Afgelopen kerst vroegen mijn vader en een van mijn twee broers hoe een zwaartekrachtsslinger van een ruimteschip bij een planeet precies werkt, waarbij het ruimteschip een extra zwieper meekrijgt terwijl het langs een planeet scheert. Ze realiseerden zich dat als een ruimtevaartuig door de zwaartekracht van een planeet wordt aangetrokken dat het een extra impuls krijgt, maar zodra het weer van de planeet wegvliegt, wordt door diezelfde zwaartekracht die impuls dan niet weer teruggenomen? Goede vraag natuurlijk, dus laten we snel bekijken hoe zo’n planetair duwtje in elkaar zit.
Zwaartekrachtsslinger
Allereerst: het klopt. De hele situatie rondom de zwaartekracht van de planeet is symmetrisch. Oftewel, dezelfde ‘kracht’ die het vaartuig richting de planeet aantrekt waardoor het steeds sneller zal vliegen, zal, zodra het de planeet voorbij is, juist het tegenovergestelde gaan doen: het zal het vaartuig weer afremmen.
Maar wat is er verder dan nog dat niet symmetrisch is in die situatie? Dat is het feit dat de planeet een omloopsnelheid heeft in een baan rondom de zon! Alle planeten in ons zonnestelsel vliegen in een baan om de zon. Hoewel op verschillende snelheden is hun positie ten opzichte van de zon iedere seconde weer anders. Dit feit gecombineerd met dat de planeten een flinke massa hebben leidt ertoe dat ze een een behoorlijke impuls hebben(beginfootnote)Impuls, of momentum in het Engels, is massa keer de snelheid in een bepaalde richting(endfootnote). En slimme klompjes menselijke cellen als wij af en toe zijn, kunnen dit uitbuiten.
Door gebruik te maken van de aantrekkingskracht van een planeet om het vaartuig te laten vallen richting die planeet, krijgt het vaartuig een extra duwtje door het simpele feit dat de planeet daarnaast zelf ook door de ruimte voortbeweegt. Dus ook al verliest het vaartuig zijn eerder door de zwaartekracht verworven impuls weer als het de planeet verlaat, het heeft wél een klap van de zweep meekregen van de omloopsnelheid van de planeet om de zon!
Stel dat je een Batman bent en je bent in het bezit van een grijphaak aan een koord dat met een motortje in je grijphaakpistool terug getrokken kan worden. En stel dat je op het perron staat in een treinstation. Er komt een trein aan, maar die stopt niet in dit treinstation. Die dendert gewoon voorbij, langs het perron. Jij begint mee te rennen, in de richting van waar de trein heen gaat. Je schiet de grijphaak op het dak van de trein en je drukt op de knop waardoor het koord je omhoog richting de trein trekt. Op precies het juiste moment laat je de haak en het koord los, spreid je je batvleugels en daar vlieg je weg. Je hebt een beetje gebruik gemaakt van de impuls van de trein.
En het klopt, dit betekent ook dat de trein een klein beetje impuls verloor omdat jij je van de trein hebt ‘afgeduwd/afgezet’. Niettemin, door het grote verschil tussen jouw massa en die van de trein, in combinatie met de snelheden van beide, is het impulsverlies van de trein verwaarloosbaar, terwijl de toename in jouw impuls significant is.
Hetzelfde geldt voor de planeet. Een ruimtevaartuig die een zwaartekrachtsslinger uitvoert, of een gravity assist krijgt, zoals dat in het Engels heet, zal inderdaad de omloopsnelheid van de planeet om de zon, oftewel de impuls van de planeet, iets doen afnemen. En daarmee zal de planeet zelfs iets dichter bij de zon gaan bewegen. Uiteraard, gezien de verhouding tussen de massa’s van het vaartuig en de planeet is het allemaal verwaarloosbaar.
Voyager
Twee van de beroemdste voorbeelden van zwaartekrachtsslingers zijn Voyager 1 en 2. In de animatie hieronder kun je het traject zien van Voyager 2, waar het zwaartekrachtsslingers kreeg van verschillende planeten van ons zonnestelsel. De aarde is het snel ronddraaiende, blauwe bolletje. Jupiter is groen, Saturnus is cyaan, Uranus is geel en oranje is Neptunus. En terwijl de Voyager-ruimtevaartuigen langs de planeten scheerden, stuurden ze enkele van de beste ansichtkaarten terug naar de aarde.
Uiteraard kun je ook het tegenovergestelde bewerkstelligen: je kunt het ruimtevaartuig vertragen. In dat geval laat je het in de tegenovergestelde richting vliegen ten opzichte van de bewegingsrichting van de planeet in zijn baan om de zon. Op die manier doneert het ruimtevaartuig een beetje impuls aan de planeet terwijl het zelf significant afremt.
Dus wat is de kerstboodschap? Precies. Zelfs de kleinste entiteit in dit universum is in staat om de impuls te veranderen van een hele planeet. Het maakt niet uit hoe klein, het effect is op één of andere manier altijd significant.
Stel je eens voor dat doorzichtige materialen niet bestonden. Hoe zouden auto’s er dan uit zien? Hoe zou je vanuit je slaapkamer naar de koude wintermaan kunnen kijken zonder dat je het zelf koud kreeg? Zou lucht dan ook ondoorzichtig zijn? En hoe zit het dan met de lenzen van onze ogen? En als alle materialen uit moleculen bestaan, hoe kan het dan dat de moleculen van glas doorzichtig zijn en andere niet? Deze laatste vraag werd afgelopen week aan mij gesteld door de oudste(beginfootnote)Als ik me niet vergis is hij dertien jaar op het moment dat ik dit schrijf.(endfootnote) zoon van één van mijn beste vrienden.
Eerst zal ik proberen een zo kort mogelijk antwoord te geven. Als je beter wil weten hoe het zit, dan kun je verder lezen. Maar ik moet je wel waarschuwen. Het artikeltje is mogelijk wat lang. Het antwoord op deze op het oog eenvoudige vraag vraagt namelijk om een heleboel achtergrondkennis. Aan de andere kant, met zo’n briljante vraag vraag je er ook een beetje om.
In het kort
Soms is de samenstelling van een molecuul zodanig dat de elektronen die daarin verwerkt zitten bijna niet reageren als er fotonen langs schieten. De elektronen laten dan de fotonen praktisch met rust. Hooguit veranderen ze de koers van de fotonen een beetje. In onze ogen is het materiaal dan transparant.
Als de elektronen wél reageren op invallende fotonen, kaatsen ze die fotonen weer terug of absorberen ze alle energie van die fotonen (die verdwijnen dan). Soms trillen ze dan een beetje en trillen de atomen een beetje mee (fonon), maar gebeurt er verder niets. Het materiaal warmt een minuscuul beetje op. Soms bewegen de elektronen zoveel dat ze heel snel daarna die energie weer kwijtraken waardoor nieuwe fotonen gecreëerd worden die weer verder gaan. Voor ons is het materiaal dan ondoorzichtig; de fotonen die weer van dat materiaal af komen, komen dan in onze ogen terecht.
Zo. Dit was het in het kort. Als je beter wil weten hoe de vork in de steel zit, lees vooral verder!
Moleculen, atomen, elementaire deeltjes
Waarschijnlijk weet je dit al wel, maar voor de zekerheid, alsnog: alle vaste stoffen, vloeistoffen en gassen bestaan uit moleculen. Hieronder zie je een foto van een groepje zogenaamde pentaceen-moleculen die door Canadese onderzoekers is gemaakt[1]. Deze moleculen zijn niet in glas verwerkt, maar het geeft je een idee van hoe moleculen eruit kunnen zien.
Eén zo’n rupsje in de foto hierboven is dus een molecuul. Als ze sterk genoeg samengeklonterd zijn, vormen ze een vaste stof. Als ze toch langs elkaar kunnen bewegen, is het een vloeistof. En als ze heel veel kunnen bewegen ten opzichte van elkaar is het een gas.
Natuurlijk kunnen we het nog kleiner bekijken. Eigenlijk bestaan die moleculen namelijk weer uit atomen. Laten we daarom vooral even kijken naar een coole foto van één zo’n molecuul die Zwitserse natuurkundigen een natuurkundige van Universiteit Utrecht hebben weten te maken in 2009[2].
Je kunt hier misschien een vijftal zeshoekige vormen met uitsteeksels in zien. Op elke hoek en iedere uitsteeksel bevindt zich een atoom. De individuele atomen zie je dus niet – die zijn daar te klein voor. Maar je kunt wel de structuur goed zien die de aan elkaar vastliggende atomen met elkaar maken en zo het molecuul vormen.
Terug naar glas. Het glas in je slaapkamerraam bestaat uit een mix van verschillende soorten moleculen. Er zitten vooral een heleboel siliciumdioxide-moleculen in, een hoop natriumcarbonaat-moleculen, calciumoxide-moleculen, wat magnesiumoxide-moleculen en dan ook nog wat aluminiumoxide-moleculen. Hieronder zie je één zo’n siliciumdioxide-molecuul uitvergroot, maar dan in de vorm van een tekening.
Zien ze er in het echt ook zo uit? Nee, absoluut niet. Het is maar een model. In de wetenschap is een model puur een hulpmiddel en nooit een exacte kopie van de werkelijkheid. En toch gebruiken we modellen, want ze helpen ons om er toch enigszins een voorstelling van te kunnen maken waar je mee kunt werken. Je moet echter goed in het achterhoofd houden dat het model niet is zoals het molecuul er in het echt uitziet.
In (het model van) het siliciumdioxide-molecuul dat je hierboven ziet afgebeeld zijn drie atomen aanwezig: één siliciumatoom (grijs) en twee zuurstofatomen(beginfootnote)Een ander woord voor zuurstof is ‘oxide’. In het Engels is het ‘oxygen’. Beiden zijn afgeleid van een samenstelling van de oud-Griekse woorden voor ‘scherp’ (ὀξύς, oxús) en ‘geboorte’ (γένος, génos) en het Latijnse woordje voor ‘zuur’, namelijk acidus. En ‘di’ komt van het oud-Griekse woordje δίς (dís) dat ‘twee keer’ betekent. Omdat het molecuul uit twee zuurstofatomen bestaat, is de officiële scheikundige benaming van het molecuul dus siliciumdioxide.(endfootnote) (rood). Je vraagt je natuurlijk af wat die twee staafjes aan weerszijden betekenen. Die symboliseren de elektronen die de atomen met elkaar delen. Atomen kunnen aan elkaar blijven plakken als ze elektronen met elkaar delen. Het geeft kortom aan hoe sterk de binding is tussen de atomen. Meerdere staafjes = sterkere binding.
Ieder atoom bestaat natuurlijk uit nog weer enkele onderdelen. Op één atoom na(beginfootnote)het waterstofatoom(endfootnote) bestaan verder alle atomen uit drie soorten deeltjes: elektronen, protonen en neutronen. In de kern van een atoom zijn alle protonen en neutronen samengeklonterd. De elektronen zitten daaromheen in de vorm van een soort wolk. Omdat elektronen niet verder nog uit deeltjes bestaan, worden ze elementaire(beginfootnote)‘Elementair’ is afkomstig van het Latijnse woordje elementum. Het betekent onder andere zoiets als het ‘eerste principe’. Aan alles dat elementair is, ligt niets anders ten grondslag. Dat wat elementair is, vormt altijd de basis voor andere dingen.(endfootnote) deeltjes genoemd. Hieronder zie je een model van een atoom.
De kern met alle protonen en neutronen is zo klein dat we hem meestal tekenen als een puntje of een bolletje, maar als je die zou uitvergroten, zou je een klontje met protonen en neutronen kunnen zien. De gele wolk daaromheen is model voor één of meer elektronen. (Als je precies wil weten waarom een wolk model is voor één of meer elektronen, kun je Dit is geen atoom lezen.)
Het kan zijn dat een elektron verder van de kern af zit dan hier afgebeeld. Als een elektron bijvoorbeeld energie toegevoerd krijgt, dan springt het elektron verder af van de kern. Na een hele korte periode springt het elektron weer terug naar zijn oude positie rond de kern. En als het dat doet, verlaat die energie het atoom weer in de vorm van licht. Een van de manieren waarop het elektron energie verkrijgt, is lichtinval.
Licht
Wat is licht? Is het een golf, bestaat het uit deeltjes? Heel lang wisten natuurkundigen niet precies wat het was. Sinds de zeventiende eeuw woedde het grote debat tussen natuurkundigen die het eens waren met Sir Isaac Newton en natuurkundigen die het eens waren met Christiaan Huygens. Ik ben een beetje bang dat enkele natuurkundeleraren op scholen nog steeds denken dat het een groot raadsel is. Een van mijn natuurkundeleraren op de middelbare school was er nog steeds niet over uit of het nou deeltjes zijn of golven. Helaas voor hem is het sinds iets minder dan honderd jaar geleden eigenlijk al wel duidelijk.
Isaac Newton (links): licht = deeltjes (balletjes). Christiaan Huygens (rechts): licht = golven. Het juiste quantummechanische antwoord is: licht = een verstoring van het alom aanwezige elektromagnetische veld. Afhankelijk van wat handig is, gebruik je de wiskunde van klassieke golven of de wiskunde van fotonen (golfpakketjes, geen balletjes!) om ermee te werken. Natuurkundestudenten leren met beide te werken.
Ik ga je nu iets vertellen dat je niet snel op de middelbare school zult leren. Ik weet niet waarom dat zo is, maar misschien is het omdat de schrijvers van lesboeken vinden dat de wiskunde die erbij hoort te moeilijk is. Wat je hier gaat lezen is ongeveer wat je onder andere op de universiteit zal leren als je natuurkunde gaat studeren, maar dan zonder de wiskunde.
Het probleem is vooral dat de vraagstelling verkeerd is: ‘golf of deeltje’ suggereert dat het één van de twee is. Dat is onjuist. De vraag moet eigenlijk zijn: wat is licht? Het antwoord is dan: een veld(beginfootnote)In de wiskunde noemen we het een ijkveld. In het Engels noemen we dat een gauge field. Het is heel abstracte wiskunde. Maar hoe abstract het ook is, het blijkt immens praktische toepassingen te hebben. Zo hadden mobiele telefoons niet bestaan zonder deze abstracte wiskunde.(endfootnote), eigenlijk een van de vele soorten velden die in ons universum aanwezig zijn en in dit geval is dat ’t elektromagnetische veld, en om heel precies te zijn: licht is een verstoring van dat elektromagnetische veld. Je kunt die verstoring beschouwen als een golf maar ook als een deeltje, afhankelijk van wat handiger is.
Bovendien, in de moderne natuurkunde is de betekenis van het woord ‘deeltje’ anders dan je normaal zou verwachten. In de natuurkunde is een deeltje eigenlijk een pakketje, een golfpakketje. Het is dus geen kogeltje, een klein balletje of zelfs een punt. Het is een pakketje met informatie dat we wiskundig als een golfje (een verstoring) beschrijven.
Richard Feynman was een belangrijke, Nobelprijswinnende natuurkundige die enorme bijdragen heeft geleverd aan de quantumelektrodynamica.
Volgens een van de beste theorieën van het universum die we nu hebben, de zogenaamde quantumelektrodynamica(beginfootnote)‘Quantum’ is van oorsprong een Latijns woord dat ‘hoeveel’ betekent. Natuurkundigen gebruiken het in de betekenis van ‘deeltje’. Het meervoud is quanta. In Engelstalige landen worden ze precies zo genoemd, one quantum, two or more quanta (of gewoon particle/particles). In Nederland was de officiële spelling vroeger ‘kwantum’ en ‘kwanta’. Tegenwoordig mogen we het ook met een q schrijven. Mijn voorkeur gaat uit naar quantum en quanta. ‘Elektro’ verwijst naar de samenhang met elektriciteit en ‘dynamica’ komt uit het Grieks (δυναμικός, dunamikós, ‘krachtig’) en duidt erop dat de theorie krachten en veranderingen beschrijft.(endfootnote) (QED), is het hele universum doordrenkt met een meestal onzichtbaar – maar soms dus wel degelijk zichtbaar! – elektromagnetisch veld. In de meeste gevallen doet dat veld helemaal niets. Je voelt het niet, je ruikt het niet, je ziet het niet.
Echter, als het elektromagnetisch veld op een bepaalde plek in het universum wordt verstoord – bijvoorbeeld aan de binnenkant van een LED-lamp in jullie toilet – dan rolt die verstoring meestal alle kanten op, vanaf die bepaalde plek in het universum naar de rest van het universum – in dit geval de ruimte van jullie toilet. En die verstoring zie je! Ik weet niet hoe jullie slang, kat en kippen die verstoring noemen, maar mensen noemen die dus licht.
Albert Einstein
Als je enorm zou kunnen inzoomen met je ogen, zou je echter zien dat het licht eigenlijk uit miljarden en miljarden en miljarden ienieminiverstoringen bestaat. Licht is eigenlijk een bundel met ienieminiverstoringen van het alom aanwezige elektromagnetisch veld. Die ienieminiverstoringen werden vroeger door onder andere Albert Einstein ‘lichtquanta’ genoemd, maar sinds 1928 noemen we ze fotonen(beginfootnote)Dat komt dan weer van het oud-Griekse woordje φῶς, phôs, dat ironisch genoeg dan wel weer ‘licht’ betekent.(endfootnote). In populaire boeken en magazines worden ze ‘deeltjes’ genoemd en zelfs ook door natuurkundigen. Maar nogmaals, eigenlijk zijn het dus geen kleine balletjes of kogeltjes of iets dergelijks. Het woord ‘deeltje’ geeft alleen maar aan dat het iets kleins is, maar zegt het verder niets over hoe het eruit ziet. Als model wordt wel vaak een balletje of puntje gebruikt, maar, wederom, dat is dus niet wat het is noch hoe het eruit ziet. Fotonen zijn overigens net als elektronen elementair.
Op de middelbare school en op de universiteit wordt ook wel een golfmodel gebruikt om licht te beschrijven en ermee te rekenen. De grote wis- en natuurkundige James Clerk Maxwell was een van de grondleggers van het wiskundige raamwerk voor het golfmodel voor het licht. Hij en anderen voor hem hebben ervoor gezorgd dat we ook vandaag de dag nog vaak van ‘lichtgolven’ spreken, in plaats van fotonen. De klassieke elektromagnetische theorie van Maxwell werkt zo goed dat het verplichte leerstof is voor natuurkundestudenten. Daarom is het ook helemaal niet verkeerd om te spreken van lichtgolven.
James Clerk Maxwell
In de twintigste eeuw ontdekten natuurkundigen echter dat de quantumelektrodynamica meer fenomenen wist te voorspellen en te verklaren dan Maxwells klassieke elektromagnetische theorie, dus die eerste heeft die laatste min of meer vervangen. Anders gezegd, Maxwells theorie kun je op veel gebieden nog steeds prima toepassen in de industrie, maar met QED kun je zowel wat Maxwells theorie kan plus nog heel wat meer.
Zo gaat dat vaak in de natuurkunde. De zwaartekrachtwet van Sir Isaac Newton werkt bijvoorbeeld uitstekend. Je kunt het zelfs toepassen voor landingen op Mars. Maar met de zwaartekrachttheorie van Albert Einstein, de zogenaamde algemene relativiteitstheorie, kun je wat Newtons theorie kan en nog veel meer, en behoorlijk wat preciezer ook nog. Dus de algemene relativiteitstheorie heeft Newtons zwaartekrachtwet min of meer vervangen. En toch is die laatste verplichte leerstof op de middelbare school en op de universiteit. Hij is namelijk niet fout, hij is zelfs zeer bruikbaar! Maar hij kent dus ook zijn beperkingen. Daarom leren we eerst Newtons zwaartekracht en daarna leren natuurkundestudenten pas over Einsteins zwaartekracht. Zonder Einsteins algemene relativiteitstheorie hadden Google Maps en routeplanners met GPS-systemen bijvoorbeeld nooit goed gewerkt.
En daarom leren natuurkundestudenten eerst alles over Maxwells golftheorie en pas aan het einde van hun studie over quantumelektrodynamica. Zonder quantumelektrodynamica had je nooit computerchips gehad, geen internet, geen mobiele telefoons, geen touchscreens.
Licht en energie
De grote natuurkundige Max Planck bedacht dat ieder foton een bepaalde hoeveelheid energie had. Hij bedacht ook dat bij ieder energieniveau het licht een andere kleur heeft. Zo heeft felblauw licht meer energie dan diepdonkerrood licht. En soms heeft het licht (= hebben de fotonen) zoveel energie dat ze onzichtbaar zijn voor menselijke ogen. Zo is het hoog-energetische ultraviolet(beginfootnote)‘Ultra’ is Latijn voor ‘voorbij’. Met andere woorden, ultraviolet betekent eigenlijk voorbij het violet.(endfootnote) licht (UV-licht) onzichtbaar voor ons. Maar als je ogen veel gevoeliger waren dan ze nu zijn, zou je dus een enorm fel ‘violetter-dan-violetkleurig’ licht kunnen zien. En omgekeerd heeft het licht soms heel weinig energie. Zo weinig zelfs dat het licht voor ons niet eens meer diepdonkerrood is, maar onzichtbaar. Zo is infrarood(beginfootnote)‘Infra’ is Latijn voor ‘beneden’. Dus infrarood is ‘beneden’ of ‘minder dan’ rood.(endfootnote) licht onzichtbaar voor ons, maar als onze ogen iets gevoeliger zouden zijn, zouden we dus ‘minder-rood-dan-roodkleurig’ licht kunnen zien.
