld nemen. Deze fysieke kogel heeft twee meetbare eigenschappen: een massa A en een snelheid A. Stel nu dat er nog een kanonskogel B aan komt rollen: massa B, snelheid B, maar dan wel in de tegenovergestelde richting. Het zal uitlopen op een botsing. Je mag ervan uitgaan dat de snelheden en richtingen van die snelheden na de botsing veranderd zullen zijn.

    Leibniz viel het op dat, als je van iedere kogel afzonderlijk de massa vermenigvuldigt met het kwadraat van zijn snelheid en alle zo verkregen waarden van alle kogels bij elkaar optelt, die hele totaalsom vóór de botsing gelijk is aan de totaalsom ná de botsing.

    Zowel het product als de som zijn niet meer dan een getal. Het wiskundige resultaat van de vermenigvuldiging van massa en snelheid(-kwadraat) noemen we energie. Leibniz noemde het echter niet energie, maar heel poëtisch vis viva, Latijn voor ‘levende kracht’.

    Er volgden nog vele jaren van verfijning en uitbreiding van het wiskundige concept. Zo bleek de formulering van Leibniz hierboven nog een factor van een half te missen, de uitbreiding van het vis viva-concept naar hitte benodigd te zijn en de concurrentie van het impulsmoment van rivaal Newton te duchten te hebben.

    Uiteindelijk, begin 19e eeuw, gebruikte de veelzijdige geleerde Thomas Young in zijn boek A Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts: In Two Volumes als eerste de term energie in geschrift en dat is zo gebleven — hoewel het nog de nodige ontwikkelingen zou ondergaan. Uiteindelijk bleek het concept namelijk niet alleen handig in mechanische en thermische berekeningen, maar ook in bijvoorbeeld elektrische, magnetische, chemische en nucleaire interacties.

    Wet van behoud van energie

    Emmy Noether

    Emmy Noether, een wiskundig genie, legde honderd jaar later het mathematisch fundament voor onder andere de wet van behoud van energie, die al een paar decennia daarvoor was geformuleerd. Dankzij het theorema van Noether weten we waarom energie behouden blijft in een geïsoleerd systeem: de natuurwetten zijn tijdsinvariant, zoals dat heet. Met andere woorden, het maakt voor een natuurwet niet uit of het om tien uur ’s ochtends of twee uur daarvoor wordt toegepast. Kanonskogels botsen er om stipt vier uur ’s nachts niet anders om dan een kwartiertje later. Hun werking is invariant. Als een geïsoleerd systeem, zoals onze kanonskogels, in de tijd verplaatst precies zo werkt als vóórdat het in de tijd verplaatst werd, spreken we van een symmetrische situatie. En als natuurwetten tijdsymmetrisch zijn, kunnen we dankzij Noethers theorema de wet van behoud van energie wiskundig afleiden.

    Einstein en uitdijing

    Wat helaas niet veel mensen weten, is dat de wet van behoud van energie sinds Einsteins algemene relativiteitstheorie — iets meer dan honderd jaar geleden, praktisch op hetzelfde moment als Noethers bewijs voor haar theorema — toch niet blijkt te gelden voor het waarneembare universum waarin wij leven.

    Dat wil zeggen, de wet werkt prima op de schaal waarop wij mensen ons dagelijks leven leiden. De middelbareschoolopgaven zijn nog steeds geldig. Architecten en ingenieurs kunnen er nog steeds van op aan. Echter, op de schaal van het zichtbare universum, waar kosmologen mee werken, gaat de wet niet meer op. De ruimtetijd zelve is dynamisch: het verandert over de tijd. In 1998 bleek uit Nobelprijswinnend onderzoek dat het waarneembare universum bovendien versneld uitdijt. Ook hieruit blijkt dus dat de ruimte zelve niet symmetrisch is met het verstrijken van de tijd.

    De wet is dus niet houdbaar voor het hele universum. Echter, als je een stukje ruimte en een stukje tijd neemt die klein genoeg zijn, werkt de wet nog prima. Systemen lijken op die schaal genoeg geïsoleerd te zijn van de rest van het universum. Noethers theorema is hier van kracht en daarmee ook de op haar theorema berustende wet van energiebehoud.

    Niet fundamenteel, maar wel belangrijk

    Om twee redenen kan ‘energie’ dus geen fundamenteel onderdeel zijn van een theorie over ons universum: het begrip is een wiskundig hulpmiddel om meetbare eigenschappen als massa en snelheid te kwantificeren waarvan het behoud rust op een ander theorema, terwijl het sinds ongeveer honderd jaar geleden bovendien niet langer behouden is gebleken.

    Hoewel dus geen onzichtbare, vloeiende substantie of anderszins mysterieuze, fundamentele grootheid, is het niettemin een uiterst nuttige kwantiteit in uiteenlopende gebieden zoals vloeistofdynamica, statistische mechanica, astrofysica, kernfysica en kwantumfysica. Al was het maar omdat je een ingewikkelde formulering zoals

    $\frac{mc^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}},$

    kunt vervangen door de

    $E$

    van energie. Ehm, ‘energie’.

    Foto: ESA/Hubble/NASA. Een Hubble Space Telescope foto van sterrenstelselcluster Abell 2537. De omvang van de zwaartekracht, dat wil zeggen, de ruimtetijdkromming, veroorzaakt door dit sterrenstelsel is zichtbaar via de afbuiging van het licht van sterren en sterrenstelsels gelegen achter Abell. Het stelsel werkt als een lens. Dit is allemaal voorspeld door Einsteins algemene relativiteit.

  • Eenvoudige problemen met relativistische energie en impuls

    Eenvoudige problemen met relativistische energie en impuls

    Dit artikel is opnieuw geplaatst. Lees hier verder…