Tag: EPR paradox

Kwantumverstrengeling: de EPR-paradox en de stelling van Bell

Als de toestand van een subatomair deeltje alleen maar beschreven kan worden door een golffunctie in combinatie met de toestand van een ander subatomair deeltje dan spreken we van kwantumverstrengeling. Dit is het speciale geval waarbij beide deeltjes alleen beschreven kunnen worden door een en dezelfde golffunctie. Ze zijn geen losse entiteiten meer. Het verbluffende gevolg hiervan is dat het verrichten van een meting op het ene deeltje een onmiddellijk effect heeft op de meting van het andere deeltje, onafhankelijk van de fysieke afstand tussen de twee. In deze post, deel twee van onze miniserie over kwantumverstrengeling, zullen we de EPR-paradox van Einstein en zijn collega’s bespreken. Daarna bespreken we de stelling van Bell, die natuurkundigen in staat stelde om Einsteins voorstel te testen. Had Einstein gelijk?

Een schematische weergave van een elektron. Let wel, dit is niet hoe een elektron er werkelijk uitziet noch ziet een elektronspin er zo uit. De kwantumwereld is zo anders dat klassieke noties zoals die hier zijn toegepast eigenlijk niet langer voldoen. Hier doen we alsof het elektron een vervagende bal is die ogenschijnlijk om een as draait, maar eigenlijk is dat het niet en doet dat het niet. Het is nu eenmaal het beste wat we hebben. Hoewel, eigenlijk is het beste dat we hebben de wiskundige expressie die we golffunctie noemen.

Korte samenvatting

Hier volgt eerst een korte samenvatting van de vorige post van dit tweeluik:

1. we maken gebruik van de eigenschap genaamd spin om onderscheid te maken tussen de twee verstrengelde elektronen;

2. de oriëntatie van de spin van het elektron wordt aangeduid met spin-omhoog (tegen de klok in) of spin-omlaag (met de klok mee) ten opzichte van de as waarlangs de meting wordt verricht;

3. het is mogelijk om een willekeurige as te kiezen waarlangs je de meting uitvoert, in drie dimensies;

4. onafhankelijk van welke as je kiest, het meetresultaat zal altijd of spin-omhoog of spin-omlaag zijn (er is geen spin-schuin-naar-rechts bijvoorbeeld);

5. we zijn in staat om deeltjes op zo’n manier met elkaar te verstrengelen dat ze óf altijd tegengestelde spin óf altijd identieke spin zullen vertonen na meting; eenmaal op deze manier geprepareerd zullen ze nooit van dit patroon afwijken na meting;

6. in de vorige en in deze post maken we gebruik van de tegengestelde-spin-configuratie;

7. kwantummechanica stelt dat elektronen nog geen specifieke spinoriëntatie hebben vóór de meting: de golffunctie bevat alle mogelijke meetuitkomsten en in dit geval is dat dus spin-omhoog én spin-omlaag (of, iets anders geformuleerd, ‘in dit geval is dat dus nog geen definitieve spinoriëntatie’)(beginfootnote)Analoog hieraan toonde het dubbelspleetexperiment aan dat vóór meting deeltjes nog geen specifieke locatie hebben.(endfootnote);

8. zodra je, langs een willekeurige as, een meting verricht aan een van de twee elektronen, klapt de spin van het andere elektron onmiddellijk in de tegenovergestelde richting langs dezelfde as, ongeacht de ruimtelijke afstand tussen de twee deeltjes(beginfootnote)Of, als zij zodanig geprepareerd waren dat ze identieke spin zullen hebben, klapt het andere elektron natuurlijk in dezelfde spinoriëntatie langs de willekeurig gekozen as van meting bij het andere elektron.(endfootnote).

EPR-paradox

Einstein had begrip van kwantummechanica zoals weinig anderen en hij accepteerde de voorspellingen en resultaten ervan, maar hij had weinig op met de niet-lokale implicaties. Hij had moeite met punt 8 van de vorige paragraaf. Er is hier immers sprake van nul tijdsverschil tussen de beïnvloeding van een deeltje in Amsterdam (door het meten van zijn spin) en het fysieke gevolg hiervan voor het verstrengelde deeltje in Boston. Het overtreedt het centrale concept van Einsteins speciale relativiteit: geen signaal of informatie – of wat dan ook in dit universum – kan sneller zijn dan de snelheid van het licht(beginfootnote)In een vacuüm.(endfootnote) anders zou causaliteit niet bestaan. Met andere woorden, als informatie of signalen in staat waren om sneller dan het licht te zijn, zouden gevolgen kunnen gebeuren vóór de oorzaken ervan hadden plaatsgevonden. Dat lijkt niet te rijmen met het universum waar wij in leven, om het zachtjes uit te drukken.

Einstein, Podolsky en Rosen (EPR) hypothetiseerden dat er iets anders, iets geheimzinnigs aan de hand was – verborgen voor theoretische en experimenteel natuurkundigen. De kwantummechanica zoals tot dan toe bekend, was volgens hen incompleet. Uiteraard erkenden zij het succes ervan maar als het kwantumverstrengeling betrof, meenden ze dat er iets miste in de theorie van de golffuncties.