Dit vrolijk ogend heerschap was een natuurkundige, Nobelprijswinnaar en een genie. Zijn naam was Max Planck. Dit is een foto uit 1933.
WiFi en 4/5G zijn ook licht. De fotonen hebben maar heel weinig energie als je het vergelijkt met de fotonen in jullie toilet. Als onze ogen duizenden keren gevoeliger waren dan ze nu zijn, zou je hebben gezien dat de antennes in de WiFi-router en de mobiele telefoons eigenlijk lampjes zijn die ‘minder-rood-dan-minder-rood-dan-minder-rood-dan-(duizenden keren ‘minder-rood-dan’)-roodkleurig’ licht zouden verspreiden.
Het elektromagnetische veld dat ons hele universum bestrijkt kan dus op allerlei energieniveaus verstoord worden. En afhankelijk van het energieniveau ‘oogt’ het licht anders. Het heeft een andere kleur of – en in de meeste gevallen is dat zo – het is onzichtbaar. Onze ogen zijn niet de gevoeligste instrumenten om iets mee te zien. Van alle mogelijke energieniveaus die het elektromagnetische veld kan aannemen, zien we er maar een paar. Dat gedeelte noemen we het zichtbare licht.
Een ander woord voor verstoringen in het elektromagnetisch veld is elektromagnetische straling. En afhankelijk van het energieniveau van die straling hebben we weer andere termen voor die straling, zoals ‘radioactieve straling’ of ‘gammastraling’. Maar al deze verschillende vormen – het licht in jullie toilet, de WiFi in huis, 4/5G voor je mobiele telefoon, de koplampen van de auto, de radiogolven van de buurman, de Bluetooth-speaker van je ouders, de röntgenfoto’s bij de tandarts, de magnetron – zijn allemaal licht, zijn allemaal elektromagnetische straling, zijn allemaal verstoringen van hetzelfde elektromagnetisch veld. Het enige verschil is het energieniveau van die verstoring.
De juiste volgorde van heel weinig naar levensgevaarlijk veel energie is als volgt: radio, WiFi, magnetron(beginfootnote)Als je wil weten of magnetronstraling dodelijk is, lees dan mijn artikel Is straling van magnetrons schadelijk voor de gezondheid? eens.(endfootnote), 4/5G >> infrarood licht (afstandsbediening tv) >> zichtbaar licht (toiletlamp, discolampen) >> UV-licht (nu moet je voorzichtig zijn, goed insmeren in de zomer) >> röntgenstraling (alleen toegepast door professioneel medisch personeel) >> gammastraling (dodelijk, behalve voor Bruce Banner) >> kosmische straling (dodelijk, behalve voor Captain Marvel).
Omdat de meeste elektronen in de muren van het huis nauwelijks reageren op elektromagnetische verstoringen (fotonen) met het energieniveau van WiFi (heel weinig energie), zijn de muren voor WiFi-fotonen bijna transparant. Daarom ontvang je gewoon WiFi dwars door de muren heen. Als je ogen dus gevoelig genoeg waren, zou je het licht van de router dwars door de muren heen kunnen zien. Maar diezelfde elektronen reageren wel op fotonen met het veel hogere energieniveau dat overeenkomt met het zichtbare licht. Daarom vliegen die fotonen niet dwars door de muur heen. En daarom vinden wij dat muren ondoorzichtig zijn. Echter reageren diezelfde elektronen juist weer niet bij het nog weer veel en veel hogere energieniveau dat past bij röntgenstraling. Dit is precies de reden waarom muren wel weer doorzichtig zijn voor Superman.
Afhankelijk van de samenstelling van de moleculen en atomen reageren elektronen op fotonen van verschillende energieniveaus. Als de elektronen van het betreffende materiaal niet reageren op de fotonen die op het energieniveau zitten van het voor ons zichtbare licht, is het materiaal voor ons doorzichtig.
Hieronder zie je een schema van het volledige spectrum(beginfootnote)‘Spectrum’ is Latijn voor ‘verschijning’. Dus als je over het spectrum spreekt van iets, zoals elektromagnetisme, dan doel je op alle verschijningsvormen ervan.(endfootnote) van elektromagnetische straling (klik erop om uit te vergroten). Zoals je ziet is maar een klein gedeelte zichtbaar voor ons.
Een diagram (niet op schaal) van elektromagnetische straling, of fotonen, zo je wilt. De genoemde waarden zijn de frequenties van de fotonen uitgedrukt in gigahertz (GHz). Hoe hoger de frequentie, des te hoger de energie van het foton.
GHz verwijst naar de frequentie van het foton en is een maat voor de hoeveelheid energie die ieder foton bezit. Hoe hoger de frequentie des te hoger de energie. De ultraviolette straling begint op een gegeven moment gevaarlijk te worden voor ons. Dat is het moment waarop onze lichaamscellen beschadigd raken (‘DNA damage’). Zolang je niet te lang in de zon ligt en zolang het nemen van röntgenfoto’s maar heel kort duurt, is er nog niets aan de hand. Maar wees er voorzichtig mee! Nogmaals, gammastraling en kosmische straling zijn dodelijk. Ik begrijp dat je het misschien niet prettig en comfortabel vindt zitten, maar alsjeblieft, luister naar je ouders als je een ruimtewandeling gaat maken. Trek gewoon je ruimtepak aan.
Beïnvloedbare elektronen
Natuurkundigen zoals Albert Einstein ontdekten in de vorige eeuw dat elektronen beïnvloed kunnen worden door invallende fotonen(beginfootnote)Daar kreeg hij de Nobelprijs voor. Lees meer daarover in mijn artikeltje De formule die Albert Einstein de Nobelprijs bezorgde en ons ervan zou moeten weerhouden de huid te verbranden.(endfootnote). Het hangt echter wel heel erg af van hoe die elektronen gevangen zitten in de moleculen – en dat hangt weer af van de soort atomen waaruit die moleculen zijn opgebouwd – bij welk energieniveau van die fotonen de elektronen reageren.
Bij glas is het zo dat de elektronen de elektromagnetische verstoringen wel een heel klein beetje voelen. Daardoor gaan de elektronen toch een heel klein beetje anders bewegen dan ze normaal gesproken doen. Die beweging zorgt ervoor dat er weer een verandering plaatsvindt in het deel van het elektromagnetische veld dat zich in het glas bevindt. En die verandering in het elektromagnetische veld zorgt er dan weer voor dat de fotonen (de invallende verstoringen van datzelfde elektromagnetische veld) toch iets afbuigen.
Daarom zie je toch vaak een vertekend beeld als je door glas heen kijkt of als lichtstralen van lucht naar water overgaan (want water bevat ook elektronen die reageren op invallende fotonen). De elektronen reageren niet genoeg waardoor de fotonen er wel gewoon dwars doorheen gaan, maar reageren wel net genoeg om de koers van de fotonen iets te wijzigen. Of een heleboel te wijzigen, zoals je in het water kunt zien in de foto hierboven. In mijn artikel Waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking? duiken we in de materie.
Waarom is glas doorzichtig?
Kortom, glas is doorzichtig omdat de elektronen in glasmoleculen niet in staat zijn om heel erg te reageren op invallende elektromagnetische verstoringen (fotonen). Wel iets. Dus ze veranderen wel een beetje de koers van de fotonen.
Er zijn stoffen waarin de elektronen op alle energieniveaus van invallende fotonen reageren behalve bij de energieniveaus van blauw licht bijvoorbeeld. Van blauw licht worden ze niet warm of koud. Dat betekent dus dat het blauwe licht gewoon dwars door het materiaal heen gaat terwijl de rest bijvoorbeeld wordt tegengehouden. Voor ons lijkt het dan dat het materiaal een blauw filter is.
Je kunt ook materialen fabriceren waarin de elektronen ontzettend sterk reageren op de fotonen van al het zichtbare licht. Zo sterk zelfs dat de fotonen weer volledig teruggekaatst worden. Wij zien het materiaal dan als reflecterend. En als die reflecterende werking optimaal is, noemen we het een spiegel.
Let op, we hebben het hier vooral over de fotonen die wij kunnen zien. Voor ons mensen is het meeste glas doorzichtig. Toch kunnen we een bepaald type glas maken die de voor ons zichtbare fotonen (zichtbaar licht dus) doorlaten, terwijl er vogelsoorten zijn die datzelfde glas ervaren als iets dat veel minder doorzichtig is.
Wij kunnen bijvoorbeeld UV-licht niet meer zien. Vogels nog wel. Als de ramen zodanig worden gefabriceerd dat ze UV-licht niet doorlaten, maar voor ons zichtbaar licht wel, zijn de ramen dus veel minder doorzichtig voor vogels en knallen ze er niet tegenaan.
Dus eigenlijk zou het antwoord op de vraag, ‘En als alle materialen uit moleculen bestaan, hoe kan het dan dat de moleculen van glas doorzichtig zijn en andere niet?’, een wedervraag moeten zijn: ‘Doorzichtig voor wie? Voor vogels? Of voor mensen?’
Referenties
[1] Dinca, L. E. et al. (2015) “Pentacene on Ni(111): Room-Temperature Molecular Packing and Temperature-Activated Conversion to Graphene,” Nanoscale, 7(7), pp. 3263–3269. doi: 10.1039/C4NR07057G.
[2] Gross, L. et al. (2009) “The Chemical Structure of a Molecule Resolved by Atomic Force Microscopy,” Science, 325(5944), pp. 1110–1114. doi: 10.1126/science.1176210.
Zoals vaker met wetenschappelijke kreten in het dagelijks spraakgebruik, in boeken, in de bios, op tv en op internet – zoals energie – is het zelden dat het woord dimensie hetzelfde betekent als wat wis- en natuurkundigen menen dat het betekent. Het is zeer waarschijnlijk dat je wel eens de woorden ‘hogere’ of ‘andere dimensies’ hebt gezien of gehoord. Het is zelfs niet ondenkbaar dat je zelf die woorden wel eens gebezigd hebt. In deze aflevering verkennen we wat wis- en natuurkundigen bedoelen als ze het over ruimten en dimensies hebben.
Dimensies zijn geen universums
In sciencefiction en in het alledaagse spraakgebruik is het woord ‘dimensie’ vaak synoniem aan complete werelden, een (konink)rijk of pocket universes. Zo zijn buitenaardse wezens afkomstig van een andere dimensie. En zielen en/of ‘essenties’ bestaan op een ‘hoger bestaansniveau’ in een ‘andere dimensie van de realiteit’.
Regelmatig worden poorten naar andere dimensies geopend via welke exotische materie en energie worden getransporteerd waar de held of de slechterik van het verhaal gebruik of misbruik van maakt.
Het is ook een favoriete manier om grote afstanden binnen onze realiteit mee af te leggen. Je springt door een dimensionale poort en je springt duizend kilometer verderop door een andere poort. Soms kun je ook tijdreizen via andere dimensies.
En, uiteraard, kunnen dimensies ook binnen onze eigen realiteit worden opgeroepen. En soms zijn die dimensies eigenlijk al aanwezig, maar dan moeten ze alleen nog even zichtbaar gemaakt worden door een krachtige geest. Dit verwijst wederom naar dimensies als een complete wereld die verborgen is binnen onze wereld.
Figuur 1. Doctor Stephen Strange (Benedict Cumberbatch) staat op het punt om in de Mirror Dimension te stappen die was opgeroepen in (of naast) onze realiteit door zijn mentor, de Ancient One (Tilda Swinton) in de film Doctor Strange (2016) van de immens populaire Marvel Cinematic Universe (MCU). Licentie-noot. (Klik om uit te vergroten.)
Deze hele paragraaf was enkel bedoeld om je te laten weten dat wat met dimensies wordt bedoeld in de meeste sciencefiction niet hetzelfde is als wat er in de wiskunde en de natuurkunde mee wordt bedoeld. Het zijn geen rijken, realiteiten, werelden of pocket universes. Als rijken, realiteiten, werelden en pocket universes bedoeld worden, dan zijn dat precies de juiste woorden ervoor.
Normale ruimten en dimensies
Wat bedoelen wis- en natuurkundigen dan als ze het hebben over dimensies?
Vaak verwijzen ze naar echte richtingen waarin je kunt reizen in de normale ruimte. Vooral vogels en vissen zijn prachtige voorbeelden van wezens die zich van nature in alle richtingen van de ruimte kunnen voortbewegen.
Ze kunnen van links naar rechts en omgekeerd (eerste richting). Ze kunnen recht op je af komen en hun reis voortzetten achter je en omgekeerd (tweede richting). En natuurlijk kunnen ze ook van onderen aan komen zetten en doorgaan tot ver boven je schedel en vice versa (derde richting).
Vaak zijn de drie genoemde richtingen haaks op elkaar georiënteerd. Het zijn zogeheten orthogonale richtingen. Alle beweging kan beschreven worden als een combinatie van bewegingen in deze drie orthogonale richtingen, oftewel orthogonale dimensies.
Op de middelbare school hebben we uitbreid kennisgemaakt met deze drie dimensies. We werden geplaagd met het vinden van afstanden tussen hoekpunten van een kubus langs de randen, de zijvlakken of dwars door het blok. Moderne gadgets en bioscopen gebruiken in dit verband natuurlijk ook de term 3D, driedimensionaal. Zij gebruiken of simuleren de drie orthogonale dimensies op een virtuele of fysieke manier voor ons entertainment.
In wiskundig opzicht levert de mogelijkheid van reizen (of ‘transporteren’) langs deze drie orthogonale richtingen automatisch een ruimte op, een topologie, in een of andere vorm.
Dus, hoewel dimensies ruimten met zich meebrengt, zijn ze niet identiek. En hoewel uit één dimensie technisch gezien een topologie, een ruimte, voortkomt, is het nog steeds een ééndimensionale ruimte waar driedimensionale lichamen niet kunnen leven zonder uit elkaar getrokken te worden.
Figuur 2. In onze normale ruimte hebben we drie dimensies in de $x$-richting, de $y$-richting en de $z$-richting. Op de middelbare school moesten we bijvoorbeeld de afstand tussen de punten $O$ en $F$ berekenen.
Euclides en Descartes
Een informele definitie van dimensies is het aantal coördinaten dat nodig om een object te lokaliseren (in een of andere ruimte). Dus op een plat oppervlak (een vlak) zoals een plafond heb je twee coördinaten nodig om een vlieg te lokaliseren. Een vlieg kan 2 meter van de linkermuur verwijderd zijn (de eerste richting) en 3 meter van de muur tegenover je (de tweede richting, haaks op de eerste richting). De coördinaten van de vlieg zijn dus (2,3). En dus is een vlak tweedimensionaal.
In de normale, driedimensionale ruimte hebben we drie coördinaten nodig om een vlieg in een kamer te lokaliseren. Een vlieg kan 2 meter van de linkermuur verwijderd zijn, 3 meter van de muur tegenover je en 1,5 meter van de vloer. Zijn coördinaten zijn daarom (2;3;1,5). We gebruiken nu de puntkomma om de coördinaten van elkaar te scheiden omdat we de komma al voor decimalen gebruiken.
Dit was een van de grote inzichten van René Descartes terwijl hij nog tot laat in de middag in bed lag, zo gaat het verhaal althans. Daarom worden deze coördinaten Cartesische of Cartesiaanse coördinaten genoemd. Descartes speelde een sleutelrol in de ontwikkeling van wat we nu het Cartesisch coördinatenstelsel noemen.
Ik denk dat gesteld kan worden dat Euclides en Descartes er schuldig aan zijn dat wiskundeleraren in staat zijn gesteld om ons te plagen met honderden wiskundesommen waarmee we de Euclidische ruimte met twee- en driedimensionale Cartesische coördinatenstelsels moesten leren kennen.
Figuur 3. Het huis van Descartes in Utrecht, waar hij delen van zijn beroemde Discours de la Méthode schreef. Het huis staat er niet meer. Tegenwoordig ziet het er heel anders uit. (Klik op het plaatje voor de link naar de originele Instagrampost waar je ook naar de foto kan swipen van hoe het er tegenwoordig uitziet. Opent een nieuw tabblad.)
Ruimte en tijd
In de echte wereld, naast een locatie in de normale ruimte, is het ook nodig dat je aangeeft wanneer. Alleen de mededeling dat je ergens in een kantoor op de kruising van twee straten moet zijn, op de vierentwintigste verdieping (dat zijn de drie dimensies in de normale ruimte in een klap), is eigenlijk niet genoeg. Je mist nog een tijdcoördinaat. Wanneer moet je daar zijn?
Een van mijn favoriete boeken is Slaughterhouse-Five, or The Children’s Crusade: A Duty-Dance with Death van Kurt Vonnegut. Het meldt het bestaan van de Tralfamadorians die ‘vriendelijke waren’ en ‘in vier dimensies konden zien’. Tevens voelden ze ‘medelijden voor de aardlingen die er slechts drie kunnen zien’. Zij waren in staat om alle gebeurtenissen tegelijk te aanschouwen.
Einstein noemde het feit dat je op een bepaald tijdstip op een bepaalde plek moest zijn een gebeurtenis. Met andere woorden, waar we in de normale ruimte met Cartesische coördinaten over een positie spraken, gaf Einstein het inzicht dat er nu enkel over gebeurtenissen gesproken moet worden in termen van ruimte en tijd, de ruimte-tijd, met gebruikmaking van ruimte-tijdcoördinaten.
Toen Einstein de speciale relativiteitstheorie introduceerde, realiseerde de Duitse wiskundige Hermann Minkowski dat de theorie geometrisch ook begrepen kan worden in de vierdimensionale ruimte-tijd, waarin tijd de vierde dimensie vormt. We noemen deze ruimte de Minkowski-ruimte. Merk op dat we het woord ‘ruimte’ nu breder zien: het omspant niet alleen de normale ruimtelijke dimensies maar ook een tijd-dimensie (en is, om technische redenen, niet langer Euclidisch).
Overigens, een ander woord dat wis- en natuurkundigen vaker gebruiken is variëteit in het Nederlands en manifold in het Engels. Een variëteit is een topologisch object dat verschillende vormen kan aannemen, zoals een tweedimensionaal vlak, een driedimensionale, Euclidische ruimte, een vierdimensionale Minkowski-ruimte of ieder andere wiskundige ruimte.
In Einsteins algemene relativiteitstheorie (zwaartekracht) gebruiken we nog steeds een vierdimensionale ruimte-tijd behalve dan dat de vorm niet langer Minkowskiaans is. Deze ruimte is vervormd, gekromd, geplooid en uitgerekt. Binnen de beste theorie van de zwaartekracht die we tot nu toe hebben, werken we met de zogenaamde pseudo-riemann-variëteit, vernoemd naar de grote Duitse wiskundige Bernhard Riemann. De dimensies zijn nog steeds alle richtingen die je op kan gaan, oftewel het minimum aantal coördinaten benodigd om een gebeurtenis te lokaliseren. Echter hier zijn de dimensies niet noodzakelijkerwijs orthogonaal georiënteerd ten opzichte van elkaar.
Figuur 4. In de film Interstellar (2014) toonde de regisseur Christopher Nolan een object dat iets met ruimte en tijd van doen had. Als je de film nog niet gezien hebt en je wilt dat nog steeds doen, lees dan deze voetnoot niet: (beginfootnote)Astronaut Jospeh Cooper (Matthew McConaughey) bevindt zich in deze ruimtelijke representatie van ruimte-tijd. Alle vier dimensies van specifieke gebeurtenissen in een specifieke kamer in het verleden, het heden en de toekomst – opgedeeld in hanteerbare brokken tijd – zijn als het ware uitgespreid, geprojecteerd, over een object (een Tesseract genaamd) dat zich in het binnenste van een zwart gat bevindt (waar de rollen van ruimte en tijd zijn omgedraaid). Cooper kan zich vrijelijk door dit object voortbewegen. Dit stelt hem in staat om informatie door te sijpelen in de gebeurtenis naar keuze, in de kamer op een bepaald tijdstip. In het filmbeeld hierboven zie je vele instantiaties van dezelfde kamer van zijn huis met daarin zijn dochter, op verschillende momenten van de tijd.(endfootnote). Licentie-noot.
Vier normale, ruimtelijke dimensies
Stel je een Pac-Man voor die op het oppervlak van een bol leeft. Voor hen is de wereld plat. Als die alsmaar rechtdoor zou blijven gaan zou die behoorlijk verrast kunnen zijn als zou blijken dat die is teruggekeerd op de plek waar die begon.
Figuur 5. Stel dat je zo plat was als een Pac-Man, reizende over wat een plat vlak lijkt. Je zou waarschijnlijk verrast zijn te ontdekken dat je uiteindelijk zou eindigen waar je begon. Als je geen kennis had van de driedimensionale idee van een bol – of een cirkel, wat dat betreft – zou je niet beter weten dan dat je traject plat en recht is. Stel je voor als we iets soortgelijks in ons universum zouden doen. Wat zou er gebeuren als we miljarden jaren rechtuit zouden vliegen in ons ruimteschip? Zouden we dan ook eindigen waar je begonnen? Zou het universum dan een soort hypersfeer(beginfootnote)Technisch is het een 3-sfeer, of een n-sfeer, waarbij $n=3$ en de ruimte waarin het leeft is dan $n+1.$(endfootnote) kunnen zijn?
Wij, driedimensionale wezens die de meesten van ons zijn, zien de Pac-Mans als kleine vormpjes met kleine oppervlakjes omdat we hen ‘van boven’ zien, vanuit de derde dimensie. We kunnen tevens zien hoe ze reizen rond het oppervlak van de bol. Ze weten niet wat een sfeer is (een sfeer is enkel het oppervlak van een bol, niet de binnenkant ervan). Ze denken alleen aan platte oppervlakken. Voor ons is het vanzelfsprekend dat ze terugkeren naar de plek waar ze de reis begonnen.
Terug naar onze 3D-wereld. Stel je voor dat we met een ruimteschip door het heelal zouden reizen. In een rechte lijn. Alsmaar rechtdoor. Stel je voor dat we na miljarden jaren weer precies uitkwamen waar we ooit startten: aarde. Wat zou er gebeurd zijn? Zou ons universum misschien zoals een sfeer zijn, maar dan vierdimensionaal?
Hoewel nog geen enkel experiment het bestaan van een vierde ruimtelijke dimensie heeft aangetoond (laat staan een vijfde of een zesde etc.), is zeer vermakelijk om je in een vierdimensionale wereld te verdiepen en er wat langer over na te denken.
Voor alle duidelijkheid: tijd is hier niet de vierde dimensie. Hier hebben we het louter over ruimtelijke dimensies. Het komt vaak voor dat deze twee verward worden: vierdimensionale ruimte-tijd is drie ruimtelijke dimensies plus een tijd-dimensie, terwijl een vierdimensionale ruimte uit vier ruimtelijke dimensies bestaat, zonder tijd.
Abstracte ruimten
Er is nog een manier waarop dimensies en ruimten worden gebruikt door wis- en natuurkundigen. Stel je een object voor dat verschillende eigenschappen tegelijk heeft: een positie (in de normale ruimte), beweging, bewegingsrichting, temperatuur, kleur. Om de toestand van dit object te beschrijven heb je meer dan alleen de vier ruimte-tijdcoördinaten nodig. Stel dat die (0,1,1,1) zijn. Oftewel, het bestaat op tijd $t = 0$ op positie $(x = 1; y = 1; z = 1).$
Hebben we nu de toestand van het hele object beschreven? Nee, we missen nog wat kengetallen. Het is in beweging, dus het heeft een snelheid, zeg 10 m/s. Die snelheid heeft ook een richting. Laat dit naar links zijn. Dan schrijven we op dat de snelheid dus -10 m/s is (links is meestal negatief, rechts meestal positief).
Stel dat de temperatuur 273,15 Kelvin is. Dat is 0 ℃. En de kleur is wit. Hoeveel getallen hebben we dan nodig om de volledige toestand van het object te beschrijven? Zeven (we tellen ‘wit’ even als een getal).
De coördinaten (0;1;1;1;-10;273,15;wit) horen bij wat we een faseruimte noemen, een abstracte ruimte waar de eigenschappen van een object de dimensies vormen van een ruimte. In dit voorbeeld is de faseruimte zevendimensionaal. Natuurlijk is het onmogelijk je zoiets voor te stellen, maar in wiskundig opzicht kun je er prima mee werken.
We hebben een wat ongebruikelijk voorbeeld genomen om te benadrukken dat dimensies niet altijd gerelateerd hoeven te zijn aan ruimtelijke en tijd-dimensies. Niettemin is het vrij gebruikelijk dat faseruimten in de context van positie en impuls worden gebruikt.
Figuur 6. Een van de mogelijke trajecten door de faseruimte rondom een zogenaamde Lorenz-aantrekker, een oplossing van een Lorenz-oscillator die Edward Lorenz ontwikkelde om atmosferische convectie te modelleren. De kleur van de oplossing wisselt van zwart naar blauw over de tijd. Het zwarte puntje toont een deeltje dat langs de oplossing beweegt over de tijd. Het driedimensionale pad in de faseruimte wordt geroteerd om de structuur van de oplossing te tonen.
Een ander voorbeeld van een abstracte ruimte is een zogenaamde vectorruimte waar iedere coördinaat niet slechts een punt is in die ruimte maar ook een richting in zich draagt. Een voorbeeld van zo’n ruimte is de snelheid van de wind. Ieder punt in die ruimte heeft niet alleen een waarde met betrekking tot de luchtsnelheid maar ook met betrekking tot de richting ervan in de normale ruimte.
In een vorige post, Complexe getallen: een inleiding, werd een geheel nieuwe getallenlijn geïntroduceerd. Alle ruimten die we zojuist noemden zouden net zo goed complexe dimensies kunnen bevatten. En dat is meestal het geval zoals in de quantummechanica bijvoorbeeld. Complexe, abstracte vectorruimten met complexe getallen waar golffuncties feesten. De Hilbertruimte is dan meestal de place to be!
Het Standaardmodel van de deeltjesfysica is gebaseerd op de symmetrische transformatiegroepen in de complexe ruimte, genaamd SU(3) $\times$ SU(2) $\times$ U(1). De S staat voor special en verwijst naar alle mogelijke transformaties in de complexe ruimte met uitzondering van een enkele soort. U(1) refereert aan een eendimensionale, eenheidscirkelgroep in het complexe vlak. De getallen geven het aantal dimensies aan waarin de transformaties plaatsvinden. De dimensionaliteit van de abstracte, complexe ruimte die volgt uit een symmetriegroep zoals SU(3) is $3^2 -1 = 8.$ Zoals je kunt zien, zijn dimensies vergeleken met het alledaagse spraakgebruik heel andere dingen in wetenschappelijke context.
Algemeen gesteld is iedere variëteit een ruimte. Dit hoeft niet per se ruimtelijke ruimte te betreffen. Het minimum aantal benodigde dimensies om een pad naar een punt op deze variëteit te construeren is de dimensionaliteit van deze ruimte.
Er zijn zoveel meer typen wiskundige ruimten dat het er te veel zijn om op te noemen. Laten we volstaan met te stellen dat hoewel ze niets van doen hebben met normale ruimte, onze alledaagse leefruimte, waar we met z’n allen in rondzwerven, deze ingenieuze vondsten wiskundige gereedschappen vormen om voorspellende berekeningen mee uit te voeren die wél weer betrekking hebben op fenomenen in onze wereld.
Snaartheorieën
Een interessante eend in de bijt is de snaartheorie, of liever, snaartheorieën. Als je de premisse accepteert dat een elementair deeltje zoals een elektron eigenlijk een eendimensionale snaar is, die op specifieke wijze trilt, corresponderend met een hele collectie eigenschappen (van het elektron bijvoorbeeld), dan zijn er automatisch meer dan drie ruimtelijke dimensies nodig om alle verschillende soorten deeltjes op deze manier te kunnen beschrijven. Snaren hebben een voldoende hoeveelheid vrijheidsgraden nodig om te kunnen bewegen op unieke manieren opdat de hele dierentuin aan deeltjes en hun eigenschappen bestreken kunnen worden.
Figuur 7. De fundamentele bouwstenen van het hele universum volgens de snaartheorie. Hoewel de theorie wiskundig consistent is, kan het (nog) niet bewezen worden.
In verschillende versies van de snaartheorieën zijn verschillende aantallen dimensies benodigd. Deze zijn ruimtelijk en onzichtbaar. Aangezien we ze niet ervaren, wordt gedacht dat ze ontzettend klein en opgerold zijn. Ze zijn althans niet zo uitgestrekt als onze normale drie dimensies.
Of dat ze zo groot zijn dat ze ons simpelweg niet merkbaar in de weg zitten. Net als hoe de kromming van de aarde ons ook totaal niet opviel toen we nog zo klein waren en de aarde zo groot, vergeleken met onze actieradius van toen.
Helaas kan de theorie nog niet getest worden. Tot nu toe is het een puur wiskundige exercitie. Hoewel veel ontdekkingen gedaan zijn in pure wiskunde, geen experiment heeft de snaartheorie bewezen (in al zijn hoedanigheden en ik reken nu de supersnaartheorieën en M-theorie hier ook onder, ook al ligt de hiërarchie andersom). Geen extra dimensies zijn gevonden.
Een eervolle vermelding verdient de Calabi-Yau-variëteit of de Calabi-Yau-ruimte. In de supersnaartheorie wordt het verondersteld de voor de theorie benodigde zes onzichtbare, extra dimensies te bevatten. De variëteit is drie-complex-dimensionaal of zes-reëel-dimensionaal. Ik vind het een cool ding.
Niets van dit alles is bewezen; het lijkt erop dat we nu eenmaal vastzitten aan de driedimensionale ruimte met slechts een tijd-dimensie. En, als je het mij vraagt, is het waarschijnlijk dat de driedimensionale ruimte een bijproduct is van iets quantumachtigs.
Figuur 8. Een Calabi-Yau-variëteit, vernoemd naar Eugenio Calabi en Shing-Tung Yau. Het is een complexe ruimte met complexe dimensies. Het brengt toepassingen in de theoretische natuurkunde met zich mee – vooral in de supersnaartheorie, waar de variëteit zes dimensies heeft. Hoewel geen experiment het bestaan ervan heeft bewezen, brengt het fascinerende, wiskundige mogelijkheden en puzzels met zich mee.
Ruimten en dimensies
Er zijn zoveel verschillende ruimten met een variëteit aan dimensies (see what I did there?) dat we hier niet genoeg papier hebben om ze op te sommen en te bespreken.
Maar wat kunnen we van dit alles meenemen? Dimensies zijn geen werelden. In de normale ruimte zijn ze de richtingen waarin objecten getransporteerd kunnen worden. Dat zijn er drie in ons geval.
Als je tijd modelleert als een dimensie, dan leven we in een vierdimensionale ruimte-tijdwereld. Behalve dan dat je niet vrijelijk kan bewegen in de tijd want is eenrichtingsverkeer(beginfootnote)Tijd is absoluut een compleet andere post waardig. Kan niet wachten.(endfootnote).
Hoewel velen hadden gehoopt op het vinden van extra ruimtelijke dimensies heeft het allergrootste experiment dat de mensheid tot nu toe heeft ondernomen, de Large Hadron Collider van het CERN, geen spoortje bewijs hiervoor kunnen vinden. In plaats daarvan heeft het overtuigend bewijs opgeleverd dat het huidige Standaardmodel van de deeltjesfysicazonder extra dimensies nog steeds klopt.
Om fenomenen ons universum te beschrijven en te voorspellen is het niettemin bijna altijd handig om hun eigenschappen als extra dimensies te modelleren. Dit heeft niets van doen met dat er werkelijk extra dimensies zijn – dit is waarschijnlijk waar de pop- en esoterische deelverzamelingen van de menselijke cultuur graag aan appelleren – maar heeft van alles te maken met het in staat stellen van het uitvoeren van calculaties in de abstracte wiskunde.
In een vorige post maakten we bijvoorbeeld gebruik van imaginaire tijd als extra dimensie om er een set vergelijkingen in de speciale relativiteitstheorie mee af te leiden. Het betekent niet dat imaginaire tijd werkelijk een extra dimensie is waarin je je ledematen of je bewustzijn kunt steken.
In snaartheorieën zijn werkelijk bestaande, ruimtelijke dimensies vereist om de theorieën werkend te krijgen. Geen van die hen kan echter worden getest (en geen van hen is getest noch bewezen). Het blijft een prachtig, wiskundig bouwwerk, maar dan ook puur wiskundig.
In toekomstige posts zullen we geometrie, de pseudo-riemann-variëteit, symmetriegroepen en de Hilbertruimte verder gaan verkennen met behulp van een beetje wis- en natuurkunde.
Licenties
De titelafbeelding en Figuren 1 zijn filmbeelden van Doctor Strange (2014) en Figuur 4 van Interstellar (2014), beiden films met auteursrechten. Verondersteld wordt dat deze stilstaande beelden getoond mogen worden onder de fair-use-bepaling van het Amerikaanse auteursrecht.
Figuur 6. Lorenz-aantrekker-animatie door Dan Quinn onder CC BY-SA 3.0
De afgelopen tijd zijn de artikelen over quantummechanica en deeltjes behoorlijk uitgebreid en soms te diep gegaan voor mensen die haast hebben. Daarom volgen hier tien punten in iets normaler Nederlands voor het geval je haast hebt.
1: Elementaire deeltjes
Om objecten in onze alledaagse wereld te natuurkundig te beschrijven, zoals stenen, gebouwen, auto’s, volstaan de wetten van Newton. Om subatomaire, elementaire deeltjes te beschrijven, zoals elektronen, protonen, neutronen en fotonen, gebruiken we een heel ander type natuurkunde: quantummechanica.
2: Golffunctie
De meest complete beschrijving van een elementair deeltje is de zogenaamde golffunctie. Eigenlijk lijkt het woord ‘deeltje’ onjuist te verwijzen naar kleine puntjes, kogeltjes of bolletjes of iets dergelijks. Dat zijn ze absoluut niet. Het zijn ook geen golven. ‘Deeltjes’ zijn golffuncties met golfachtige eigenschappen (nadruk op ‘achtig’). Na interactie met andere deeltjes en/of meting vertonen ze echter deeltjesachtig gedrag. De golffunctie omvat alle fysiek mogelijke toestanden waar een ‘deeltje’ zich in kan bevinden op het moment dat we een meting verrichten. De golffunctie kan gezien worden als een wiskundige beschrijving van de waarschijnlijkheden van de toestanden waarin het deeltje kan ’schieten’ op het moment dat het gemeten wordt. Het wordt vaak gevisualiseerd als een ‘wolk’ al is het niet hoe het er eigenlijk uitziet. Het is slechts een visuele metafoor voor een wiskundig object dat eigenlijk in een complexe ruimte bestaat aangezien complexe waarden aanneemt.
Meestal teken ik vage, bolvormige dingetjes die dan deeltjes moeten voorstellen.
3: Quantumtoestand
Eenmaal gemeten geven deeltjes slechts één enkel quantumtoestand bloot uit een heel scala aan mogelijke quantumtoestanden dat bestond vóór de meting. Positie is een van de bekendste en intuïtief te begrijpen voorbeelden van een quantumtoestand. Impuls is een ander voorbeeld (impuls is een maat voor de hoeveelheid beweging van een deeltje). Er zijn andere toestanden zoals polariteit en spin en nog veel meer. De golffunctie omvat al deze mogelijke toestanden en kent een waarschijnlijkheidswaarde toe aan de uiteindelijke meting van een specifieke toestand. Met andere woorden, voordat je de meting verricht stelt de golffunctie je in staat om de kans te berekenen dat je een bepaalde quantumtoestand gaat meten.
4: Meetprobleem
Zolang je geen meting verricht en zolang het niet interacteert met andere deeltjes bevindt het deeltje zich nog niet in een specifieke quantumtoestand. In plaats daarvan beschrijft de golffunctie al deze mogelijke toestanden als een wiskundige optelsom. Deze ‘optelling’ is waar natuurkundigen op doelen als ze het hebben over superpositie. De term is afkomstig van de wiskunde van golven en lineaire algebra in het algemeen, niet per se specifiek quantummechanica. Hoewel de situatie vaak wordt geportretteerd als deeltjes die zich in alle toestanden tegelijk bevinden (zoals het zijn op twee plekken tegelijk) is het accurater om te zeggen dat het deeltje nog geen specifieke toestand inneemt. Er is alleen de golffunctie met alle waarschijnlijke toekomstige quantumtoestanden. Zodra je een meting verricht, schiet het deeltje uit zijn golffunctie van mogelijkheden in één enkele mogelijkheid. Met andere woorden, wat je ziet is niet wat het was. Wat je observeert is slechts een splinter van zijn complete, vorige bestaan. Hoe dit gebeurt, weet niemand. Het heet het meetprobleem van de quantummechanica. Er ligt een Nobelprijs op je te wachten.
5: Schrödingervergelijking
Golffuncties gehoorzamen de Schrödingervergelijking. Je zou kunnen zeggen dat wat Newtons tweede wet is voor alledaagse objecten is wat de Schrödingervergelijking is voor de subatomaire wereld. Het stelt ons in staat om te voorspellen hoe de golffunctie verandert in de tijd. Het is een volstrekt klassieke vergelijking; het is 100% deterministisch. Waar de golffunctie een bereik van waarschijnlijkheden bestrijkt, voorspelt de Schrödingervergelijking hoe dit bereik van waarschijnlijkheden over de tijd verandert. Met andere woorden, het voorspelt niet exact wat de toestand is van een deeltje als het wordt gemeten maar het voorspelt exact wat de kans is dat je een bepaalde toestand gaat meten op ieder gegeven moment in de tijd.
Dit verbluffend staaltje experimentele natuurkunde leverde een foto op van wat de nauwkeurigste benadering op van de golffunctie van een elektron in een waterstofatoom is tot nu toe. Het is gemaakt door de Poolse natuurkundige Aneta Sylwia Stodolna et al. (Bron: Stodolna AS et al. (2013) “Hydrogen Atoms Under Magnification: Direct Observation of the Nodal Structure of Stark States,” Physical review letters, 110(21), pp. 213001–213001.)
6: Onzekerheid
Er bestaat een fundamenteel kenniscompromis tussen bepaalde mogelijke toestanden zoals tussen positie en impuls, energie en tijd en tijd en frequentie. De oorsprong van dit compromis ligt niet in de quantummechanica. Het heeft te maken met hoe de kwantiteiten gerelateerd zijn aan elkaar. Wiskundige worden deze variabelen Fouriertransformatieparen of geconjugeerde variabelen genoemd. Om de een te berekenen vanuit de ander voer je een wiskundige procedure uit die Fouriertransformatie wordt genoemd. Als je een Fouriertransformatie uitvoert op een variabele waarvan de hoeveelheid mogelijke waarden zeer beperkt is (de variabele kennen we met een hoge precisie), dan is de hoeveelheid mogelijke waarden van de andere variabele die je verkrijgt aan het eind van die transformatie juist groter (de variabele kennen we met een lagere precisie, een grotere onzekerheid). Heisenberg toonde aan dat deze onzekerheidsrelatie ook van toepassing is op de golffunctie in de quantummechanica. Vandaar dat we in deze context spreken van de onzekerheidsrelatie van Heisenberg.
Fourier toonde aan dat als geluid relatief scherp gedefinieerd is in de tijd (onderste golfpakketje), dat het opgebouwd moet zijn uit verschillende frequenties (zoals daarboven geïllustreerd door de verschillende golven met verschillende frequenties). Dit is de fundamentele onzekerheidsrelatie bij golven.
7: Zekerheid
Diezelfde onzekerheidsrelatie voorspelt dat, hoewel zeer significant op de schaal van subatomaire deeltjes, deze onzekerheid volstrekt betekenisloos wordt op de schaal van onze alledaagse wereld met alledaagse objecten. Een bowlingbal waarvan de mogelijke posities ernstig zijn beperkt (opgesloten in een kleine doos met nauwelijks speling) zal nimmer de onzekerheidswaarden vertonen zoals in de quantummechanica. Laten we bijvoorbeeld de hoeveelheid beweging van de bal (impuls) bekijken. Op basis van de onzekerheidsrelatie van Heisenberg zal de bowlingbal bij meting mogelijk een snelheid vertonen van $3.283 \times 10^{-35} \text{ m/s}.$ Dit betekent dat die na 965.9 miljard jaar een afstand zal hebben afgelegd ter grootte van de de diameter van een proton. Dus, nee. Onzekerheid speelt geen rol in onze alledaagse wereld. Tenzij je experimenten doet die een looptijd hebben van zeventig keer de leeftijd van ons huidig universum. In dat geval zul je moeten dealen met de onzekerheid ter grootte van de diameter van een proton(beginfootnote)Als mensen denken of stellen dat alledaagse objecten (onze lichamen, onze hersenen, tennisballen, dieren) quantumeffecten kunnen vertonen als het zijn op twee plekken tegelijk, dan vermoed ik dat dit komt omdat ze geen goed idee hebben van hoe klein subatomaire deeltjes werkelijk zijn alsook geen idee hebben van hoe groot de alledaagse wereld is in die termen. Tevens zullen ze de berekeningen niet hebben uitgevoerd.(endfootnote). We merken hierbij op dat ultra-nauwkeurige meetapparatuur zoals de spiegels van de LIGO– en Virgo-experimenten – de grotere objecten in deze wereld, dus bepaald geen elementaire deeltjes – zeker wel in staat zijn om quantumeffecten te meten. Echter is dit ten eerste niet geheel onverwacht (geen nieuws) maar bovendien iets volstrekt anders dan stellen dat menselijke lichamen zich in quantumsuperposities bevinden. Het meten van quantumeffecten is een ding, hersenen die in staat zouden zijn op twee plekken op aarde aanwezig te zijn (‘gebaseerd op principes uit de quantummechanica’) is iets heel anders.
Alle pins missen is geen gevolg van praktische noch theoretische quantumeffecten. Je bent dan gewoon niet zo goed.
8: Quantumverstrengeling
Als twee of meer deeltjes alleen beschreven kunnen worden door een en dezelfde golffunctie – en niet als separate golffuncties – dan zijn deze deeltjes quantumverstrengeld. Een meting op het ene deeltje bepaald onmiddellijk de uitkomst van de meting op het andere, verstrengelde deeltje, ongeacht de ruimtelijke afstand tussen de twee. Dit verschijnsel wordt daarom non-lokaal genoemd. Hoe dit kan, is onbekend. Het effect verdampt zodra verstrengelde deeltjes met andere deeltjes interacteren. Op de schaal van de alledaagse werkelijkheid is het aantal deeltjes per object zo groot dat interacties niet kunnen uitblijven en het quantumeffect van verstrengeling dus volstrekt wegvaagt. Onder speciale omstandigheden, zoals in onze laboratoria, kan verstrengeling echter gedurende aanzienlijke periode in stand worden gehouden.