Om het probleem van sneller-dan-licht op te lossen, stelden ze zich voor dat wat er werkelijk gebeurde was dat deeltjes zich altijd al in een specifieke toestand bevinden. Als het kwantumverstrengelde elektronenpaar van elkaar gescheiden wordt, hadden ze altijd al een specifieke toestand van spin-omhoog of spin-omlaag, vanaf het begin, toen ze werden geprepareerd.

Stel dat een paar handschoenen werden vervaardigd. Zoals alle handschoenen zijn ze altijd elkaars tegenpool met betrekking tot links- of rechtshandigheid(beginfootnote)De meer algemenere term hiervoor is chiraliteit.(endfootnote). De een is altijd linkshandig, de ander altijd rechtshandig. En als de een rechtshandig is, is de ander linkshandig. (Anders heb je een handschoen van een ander paar.)

Stel, de machine waarmee het handschoenenpaar werd gemaakt, doet iedere handschoen in een eigen doosje. Wij kunnen niet zien welke handschoen in welk doosje ging. Een doosje gaat naar Amsterdam en de andere gaat naar Boston. Experimenteel natuurkundigen openen het doosje in Amsterdam: het is de rechtshandige! Nu weten we onmiddellijk welke handschoen in Boston is: de linkshandige. Geen magie, geen non-lokaliteit, geen lichtsnelheid brekende fratsen.

Einstein en vrienden zeiden dat het zo ook met de verstrengelde elektronen het geval moet zijn. Het elektronenpaar had altijd al een specifieke spinoriëntatie, vanaf het begin al. Pas in Amsterdam en Boston verrichten we de metingen. Het is dan natuurlijk alleen maar logisch dat als je weet welke spin het elektron in Amsterdam heeft, je meteen weet welke spin het elektron in Boston heeft.

Dus, concludeerde Einstein, non-lokaliteit is een illusie. Het betreft allemaal heel normaal en gewoon de lokale wetten van de natuur en een beetje logisch nadenken. Ten eerste is de spinoriëntatie simpelweg verborgen voor ons en niet principieel nog onzeker. Ten tweede is er geen spookachtige werking op afstand[1], zoals hij het uitdrukte(beginfootnote)In het Duits noemde hij het een ‘spukhafte Fernwirkung'[1].(endfootnote).

In het alledaagse spraakgebruik noemen natuurkundigen dit de lokale variant van een verborgen-variabelentheorie. ‘Verborgen variabelen’ verwijzen hierbij min of meer naar de deeltjeseigenschappen die we nog niet kunnen zien (zoals spinoriëntatie of variabelen die deze beïnvloeden) omdat onze kwantummechanische beschrijving (de golffunctie) incompleet is. Niettemin, stelt Einstein, de eigenschappen zijn al wel aanwezig, al wel in een specifieke toestand, en niet nog onbepaald tot een meting plaatsvindt.

De ongelijkheid van Bell

Helaas overleed Einstein in 1955. En Niels Bohr, de grote natuurkundige met wie hij graag debatteerde over de fundamentele aard van kwantummechanica, overleed in 1962. In beide gevallen te vroeg om John Stuart Bells artikel te lezen dat hij in 1964 publiceerde onder de titel ‘Over de Einstein Podolsky Rosen Paradox'[2]. Bell realiseerde zich dat Einsteins beschrijving van wat er zich werkelijk achter de schermen afspeelde zich in principe leent voor experimenten. Einsteins voorstel bracht een duidelijke voorspelling met zich mee, beter bekend als de ongelijkheid van Bell.

In het Nederlands is dat mogelijk wat ongelukkig geformuleerd, ‘ongelijkheid’; verwar het dus niet met ‘het ongelijk’. Er zijn trouwens meer ongelijkheden in de omloop die in de loop der tijd ontwikkeld en afgeleid zijn door natuurkundigen(beginfootnote)Behalve zijn originele ongelijkheid is er bijvoorbeeld de veelal toegepaste CHSH-inequality (Engels).(endfootnote). Om Bells ongelijkheid toe te lichten, maken we hier gebruik van een versie van David Mermin zoals hij die naar voren bracht in zijn fantastische Boojums All the Way Through: Communicating Science in a Prosaic Age[3].

Waar we ook gebruik van gaan maken is de mogelijkheid die genoemd is in punt 3 hierboven. We gaan de spinoriëntatie langs drie verschillende assen meten. Drie assen die onder een hoek van 120° ten opzichte van elkaar staan.

De eerste as betreft de spinoriëntatie langs de verticale as, die we zullen aanduiden met de volgende symbolen voor spin-omhoog en spin-omlaag:

$$\uparrow \downarrow$$

De spinoriëntaties omhoog en omlaag zullen ook langs de tweede as gemeten worden:

$$\nwarrow \searrow$$

En de spinoriëntaties langs de derde as geven we weer als:

$$\nearrow \swarrow$$

Stel je nu twee verstrengelde elektronen voor die van elkaar worden gescheiden. De gebruikelijke kwantummechanische beschrijving van ieder elektron is dat ze zich in een superpositie van spin-omhoog en spin-omlaag bevinden, langs alle drie assen.

Behalve dan dat Einstein zegt, nee, nee, nee, dat is niet echt zo: verborgen achter de ‘sluier van superpositie’ hebben ze in feite al een specifieke spinoriëntatie voor ieder van die drie assen. We weten simpelweg nog niet welke totdat we gaan meten!