Dit is niet hoe quantumverstrengeling eruit ziet. Het is gewoon een plaatje.
9: Quantumveldentheorie
Quantummechanica is door de jaren heen wis- en natuurkundig uitgebreid naar de beschrijving van quantumvelden als de fundamentele bouwstenen van ons universum. Het universum bestaat uit quantumvelden. De meest complete beschrijving van deze velden zijn golffuncties. We noemen dit de quantumveldentheorie (in het Engels vaak afgekort met QFT voor quantum field theory). De succesvolste versie van een QFT heet het Standaardmodel van de deeltjesfysica. ‘Deeltjes’ zijn hier een soort verstoringen van hun veld: een elektron is een verstoring in het elektronenveld. De beschrijving van een deeltje is onderdeel van de golffunctie van het hele veld. De uitdaging ligt in het uitbreiden van deze quantumveldentheorie naar zijn volgende vorm, waarbij zoiets als quantumgravitatie is geïncorporeerd. Wat we bijvoorbeeld nog niet weten is hoe we ruimte en tijd in extreme gebieden zoals zwarte gaten, op natuurlijke wijze uit een quantumtheorie kunnen doen voortkomen.
Een onbehoorlijk ruwe schets van quantumvelden. Het protonveld is niet echt een ding: het is een snelle manier om diverse quarkvelden in een klap te vangen. Plus dat velden driedimensionaal zijn, niet tweedimensionaal.
10: Toepassingen
De woorden ‘I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics’(beginfootnote)‘Ik denk dat ik met zekerheid kan stellen dat niemand quantummechanica begrijpt.’(endfootnote), uitgesproken door de beroemde natuurkundige en Nobelprijswinnaar Richard Feynman, worden soms helaas verkeerd begrepen. Soms denkt men dat dit deze uitspraak grond biedt om te stellen dat natuurkundigen uiteindelijk niet weten waar ze mee dealen, waar ze het over hebben. Feynman hintte op het feit dat er nog heel veel te ontdekken valt in de quantumfysica. Er staat nog steeds heel veel werk te doen als het gaat om moeilijke problemen zoals quantumzwaartekracht, het meetprobleem, het sterke CP-probleem, de interpretatie van de quantummechanica, non-lokaliteit en ga zo maar door.
Aan de andere kant beschikken we maar wel mooi over Wifi, internet, (aanraak)schermen, lasers, MRI-scanners, ledverlichting, flashgeheugen, solid state disk, die goeie ouwe knarsende harde schijven, transistoren, rekenprocessoren in computers en geïntegreerde chips in het algemeen.
Dus, ik denk dat ik met zekerheid kan stellen dat het feit dat je dit artikel uit de lucht hebt geplukt om het te vertonen op je (aanraak)scherm op je elektronische apparaat we in elk geval de mate kunnen afleiden waarin ‘nobody understands quantum mechanics’.
Niettemin, we zijn nog lang niet klaar. Er valt nog veel te ontdekken en te verklaren in en over dit universum – met hulp van een beetje wis- en natuurkunde.
Complexe getallen fascineren sinds de middelbare school. Het is de plek waar we van alles leren over natuurlijke, gehele, rationale, irrationale en reële getallen, echter zelden over complexe getallen. Op allerlei plekken worden ze toegepast. Zo hadden elektronische apparaten zoals die waarmee je deze post leest niet bestaan als natuurkundigen, elektrotechnici en computerwetenschappers niet op de hoogte waren geweest van het geschenk van complexe getallen van zestiende-eeuwse wiskundigen. Deze post is voor wie geïnteresseerd is in een zachte inleiding in het domein van de complexe getallen.
Verbijsterd
‘Er bestaan dingen als negatieve getallen’, lichtte mijn vader toe toen ik zes of zeven jaar moest zijn geweest, want ik zat in de tweede klas van de lagere school. Hij legde het concept uit van negatief bezit als je iemand een aantal knikkers schuldig bent terwijl je minder dan dat aantal aan knikkers daadwerkelijk in je bezit hebt. Dit was een van die ik-weet-nog-waar-ik-was-toen-momenten. Als de dag van gisteren zie ik mezelf nog zitten, op de vloer, voor de lage salontafel in de woonkamer van ons rijtjeshuis in Emmeloord.
Ik herinner me dat ik precies hetzelfde gevoel had toen mijn vader me eerder vertelde dat de aarde niet plat was en mijn moeder me daar weer voor had verteld dat we op dat moment met de auto op de zeebodem reden. Mijn schedeldak vloog eraf. Het duurde wederom lang voordat ik er eindelijk slaagde om het kwartje in die kleverige, trage hersenen van mij te laten dalen – het negatieve kwartje, welteverstaan. Wat het lastig maakte, was het feit dat je negatieve getallen niet kon ‘zien’ zoals de andere getallen, zoals bij lengtes of het aantal knikkers(beginfootnote)Op een of andere manier had ik er niet aan gedacht dat temperatuur natuurlijk kon dalen onder nul – iets dat toentertijd nog regelmatig flink gebeurde, toen we iedere winter nog op bevroren meren, vijvers, rivieren en slootjes konden schaatsten.(endfootnote).
Vol enthousiasme vertelde ik de juffrouw van mijn lagere school over negatieve getallen. Ze knikte slechts en gebood me toen om m’n taken af te maken – de saaie vorm van rekenkunde. Ze had een punt aangezien ik er niet goed in was.
Toen ik vijftien of zestien was, kwam ik het begrip complexe getallen tegen in een populair-wetenschappelijk boekje over kwantummechanica. Het feit dat ze ‘complex’ werden genoemd, wekte mijn nieuwsgierigheid op; ik nam foutief aan dat het betrekking had op de moeilijkheidsgraad van de soort getallen. Maar wat het meest fascineerde was dat er kennelijk zogenaamde imaginaire getallen bestaan! Ik had weer precies datzelfde gevoel. Mijn schedeldak smolt. Alles hieraan straalde een soort magische kracht uit. Wat was dit voor hekserij? Zou dit een poort kunnen vormen naar andere dimensies?
De volgende dag vertelde ik vol enthousiasme mijn leraar wiskunde op de middelbare school hierover, meneer Es – Es is niet zijn werkelijke naam maar het was zijn tweeletterige code in ons rooster. Ik vond het zowel terecht als toepasselijk dat Es ook het symbool is voor het element Einsteinium in het periodieke systeem. Omdat zijn voornaam ook nog overeenkwam, grapten mijn vrienden en ik wel eens dat we, desgevraagd, op weg waren naar de les van Albert Einstein.
Meneer Es deed wat iedere goede leraar doet als een scholier geënthousiasmeerd raakt over iets in hun vakgebied: hij moedigde het aan – in zijn geval door zijn oude leerboek van toen hij een eerstejaarsstudent wiskunde was in Amsterdam aan mij uit te lenen. Het was een inleiding over complexe getallen op wat we tegenwoordig undergraduate-niveau noemen.
Het bewuste leerboek. (Klik om uit te vergroten.)
Tot mijn schaamte moet ik bekennen dat ik het eigenlijk nooit terug heb gegeven. Dit was een van die gevallen waarbij ik, na de zoveelste verhuizing, dacht, omg, heb ik dit boekje nooit teruggegeven? Ik heb het altijd gekoesterd. Het heeft een speciale betekenis voor me. Het symboliseert die ene keer dat ik gezien werd, erkend werd in wat mij op dat moment inspireerde. Een ding dat ik niet echt kon delen met vrienden of andere mensen in mijn nabijheid, deelde ik plots met een heel intelligent persoon wiens naam werd aangeduid met het symbool voor Einsteinium.
Dankzij de wonderen van het internet geraakten we weer met elkaar in contact, ongeveer vijfentwintig jaar later. Ik biechtte op dat ik het boekje dus altijd had gehouden en bood mijn verontschuldigingen aan. Hij bleek zich inderdaad afgevraagd te hebben waar het was gebleven; hij had het aan iemand willen uitlenen. Maar ik kon het houden, aangezien hij toch de zolder verder aan het opruimen was. En hij was blij te zien dat wiskunde me ook in het latere leven blijvend geïnteresseerd had.
Ik voel me er nog steeds een beetje schuldig onder. Iemand anders had geïnspireerd kunnen raken zoals ik dat was. En nu ben ik er mogelijk schuldig aan dat dit in elk geval niet door zijn boekje zou komen. Dus wie je ook bent, mijn excuses!
Ik hoop op een dag dat ik op mijn beurt in staat zal zijn om een vonkje te doen overspringen voor de prachtige wiskunde van complexe analyse bij anderen. Ik hoop ook dat u, lezer, wellicht een fractie van de verwondering ervaart die ik voelde en dat het concept van ‘getallen’ er een zal blijken te zijn dat voorbij gaat aan uw imaginatie(beginfootnote)Ik had het niet gedacht, maar het is een correct Nederlands woord.(endfootnote).
Getallenverzamelingen
We zijn allemaal bekend met de natuurlijke getallen die we gebruiken om dingen mee te tellen. 1, 2, 3 etc. Sommige wiskundigen vinden dat 0 hierbij hoort, andere vinden van niet. Hoe dan ook betreft het hier de wiskundige verzameling die we dus de natuurlijke getallen noemen en we aanduiden met het symbool $\mathbb{N}$.
Mijn vader vertelde me vervolgens dat er dus zoiets bestaat als negatieve getallen, zoals -1, -2, -3, etc. Als je de natuurlijke getallen neemt en daaraan toevoegt deze verzameling negatieve getallen (inclusief de 0, voor zover dat nog niet gebeurd was), dan is het resultaat een geheel nieuwe getallenverzameling die we de gehele getallen noemen, aangeduid met het symbool $\mathbb{Z}$.
Om duidelijk te maken dat $\mathbb{N}$ een deelverzameling is van $\mathbb{Z}$, passen wiskundigen het symbool $\subset$ toe. Met andere woorden, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$, oftewel, de natuurlijke getallen vormen een deelverzameling binnen de gehele getallen.
En dan zijn er natuurlijk de verhoudingsgetallen, de quotiënten, de breuken. Tussen 1 en 2 heb je 1,5 bijvoorbeeld. Dus in breuknotatie is dat $\frac{3}{2}$. Uiteraard zijn dat geen gehele getallen. Het zijn zogenaamde rationale(beginfootnote)Regelmatig hoor en lees ik ‘rationale’ en ‘rationaal’ verward worden met ‘rationele’ en ‘rationeel’. Begrijpelijk, maar dat zijn dus verschillende zaken.(endfootnote) getallen, naar het Latijnse ratio, omdat ze kunnen worden opgeschreven als een quotiënt van gehele getallen, een verhouding, een breuk. Deze getallenverzameling wordt gesymboliseerd door $\mathbb{Q}$. We hebben nu $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.
Het is goed om hier op te merken dat deze notie van deelverzameling-van-een-deelverzameling leidt tot de misschien onverwachte conclusie dat ook 9 dus een rationaal getal is. Aan de oppervlakte is het een natuurlijk getal, of een geheel getal. Maar onder de oppervlakte kan het uiteraard ook opgeschreven worden als een rationaal getal: $9 = \frac{9}{1} = \frac{18}{2} = \frac{36}{4}$, bijvoorbeeld (en oneindig veel meer).
We zijn er nog niet. Breuken als 1,5 en 3,2 zijn eindig. Maar wat als de decimalen achter de komma maar niet stoppen? Wat als je getallen hebt die je niet kan opschrijven als een breuk, zoals de getallen $\pi$ en $\sqrt{2}$? Deze getallen noemen we de irrationale(beginfootnote)En nee, het heeft niets met ‘irrationeel’ te maken!(endfootnote) getallen. Dit betreft dus alle getallen die niet rationaal zijn. Hier is niet echt een symbool voor(beginfootnote)Het is niet ongebruikelijk dat wiskundigen dan $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ schrijven.(endfootnote).
Er is wel een symbool voor alle natuurlijke, gehele, rationale en irrationale getallen samen(beginfootnote)Het klopt, beste wiskundige, dat ik transcendentale getallen oversla (en ook de algebraïsche getallen, wat dat betreft). Aangezien alle transcendentale getallen irrationaal zijn, maar niet alle irrationale getallen transcendentaal, besloot ik dat het mijn schematische weergave onnodig zou compliceren in wat een inleidende tekst moet zijn over toch al voldoende complexe zaken.(endfootnote). Al deze deelverzamelingen samen vormen wat we de reële getallen noemen en worden aangeduid met $\mathbb{R}$. Dit is de verzameling waarmee we feitelijk allemaal bekend zijn en waar we voortdurend in rekenen. We hebben nu dus $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$
De verzameling der reële getallen $\mathbb{R}$ bevat alle getallen. Of toch niet?
Het geheim van del Ferro, del Fiore, Tartaglia en Cardano
U raadt het al. Hier komen ze, de complexe getallen. Laten we eerst een heel klein beetje wiskunde doen. Herinnert u zich wat het kwadraat van een getal is? En vervolgens wat de wortel van een getal is? Wat is de wortel van 64, oftewel, $\sqrt{64}$? Ja, 8, heel goed. Want 8 keer 8, oftewel 8-kwadraat, oftewel $8^2$ is gelijk aan 64.
Mooi. Stel nu dat $x^2 = 64$, wat is $x$ dan? Hier doen we precies hetzelfde. We ont-kwadrateren $x$ door de wortel te trekken van $x^2$. En vanwege het =-teken, moeten we dat natuurlijk ook doen bij het getal achter het =-teken. Dus, $\sqrt{x^2} = \sqrt{64}$, en dus krijg je $x = 8$.
Dit soort sommetjes werden meestal gecombineerd met de praktische toepassing van het berekenen van de lengte van de zijden van het vierkante stuk land dat de boer bezit. Stel dat de oppervlakte van de vierkante akker is 64 vierkante kilometer. Hoe groot is dan een zijde van dat stuk land? Dat is dus 8 kilometer.
Al deze berekeningen vinden plaats in de wereld van $\mathbb{R}^+$, het positieve deel van alle reële getallen. Merk op dat geen oppervlak negatief kan zijn. Met andere woorden, een vierkant stuk land kan niet -64 vierkante kilometer groot zijn – dat is natuurlijk onzin. Tevens heeft de wortel uit -64 geen oplossing. Het is niet -8, want -8 keer -8, oftewel $(-8)^2$, is simpelweg weer gelijk aan 64 en niet -64, want een negatief getal vermenigvuldigd met een negatief getal is gelijk aan een positief getal zoals we bespraken in een eerdere post.
Tartaglia
Ergens in de zestiende eeuw, ergens in Italië, loste Scipione del Ferro, lesgevend aan de Universiteit van Bologna, een probleem op dat hiermee te maken had. Het betrof hier niet een kwadratische maar een derdegraadsvergelijking. Waar wij uit ons hoofd de oplossing voor de kwadratische of tweedegraadsvergelijking $x^2 = 64$ konden vinden, vond del Ferro oplossingen voor een derdegraadsvergelijking zoals $x^3 + x^2 + 6x + 3 =0$. Del Ferro stond erom bekend nooit iets van zijn oplossingen en bewijzen te willen publiceren. Hij hield een geheim notitieboekje bij en dat was het dan.
Cardano
Op zijn sterfbed deelde hij echter het geheim om de vergelijking op te lossen met zijn pupil Antonio Maria del Fiore. Die laatste daagde vervolgens de op dat moment in Venetië wonende Niccolò Fontana Tartaglia uit om het op te lossen. Tartaglia had het echter al even daarvoor zelf al opgelost. Hij vertrouwde Gerolamo Cardano, de op dat moment in Milaan gevestigde alleskunner en genie, vervolgens de oplossing toe in de vorm van niets minder dan een gedicht! Het was echter alleen de oplossing, maar niet het bewijs. Uiteraard was Cardano vervolgens zelf in staat om het bewijs te reconstrueren. Aangezien hij ontdekte dat de inmiddels overleden del Ferro de oplossing ook al had gevonden, besloot hij om zijn eigen versie te publiceren in zijn Ars Magna in 1545. Tartaglia nam hem dat niet in dank af.
En wat was nu het geheim waar al deze enorme hersens zo geheimzinnig over deden? Een nieuw getal.
imaginair
Laten we een iets simpeler voorbeeld nemen. Stel dat we de volgende simplistische kwadratische vergelijking hebben: $x^2 -4 = 0$. Om het op te lossen, ‘verplaatsen’ we de 4 naar de andere kant van het =-teken door 4 aan beide kanten erbij op te tellen: $x^2 -4 +4 = 0 + 4$, wat dan simpelweg verwordt tot $x^2 = 4$. Als je de wortel trekt aan beide zijden van het =-teken, verkrijg je $\sqrt{x^2} = \sqrt{4}$. De oplossing is dus $x=2$ en/of $x=-2$ (want -2 keer -2 is ook 4).
Goed. In feite probeerden de wiskundigen van de zestiende eeuw ook oplossingen te vinden voor een variant hierop: $x^2 + 4 = 0$. Laten we wederom de 4 naar de andere kant halen door nu 4 af te trekken van beide zijden: $x^2 + 4 – 4 = 0 – 4$, wat $x^2 = -4$ oplevert. Wederom is de vraag, wat is $x$?
Laten we ook hier weer de wortel proberen te trekken van beide zijden: $\sqrt{x^2} = \sqrt{-4}$. Halt. Stop. Wat is de wortel van -4? Wat is de wortel van een negatief getal?
We verkeren nu in dezelfde situatie als die waarbij we de wortel van een negatief oppervlak proberen te trekken. Het antwoord kan niet -2 zijn, want -2 keer -2 is niet -4. Wat nu?
Vóór Del Ferro, Tartaglia en Cardano zouden mensen hebben geconcludeerd dat er simpelweg geen oplossing bestaat. Maar dankzij hen kunnen we het nu wel oplossen! Het antwoord ligt in de volgende definitie: $$i^2 = -1.$$
Dit bedrieglijk eenvoudige concept stelt ons in staat om $x^2 = -4$ op te lossen. We kunnen dan namelijk schrijven $x = 2i$ en/of $x = -2i$.
Laten we de eerste oplossing bekijken. Als we dit kwadrateren krijgen we $x^2 = (2i)^2$, wat we ook kunnen schrijven als $x^2 = 2^2i^2$. Aangezien $i^2 = -1$ kunnen we dit substitueren zodat we verkrijgen: $x^2 = 2^2(-1)$ en dat is natuurlijk $x^2 = -4$. Tadaa! We zien dat $x= 2i$ dus een oplossing is voor $x^2 = -4$.
Hetzelfde geldt voor de andere oplossing $x = -2i$. Als we dit kwadrateren, verkrijgen we $x^2 = (-2i)^2$, en dat kunnen we schrijven als $x^2 = (-2)^2i^2 = 4i^2$. En als we ook hier weer $i^2 = -1$ substitueren, krijgen we $x = 4(-1) = -4$. Tadaa!
Welnu, wat voor duivels concept is dit $i^2 =-1$? De letter $i$ staat voor ‘imaginair’ en $i$ wordt een imaginair getal genoemd.
Aangezien $i^2 = -1$ kunnen we concluderen(beginfootnote)Eigenlijk geef ik er de voorkeur aan $i^2 = -1$ te schrijven boven $i = \sqrt{-1},$ hoewel die laatste ook vaak gebruikt wordt in studieboeken. Ik vind het een tikkeltje verwarrend. Aangezien de regel is dat $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ waar $a$ en $b$ positieve, reële getallen zijn, zou je kunnen denken dat het ook van toepassing is op de negatieve, reële getallen, zoals wanneer $a=b=-1$. In dat geval zou je echter de onjuiste stelling $\sqrt{-1} \sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1$ verkrijgen, terwijl het natuurlijk eigenlijk $-1$ moet zijn. Daarom probeer ik de notatie $i = \sqrt{-1}$ zoveel mogelijk te vermijden.(endfootnote) dat $i = \sqrt{-1}$. En dit is het verbluffende van de hele situatie: hoe kun je dan in hemelsnaam de wortel trekken van een negatief getal? Hoe bereken je de wortel van een negatief oppervlak? Het antwoord is: dat kan niet. Tenminste… niet in de wereld van de reële getallen $\mathbb{R}$. Inmiddels hebben we ons vertrouwde slootje aan de rand verlaten en zetten we onze eerste stappen in het uitgestrekte landschap van de complexe getallen. Dag $\mathbb{R}$, welkom in $\mathbb{C}$.
Enkele voorbeelden van complexe getallen: $2i$, $\frac{2}{3}i$, $i\sqrt{2}$, $i \pi$ en $-0,25i$. Bovendien kun je een reëel getal zoals 3 erbij optellen. Dat doe je zo: $3 + 2i$ of $3 + \frac{2}{3}i,$ etc. Deze combinaties zijn ook complexe getallen. Je kunt het en hoeft het niet verder te vereenvoudigen.