Hij zegt dus dat het elektron in Amsterdam al in een specifieke spintoestand is voor alle drie de assen, zoals:

$$\left( \uparrow \searrow \swarrow \right)_A$$

Dus, langs as 1 is het spin-omhoog, langs as 2 is het spin-omlaag en langs as 3 is het ook spin-omlaag.

Einstein stelt verder dat het verstrengelde elektron in Boston dan logischerwijs in de tegenovergestelde spintoestanden verkeert:

$$\left( \downarrow \nwarrow \nearrow \right)_B$$

Einstein besluit dat zodra er een daadwerkelijke meting plaatsvindt in Amsterdam langs as 1, het natuurlijk logisch is dat je de tegenovergestelde spintoestand meet bij het elektron in Boston, langs dezelfde as!

Bells inzicht is vervolgens dat als je dit argument verder uitwerkt voor alle mogelijke combinaties van spintoestanden dat je een voorspelling kan doen over de verhouding waarin al die verschillende combinaties zich voordoen.

Ten eerste, stelt Bell, als je langs as 1 in Amsterdam meet, hoef je in Boston niet per se langs diezelfde as te meten: je kunt ervoor kiezen om langs as 3 te meten, bijvoorbeeld. Dus met de twee voorbeelden hierboven zou je als meetresultaten kunnen verkrijgen dat het in Amsterdam spin-omhoog is en in Boston óók spin-omhoog:

$$\left( \uparrow \right)_A \text{ en } \left( \nearrow \right)_B$$

Bell ging verder door te stellen dat als je het aantal combinaties omhoog-omhoog, omlaag-omlaag en natuurlijk omhoog-omlaag en omlaag-omhoog zou tellen, je dan uiteindelijk specifieke verhoudingen zal krijgen tussen deze combinaties. Als daarentegen zou blijken dat deze verhoudingen zich niet voordoen dan is Einsteins hypothese onjuist. In dat geval is er iets heel anders aan de hand dan Einstein zich voorstelde. De elektronen waren dan niet al in een specifieke toestand, wat betekent dat de non-lokaliteit bij metingen met kwantumverstrengeling daadwerkelijk bestaat!

Alles op een rijtje

Laten we alles even op een rijtje zetten. Laten we ons eerste voorbeeld van hierboven er weer bij pakken:

$$\left( \uparrow \searrow \swarrow \right)_A \text{ en } \left( \downarrow \nwarrow \nearrow \right)_B$$

Als je langs as 1 in Amsterdam en langs as 1 in Boston meet, verkrijg je spin-omhoog en spin-omlaag. Als je langs as 1 in Amsterdam en langs as 2 in Boston meet, verkrijg je spin-omhoog en spin-omhoog. En zo verder. We hebben het in een tabelletje weergegeven:

Hier zie je alle mogelijke combinaties van meetuitkomsten langs de drie mogelijke assen van het elektron in Amsterdam (A) en Boston (B). We gebruiken O voor OP (spin-omhoog) en N voor NEER (spin-omlaag).

Bell stelt verder dat als Einstein het juist had, en de spintoestanden langs deze drie assen allang bepaald waren, dat de hier weergegeven combinaties behoren tot de verwachte uitkomsten.

datLaten we ons vooral concentreren op de combinaties ON en NO. Met andere woorden, laten we ons richten op het aantal keren dat we tegengestelde spintoestanden meten, onafhankelijk van langs welke as we die meting uitvoeren. We hebben die met geel gearceerd.

Precies vijf van de negen keren zal de spincombinatie dus tegengesteld zijn.

Laten we de andere spincombinaties ook verkennen. Stel dat het elektron in Amsterdam stiekem in de volgende spintoestanden verkeert, $\left( \downarrow \nwarrow \swarrow \right)_A$, en het elektron in Boston is dan precies zijn tegenpool, $\left( \uparrow \searrow \nearrow \right)_B$. Als we opnieuw de keren tellen dat de meetuikomsten tegengesteld zijn (langs de verschillende assen dus), zijn dat wederom vijf van de negen keer.

Ik denk dat je nu wel in de gaten krijgt waar dit heen gaat. We gaan niet alle tabellen langs, maar we doen er nog eentje dan. Stel, het elektron in Amsterdam verkeert zich langs alle drie assen in de toestand spin-omlaag, $\left( \downarrow \searrow \swarrow \right)_A$, en, uiteraard, die in Boston verkeert voor alle assen in tegengestelde toestand, $\left( \uparrow \nwarrow \nearrow \right)_B$. In dat geval zouden we negen van de negen keer de tegengestelde spinresultaten verkrijgen.

Deze versie van Bells ongelijkheid stelt dus dat de kans (P) om tegengestelde spincombinaties te meten langs alle drie de assen minstens $\frac{5}{9}$ of 55% (en ten hoogste 1 of 100%) is. Met andere woorden, $P(\text{opposite}) \geq \frac{5}{9}$. Als deze ongelijkheid geschonden wordt door een experiment, is de onderliggende theorie bewezen onwaar.

Experimentele resultaten

In de afgelopen dertig jaar zijn vele experimenten uitgevoerd die allen een versie van Bells ongelijkheid toepasten. Meestal betrof het echter fotonen in plaats van elektronen en mat men polarisatie in plaats van spin.

Freedman en Clauser voerden de eerste Bell-test uit. Zij gebruikten een versie van de zogenaamde CH74-ongelijkheid[4].