Een complex getal $z$ heeft de vorm $z = a + bi,$ waarbij $a$ en $b$ reële getallen zijn en $i^2 = -1.$ Het eerste reële getal, $a$, is het zogenaamde reële deel van $z$. Het tweede reële getal, $b$, is het zogenaamde imaginaire deel van $z$. De verzameling van alle complexe getallen wordt aangeduid met $\mathbb{C}$.
Merk op dat ieder reëel getal een complex getal is maar niet ieder complex getal is een reëel getal. Dat is wat het zijn van een deelverzameling van een andere verzameling betekent. Zo is bijvoorbeeld het reële getal 9 een complex getal waarbij $b =0$. Met andere woorden, het reële getal 9 kan worden geschreven als het complexe getal $9 + 0i$; het laatste, imaginaire deel valt weg want alles vermenigvuldigd met 0 is 0, dus houden we het getal 9 over. Het is dus naast complex ook reëel.
Echter, $z = 3 + 2i$ is geen reëel getal aangezien het imaginaire deel is niet gelijk aan 0. Dus $z$ is hier exclusief een complex getal.
Complexe vlak
Grafisch kun je de reële getallen van $\mathbb{R}$ zien als een punt op de getallenlijn.
Waar laat je dan de complexe getallen?
Dankzij mensen als Wallis, Wessel, Argand, Buée, Mourey, Warren, Français, Bellavitis, Gauss en Euler kreeg op een gegeven moment het antwoord op deze vraag zijn geometrische vorm[1]. Het idee is dat de reële getallenlijn werd uitgebreid met een imaginaire getallenlijn die loodrecht staat op de reële getallenlijn. Het resultaat is het zogenaamde complexe vlak, soms ook het argandvlak, gaussvlak of de $z$-plane genoemd.
Een complex getal zoals $z = 3 + 2i$ ‘omvat’ het getal $3$ langs de reële as en langs de imaginaire as het imaginaire getal $2i$. Een complex getal wordt dus altijd gerepresenteerd door een punt in een tweedimensionale ruimte. Merk op dat alle getallen binnen de deelverzamelingen van de complexe getallen, oftewel $\mathbb{R}$ tot en met $\mathbb{N}$, eveneens kunnen worden gerepresenteerd in dit tweedimensionale, complexe vlak – de punten liggen echter precies op de reële as.
Berekeningen met complexe getallen verwerden hiermee tot geometrische problemen! Wat dat betreft, een van de mooiste vergelijkingen in de wiskunde (wat mij betreft, althans) heeft betrekking op trigonometrie in het complexe vlak en heet de Formule van Euler.
Meer dan imaginair
Het is wat ongelukkig dat het getal $i$ en ieder product hiermee imaginaire getallen worden genoemd. De bekende Franse filosoof en wiskundige René Descartes was de eerste die de term toepaste omdat hij meende dat de getallen illusoir waren. Zelfs Cardano had de getallen al als duistere, derderangs soort dingen bestempeld[2].
Het is wat ongelukkig omdat het woord tegenwoordig onnodige, semantische ambiguïteit met zich meebrengt. Ik begrijp waar het vandaan komt: je zult nooit zoiets als $\sqrt{-1}$ in de echte wereld tegenkomen. Aan de andere kant zul je ook nooit zoiets als $\sqrt{2}$ tegenkomen en toch kan dat precies de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek zijn waar een handige doet-het-zelver haar hand niet voor omdraait. Voor mij is een reëel getal zoals $\pi = 3.1415926535897 \dots$ waarvan de decimalen nooit stoppen net zo echt als ‘imaginaire’ getallen echt zijn (en vice versa). Cirkels bestaan er niet minder om en met $\pi$ kun je er prima berekeningen op loslaten. Welnu, met imaginaire getallen kun je er net zo goed berekeningen op loslaten.
Complexe getallen worden toegepast in een scala aan wetenschappen. In Einsteins relativiteit die bijvoorbeeld GPS-navigatie mogelijk maakt, kun je gebruik maken van zogenaamde imaginaire tijd. Het klinkt als iets dat rechtstreeks uit een sciencefictionroman afkomstig is, maar het is een prima gedefinieerd concept. Zo hebben we in een vorige post een afleiding gegeven van een centrale set vergelijkingen in zijn speciale relativiteitstheorie, de Lorentztransformaties, met behulp van imaginaire tijd.
In de kwantummechanica – de succesvolste theorie tot nu toe – kom je complexe getallen overal tegen. Zonder die getallen zouden computers, mobiele telefoons, tablets, de tv, de videorecorder, zelfs de moderne koelkast niet hebben bestaan aangezien elektrotechnici niet in staat waren geweest computerchips te bouwen. De golffunctie is een complexe functie in een complexe Hilbertruimte die complexe waarschijnlijkheidsamplitudes aanneemt en evolueert volgens de Schrödingervergelijking, die zelf een complexe vergelijking is.
In de wiskunde vervullen complexe getallen een centrale rol in de bekendere onderzoeksgebieden als niet-lineaire, complexe, dynamische systemen. De uitgelichte titel-illustratie hierboven is een detail van de beroemde Mandelbrotverzameling. Het is een speciale verzameling van complexe getallen die op kleurrijke wijze geprojecteerd zijn in het complexe vlak. De studie van niet-lineaire, complexe dynamica informeert tevens de studie van allerlei soorten patronen in de natuur en in groei, zelfs in weersvoorspellingen en klimaatwetenschap. Op een andere manier hebben we zelf nog complexe getallen toegepast in het berekenen of een laboratoriumcentrifuge met $n$ beschikbare plekken gebalanceerd ingepakt kan worden met een $k$ aantal reageerbuisjes.
Een andere leuke toepassing van complexe getallen is bij computergames. Om de driedimensionale rotaties in een driedimensionale ruimte te berekenen, maken computerprogrammeurs gebruik van quaternionen – uitbreidingen van de complexe getallen. Een quaternion is een expressie in de vorm van $a + bi + cj + dk$, waarbij $a,b,c,d$ ieder reëel getal zijn en $i^2 = j^2 = k^2 = -1.$ Echter is dit wellicht een interessant onderwerp voor another bit of maths and physics.
[1] Cooke, R. (2005) The history of mathematics : a brief course. 2nd edn. New York, N.Y.: Wiley.
[2] Open University (2014) Essential mathematics 1. Milton Keynes: Open University.
Images
Uitgelichte foto: Mandelbrot set – Step 6 of azoom sequence door Wolfgang Beyer onder CC BY-NC-SA 2.0; aangepast voor layout.
Het is misschien niet zo beroemd als Einsteins formule, maar het is niet ondenkbaar dat je er ooit toch iets van hebt gehoord, de onzekerheidsrelatie van Heisenberg, of, in het Engels, ‘Heisenberg’s uncertainty principle’. Het speelt een belangrijke rol binnen de quantummechanica. Het zou kunnen dat je gehoord hebt dat het gaat over de verstoring van een meting door het meetapparaat: ieder instrument bezit een inherente meetfout plus dat je simpelweg het te meten systeem altijd verstoort door de simpele act van meting zelve. Het zou kunnen dat je gehoord hebt dat de onzekerheidsrelatie van Heisenberg bewijst dat je nooit zeker kunt zijn van je metingen en dat het ons in feite leert dat je nooit zeker kunt zijn van wat het universum ons als het ware vertelt. Mijn excuses als de volgende reactie onnodig vaag klinkt en ruimte voor interpretatie overlaat, maar dit alles is lariekoek. Tijd om er eens goed naar te kijken, nietwaar? Wat betekent het nou echt?
Figuur 1. Werner Heisenberg in Göttingen in 1924.
Fouriertransformatieparen
Of het één, of het ander. Wie heeft er geen hekel aan? Herinner je je nog dat je ouders zeiden dat je dit kon hebben, maar dan niet dat? Of misschien een beetje van zus maar dan ook maar een beetje van zo. Of een beetje van hier maar dan ook maar een beetje van daar. Niet verrassend misschien dat minstens drie beroemde filosofen daar wat woorden aan gespendeerd hebben. Eentje besloot voor rebellie te gaan en schreef: ‘I want it all, I want it all, and I want it now!’ (May, 1988). De andere twee stelden zich iets pragmatischer op en concludeerden: ‘You can’t always get what you want’ (Jagger & Richards, 1968). Ze hadden natuurlijk heel goed door dat je in het leven soms te maken krijgt met Fouriertransformatieparen. Een van de bekendere voorbeelden is dus de onzekerheidsrelatie van Heisenberg.
Als je het bereik van de mogelijke positie van een deeltje beperkt $(\Delta x),$ vergroot je het bereik van de mogelijke impuls(beginfootnote)Impuls is het product van de massa $m$ en de snelheid $v,$ dus $p=mv.$ Het is een maat voor de hoeveelheid beweging van een object (zoals een deeltje).(endfootnote) in de $x$-richting $(\Delta p_x)$ en vice versa.
Dit is wiskundig als volgt geformuleerd:
$$\Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}.$$
Het deltasymbool $\Delta$ staat dus voor een bereik van een bepaalde hoeveelheid. Normaal gesproken is $\Delta$ gedefinieerd als het verschil tussen twee waarden. Stel je voor dat op de schutting in je tuin zich een punt A bevindt. Het is $0.1$ meter van de muur van je huis verwijderd. En stel dat een punt B op diezelfde schutting $0.7$ meter van je muur verwijderd is. Dan is de $\Delta$ van deze afstanden, oftewel de lengte tussen punten A en B, gelijk aan $0.7 – 0.1 = 0.6$ meter.
Heisenbergs onzekerheidsrelatie stelt dat het product van deze twee bereiken groter is dan of gelijk is aan een bepaald getal. Dat getal is trouwens ontzettend klein. Het symbool $\hbar$ staat voor de constante van Planck gedeeld door $2 \pi,$ waarvan de uitkomst dan weer gedeeld wordt door $2$ in de onzekerheidsrelatie.
Dit betekent dat als de een groter wordt, $\Delta p_x$ bijvoorbeeld, dat de andere kleiner wordt, wat dan $\Delta x$ zal zijn. En vice versa.
Klik hier als je een beetje wiskunde wil doen. Het is supermakkelijk.
Om iets meer gevoel te krijgen voor deze samenhang, maken we het iets gemakkelijker voor onszelf door te stellen dat $\frac{\hbar}{2} = 1,$ waardoor de formule verandert in $\Delta x \Delta p_x = 1.$ Voorts stellen we dat $\Delta x = 0.5.$ Welke waarde moet $\Delta p_x$ dan aannemen om te zorgen dat de vergelijking weer klopt? Precies, $\Delta p_x$ moet dan gelijk zijn aan $2,$ want $0.5 \times 2 = 1.$
Laten we vervolgens $\Delta x$ iets kleiner maken. Met andere woorden, we zorgen ervoor dat het bereik waarbinnen de positie van het deeltje kan verschijnen kleiner wordt. We preciseren kortom de positie. Stel dat $\Delta x = 0.001.$ Welke waarde moet $\Delta p_x$ vervolgens aannemen om aan de vergelijking te voldoen? Je raadde het vast al wel, $\Delta p_x$ moet juist groter worden: $\Delta p_x = 1000,$ aangezien $0.001 \times 1000 = 1.$ Als je het om zou draaien – waarbij $\Delta p_x$ kleiner zou worden – dan zou $\Delta x$ juist groter worden. Dan zouden we minder precies weten waar het deeltje zich ophoudt.
In werkelijkheid is $\frac{\hbar}{2}$ veel kleiner dan $1$. Het is ongeveer $5.273 \times 10^{-35} \text{ J/s}.$ Dat zijn vierendertig nullen achter de komma eindigend met 5273. Het is ongelooflijk klein. Hier komen we nog op terug.
Hopelijk gaf dit een beetje inzicht in hoe de relatie tussen $\Delta x$ en $\Delta p_x$ tot uitdrukking komen in Heisenbergs formulering. Ze complementeren elkaar. Als een bereik van mogelijke waarden groter wordt, oftewel, de $\Delta$ van waarde-opties wordt groter, dan neemt de zekerheid af waarmee je de uiteindelijke waarde kunt voorspellen. Vandaar het woord ‘onzekerheidsrelatie’(beginfootnote)Uiteindelijk is het statistiek. Het $\Delta$-teken zou wat dat betreft beter $\delta$ kunnen zijn, zodat $\delta x \delta p_x \geq \frac{\hbar}{2},$ wat het statistische karakter beter representeert. Een golffunctie is per slot van rekening een beschrijving der waarschijnlijkheden.(endfootnote).
Maar waar komt deze relatie dan vandaan? Hoewel de onzekerheidsrelatie een centrale rol speelt binnen de quantummechanica is het in de basis geen quantummechanische wet. Het is zelfs een algemeen verschijnsel op verschillende vlakken in de natuurkunde en – algemener – in de wiskunde.
Wiskundigen noemen de variabelen positie en impuls Fouriertransformatieparen. Om in het jargon te blijven – ze worden ook wel geconjugeerde variabelen genoemd.
Figuur 2. Gravure van de Franse wiskundige Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830), vroeg 19e eeuw.{{PD-US}}
Geluid
Een bekend niet-quantummechanisch voorbeeld van de onzekerheidsrelatie is het bepalen van de toonhoogte van geluid. Hoe ‘hoog’ een noot is, hangt af van de frequentie.
De sinusgolf is een vertrouwd voorbeeld van geluid. Het is ook een heel simpel geluid. En verschrikkelijk saai.
De $x$-as is de tijd-as. De $y$-as is de amplitude van het geluid, oftewel het volume, de intensiteit. Zoals je kunt zien, zit er een patroon in het geluid: het herhaalt zichzelf, het is cyclisch. Een hele cyclus is als de curve omhoog, naar beneden, verder naar beneden en weer omhoog gaat. De tijd die het kost om een cyclus te completeren wordt aangeduid met het symbool $T$ en wordt ook wel de periode genoemd(beginfootnote)Het is ook mogelijk om de periode te meten tussen twee pieken of twee dalen.(endfootnote). De curve van deze geluidsgolf wordt ook wel periodiek genoemd.
Figuur 3. De tijd-amplitude-curve van een saaie, sinusoïdale geluidsgolf.
Hoe korter de periode – oftewel hoe sneller de cycli – des te hoger de toon. Anders gezegd, hoe hoger de frequentie, des te hoger te toon. De wiskundige relatie tussen de periode $T$ en de frequentie $f$ is als volgt:
$$f = \frac{1}{T}.$$
Als de periode korter wordt – de waarde van $T$ wordt kleiner – dan wordt de waarde van $f$ juist groter. De frequentie is hoger, de toon is hoger.
In Figuur 3 zien we dat de periode $T = 2 \pi$ seconden. Dat betekent volgens de wiskundige relatie tussen periode en frequentie dus dat de frequentie gelijk is aan $\frac{1}{2 \pi}$ Hz. In een frequentie-amplitude-diagram ziet het eruit als een scherpe piek. Let op, de $x$-as is nu de frequentie. De $y$-as is nog steeds de amplitude.
Figuur 4. Een frequentie-amplitude-diagram van de geluidsgolf van Figuur 3. Het toont de exacte frequentie van de geluidsgolf.
Nu hebben we dus twee manieren om een geluidsgolf te beschrijven: met frequentie (Figuur 4) of met verandering in de tijd (Figuur 3).
Merk op dat de geluidsgolf weergegeven als een functie van tijd (Figuur 3) geen begin noch einde heeft. Voor zover we weten zou die curve voor eeuwig door kunnen gaan. In beide richtingen van de tijd. Als iemand je vraagt wanneer precies dit geluid aanwezig is, is het antwoord: altijd. Er is geen specifieke tijd waarvan we kunnen zeggen dat het bestaat; het bestaat op alle momenten in de tijd.
Met andere woorden, $\Delta t = \infty.$
De frequentie-diagram is precies het tegenovergestelde: het is slechts een streep. Een duidelijke, scherpe piek. Als iemand je vraagt welke frequentie het geluid heeft, is het antwoord: het is exact $\frac{1}{2 \pi}$ Hz $( \approx 0.16)$ en het bestaat op geen enkele andere frequentie.
Fourieranalyse
In werkelijkheid duurt geluid niet oneindig lang. Het geluid van een trillende gitaarsnaar zal langzaam maar zeker wegvagen terwijl het energie afstaat aan de omgeving. Bovendien begon het ook op een specifiek moment: pas op het moment dat de gitarist aan de snaar tokkelde. Met andere woorden, in het echt bestaat een geluidsgolf gedurende een bepaalde periode in de tijd.
Laten we onze geluidsgolf inderdaad beperken tot een kleiner tijdsgebied, zodat het meer als een ‘bliep’ klinkt dan als een saaie, oneindige sinusgolf. Wederom representeert de $x$-as de tijd en de $y$-as de amplitude.
Figuur 5. Een tijd-amplitude-diagram van een zogenaamd wavelet, een korte geluidspuls. In tegenstelling tot de geluidsgolf van Figuur 3 is deze niet oneindig uitgestrekt in de tijd. Tegelijkertijd is het lastiger om de exacte frequentie ervan te bepalen.
Zoals je kunt zien bestaat het geluid hier alleen binnen een bepaald tijdperk – ongeveer anderhalve seconde lang. Met andere woorden, $\Delta t \approx 1.5$ seconden in plaats van de vorige $\Delta t = \infty.$
Wat is dan de frequentie hiervan? Het is lastig om hier een juiste periode $T$ te vinden. De curve is nogal verschillend van die van een oneindige sinusgolf. Zeker, we kunnen een soort van cycli ontwaren, maar geen cyclus is dezelfde. We lijken hier te maken te hebben met verschillende cycli tegelijk. De frequentie-amplitude-diagram ziet er dan ook anders uit:
Figuur 6. De frequentie-amplitude-diagram van de wavelet van Figuur 5. Het heeft niets meer weg van een specifieke, exacte frequentie. In verschillende mate bestaat de geluidsgolf zelfs op verschillende frequenties tegelijk.
Zoals je kunt zien is het nu moeilijker om te exact de frequentie van de wavelet aan te wijzen. Het is een geluid met verschillende frequenties op verschillende amplitudes tegelijk.
Dus hoewel het tijdperk waarbinnen de geluidsgolf bestaat nu beter gedefinieerd is, is de frequentie opeens minder specifiek geworden.
De briljante wiskundige Joseph Fourier ontdekte dat een wavelet zoals die van Figuur 5 geconstrueerd wordt door vele verschillende, oneindige golven met verschillende frequenties bij elkaar op te tellen. Anders gezegd, Fourieranalyse toont aan dat onze wavelet het resultaat is van een superpositie van vele golven met vele frequenties.
Figuur 7. De wavelet onderaan wordt geconstrueerd door een hele rits aan oneindige golven met verschillende frequenties bij elkaar op te tellen. Dit betekent automatisch dat de exacte frequentie van de wavelet veel moeilijker is vast te stellen dan die van Figuur 3.
Nu zie je waarom de frequentie-amplitude-diagram zo anders is ten opzichte van die van Figuur 4. Het betreft nu meer een combinatie van frequenties, zoals in Figuur 6 is weergegeven. In het laatste geval ‘bevat’ de wavelet verschillende golven met verschillende frequenties. Dus als je de tijd-amplitude-diagram Fouriertransformeert naar een frequentie-amplitude-diagram dan wordt het voorheen zo duidelijke frequentiegebied ineens een beetje ‘onzekerder’.
De relatie tussen tijd $\Delta t$ en frequentie $\Delta f$ in de ouderwetse, klassieke natuurkunde is fundamenteel complementair. Hier komt geen quantummechanica bij kijken.
In wiskundig jargon zijn tijd en frequentie zogeheten Fouriertransformatieparen of geconjugeerde variabelen.
De term ‘onzekerheidsrelatie’ heeft dus betrekking op het algemene fenomeen dat Fouriertransformaties (zoals die tussen tijd en frequentie) een fundamenteel, wiskundig compromis tussen de typen informatie van de twee variabelen met zich meebrengen. Heisenberg toonde vervolgens aan dat dit principe ook geldig is binnen de quantummechanica. Vandaar dat het in deze context de onzekerheidsrelatie van Heisenberg wordt genoemd.
De hypothese van De Broglie
Hoog tijd om weer terug te keren naar de quantummechanica. Herinner je je nog dat de beste beschrijving van een deeltje de golffunctie wordt genoemd? Een golffunctie is de wiskundige expressie van een deeltje dat alle mogelijke toestanden waarin het deeltje zich kan bevinden ‘omvat’.
In plaats van een tijd-amplitude-diagram maken we nu een ruimte-amplitude-diagram. Om het iets makkelijker te maken bekijken we de golffunctie van een deeltje waarvan de amplitude alleen varieert langs een enkele ruimtelijke dimensie die we met $x$ aanduiden.
Hieronder zie je de representatie van een golffunctie van een deeltje langs één ruimtedimensie (‘langs een rechte lijn’). De $x$-as representeert de positie in de ruimte. De $y$-as representeert de amplitude van de golffunctie (die proportioneel is aan de waarschijnlijk om het deeltje op die specifieke positie $x$ te vinden).
Figuur 8. Een representatie van de golffunctie van een vrij deeltje. Merk op dat dit niet een getrouwe weergave van een golffunctie is. Ten eerste bestaat een echte golffunctie in een complexe ruimte, die we hier niet tonen. Het doel is om een schematische weergave te leveren en niet om een waarheidsgetrouwe weergave te bieden (dat is eigenlijk niet mogelijk). Merk ook op dat het vrije deeltje geen specifieke positie heeft – het is per slot van rekening een vrij deeltje.