Het bekendste experiment werd uitgevoerd door Alain Aspect en collega’s. In opvolging van Bells suggestie waren zij in staat om de twee metingen op de twee verschillende plekken langs verschillende assen uit te voeren die willekeurig werden uitgekozen nadat de deeltjes (fotonen in hun geval) uit elkaar werden gehaald maar voordat de deeltjes bij de meetapparaten arriveerden.

Bij alle experimenten werden geen van de versies van Bells ongelijkheden verkregen. In plaats daarvan was de statistische uitkomst overeenkomstig met wat je zou verwachten vanuit de kwantummechanica zoals we die toen en nu nog steeds kennen. De conclusie was dat Einsteins lokale verborgen-variabelentheorie incorrect was. Er is niets lokaal aan het meten van kwantumverstrengelde deeltjes.

In onze specifieke ongelijkheid bleek dat het aantal keren dat je tegengestelde spincombinaties verkreeg, precies te liggen op 50% van alle metingen en niet 55%.

Conclusies

Laten we samenvatten wat we hier hebben kunnen vaststellen.

In de kwantummechanica verkeren deeltjes waarop nog geen metingen zijn verricht zich nog niet in een definitieve, specifieke toestand. In plaats daarvan worden ze het beste beschreven door een golffunctie die alle mogelijke toekomstige toestanden omvat waar ze uiteindelijk in kunnen ‘omklappen’ zodra ze wel worden gemeten.

Als een deeltje alleen beschreven kan worden in combinatie met een ander deeltje, dat wil zeggen, beide deeltjes kunnen alleen beschreven worden door een en dezelfde golffunctie, dan zijn ze maximaal verstrengeld(beginfootnote)In de praktijk, in de echte wereld, zijn deeltjes niet maximaal verstrengeld zoals we die kunnen verstrengelen in het laboratorium. De wereld is te rommelig voor deze ‘pure verstrengeling’. Er zijn simpelweg te veel deeltjes om niet met andere deeltjes te interacteren. Ieder deeltje zal zonder uitzondering interacteren met triljarden andere deeltjes en dus zal de coherentie van ieder beetje verstrengeling al snel verzwakken of zelfs geheel verdwijnen. Iedere interactie is een meting. Omdat onze hersenen heel groot zijn en uit triljarden deeltjes bestaat, zullen ze nooit in een dergelijke pure toestand van superpositie noch verstrengeling kunnen verkeren. Laat staan dat ons nog veel grotere lichaam zich ooit in een of andere kwantumtoestand kan bevinden. Dat is statistisch zo onwaarschijnlijk dat je zo oud moet worden als $(10^{100})^{100}$ de leeftijd van het huidige universum om dat een keer mee te maken. En dat getal is alleen maar symbolisch bedoeld. Het is veel groter.(endfootnote).

Als de verstrengeling zodanig is dat de spinoriëntatie altijd op een bepaalde manier correleert – ongeacht of het identieke spin of tegengestelde spin betreft – dan heeft een meting op een deeltje, waardoor het in een van de mogelijke, specifieke toestanden klapt, een onmiddellijk effect op de toestand van het andere deeltje: het klapt ook onmiddellijk uit de waas van de golffunctie met het andere deeltje correlerende, specifieke toestand.

Einstein hield er niet van want het impliceerde dat er op een of andere manier informatie van het ene deeltje naar het andere deeltje werd getransporteerd met een snelheid die hoger lag dan die van het licht.

Samen met Podolsky en Rosen stelden hij voor dat deeltjes altijd al een verborgen toestand hadden. Daarmee konden ze non-lokaliteit omzeilen.

John Bell toonde aan dat je de EPR-hypothese kon testen. Latere experimenten toonden aan dat EPR het niet bij het juiste eind hadden.

Deeltjes ‘klappen’ wel degelijk in een specifieke toestand zodra ze gemeten worden waar ze voorheen zich in nog geen enkele specifieke toestand bevonden.

Dat betekende dat non-lokaliteit klopt. Er is geen andere manier waarlangs het andere deeltje in de juiste toestand klapt.

Niemand weet nog hoe dit kan. Er zijn verschillende niet-lokale, verborgen-variabelentheorieën in de omloop. Een van bekendste versies is het zogenaamde ER=EPR-vermoeden van Juan Maldacena en Leonard Susskind. Misschien iets voor een volgende keer om in te duiken.

Einsteins afkeer van deeltjes die zich nog niet in specifieke toestand bevinden totdat ze gemeten worden, brachten hem tot de roemruchte uitspraak: ‘God dobbelt niet’.

Helaas had hij het hier op twee niveaus niet bij het juiste eind. God(beginfootnote)We gebruiken het woord ‘God’ hier puur metaforisch. Het verwijst niet naar een entiteit van een specifieke religie zoals aanbeden door velen in verschillende samenlevingen.(endfootnote) dobbelt wel. Bovendien gooit Hij de stenen waar we ze niet kunnen zien. Zelfs God lijkt gebonden te zijn aan de onzekerheidsrelatie van Heisenberg. Maar dat is een ander onderwerp voor een ander bit of maths and physics.

[1] Einstein, A., Podolsky, B. and Rosen, N. (1935) “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?,” Physical Review, 47(10), pp. 777–780. doi: 10.1103/PhysRev.47.777.

[2] Bell, J. S. (1964) “On the Einstein Podolsky Rosen Paradox,” Physics Physique Fizika, 1(3), pp. 195–200. doi: 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195.

[3] Mermin, N. D. (1990) Boojums all the way through : communicating science in a prosaic age. Cambridge England: Cambridge University Press.

[4] Fry, E. S. and Thompson, R. C. (1976) “Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories,” Physical Review Letters, 37(8), pp. 465–468. doi: 10.1103/PhysRevLett.37.465.

[5] Aspect, A., Dalibard, J. and Roger Gérard (1982) “Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time-Varying Analyzers,” Physical Review Letters, 49(25), pp. 1804–1807. doi: 10.1103/PhysRevLett.49.1804.

Uitgelichte foto: theoretisch natuurkundige John Stuart Bell in het CERN, juni 1982 (CERN, CC BY 4.0)

2020-06-10
Kwantumverstrengeling: non-lokaliteit en de toestand van een systeem met twee deeltjes

Tot op de dag van vandaag krabben natuurkundigen zich op het hoofd als het gaat om kwantumverstrengeling en de daaruit voortkomende effecten. Dit onderwerp is opgesplitst in twee delen. In deze post bespreken we de begrippen lokaliteit en non-lokaliteit en wat kwantumverstrengeling is. De term kwantumverstrengeling is in het populaire taalgebruik veelvoorkomend in de context van spiritualiteit, healing en new-agebenaderingen van het menselijk bewustzijn. Dit heeft echter niets te maken met de kwantumverstrengeling die we hier bespreken. Hier kijken we puur naar de natuurkunde, de zuivere herkomst en originele context. We zullen daartoe de toestand van een systeem met twee deeltjes nader bestuderen. In de volgende post bespreken we welke bezwaren Einstein en vrienden naar voren brachten, wat Bell toen schreef en of Einsteins voorstel correct was. En we bespreken enkele intrigerende mazen van het net.

De basics

Voor de zekerheid nog even de basis. ‘Deeltjes’ zijn volstrekt geen deeltjes in de klassieke betekenis van het woord – het zijn geen kleine balletjes of kogeltjes. De beste beschrijving die we van ze hebben is de golffunctie, een wiskundige expressie waarin alle mogelijke toestanden van het deeltje zijn verwerkt. Dit betreft onder andere zijn energieniveau’s, zijn positie en nog een aantal andere eigenschappen of toestanden die het kan omvatten.

Zolang er geen metingen op los zijn gelaten, verkeert het deeltje niet in een specifieke toestand. Het vertoont golfachtige gedrag als een ondoorzichtige wolk van alle mogelijke toestanden. Zodra je echter metingen verricht, klaart die wolk ogenblikkelijk op en zal het deeltje eruit zien als een echt deeltje, in de klassieke zin van het woord. Met een specifieke toestand.

Overigens kan ‘de toestand van een elektron’ referen naar een deeltje zonder specifieke toestand of specifieke waarden van eigenschappen zolang geen metingen hiernaar zijn verricht. De toestand van een elektron is hier het beste beschreven als een golffunctie die alle mogelijke specifieke toestanden omvat.

Hierna worden ‘golffunctie’ en ‘toestand’ door elkaar gebruikt.

In Dit is geen atoom wordt de golffunctie besproken. In Het tweespletenexperiment worden de golfachtige en de deeltjesachtige gedragingen onder de aandacht gebracht.

Lokaliteit vs non-lokaliteit

Isaac Newton wist dat hij een probleem had toen hij zijn theorie van de zwaartekracht eenmaal had geformuleerd. Het beschrijft heel mooi in behoorlijk precieze termen hoe de zwaartekrachten van twee massa’s zich tot elkaar verhouden, maar het verklaart niet hoe dat gebeurt. Hij was niet blij met de conclusie dat de zwaartekracht tussen de aarde en de maan op grote afstand dwars door een vacuum een soort spookachtige invloed kan hebben. Hij schreef dat het een dusdanig grote absurditeit was dat hij meende dat geen mens met enig talent tot nadenken over filosofische aangelegenheden hiervoor zal vallen. Beroemd is zijn toevoeging dat hij dit onopgeloste mysterie verder ‘ter overdenking aan zijn lezers’ overliet[1].

Met andere woorden, Newton was geen fan van non-lokaliteit(beginfootnote)De eerlijkheid gebiedt me te zeggen dat ik op het moment van schrijven niet zeker weet of dit de juiste Nederlandse term is voor het Engelse non-locality. Hetzelfde geldt voor ‘lokaliteit’, oftewel locality.(endfootnote). En toch, zijn theorie impliceerde dat er sprake moet zijn van een onzichtbare kracht die over grote afstanden door de leegte van een vacuum kan doorwerken. Bovendien lijkt het een instantane kracht te zijn: als de zon plotseling zou verdwijnen, dan zou de aarde subiet zijn ellipsvormige baan verlaten en de ruimte ingeslingerd worden. Tegenwoordig weten we dat niets sneller kan voortbewegen dan het licht, dus ook veranderingen in de zwaartekracht van de zon zouden er ongeveer acht minuten over doen voordat ze de aarde bereiken.