Het was de eminente, Franse natuurkundige Louis de Broglie(beginfootnote)Vele natuurkundigen hebben het geprobeerd maar slaagden er niet in zijn achternaam goed uit te spreken. Het klinkt als ‘broi’ maar dan met de r achter in de keel, zoals de Fransen plegen te doen – een ‘droge’ r. In een interview met hem kun je de Franse presentator zijn naam correct uitspreken (net na 0:16 seconden). Het is dus niet ‘brog-lie’ of ‘bro-lie’. Dank.(endfootnote) die de relatie tussen de golflengte $\lambda$ en de impuls $p$ van een golffunctie legde.
$$\lambda = \frac{h}{p},$$
waarbij $h$ het symbool is voor de Planckconstante. Deze vergelijking staat trouwens bekend als de ‘matter wave’-hypothese van De Broglie. Hij stelde dat materie, zoals elektronen, een golfkarakter hadden(beginfootnote)Diezelfde vergelijking toont aan dat het golfkarakter van grotere dingen zoals onze lichamen, hersenen, bowlingballen, tennisballen en dieren volstrekt verwaarloosbaar is, zoals we aan het einde zullen bespreken.(endfootnote). Daarmee won hij de Nobelprijs.
Als we deze vergelijking enigszins omschrijven, oplossen voor $p,$ zoals dat heet, dan krijgen we
$$p = \frac{h}{\lambda}.$$
De grote van de impuls is dus afhankelijk de golflengte. Hoe kleiner de golflengte des te groter de impuls. Wat is de golflengte ook weer? Het is de lengte tussen twee pieken (of dalen). Hoe hoger de frequentie des te kleiner de golflengte. Kijk nog eens naar Figuur 8. Zoals je kunt zien, heeft de oneindige golf van een vrij deeltje een heel specifieke golflengte. De logische conclusie is dat de impuls juist dan een heel specifieke waarde heeft. Niettemin toont Figuur 8 ook aan dat de positie van het deeltje nog volstrekt onduidelijk is!
Laten we dit omkeren en het bereik van de mogelijke posities van het deeltje gaan beperken. Het is daarmee geen vrij deeltje meer. Het zit nu gevangen in een eindig bereik van mogelijke locaties.
Figuur 9 Ons voormalig vrij deeltje zit nu vast tussen $x=0$ en $x= \pi.$ Met andere woorden, $x$ is beperkt tot een breedte van slechts $\pi.$ Er is geen sprake van een duidelijke golflengte. De golfpatroon heeft verschillende golflengten op verschillende posities. Het is er wel, maar het is hier niet zo duidelijk als bij Figuur 6.
In Figuur 9 is $\Delta x$ veel smaller dan in Figuur 8 (waar het oneindig groot was). Wat dat betreft, $\Delta x = \pi$ breed. Door middel van Fouriertransformatie – net zoals bij het tijd-frequentie-paar – wordt de complementaire zus van de positie-ruimte $\Delta x,$ namelijk de impuls-ruimte $\Delta p_x,$ ‘minder zeker’.
Om een golffunctie zoals die in Figuur 9 te construeren toont Fourier analyse aan dat wat je nodig hebt, een heel stel golven met verschillende frequenties bij elkaar opgeteld zal zijn.
Figuur 10. Een Fourierdeconstructie van de golffunctie in Figuur 9. Vele golven, vele frequenties. Met andere woorden, de impuls, die volgens De Broglie afhankelijk is van golflengte, is minder gedefinieerd.
Dus wat quantumdeeltjes betreft stelt de onzekerheidsrelatie van Heisenberg dat er een fundamenteel compromis bestaat tussen informatie over de positie en de impuls(beginfootnote)Een ander paar vormen energie en tijd. Dit is interessant in de context van Hawkingstraling. Dat komt nog wel.(endfootnote). Het zijn Fouriertransformatieparen of geconjugeerde variabelen.
Dat betekent tevens dat als je een deeltje opsluit in een minuscuul kleine $\Delta x,$ de golffunctie van het deeltje meer impulswaarden $\Delta p_x$ zal bevatten. Het bezit nu veel meer snelheidsopties, inclusief de veel snellere snelheden. Als je vervolgens een meting uitvoert, is de kans dus groter geworden dat je een hoge snelheid meet!
Schaal en uitwerking
Op de schaal van de grote, boze wereld zullen we dit effect nooit zien. Als je een bowlingbal zou opsluiten in een klein kastje zul je zijn impuls (zijn snelheid) niet dramatisch zien toenemen. Het zal niet zomaar gaan stuiteren. Omgedraaid, als je de bowlingbal een flinke impuls zou geven, is het ook niet zo dat je plotsklaps niet meer weet waar hij precies is; de positie van de bal is nog steeds te volgen. Het zal niet zomaar dwars door de nog overeind staande pins gaan quantumtunnelen of tegelijkertijd in alle goten gaan rollen van alle banen naast je. Als het geen enkele pin raakt, is dat niet omdat het plotseling in een superpositie verkeert van alle mogelijke locaties waar het kan bestaan. Je bent dan gewoon niet zo goed.
Je zult dus geen quantumeffecten zien bij objecten op de schaal van het dagelijks leven. Alleen als je met elementaire deeltjes werkt. Of atomen. Maar zodra de massa toeneemt, wordt het al snel een ander verhaal. Waarom? Dat komt deels omdat de Planck constante zo klein is(beginfootnote)En omdat de hoeveelheid interacties tussen atomen exponentieel groeit bij meer massa, wat ieder quantumeffect doet verdwijnen in een proces genaamd decoherentie.(endfootnote). Het is slechts $5.273 \times 10^{-35} \text{ J/s},$ zoals je misschien nog weet. Dat is heel klein.
Al de kennis in deze post stelt ons in staat om een leuke berekening te doen. Stel dat je een bowlingbal met de maximaal toegestane massa van $7.2$ kg in een doos doet die net wat groter is dan de bal: $\Delta x = 22$ cm. Volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg zou zijn snelheid dan $3.283 \times 10^{-35} \text{ m/s}$ kunnen worden. Dat betekent dat het na $965.9$ miljard jaar wellicht een afstand heeft afgelegd die even groot is als de breedte van een proton. Die tijdsduur is zeventig keer de leeftijd van ons huidig universum. Dus ja, het quantumeffect is niet gelijk aan nul, maar zoals je ziet (of liever, berekent), op de schaal van ons alledaags leven zijn die effecten volstrekt betekenisloos.
Soms proberen van die vreemde ‘documentaire-achtige’ films zoals What the #$*! Do We (K)now!? en What the Bleep!?: Down the Rabbit Hole je van alles te doen geloven over quantumdingen die we zouden kunnen ontwaren. Ze zullen ook de onzekerheidsrelatie van Heisenberg niet ongemoeid laten, als een soort magische kracht of mystieke natuurwet die ons in staat stelt om bovennatuurlijke dingen te doen of te zien. Ik hoop dat deze post aantoont dat dit niet is waar Heisenberg op doelde. En dat je nu weet dat de onzekerheidsrelatie an sich niet eens zijn wortels heeft in de quantummechanica. Het is simpelweg golfmechanica, de klassieke leerstof voor alle eerstejaars natuurkundestudenten, vaak al in het eerste of misschien het tweede semester.
Enkele maanden geleden stuitte ik op een videoclip van een Australische senator die vragen stelde aan het hoofd van de Commonwealth Scientific and Industrial Research Organisation, een federaal overheidsagentschap verantwoordelijk voor wetenschappelijk onderzoek en advies voor de Australische regering. Het was duidelijk dat de senator de klok had horen luiden, niet wetende waar de klepel hangt. Hij had vast ‘iets gelezen’ over de onzekerheidsrelatie van Heisenberg. Tijdens een hoorzitting van de Senaat vroeg hij zich af of de klimaatonderzoeken niet beter in twijfel getrokken moesten worden nu dat Heisenberg aantoonde dat metingen niet met zekerheid vastgesteld kunnen worden(beginfootnote)Goed, wat hij in feite deed was het op de hoorzitting naar voren brengen van een ‘wetenschappelijke’ reden voor het afwijzen van de conclusies van klimaatwetenschappers. Hij meent dan ook – niet geheel verrassend – dat er niets aan de hand is met het klimaat. Ik claim niet iets zinnigs af te weten van Australische politiek – ik ben tevens geen klimaatwetenschapper – maar als iemand iets beweert over quantummechanica, een senator in dit geval, dan weet ik daar wel degelijk wat over te vertellen.(endfootnote).
Ik vermoed dat de discussie een studie betrof waarbij een satelliet infrarode straling gebruikt voor remote sensing van het aardoppervlak en/of atmosfeer. Hij ging namelijk verder door te stellen dat infrarood licht lagere frequenties heeft dan zichtbaar licht dus dat het volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg heel erg moeilijk is om de eigenschappen van infrarode straling te bestuderen.
Er ging veel tegelijkertijd niet helemaal goed (ronduit fout) tijdens zijn korte spreektijd, zoals gebruikelijk is wanneer iemand de klok heeft horen luiden maar niet weet waar de klepel hangt. Begrijpelijk, maar het maakte het fragment er niet minder tenenkrommend van (de link opent een nieuw tabblad en leidt naar de korte video op Twitter).
Hoe dan ook hoop ik dat dit artikel op z’n minst een klein beetje bijdraagt aan de kennis van het electoraat van onze wereld, opdat we allen zo geïnformeerd en verantwoord mogelijk kunnen stemmen op de juiste personen voor de juiste posities, nog los van een ieders socio-economisch idealisme.
Als er iets is dat je hiervan hopelijk meekrijgt, dan is het dat de onzekerheidsrelatie van Heisenberg niet iets spiritueels betreft en dat het niets te maken heeft met wetenschappelijke meetfouten: het is goede, oude golfmechanica en Fourieranalyse zoals onderwezen aan undergraduates in hun eerste jaar op de universiteit. Het werkt en het werkt ontzettend goed. Het leidt niet tot de conclusie dat wetenschap niet in staat zal zijn om dingen te weten te komen over het universum. Wat dat betreft bewerkstelligt het precies het tegenovergestelde. Immers, je leest dit met een elektronisch apparaat dat bestaat bij gratie van onder andere Fourier, Heisenberg en De Broglie. En dat alles met een a bit of maths and physics.
Foto Werner Heisenberg door Friedrich Hund, een Duitse natuurkundige die de foto nam in Heisenbergs woonplaats, Göttingen in 1924. Het werd geüpload op Wikimedia Commons onder CC BY 3.0 door Friedrich Hunds zoon, Gerhard Hund, een Duitse wiskundige, informaticus, journalist en schaker. We hebben de kleurgecorrigeerde versie van Martin Geisler gebruikt.
Als de toestand van een subatomair deeltje alleen maar beschreven kan worden door een golffunctie in combinatie met de toestand van een ander subatomair deeltje dan spreken we van kwantumverstrengeling. Dit is het speciale geval waarbij beide deeltjes alleen beschreven kunnen worden door een en dezelfde golffunctie. Ze zijn geen losse entiteiten meer. Het verbluffende gevolg hiervan is dat het verrichten van een meting op het ene deeltje een onmiddellijk effect heeft op de meting van het andere deeltje, onafhankelijk van de fysieke afstand tussen de twee. In deze post, deel twee van onze miniserie over kwantumverstrengeling, zullen we de EPR-paradox van Einstein en zijn collega’s bespreken. Daarna bespreken we de stelling van Bell, die natuurkundigen in staat stelde om Einsteins voorstel te testen. Had Einstein gelijk?
Een schematische weergave van een elektron. Let wel, dit is niet hoe een elektron er werkelijk uitziet noch ziet een elektronspin er zo uit. De kwantumwereld is zo anders dat klassieke noties zoals die hier zijn toegepast eigenlijk niet langer voldoen. Hier doen we alsof het elektron een vervagende bal is die ogenschijnlijk om een as draait, maar eigenlijk is dat het niet en doet dat het niet. Het is nu eenmaal het beste wat we hebben. Hoewel, eigenlijk is het beste dat we hebben de wiskundige expressie die we golffunctie noemen.
Korte samenvatting
Hier volgt eerst een korte samenvatting van de vorige post van dit tweeluik:
1. we maken gebruik van de eigenschap genaamd spin om onderscheid te maken tussen de twee verstrengelde elektronen;
2. de oriëntatie van de spin van het elektron wordt aangeduid met spin-omhoog (tegen de klok in) of spin-omlaag (met de klok mee) ten opzichte van de as waarlangs de meting wordt verricht;
3. het is mogelijk om een willekeurige as te kiezen waarlangs je de meting uitvoert, in drie dimensies;
4. onafhankelijk van welke as je kiest, het meetresultaat zal altijd of spin-omhoog of spin-omlaag zijn (er is geen spin-schuin-naar-rechts bijvoorbeeld);
5. we zijn in staat om deeltjes op zo’n manier met elkaar te verstrengelen dat ze óf altijd tegengestelde spin óf altijd identieke spin zullen vertonen na meting; eenmaal op deze manier geprepareerd zullen ze nooit van dit patroon afwijken na meting;
6. in de vorige en in deze post maken we gebruik van de tegengestelde-spin-configuratie;
7. kwantummechanica stelt dat elektronen nog geen specifieke spinoriëntatie hebben vóór de meting: de golffunctie bevat alle mogelijke meetuitkomsten en in dit geval is dat dus spin-omhoog én spin-omlaag (of, iets anders geformuleerd, ‘in dit geval is dat dus nog geen definitieve spinoriëntatie’)(beginfootnote)Analoog hieraan toonde het dubbelspleetexperiment aan dat vóór meting deeltjes nog geen specifieke locatie hebben.(endfootnote);
8. zodra je, langs een willekeurige as, een meting verricht aan een van de twee elektronen, klapt de spin van het andere elektron onmiddellijk in de tegenovergestelde richting langs dezelfde as, ongeacht de ruimtelijke afstand tussen de twee deeltjes(beginfootnote)Of, als zij zodanig geprepareerd waren dat ze identieke spin zullen hebben, klapt het andere elektron natuurlijk in dezelfde spinoriëntatie langs de willekeurig gekozen as van meting bij het andere elektron.(endfootnote).
EPR-paradox
Einstein had begrip van kwantummechanica zoals weinig anderen en hij accepteerde de voorspellingen en resultaten ervan, maar hij had weinig op met de niet-lokale implicaties. Hij had moeite met punt 8 van de vorige paragraaf. Er is hier immers sprake van nul tijdsverschil tussen de beïnvloeding van een deeltje in Amsterdam (door het meten van zijn spin) en het fysieke gevolg hiervan voor het verstrengelde deeltje in Boston. Het overtreedt het centrale concept van Einsteins speciale relativiteit: geen signaal of informatie – of wat dan ook in dit universum – kan sneller zijn dan de snelheid van het licht(beginfootnote)In een vacuüm.(endfootnote) anders zou causaliteit niet bestaan. Met andere woorden, als informatie of signalen in staat waren om sneller dan het licht te zijn, zouden gevolgen kunnen gebeuren vóór de oorzaken ervan hadden plaatsgevonden. Dat lijkt niet te rijmen met het universum waar wij in leven, om het zachtjes uit te drukken.
Einstein, Podolsky en Rosen (EPR) hypothetiseerden dat er iets anders, iets geheimzinnigs aan de hand was – verborgen voor theoretische en experimenteel natuurkundigen. De kwantummechanica zoals tot dan toe bekend, was volgens hen incompleet. Uiteraard erkenden zij het succes ervan maar als het kwantumverstrengeling betrof, meenden ze dat er iets miste in de theorie van de golffuncties.
Om het probleem van sneller-dan-licht op te lossen, stelden ze zich voor dat wat er werkelijk gebeurde was dat deeltjes zich altijd al in een specifieke toestand bevinden. Als het kwantumverstrengelde elektronenpaar van elkaar gescheiden wordt, hadden ze altijd al een specifieke toestand van spin-omhoog of spin-omlaag, vanaf het begin, toen ze werden geprepareerd.
Stel dat een paar handschoenen werden vervaardigd. Zoals alle handschoenen zijn ze altijd elkaars tegenpool met betrekking tot links- of rechtshandigheid(beginfootnote)De meer algemenere term hiervoor is chiraliteit.(endfootnote). De een is altijd linkshandig, de ander altijd rechtshandig. En als de een rechtshandig is, is de ander linkshandig. (Anders heb je een handschoen van een ander paar.)
Stel, de machine waarmee het handschoenenpaar werd gemaakt, doet iedere handschoen in een eigen doosje. Wij kunnen niet zien welke handschoen in welk doosje ging. Een doosje gaat naar Amsterdam en de andere gaat naar Boston. Experimenteel natuurkundigen openen het doosje in Amsterdam: het is de rechtshandige! Nu weten we onmiddellijk welke handschoen in Boston is: de linkshandige. Geen magie, geen non-lokaliteit, geen lichtsnelheid brekende fratsen.
Einstein en vrienden zeiden dat het zo ook met de verstrengelde elektronen het geval moet zijn. Het elektronenpaar had altijd al een specifieke spinoriëntatie, vanaf het begin al. Pas in Amsterdam en Boston verrichten we de metingen. Het is dan natuurlijk alleen maar logisch dat als je weet welke spin het elektron in Amsterdam heeft, je meteen weet welke spin het elektron in Boston heeft.
Dus, concludeerde Einstein, non-lokaliteit is een illusie. Het betreft allemaal heel normaal en gewoon de lokale wetten van de natuur en een beetje logisch nadenken. Ten eerste is de spinoriëntatie simpelweg verborgen voor ons en niet principieel nog onzeker. Ten tweede is er geen spookachtige werking op afstand[1], zoals hij het uitdrukte(beginfootnote)In het Duits noemde hij het een ‘spukhafte Fernwirkung'[1].(endfootnote).
In het alledaagse spraakgebruik noemen natuurkundigen dit de lokale variant van een verborgen-variabelentheorie. ‘Verborgen variabelen’ verwijzen hierbij min of meer naar de deeltjeseigenschappen die we nog niet kunnen zien (zoals spinoriëntatie of variabelen die deze beïnvloeden) omdat onze kwantummechanische beschrijving (de golffunctie) incompleet is. Niettemin, stelt Einstein, de eigenschappen zijn al wel aanwezig, al wel in een specifieke toestand, en niet nog onbepaald tot een meting plaatsvindt.
De ongelijkheid van Bell
Helaas overleed Einstein in 1955. En Niels Bohr, de grote natuurkundige met wie hij graag debatteerde over de fundamentele aard van kwantummechanica, overleed in 1962. In beide gevallen te vroeg om John Stuart Bells artikel te lezen dat hij in 1964 publiceerde onder de titel ‘Over de Einstein Podolsky Rosen Paradox'[2]. Bell realiseerde zich dat Einsteins beschrijving van wat er zich werkelijk achter de schermen afspeelde zich in principe leent voor experimenten. Einsteins voorstel bracht een duidelijke voorspelling met zich mee, beter bekend als de ongelijkheid van Bell.
In het Nederlands is dat mogelijk wat ongelukkig geformuleerd, ‘ongelijkheid’; verwar het dus niet met ‘het ongelijk’. Er zijn trouwens meer ongelijkheden in de omloop die in de loop der tijd ontwikkeld en afgeleid zijn door natuurkundigen(beginfootnote)Behalve zijn originele ongelijkheid is er bijvoorbeeld de veelal toegepaste CHSH-inequality (Engels).(endfootnote). Om Bells ongelijkheid toe te lichten, maken we hier gebruik van een versie van David Mermin zoals hij die naar voren bracht in zijn fantastische Boojums All the Way Through: Communicating Science in a Prosaic Age[3].
Waar we ook gebruik van gaan maken is de mogelijkheid die genoemd is in punt 3 hierboven. We gaan de spinoriëntatie langs drie verschillende assen meten. Drie assen die onder een hoek van 120° ten opzichte van elkaar staan.
De eerste as betreft de spinoriëntatie langs de verticale as, die we zullen aanduiden met de volgende symbolen voor spin-omhoog en spin-omlaag:
$$\uparrow \downarrow$$
De spinoriëntaties omhoog en omlaag zullen ook langs de tweede as gemeten worden:
$$\nwarrow \searrow$$
En de spinoriëntaties langs de derde as geven we weer als:
$$\nearrow \swarrow$$
Stel je nu twee verstrengelde elektronen voor die van elkaar worden gescheiden. De gebruikelijke kwantummechanische beschrijving van ieder elektron is dat ze zich in een superpositie van spin-omhoog en spin-omlaag bevinden, langs alle drie assen.
Behalve dan dat Einstein zegt, nee, nee, nee, dat is niet echt zo: verborgen achter de ‘sluier van superpositie’ hebben ze in feite al een specifieke spinoriëntatie voor ieder van die drie assen. We weten simpelweg nog niet welke totdat we gaan meten!
Hij zegt dus dat het elektron in Amsterdam al in een specifieke spintoestand is voor alle drie de assen, zoals:
$$\left( \uparrow \searrow \swarrow \right)_A$$
Dus, langs as 1 is het spin-omhoog, langs as 2 is het spin-omlaag en langs as 3 is het ook spin-omlaag.