In de daaropvolgende jaren bleken fenomenen als magnetisme en elektriciteit inderdaad toch gewoon lokaal te zijn. Aan werd getoond dat er altijd sprake is van een indirecte weg via welke het ene object het andere kan beïnvloeden. Wat wordt er dus precies bedoeld met lokaliteit? Dit is het mechanisme: een object interacteert met zijn directe omgeving, een veld dat verankerd is in onze driedimensionale wereld, een elektromagnetisch veld in dit geval. Die interactie brengt als het ware een rimpeling teweeg in het veld, dat die rimpeling vervolgens doorzet naar het andere object. In termen van ‘velden’ kun je stellen dat er dus een bepaalde waarde van het veld veranderd is door het object. Die waardeverandering verandert op zijn beurt de waarden van het veld in de directe omgeving, die op hun beurt de waarde van het veld weer wijzigen in hún directe omgeving, enzovoort. Het is vergelijkbaar met ‘de wave’ van duizenden supporters in een voetbalstadion. Of omvallende dominostenen. Iedere verandering is altijd lokaal en de voortbewegingssnelheid kent een maximum van de snelheid van het licht.

Tuimelende telefooncellen zijn absoluut een ‘lokaal fenomeen’. De sculptuur Out of Order van David Mach bevindt zich in Kingston upon Thames (VK). Foto door 272447.

Vele jaren later verving Einstein de zwaartekrachttheorie van Newton met zijn algemene relativiteitstheorie. Het toonde aan dat Newtons intuïtie dat zwaartekracht niet niet-lokaal kon zijn, correct was. In de algemene relativiteitstheorie zijn ruimte en tijd zelve de rekbare substantie via welke zwaartekrachtverstoringen worden voortgeplant richting het andere object met de snelheid van het licht. Als een massa de ruimtetijd om zich heen plooit en kromt, rimpelen deze verstoringen verder door het universum op weg naar andere objecten. Op 11 februari 2016 slaagde een enorm samenwerkingsverband tussen ongelooflijk getalenteerde wetenschappers erin om deze zwaartekrachtrimpelingen in de ruimtetijd daadwerkelijk te meten en te registreren. Einstein voorspelde het bestaan van deze rimpelingen al in 1916. Het leverde drie sleutelfiguren de Nobelprijs op.

En zo leek het erop dat spookachtige invloeden op een afstand in de natuurkunde niet bestaan. En zelfs heden ten dage, in de moderne kwantumfysica, luidt de beste en meest succesvolle theorie dat er kwantumvelden verankerd zijn in ons universum die de media vormen via welke krachten worden voortgepland met de maximumsnelheid van het licht.

Non-lokaliteit omvat de verandering van een plek in de ruimte die ogenblikkelijk invloed uitoefent op een andere plek in de ruimte, onafhankelijk van de afstand tussen die twee plekken. Lokaliteit omvat de voortplanting van verandering op een plek in de ruimte door telkens aangrenzende plekken in die ruimte navenant te veranderen met de maximumsnelheid van het licht, onderweg naar een andere plek in de ruimte.

Spin

Elektronen beschikken over verschillende eigenschappen. Een van de meest in het oog springende is (negatieve) lading. Het Stern-Gerlach-experiment toonde aan dat ze over nog een eigenschap beschikken: kwantummechanische spin. De term is mogelijk wat verwarrend. Het verwijst geenszins naar het impulsmoment zoals we dat in de klassieke mechanica kennen; het heeft niets te maken met het klassieke draaien om een as. In feite valt het met geen mogelijkheid klassiek-mechanisch te beschrijven.

Niettemin, feit is, elektronen hebben een intrinsieke, kwantummechanische spin. Het valt te meten langs elke gewenste as – het maakt niet uit welke hoek die as maakt met enige horizontaal of verticaal. Zoals met alle objecten in de driedimensionale ruimte waar we in leven, kun je iedere hoek binnen de 360 graden kiezen – en dat in drie dimensies. Ten opzichte van welke as je ook kiest, kunnen elektronen echter maar twee spinoriëntaties hebben: met de klok mee of tegen de klok in(beginfootnote)Inderdaad, dit klinkt alsof ze toch om hun as roteren in de klassieke zin van het woord. En wellicht, in zekere, diepere zin, is dat wat het toch gedeeltelijk is, maar hoe dan ook verdient dit een eigen post. Voorlopig moeten we helaas maar accepteren dat onze taal te simplistisch is om klassieke termen voor het beschrijven van kwantummechanische fenomenen te vermijden – wat helaas misleidend is.(endfootnote). Die laatste noemen we spin omhoog en die daarvoor noemen we spin omlaag, geheel volgens de rechterhandregel.

Als elektronen als kleine, pluizige balletjes zijn, zoals hier afgebeeld, zou je je ‘spin’ kunnen voorstellen als een draaiing om de as waarlangs de meting plaatsvindt: met de klok mee of tegen de klok in. Gebruikmakend van de rechterhandregel duiden we die draaiing aan met spin-omhoog en spin-omlaag. Uiteraard kan er langs iedere willekeurige as gemeten worden omdat de wereld driedimensionaal is. En iedere keer bevat het elektron een spin om die as. Let wel: deze klassiek-mechanische illustratie geeft niet echt weer wat elektronen zijn noch wat kwantummechanische spin is. Maar mogelijk helpt het als een analogie. (Illustratie door KJ Runia)

Symbolen

Omdat we de lezer graag serieus nemen, grijpen we hier de gelegenheid aan om enkele wiskundige symbolen door te nemen die van pas komen in deze en de volgende post.

Vanaf nu gebruiken het symbool $\lvert A \rangle$ voor de toestand van een elektron in Amsterdam met betrekking tot z’n spinoriëntatie. Zolang we er nog geen metingen aan hebben verricht, verkeert het elektron nog niet in een specifieke toestand. Echter, zodra we bijvoorbeeld langs de verticale as de spin gaan meten, kan de spin dus alleen maar spin omhoog of spin omlaag zijn. Laten we die twee mogelijke uitkomsten aanduiden met $\lvert \uparrow \rangle_A$ en $\lvert \downarrow \rangle_A$.

Analoog hieraan duiden we de toestand van een elektron in Boston aan met $\lvert B \rangle$ en zijn de twee mogelijke meetuitkomsten $\lvert \uparrow \rangle_B$ en $\lvert \downarrow \rangle_B$.

Aangenomen dat de toestand van het elektron in Amsterdam nog niet gemeten is, kunnen we dit met betrekking tot z’n spin wiskundig opschrijven als een combinatie van beide mogelijke spin-toestanden:

$$\lvert A \rangle = \alpha \lvert \uparrow \rangle_A + \beta \lvert \downarrow \rangle_A.$$

Dit is waarom natuurkundigen het op een haast poëtische manier hebben over een deeltje dat – zolang het niet gemeten is – in beide spin-toestanden tegelijk verkeert, terwijl het nauwkeuriger is om te zeggen dat ze nog geen specifieke toestand hebben. Wiskundig gezien is de toestand een amalgaam van alle mogelijke, in een lineaire superpositie gebrachte (bij elkaar opgetelde), algebraïsche oplossingen van de Schrödingervergelijking. Vandaar dat men spreekt over een ‘deeltje in superpositie’.

Wat zijn die $\alpha$ en $\beta$? Dat zijn de waarschijnlijkheidsfactoren die we nog even moeten vinden. De waarschijnlijkheidsinterpretatie van Born stelt dat als we het kwadraat van de (modulus van de) golffunctie (de toestand) nemen, dat we dan de waarschijnlijkheid(sdichtheid) verkrijgen van eender welke mogelijke meetuitkomst. Experimenten toonden aan dat spin-omhoog en spin-omlaag beide in 50% van de gevallen uit de meting komt. Met andere woorden, de waarschijnlijkheid voor beide spin-toestanden is precies $\frac{1}{2}$. Dus als $\alpha=\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}$, dan is het kwadraat daarvan $\lvert\alpha\rvert^2 = \lvert\beta\rvert^2 = \frac{1}{2}$. Immers, $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$ en dat is precies wat we willen. Dus de toestand (golffunctie) van ons Amsterdamse elektron met betrekking tot spin wordt dan genoteerd als

$$\lvert A \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \lvert \uparrow\rangle_A + \frac{1}{\sqrt{2}} \lvert \downarrow\rangle_A.$$

Analoog hieraan is de toestand van het elektron in Boston met betrekking tot spin dan

$$\lvert B \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \lvert \uparrow\rangle_B + \frac{1}{\sqrt{2}} \lvert \downarrow\rangle_B.$$

Met andere woorden, de toestand van een elektron voor een meting is de som van alle mogelijke toestanden (vermenigvuldigd met een waarschijnlijkheidsfactor, in dit geval is dat dus $\frac{1}{\sqrt{2}}$).

In het geval van een spinoriëntatie ten opzichte van de verticale as, zoals hier, is de toestand van het elektron dus de som van twee mogelijke toestanden, spin-omhoog $\lvert \uparrow \rangle$ of spin-omlaag $\lvert \downarrow \rangle$.

Nota bene: er zijn andere mogelijkheden. We hadden ook een meting kunnen verrichten langs de horizontale as. Ook dan zijn er maar twee spinoriëntaties mogelijk, maar die zouden we dan kunnen representeren met de symbolen spin-links $\lvert \leftarrow \rangle$ of spin-rechts $\lvert \rightarrow \rangle$. Of we hadden de spin langs assen onder een hoek van 120 graden ten opzichte van de verticale as kunnen meten. Dan zouden we $\lvert \nwarrow \rangle$ en $\lvert \searrow \rangle$ of $\lvert \nearrow \rangle$ en $\lvert \swarrow \rangle$ kunnen gebruiken. We gaan hier nog verder op in tijdens de bespreking van de Stelling van Bell in de volgende post.

Kwantumverstrengeling

Dus, wat is kwantumverstrengeling nu precies? Zoals inmiddels al herhaald is de golffunctie de meest complete beschrijving van een deeltje. Dit betrof echter meestal een vrij, enkel deeltje dat verder niet met iets of wat dan ook interacteerde. In het geval van kwantumverstrengeling gaat dit echter niet meer op.

Als de toestand van een deeltje niet langer beschreven kan worden zonder de beschrijving van de toestand van een ander deeltje, zijn deze twee deeltjes kwantumverstrengeld. Met andere woorden, het is niet langer mogelijk om van ieder deeltje afzonderlijk een golffunctie te formuleren. Ze kunnen alleen nog maar samen, als één systeem van twee deeltjes, door middel van één en dezelfde golffunctie worden beschreven.