Einstein stelt verder dat het verstrengelde elektron in Boston dan logischerwijs in de tegenovergestelde spintoestanden verkeert:
$$\left( \downarrow \nwarrow \nearrow \right)_B$$
Einstein besluit dat zodra er een daadwerkelijke meting plaatsvindt in Amsterdam langs as 1, het natuurlijk logisch is dat je de tegenovergestelde spintoestand meet bij het elektron in Boston, langs dezelfde as!
Bells inzicht is vervolgens dat als je dit argument verder uitwerkt voor alle mogelijke combinaties van spintoestanden dat je een voorspelling kan doen over de verhouding waarin al die verschillende combinaties zich voordoen.
Ten eerste, stelt Bell, als je langs as 1 in Amsterdam meet, hoef je in Boston niet per se langs diezelfde as te meten: je kunt ervoor kiezen om langs as 3 te meten, bijvoorbeeld. Dus met de twee voorbeelden hierboven zou je als meetresultaten kunnen verkrijgen dat het in Amsterdam spin-omhoog is en in Boston óók spin-omhoog:
$$\left( \uparrow \right)_A \text{ en } \left( \nearrow \right)_B$$
Bell ging verder door te stellen dat als je het aantal combinaties omhoog-omhoog, omlaag-omlaag en natuurlijk omhoog-omlaag en omlaag-omhoog zou tellen, je dan uiteindelijk specifieke verhoudingen zal krijgen tussen deze combinaties. Als daarentegen zou blijken dat deze verhoudingen zich niet voordoen dan is Einsteins hypothese onjuist. In dat geval is er iets heel anders aan de hand dan Einstein zich voorstelde. De elektronen waren dan niet al in een specifieke toestand, wat betekent dat de non-lokaliteit bij metingen met kwantumverstrengeling daadwerkelijk bestaat!
Alles op een rijtje
Laten we alles even op een rijtje zetten. Laten we ons eerste voorbeeld van hierboven er weer bij pakken:
Als je langs as 1 in Amsterdam en langs as 1 in Boston meet, verkrijg je spin-omhoog en spin-omlaag. Als je langs as 1 in Amsterdam en langs as 2 in Boston meet, verkrijg je spin-omhoog en spin-omhoog. En zo verder. We hebben het in een tabelletje weergegeven:
Hier zie je alle mogelijke combinaties van meetuitkomsten langs de drie mogelijke assen van het elektron in Amsterdam (A) en Boston (B). We gebruiken O voor OP (spin-omhoog) en N voor NEER (spin-omlaag).
Bell stelt verder dat als Einstein het juist had, en de spintoestanden langs deze drie assen allang bepaald waren, dat de hier weergegeven combinaties behoren tot de verwachte uitkomsten.
datLaten we ons vooral concentreren op de combinaties ON en NO. Met andere woorden, laten we ons richten op het aantal keren dat we tegengestelde spintoestanden meten, onafhankelijk van langs welke as we die meting uitvoeren. We hebben die met geel gearceerd.
Precies vijf van de negen keren zal de spincombinatie dus tegengesteld zijn.
Laten we de andere spincombinaties ook verkennen. Stel dat het elektron in Amsterdam stiekem in de volgende spintoestanden verkeert, $\left( \downarrow \nwarrow \swarrow \right)_A$, en het elektron in Boston is dan precies zijn tegenpool, $\left( \uparrow \searrow \nearrow \right)_B$. Als we opnieuw de keren tellen dat de meetuikomsten tegengesteld zijn (langs de verschillende assen dus), zijn dat wederom vijf van de negen keer.
Ik denk dat je nu wel in de gaten krijgt waar dit heen gaat. We gaan niet alle tabellen langs, maar we doen er nog eentje dan. Stel, het elektron in Amsterdam verkeert zich langs alle drie assen in de toestand spin-omlaag, $\left( \downarrow \searrow \swarrow \right)_A$, en, uiteraard, die in Boston verkeert voor alle assen in tegengestelde toestand, $\left( \uparrow \nwarrow \nearrow \right)_B$. In dat geval zouden we negen van de negen keer de tegengestelde spinresultaten verkrijgen.
Deze versie van Bells ongelijkheid stelt dus dat de kans (P) om tegengestelde spincombinaties te meten langs alle drie de assen minstens $\frac{5}{9}$ of 55% (en ten hoogste 1 of 100%) is. Met andere woorden, $P(\text{opposite}) \geq \frac{5}{9}$. Als deze ongelijkheid geschonden wordt door een experiment, is de onderliggende theorie bewezen onwaar.
Experimentele resultaten
In de afgelopen dertig jaar zijn vele experimenten uitgevoerd die allen een versie van Bells ongelijkheid toepasten. Meestal betrof het echter fotonen in plaats van elektronen en mat men polarisatie in plaats van spin.
Freedman en Clauser voerden de eerste Bell-test uit. Zij gebruikten een versie van de zogenaamde CH74-ongelijkheid[4].
Het bekendste experiment werd uitgevoerd door Alain Aspect en collega’s. In opvolging van Bells suggestie waren zij in staat om de twee metingen op de twee verschillende plekken langs verschillende assen uit te voeren die willekeurig werden uitgekozen nadat de deeltjes (fotonen in hun geval) uit elkaar werden gehaald maar voordat de deeltjes bij de meetapparaten arriveerden.
Bij alle experimenten werden geen van de versies van Bells ongelijkheden verkregen. In plaats daarvan was de statistische uitkomst overeenkomstig met wat je zou verwachten vanuit de kwantummechanica zoals we die toen en nu nog steeds kennen. De conclusie was dat Einsteins lokale verborgen-variabelentheorie incorrect was. Er is niets lokaal aan het meten van kwantumverstrengelde deeltjes.
In onze specifieke ongelijkheid bleek dat het aantal keren dat je tegengestelde spincombinaties verkreeg, precies te liggen op 50% van alle metingen en niet 55%.
Conclusies
Laten we samenvatten wat we hier hebben kunnen vaststellen.
In de kwantummechanica verkeren deeltjes waarop nog geen metingen zijn verricht zich nog niet in een definitieve, specifieke toestand. In plaats daarvan worden ze het beste beschreven door een golffunctie die alle mogelijke toekomstige toestanden omvat waar ze uiteindelijk in kunnen ‘omklappen’ zodra ze wel worden gemeten.
Als een deeltje alleen beschreven kan worden in combinatie met een ander deeltje, dat wil zeggen, beide deeltjes kunnen alleen beschreven worden door een en dezelfde golffunctie, dan zijn ze maximaal verstrengeld(beginfootnote)In de praktijk, in de echte wereld, zijn deeltjes niet maximaal verstrengeld zoals we die kunnen verstrengelen in het laboratorium. De wereld is te rommelig voor deze ‘pure verstrengeling’. Er zijn simpelweg te veel deeltjes om niet met andere deeltjes te interacteren. Ieder deeltje zal zonder uitzondering interacteren met triljarden andere deeltjes en dus zal de coherentie van ieder beetje verstrengeling al snel verzwakken of zelfs geheel verdwijnen. Iedere interactie is een meting. Omdat onze hersenen heel groot zijn en uit triljarden deeltjes bestaat, zullen ze nooit in een dergelijke pure toestand van superpositie noch verstrengeling kunnen verkeren. Laat staan dat ons nog veel grotere lichaam zich ooit in een of andere kwantumtoestand kan bevinden. Dat is statistisch zo onwaarschijnlijk dat je zo oud moet worden als $(10^{100})^{100}$ de leeftijd van het huidige universum om dat een keer mee te maken. En dat getal is alleen maar symbolisch bedoeld. Het is veel groter.(endfootnote).
Als de verstrengeling zodanig is dat de spinoriëntatie altijd op een bepaalde manier correleert – ongeacht of het identieke spin of tegengestelde spin betreft – dan heeft een meting op een deeltje, waardoor het in een van de mogelijke, specifieke toestanden klapt, een onmiddellijk effect op de toestand van het andere deeltje: het klapt ook onmiddellijk uit de waas van de golffunctie met het andere deeltje correlerende, specifieke toestand.
Einstein hield er niet van want het impliceerde dat er op een of andere manier informatie van het ene deeltje naar het andere deeltje werd getransporteerd met een snelheid die hoger lag dan die van het licht.
Samen met Podolsky en Rosen stelden hij voor dat deeltjes altijd al een verborgen toestand hadden. Daarmee konden ze non-lokaliteit omzeilen.
John Bell toonde aan dat je de EPR-hypothese kon testen. Latere experimenten toonden aan dat EPR het niet bij het juiste eind hadden.
Deeltjes ‘klappen’ wel degelijk in een specifieke toestand zodra ze gemeten worden waar ze voorheen zich in nog geen enkele specifieke toestand bevonden.
Dat betekende dat non-lokaliteit klopt. Er is geen andere manier waarlangs het andere deeltje in de juiste toestand klapt.
Niemand weet nog hoe dit kan. Er zijn verschillende niet-lokale, verborgen-variabelentheorieën in de omloop. Een van bekendste versies is het zogenaamde ER=EPR-vermoeden van Juan Maldacena en Leonard Susskind. Misschien iets voor een volgende keer om in te duiken.
Einsteins afkeer van deeltjes die zich nog niet in specifieke toestand bevinden totdat ze gemeten worden, brachten hem tot de roemruchte uitspraak: ‘God dobbelt niet’.
Helaas had hij het hier op twee niveaus niet bij het juiste eind. God(beginfootnote)We gebruiken het woord ‘God’ hier puur metaforisch. Het verwijst niet naar een entiteit van een specifieke religie zoals aanbeden door velen in verschillende samenlevingen.(endfootnote) dobbelt wel. Bovendien gooit Hij de stenen waar we ze niet kunnen zien. Zelfs God lijkt gebonden te zijn aan de onzekerheidsrelatie van Heisenberg. Maar dat is een ander onderwerp voor een ander bit of maths and physics.
[1] Einstein, A., Podolsky, B. and Rosen, N. (1935) “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?,” Physical Review, 47(10), pp. 777–780. doi: 10.1103/PhysRev.47.777.
[2] Bell, J. S. (1964) “On the Einstein Podolsky Rosen Paradox,” Physics Physique Fizika, 1(3), pp. 195–200. doi: 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195.
[3] Mermin, N. D. (1990) Boojums all the way through : communicating science in a prosaic age. Cambridge England: Cambridge University Press.
[4] Fry, E. S. and Thompson, R. C. (1976) “Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories,” Physical Review Letters, 37(8), pp. 465–468. doi: 10.1103/PhysRevLett.37.465.
[5] Aspect, A., Dalibard, J. and Roger Gérard (1982) “Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time-Varying Analyzers,” Physical Review Letters, 49(25), pp. 1804–1807. doi: 10.1103/PhysRevLett.49.1804.
Uitgelichte foto: theoretisch natuurkundige John Stuart Bell in het CERN, juni 1982 (CERN, CC BY 4.0)
Tot op de dag van vandaag krabben natuurkundigen zich op het hoofd als het gaat om kwantumverstrengeling en de daaruit voortkomende effecten. Dit onderwerp is opgesplitst in twee delen. In deze post bespreken we de begrippen lokaliteit en non-lokaliteit en wat kwantumverstrengeling is. De term kwantumverstrengeling is in het populaire taalgebruik veelvoorkomend in de context van spiritualiteit, healing en new-agebenaderingen van het menselijk bewustzijn. Dit heeft echter niets te maken met de kwantumverstrengeling die we hier bespreken. Hier kijken we puur naar de natuurkunde, de zuivere herkomst en originele context. We zullen daartoe de toestand van een systeem met twee deeltjes nader bestuderen. In de volgende post bespreken we welke bezwaren Einstein en vrienden naar voren brachten, wat Bell toen schreef en of Einsteins voorstel correct was. En we bespreken enkele intrigerende mazen van het net.
De basics
Voor de zekerheid nog even de basis. ‘Deeltjes’ zijn volstrekt geen deeltjes in de klassieke betekenis van het woord – het zijn geen kleine balletjes of kogeltjes. De beste beschrijving die we van ze hebben is de golffunctie, een wiskundige expressie waarin alle mogelijke toestanden van het deeltje zijn verwerkt. Dit betreft onder andere zijn energieniveau’s, zijn positie en nog een aantal andere eigenschappen of toestanden die het kan omvatten.
Zolang er geen metingen op los zijn gelaten, verkeert het deeltje niet in een specifieke toestand. Het vertoont golfachtige gedrag als een ondoorzichtige wolk van alle mogelijke toestanden. Zodra je echter metingen verricht, klaart die wolk ogenblikkelijk op en zal het deeltje eruit zien als een echt deeltje, in de klassieke zin van het woord. Met een specifieke toestand.
Overigens kan ‘de toestand van een elektron’ referen naar een deeltje zonder specifieke toestand of specifieke waarden van eigenschappen zolang geen metingen hiernaar zijn verricht. De toestand van een elektron is hier het beste beschreven als een golffunctie die alle mogelijke specifieke toestanden omvat.
Hierna worden ‘golffunctie’ en ‘toestand’ door elkaar gebruikt.
Isaac Newton wist dat hij een probleem had toen hij zijn theorie van de zwaartekracht eenmaal had geformuleerd. Het beschrijft heel mooi in behoorlijk precieze termen hoe de zwaartekrachten van twee massa’s zich tot elkaar verhouden, maar het verklaart niet hoe dat gebeurt. Hij was niet blij met de conclusie dat de zwaartekracht tussen de aarde en de maan op grote afstand dwars door een vacuum een soort spookachtige invloed kan hebben. Hij schreef dat het een dusdanig grote absurditeit was dat hij meende dat geen mens met enig talent tot nadenken over filosofische aangelegenheden hiervoor zal vallen. Beroemd is zijn toevoeging dat hij dit onopgeloste mysterie verder ‘ter overdenking aan zijn lezers’ overliet[1].
Met andere woorden, Newton was geen fan van non-lokaliteit(beginfootnote)De eerlijkheid gebiedt me te zeggen dat ik op het moment van schrijven niet zeker weet of dit de juiste Nederlandse term is voor het Engelse non-locality. Hetzelfde geldt voor ‘lokaliteit’, oftewel locality.(endfootnote). En toch, zijn theorie impliceerde dat er sprake moet zijn van een onzichtbare kracht die over grote afstanden door de leegte van een vacuum kan doorwerken. Bovendien lijkt het een instantane kracht te zijn: als de zon plotseling zou verdwijnen, dan zou de aarde subiet zijn ellipsvormige baan verlaten en de ruimte ingeslingerd worden. Tegenwoordig weten we dat niets sneller kan voortbewegen dan het licht, dus ook veranderingen in de zwaartekracht van de zon zouden er ongeveer acht minuten over doen voordat ze de aarde bereiken.
In de daaropvolgende jaren bleken fenomenen als magnetisme en elektriciteit inderdaad toch gewoon lokaal te zijn. Aan werd getoond dat er altijd sprake is van een indirecte weg via welke het ene object het andere kan beïnvloeden. Wat wordt er dus precies bedoeld met lokaliteit? Dit is het mechanisme: een object interacteert met zijn directe omgeving, een veld dat verankerd is in onze driedimensionale wereld, een elektromagnetisch veld in dit geval. Die interactie brengt als het ware een rimpeling teweeg in het veld, dat die rimpeling vervolgens doorzet naar het andere object. In termen van ‘velden’ kun je stellen dat er dus een bepaalde waarde van het veld veranderd is door het object. Die waardeverandering verandert op zijn beurt de waarden van het veld in de directe omgeving, die op hun beurt de waarde van het veld weer wijzigen in hún directe omgeving, enzovoort. Het is vergelijkbaar met ‘de wave’ van duizenden supporters in een voetbalstadion. Of omvallende dominostenen. Iedere verandering is altijd lokaal en de voortbewegingssnelheid kent een maximum van de snelheid van het licht.
Tuimelende telefooncellen zijn absoluut een ‘lokaal fenomeen’. De sculptuur Out of Order van David Mach bevindt zich in Kingston upon Thames (VK). Foto door 272447.
Vele jaren later verving Einstein de zwaartekrachttheorie van Newton met zijn algemene relativiteitstheorie. Het toonde aan dat Newtons intuïtie dat zwaartekracht nietniet-lokaal kon zijn, correct was. In de algemene relativiteitstheorie zijn ruimte en tijd zelve de rekbare substantie via welke zwaartekrachtverstoringen worden voortgeplant richting het andere object met de snelheid van het licht. Als een massa de ruimtetijd om zich heen plooit en kromt, rimpelen deze verstoringen verder door het universum op weg naar andere objecten. Op 11 februari 2016 slaagde een enorm samenwerkingsverband tussen ongelooflijk getalenteerde wetenschappers erin om deze zwaartekrachtrimpelingen in de ruimtetijd daadwerkelijk te meten en te registreren. Einstein voorspelde het bestaan van deze rimpelingen al in 1916. Het leverde drie sleutelfiguren de Nobelprijs op.
En zo leek het erop dat spookachtige invloeden op een afstand in de natuurkunde niet bestaan. En zelfs heden ten dage, in de moderne kwantumfysica, luidt de beste en meest succesvolle theorie dat er kwantumvelden verankerd zijn in ons universum die de media vormen via welke krachten worden voortgepland met de maximumsnelheid van het licht.
Non-lokaliteit omvat de verandering van een plek in de ruimte die ogenblikkelijk invloed uitoefent op een andere plek in de ruimte, onafhankelijk van de afstand tussen die twee plekken. Lokaliteit omvat de voortplanting van verandering op een plek in de ruimte door telkens aangrenzende plekken in die ruimte navenant te veranderen met de maximumsnelheid van het licht, onderweg naar een andere plek in de ruimte.
Spin
Elektronen beschikken over verschillende eigenschappen. Een van de meest in het oog springende is (negatieve) lading. Het Stern-Gerlach-experiment toonde aan dat ze over nog een eigenschap beschikken: kwantummechanische spin. De term is mogelijk wat verwarrend. Het verwijst geenszins naar het impulsmoment zoals we dat in de klassieke mechanica kennen; het heeft niets te maken met het klassieke draaien om een as. In feite valt het met geen mogelijkheid klassiek-mechanisch te beschrijven.
Niettemin, feit is, elektronen hebben een intrinsieke, kwantummechanische spin. Het valt te meten langs elke gewenste as – het maakt niet uit welke hoek die as maakt met enige horizontaal of verticaal. Zoals met alle objecten in de driedimensionale ruimte waar we in leven, kun je iedere hoek binnen de 360 graden kiezen – en dat in drie dimensies. Ten opzichte van welke as je ook kiest, kunnen elektronen echter maar twee spinoriëntaties hebben: met de klok mee of tegen de klok in(beginfootnote)Inderdaad, dit klinkt alsof ze toch om hun as roteren in de klassieke zin van het woord. En wellicht, in zekere, diepere zin, is dat wat het toch gedeeltelijk is, maar hoe dan ook verdient dit een eigen post. Voorlopig moeten we helaas maar accepteren dat onze taal te simplistisch is om klassieke termen voor het beschrijven van kwantummechanische fenomenen te vermijden – wat helaas misleidend is.(endfootnote). Die laatste noemen we spin omhoog en die daarvoor noemen we spin omlaag, geheel volgens de rechterhandregel.
Als elektronen als kleine, pluizige balletjes zijn, zoals hier afgebeeld, zou je je ‘spin’ kunnen voorstellen als een draaiing om de as waarlangs de meting plaatsvindt: met de klok mee of tegen de klok in. Gebruikmakend van de rechterhandregel duiden we die draaiing aan met spin-omhoog en spin-omlaag. Uiteraard kan er langs iedere willekeurige as gemeten worden omdat de wereld driedimensionaal is. En iedere keer bevat het elektron een spin om die as. Let wel: deze klassiek-mechanische illustratie geeft niet echt weer wat elektronen zijn noch wat kwantummechanische spin is. Maar mogelijk helpt het als een analogie. (Illustratie door KJ Runia)
Symbolen
Omdat we de lezer graag serieus nemen, grijpen we hier de gelegenheid aan om enkele wiskundige symbolen door te nemen die van pas komen in deze en de volgende post.
Vanaf nu gebruiken het symbool $\lvert A \rangle$ voor de toestand van een elektron in Amsterdam met betrekking tot z’n spinoriëntatie. Zolang we er nog geen metingen aan hebben verricht, verkeert het elektron nog niet in een specifieke toestand. Echter, zodra we bijvoorbeeld langs de verticale as de spin gaan meten, kan de spin dus alleen maar spin omhoog of spin omlaag zijn. Laten we die twee mogelijke uitkomsten aanduiden met $\lvert \uparrow \rangle_A$ en $\lvert \downarrow \rangle_A$.
Analoog hieraan duiden we de toestand van een elektron in Boston aan met $\lvert B \rangle$ en zijn de twee mogelijke meetuitkomsten $\lvert \uparrow \rangle_B$ en $\lvert \downarrow \rangle_B$.
Aangenomen dat de toestand van het elektron in Amsterdam nog niet gemeten is, kunnen we dit met betrekking tot z’n spin wiskundig opschrijven als een combinatie van beide mogelijke spin-toestanden:
Dit is waarom natuurkundigen het op een haast poëtische manier hebben over een deeltje dat – zolang het niet gemeten is – in beide spin-toestanden tegelijk verkeert, terwijl het nauwkeuriger is om te zeggen dat ze nog geen specifieke toestand hebben. Wiskundig gezien is de toestand een amalgaam van alle mogelijke, in een lineaire superpositie gebrachte (bij elkaar opgetelde), algebraïsche oplossingen van de Schrödingervergelijking. Vandaar dat men spreekt over een ‘deeltje in superpositie’.