Dit heeft verstrekkende gevolgen. Stel dat onze twee elektronen op zo’n manier kwantumverstrengeld zijn dat ze altijd elkaars tegengestelde spinoriëntatie bezitten(beginfootnote)De productie van spinverstrengelde elektronen is niet makkelijk, maar slimme experimenteel-natuurkundigen hebben zo hun trucs.(endfootnote). Dus als de een spin-omhoog is, $\lvert \uparrow \rangle$, is de andere altijd automatisch spin-omlaag, $\lvert \downarrow \rangle$, of vice versa(beginfootnote)Het is ook mogelijk om ze zodanig met elkaar te laten correleren dat de spin identiek is, maar in ons voorbeeld even niet dus.(endfootnote). Nu hebben we dus een systeem met twee deeltjes die altijd elkaars tegengestelde spin hebben, hetgeen betekent dat de totale spin van het systeem gelijk is aan 0, nul. Laten we de totale spin van ons systeem voortaan aanduiden met $\lvert S \rangle$.

Voordat de meting plaatsvindt, worden de elektronen van elkaar gescheiden. Een blijft achter in het laboratorium in Amsterdam, de ander gaat op transport naar Boston. Beiden verkeren op dit moment nog steeds in superpositie, geheel volgens hun ene golffunctie. Ze hebben geen exacte locatie (hoewel op het moment van meting de een zeer waarschijnlijk in Amsterdam zal zijn en de ander in Boston), hun energieniveau’s zijn niet scherp gedefinieerd en hun spin is omhoog noch omlaag.

We kunnen deze situatie met betrekking tot spin weergeven als volgt:

$$\lvert S \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( \lvert \uparrow \rangle_A \lvert \downarrow \rangle_B – \lvert \downarrow \rangle_A \lvert \uparrow \rangle_B \right).$$

Oftewel, de totale spin $\lvert S \rangle$ van ons systeem met twee deeltjes is een combinatie van twee situaties: het elektron in Amsterdam is spin-omhoog en dat in Boston spin-omlaag of het elektron in Amsterdam is spin-omlaag en dat in Boston is spin-omhoog. We trekken de producten van elkaar af omdat de totale spin gelijk is aan 0, weet je nog? Ten slotte worden beide toestanden vermenigvuldigd met de breuk $\frac{1}{\sqrt{2}}$ omdat beide toestanden 50% kans hebben om als resultaat te verschijnen (wat je krijgt als je alles kwadrateert).

Wat betekent dit nu? Zodra je een meting op het elektron in Amsterdam uitvoert en het resultaat is dat het spin-omhoog is, is het elektron in Boston ogenblikkelijk spin-omlaag ten opzichte van de gemeten as in Amsterdam. En dit terwijl de kans vóór de meting nog steeds 50% was. Hoe ‘weet’ het elektron in Boston wat de meetuitkomst in Amsterdam was? En hoe weet het dat zo snel? Sneller dan het licht, nota bene! Bovendien blijkt dat je bij het andere elektron altijd een specifieke spin tegengesteld aan die van het eerste gemeten elektron verkrijgt. Dus ineens is de kans 100% dat de meetuitkomst in Boston een tegengestelde spin is. (Of vice versa.) Er treden geen enkele uitzonderingen op!

Met andere woorden, zodra we de meting uitvoeren, verandert de wiskundige beschrijving van

$$\lvert S \rangle = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left( \lvert \uparrow \rangle_A \lvert \downarrow \rangle_B – \lvert \downarrow \rangle_A \lvert \uparrow \rangle_B \right)$$

naar

$$\lvert S \rangle = \lvert \uparrow \rangle_A \lvert \downarrow \rangle_B,$$

oftewel, de toestand van de totale spin is gelijk aan de spin-omhoog voor het elektron in Amsterdam en in Boston spin-omlaag, of, vice versa:

$$\lvert S \rangle = \lvert \downarrow \rangle_A \lvert \uparrow \rangle_B.$$

En hier is het verbluffende: de uitkomst van de meting van deeltje A heeft dus instantane gevolgen voor de spin van deeltje B, ongeacht de ruimtelijke afstand tussen de twee deeltjes. Tot zover lokaliteit dus. Welkom terug, non-lokaliteit.

Einstein accepteerde deze kwantummechanische voorspelling. Echter, hij had er niets mee. Hoe kon het deeltje onmiddellijk weten welke spintoestand aan te nemen terwijl Einsteins verbluffend succesvolle theorieën van relativiteit op de universele wet leunden dat niets sneller kan gaan dan de snelheid van licht? Hij accepteerde de theorie, maar concludeerde dat de theorie nog niet compleet was. Er moest nog sprake zijn van een verborgen mechanisme dat ze over het hoofd zagen.

Einsteins poging om het principe van lokaliteit en de universele snelheidslimiet te redden zullen we in de volgende post bespreken. De stelling van John Bell en het experiment van Alain Aspect zullen dan ook aan bod komen. Tot die tijd laten we de vraag of Einstein gelijk kreeg ‘ter overdenking over aan de lezer’.

[1] Newton, I. (1756) Four Letters from Sir Isaac Newton to Doctor Bentley: Containing Some Arguments in Proof of a Deity [Online]. Available here. (Accessed: 14 May 2020)

Uitgelichte illustratie door KJ Runia

2020-05-24