Wat zijn die $\alpha$ en $\beta$? Dat zijn de waarschijnlijkheidsfactoren die we nog even moeten vinden. De waarschijnlijkheidsinterpretatie van Born stelt dat als we het kwadraat van de (modulus van de) golffunctie (de toestand) nemen, dat we dan de waarschijnlijkheid(sdichtheid) verkrijgen van eender welke mogelijke meetuitkomst. Experimenten toonden aan dat spin-omhoog en spin-omlaag beide in 50% van de gevallen uit de meting komt. Met andere woorden, de waarschijnlijkheid voor beide spin-toestanden is precies $\frac{1}{2}$. Dus als $\alpha=\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}$, dan is het kwadraat daarvan $\lvert\alpha\rvert^2 = \lvert\beta\rvert^2 = \frac{1}{2}$. Immers, $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$ en dat is precies wat we willen. Dus de toestand (golffunctie) van ons Amsterdamse elektron met betrekking tot spin wordt dan genoteerd als
Met andere woorden, de toestand van een elektron voor een meting is de som van alle mogelijke toestanden (vermenigvuldigd met een waarschijnlijkheidsfactor, in dit geval is dat dus $\frac{1}{\sqrt{2}}$).
In het geval van een spinoriëntatie ten opzichte van de verticale as, zoals hier, is de toestand van het elektron dus de som van twee mogelijke toestanden, spin-omhoog $\lvert \uparrow \rangle$ of spin-omlaag $\lvert \downarrow \rangle$.
Nota bene: er zijn andere mogelijkheden. We hadden ook een meting kunnen verrichten langs de horizontale as. Ook dan zijn er maar twee spinoriëntaties mogelijk, maar die zouden we dan kunnen representeren met de symbolen spin-links $\lvert \leftarrow \rangle$ of spin-rechts $\lvert \rightarrow \rangle$. Of we hadden de spin langs assen onder een hoek van 120 graden ten opzichte van de verticale as kunnen meten. Dan zouden we $\lvert \nwarrow \rangle$ en $\lvert \searrow \rangle$ of $\lvert \nearrow \rangle$ en $\lvert \swarrow \rangle$ kunnen gebruiken. We gaan hier nog verder op in tijdens de bespreking van de Stelling van Bell in de volgende post.
Kwantumverstrengeling
Dus, wat is kwantumverstrengeling nu precies? Zoals inmiddels al herhaald is de golffunctie de meest complete beschrijving van een deeltje. Dit betrof echter meestal een vrij, enkel deeltje dat verder niet met iets of wat dan ook interacteerde. In het geval van kwantumverstrengeling gaat dit echter niet meer op.
Als de toestand van een deeltje niet langer beschreven kan worden zonder de beschrijving van de toestand van een ander deeltje, zijn deze twee deeltjes kwantumverstrengeld. Met andere woorden, het is niet langer mogelijk om van ieder deeltje afzonderlijk een golffunctie te formuleren. Ze kunnen alleen nog maar samen, als één systeem van twee deeltjes, door middel van één en dezelfde golffunctie worden beschreven.
Dit heeft verstrekkende gevolgen. Stel dat onze twee elektronen op zo’n manier kwantumverstrengeld zijn dat ze altijd elkaars tegengestelde spinoriëntatie bezitten(beginfootnote)De productie van spinverstrengelde elektronen is niet makkelijk, maar slimme experimenteel-natuurkundigen hebben zo hun trucs.(endfootnote). Dus als de een spin-omhoog is, $\lvert \uparrow \rangle$, is de andere altijd automatisch spin-omlaag, $\lvert \downarrow \rangle$, of vice versa(beginfootnote)Het is ook mogelijk om ze zodanig met elkaar te laten correleren dat de spin identiek is, maar in ons voorbeeld even niet dus.(endfootnote). Nu hebben we dus een systeem met twee deeltjes die altijd elkaars tegengestelde spin hebben, hetgeen betekent dat de totale spin van het systeem gelijk is aan 0, nul. Laten we de totale spin van ons systeem voortaan aanduiden met $\lvert S \rangle$.
Voordat de meting plaatsvindt, worden de elektronen van elkaar gescheiden. Een blijft achter in het laboratorium in Amsterdam, de ander gaat op transport naar Boston. Beiden verkeren op dit moment nog steeds in superpositie, geheel volgens hun ene golffunctie. Ze hebben geen exacte locatie (hoewel op het moment van meting de een zeer waarschijnlijk in Amsterdam zal zijn en de ander in Boston), hun energieniveau’s zijn niet scherp gedefinieerd en hun spin is omhoog noch omlaag.
We kunnen deze situatie met betrekking tot spin weergeven als volgt:
Oftewel, de totale spin $\lvert S \rangle$ van ons systeem met twee deeltjes is een combinatie van twee situaties: het elektron in Amsterdam is spin-omhoog en dat in Boston spin-omlaag of het elektron in Amsterdam is spin-omlaag en dat in Boston is spin-omhoog. We trekken de producten van elkaar af omdat de totale spin gelijk is aan 0, weet je nog? Ten slotte worden beide toestanden vermenigvuldigd met de breuk $\frac{1}{\sqrt{2}}$ omdat beide toestanden 50% kans hebben om als resultaat te verschijnen (wat je krijgt als je alles kwadrateert).
Wat betekent dit nu? Zodra je een meting op het elektron in Amsterdam uitvoert en het resultaat is dat het spin-omhoog is, is het elektron in Boston ogenblikkelijk spin-omlaag ten opzichte van de gemeten as in Amsterdam. En dit terwijl de kans vóór de meting nog steeds 50% was. Hoe ‘weet’ het elektron in Boston wat de meetuitkomst in Amsterdam was? En hoe weet het dat zo snel? Sneller dan het licht, nota bene! Bovendien blijkt dat je bij het andere elektron altijd een specifieke spin tegengesteld aan die van het eerste gemeten elektron verkrijgt. Dus ineens is de kans 100% dat de meetuitkomst in Boston een tegengestelde spin is. (Of vice versa.) Er treden geen enkele uitzonderingen op!
Met andere woorden, zodra we de meting uitvoeren, verandert de wiskundige beschrijving van
$$\lvert S \rangle = \lvert \uparrow \rangle_A \lvert \downarrow \rangle_B,$$
oftewel, de toestand van de totale spin is gelijk aan de spin-omhoog voor het elektron in Amsterdam en in Boston spin-omlaag, of, vice versa:
$$\lvert S \rangle = \lvert \downarrow \rangle_A \lvert \uparrow \rangle_B.$$
En hier is het verbluffende: de uitkomst van de meting van deeltje A heeft dus instantane gevolgen voor de spin van deeltje B, ongeacht de ruimtelijke afstand tussen de twee deeltjes. Tot zover lokaliteit dus. Welkom terug, non-lokaliteit.
Einstein accepteerde deze kwantummechanische voorspelling. Echter, hij had er niets mee. Hoe kon het deeltje onmiddellijk weten welke spintoestand aan te nemen terwijl Einsteins verbluffend succesvolle theorieën van relativiteit op de universele wet leunden dat niets sneller kan gaan dan de snelheid van licht? Hij accepteerde de theorie, maar concludeerde dat de theorie nog niet compleet was. Er moest nog sprake zijn van een verborgen mechanisme dat ze over het hoofd zagen.
Einsteins poging om het principe van lokaliteit en de universele snelheidslimiet te redden zullen we in de volgende post bespreken. De stelling van John Bell en het experiment van Alain Aspect zullen dan ook aan bod komen. Tot die tijd laten we de vraag of Einstein gelijk kreeg ‘ter overdenking over aan de lezer’.
[1] Newton, I. (1756) Four Letters from Sir Isaac Newton to Doctor Bentley: Containing Some Arguments in Proof of a Deity [Online]. Available here. (Accessed: 14 May 2020)
Micro- en moleculair-biologen die onderzoek verrichten naar virussen, bacteriën, schimmels, menselijke en dierlijke cellen maken vaak gebruik van een laboratoriumcentrifuge. Met dit apparaat kunnen ze verschillende stoffen van elkaar scheiden. Denk aan het recente coronavirus, SARS-CoV-2, of dna-materiaal.
De rotor van het apparaat draait vaak op hoge snelheid. Het is van vitaal belang dat de reageerbuizen op een uitgebalanceerde manier zijn aangebracht. Als dat niet gebeurt, kan de machine kapot gaan en kunnen de glasscherven en potentieel gevaarlijke substanties in de rondte vliegen(beginfootnote)Veel apparaten bevatten sensoren om dit te voorkomen. Zie voorts Tot besluit hieronder.(endfootnote).
Gelukkig is er een vernuftige manier om van tevoren te berekenen of het in principe mogelijk is om met een gegeven aantal beschikbare plekken voor reageerbuizen en een gegeven aantal reageerbuizen de machine gebalanceerd in te pakken. Hiervoor gebruiken we mijn favoriete type getallen: de priemgetallen. Fun fact: deze truc is pas in 2010 wiskundig bewezen.
Voor we beginnen nemen we aan dat de massa van iedere reageerbuis plus inhoud dezelfde is. Verder merken we op dat deze berekening uiteraard ook op de natuurkundige manier uitgevoerd kan worden, met hoeksnelheid en draaimomenten en dergelijke, maar in dit geval gebruiken we pure wiskunde, i.c. de getaltheorie.
Stel dat de centrifuge acht reageerbuizen kan bevatten. De acht gaten zijn gelijkmatig verdeeld over de rotor van de machine.
Als we slechts een reageerbuis zouden hebben, zie je meteen dat dit niet uitgebalanceerd kan worden. Met twee lukt het natuurlijk prima. Je plaatst ze gewoon tegenover elkaar. Met drie? Hm. Dat wordt lastig. Hoe je ze ook plaatst, het blijft een asymmetrische toestand. Met vier? Dat is weer gemakkelijk. Je kunt gewoon een symmetrisch rechthoekje of vierkantje maken.
Oké, en vijf dan? Wacht eens even… deze situatie is vergelijkbaar met drie reageerbuizen. Drie en vijf zijn complementair bij een totaal van acht. Bij drie lukte het al niet, dus bij vijf gaat het dan ook niet lukken. Logisch.
Zes? Absoluut. Bij twee lukte het ook. Dan lukt het bij zes ook. Je kunt het prima symmetrisch inpakken.
Zeven? Nee. Je zult het inmiddels wel door hebben: zeven reageerbuizen zijn complementair aan die ene reageerbuis aan het begin.
En acht… nou ja, nogal wiedes. Dat lukt. En het is hetzelfde als geen reageerbuizen. Dan is de machine ook gebalanceerd natuurlijk.
Zie je er al een patroon in? Misschien lukt het je. Merk dus op hoe de bezette plekken en de lege plekken altijd complementair zijn aan elkaar.
Ontbinden in priemfactoren
Ik neem aan dat bekend is wat een priemgetal is: een geheel getal groter dan 1 die niet geschreven kan worden als een product van twee kleinere gehele getallen. Op de middelbare of misschien zelfs de basisschool heb je misschien meegekregen dat het hele getallen zijn (groter dan 1) die alleen door 1 of door zichzelf gedeeld kunnen worden. Dus voorbeelden van priemgetallen zijn 2, 3, 5, 11, 13, 17 enzovoorts.
Ontbinden in priemfactoren is het schrijven van een niet-priemgetal als een product van twee of meer priemgetallen. De hoofdstelling van de rekenkunde stelt dat ieder geheel getal óf zelf een priemgetal is óf een product van priemgetallen. Dit is een van de redenen waarom priemgetallen mijn favoriet zijn; het zijn de basisblokjes van alle gehele getallen.
Laten we het getal 15 nemen. Dit kunnen we dus ook schrijven als $15 = 3 × 5$. Of neem 279. Dit kunnen we ontbinden als $279 = 3 × 3 × 31 = 3^2 × 31$. En 16 wordt dan $16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2^4$.
Zoals je ziet is het ontbinden in priemgetallen een soort van uit elkaar trekken van een niet-priemgetal in kleinere priemgetallen. Die laatste noemen we in dit verband ook wel priemfactoren.
Dus, dat is dat. Een van de vele toepassingen van ontbinding in priemfactoren is het vinden van de grootste gemene deler. Of het versleutelen (en ontsleutelen) van geheime berichten en bestanden. Hier gaan we het toepassen om te berekenen of we reageerbuizen in een rotor kunnen doen op een manier die uitgebalanceerd is.
De truc
Stel, je machine heeft $n$ beschikbare plekken. Stel, $k$ is het aantal reageerbuizen die je erin wilt stoppen. Het aantal lege plekken is dan $n-k$. Hier is dan de truc.
Ontbindt $n$ in priemfactoren. Als $k$ geschreven kan worden als de som van deze priemfactoren en het aantal lege plekken $n-k$ geschreven kan worden als de som van deze priemfactoren, kun je de rotor gebalanceerd inpakken. (En vice versa.)
De wiskunde
Het voert te ver om het bewijs van Gary Sivek in zijn paper van 2010 (ook hier) uitgebreid te bespreken. De strekking ervan, mocht je daartoe neigen, kun je lezen door op ‘Meer’ te klikken. Maar je kunt het natuurlijk ook skippen en doorgaan naar de volgende paragraaf als het (begrijpelijk) onbegrijpelijk is.
Meer
Om een cyclotomische polynoom te verkrijgen (of priempolynoom), zoeken we de eenheidswortels op van de complexe getallen $z^n$ waarbij $z^n = 1$. Oftewel, we hebben dan $n$-de eenheidswortels waarbij $n$ het totaal aantal plekken is in de centrifuge. We projecteren vervolgens de reageerbuizen zonder overlap op de eenheidswortels. Zoals welbekend zijn de waarden van $z in \mathbb{C}$ gegeven door $e^{\frac{2\pi i}{n} k}$, waarbij $1 \leqslant k \leqslant n$.
Nu heben we dus $k$-eenheidswortels onder de $n$-de eenheidswortels.
Sivek bewees met het Theorema van Leung en Lam dat als (en slechts dan als) de som van de $n$-de machten van de $k$-bezette eenheidswortels en de som van de $n$-de machten van de $n-k$-‘bezette’ (dus lege) eenheidswortels ‘opgeheven worden’, oftewel gelijk zijn aan nul (met die goede, oude formule van De Moivre, zoals je vast nog weet van het eerste sememster op de uni), er sprake is van een $k$-balans, oftewel, je kunt het balanceren (zolang als $n \geqslant 2$ en $1 \leqslant k \leqslant n-1 $; $k=0$ and $k=n$ werden om voor de hand liggende redenen als triviaal beschouwd).
Zoals je kunt zien komt er geen klassieke mechanica bij aan te pas.
Een voorbeeld van acht eenheidswortels in het complexe vlak
Voor de hand liggende voorbeelden
Stel, we hebben een centrifuge voor maximaal 8 reageerbuizen. We hebben slechts 6 reageerbuizen. Eerst ontbinden we 8 in priemfactoren. Dat is makkelijk, dat is alleen het getal 2. Vervolgens zien we dat we 6 inderdaad als een som van 2 kunnen schrijven. En complementair is het aantal lege plekken, $8-6=2$, de priemfactor zelve! Dus het antwoord is ja, 6 reageerbuizen kun je gebalanceerd in een machine voor 8 stoppen.
Laten we 7 reageerbuizen nemen. Kunnen we 7 schrijven als een som van priemfactor 2? Nee. Nou, dat is dan dat. We kunnen geen gebalanceerde verdeling maken.
Een contra-intuïtief voorbeeld
Stel, onze centrifuge kan er 12 hebben. We hebben er slechts 7. Hm. Van 6 weten we dat het werkt, maar eentje meer, zou dat lukken?
De priemfactoren van 12 zijn 2 en 3, immers $12=2×2×3=2^2×3$.
We kunnen 7 schrijven als een som van die priemfactoren $7=2+2+3$. Oké, dat gaat goed. En het aantal lege plekken dan? Welnu, $12-7=5$ en inderdaad, 5 kunnen we ook schrijven als $5=2+3$.
Dus het antwoord is: ja, we kunnen met 7 reageerbuizen een uitgebalanceerde indeling maken in een rotor met 12 plekken.
Misschien was dat niet iets wat je meteen inzag. Maar als je een afbeelding en een uitwerking ervan zou zien, is het waarschijnlijk ineens heel erg logisch. Je krijgt bonuspunten voor als je een dergelijke tekening kan maken voor 5 reageerbuizen. Dat zou nu een eitje moeten zijn.
Bonustruc
Het mooie is dat al het bovenstaande leidt tot nóg een manier om uit te vogelen of je een uitgebalanceerde centrifuge kunt verkrijgen. En, eerlijk gezegd, dit is denk ik de makkelijkste manier. Als je het aantal reageerbuizen kunt schrijven als de som van twee aantallen waarvan je al weet dat je daarmee afzonderlijk een uitgebalanceerde centrifuge mee krijgt, kun je er een uitgebalanceerde centrifuge mee krijgen. Gheghe.
Tot besluit
In werkelijkheid beschikken de meeste machines over sensoren om vervelende onbalans te voorkomen. De rotoren bevatten vaak ook markeringen waardoor men er niet heel erg over hoeft na te denken waar de reageerbuisjes geplaatst moeten worden. Bovendien zorgt men er meestal voor dat men het aantal buisjes prepareert die overeenstemt met een gebalanceerde centrifuge.
Veel rotoren hebben drie compartimenten met sets reageerbuizen. Dat vangt een grotere massavariatie makkelijker op. En sommige machines, zoals bijvoorbeeld in ziekenhuislaboratoria, beschikken over volledig geautomatiseerde robots die de buisjes weegt, plaatst en eventueel balansbuisjes toevoegt.
De reden waarom dit type wiskunde wordt bedreven is niet zozeer gelegen in de toepasbaarheid ervan als wel plezier hebben in de ontdekking van diepe verbanden zoals hier – tussen priemgetallen en complexe meetkunde, zogezegd. Het is vooral een opwindende, leuke en vruchtbare menselijke verkenning van de landen der getaltheorie, algebraïsche meetkunde en bijvoorbeeld Galoisvelden op het continent van de zuivere wiskunde.
Meer dan driehonderd jaar geleden ontstonden er onder een groepje mannen met 17e-eeuwse pruiken of 18e-eeuwse mannenpaardenstaarten met zwarte lintjes, twee kampen. Ze kibbelden over wat voor soort verschijnsel licht is. ‘Licht is golven’, zeiden Huygens, Hooke, Euler en companen. ‘Nee, nee, licht is deeltjes’, zeiden Newton en Laplace en collega’s. Zelfs in het jaar 1990 moest mijn natuurkundeleraar van de middelbare school bekennen dat hij zelf niet precies wist wat het goede antwoord was.
Zijn verwarring is begrijpelijk. Hoewel hij de accurate wijze waarop je licht moet aanschouwen had kunnen weten, is het waar dat de inmiddels fameuze tweespletenexperimenten op het eerste gezicht voor veel onduidelijkheid en onrust zorgden.
Laten we door de twee spleten in de wondere wereld van kwantummechanica tuimelen waar dingen op twee plekken tegelijk kunnen zijn. Of lijken te zijn.
(niet per se bedoeld als podcast; er wordt verwezen naar figuren in het artikel)
De opzet
Stel dat je een flink geweer had waarmee je met één schot een flinke hagelwolk kunt afvuren. Stel dat je die op een scherm met twee smalle spleten zou richten. De spleten zijn smal maar breed genoeg om een stukje hagel door te laten. Hoe zou de hagelinslag op een scherm erachter uitzien? Wat voor patroon zou je verwachten?
Figuur 1. Een scherm met twee smalle spleten
Ik ben er vrij zeker van dat je antwoord sterke overeenkomsten vertoont met de situatie zoals weergegeven in Figuur 2.
Figuur 2. Het scherm met de twee spleten en een scherm daarachter waarop het kenmerkende patroon van deeltjes te zichtbaar is
Het is precies wat je zou verwachten als je hagel, of liever, deeltjes af zou vuren op een scherm met twee smalle spleten.
Goed. Stel je nu voor dat we de twee schermen langzaam voor de helft zouden onderdompelen in een vijvertje. De golven van het vijvertje rollen gemoedelijk richting het eerste scherm met de twee spleten, zoals weergegeven in Figuur 3.
Figuur 3. De schermen zijn nu half ondergedompeld in water. Watergolfjes naderen het eerste scherm.
Hoe zouden nu de golven eruit zien aan de andere kant van de twee spleten? In Figuur 4 zie je een bovenaanzicht van het resultaat.
Figuur 4. De twee spleten veranderen de golven in cirkelvormige golven alsof er twee stenen tegelijk in het water zijn gegooid
De twee spleten transformeren de golfjes in twee cirkelvormige golven. Alsof er twee stenen in het water waren gegooid. Je ziet ook hoe de cirkelvormige golven elkaar snijden. Je mag terecht verwachten dat er enige vorm van interactie zal zijn tussen die twee cirkelvormige golven.
Laten we daartoe eens naar een echte vijver kijken. In de GIF van Figuur 5 zie je ook heel duidelijk hoe twee cirkelvormige golven met elkaar interfereren. Als twee pieken elkaar ontmoeten, versterken ze elkaar, ze worden op die plek extra hoog. En als twee dalletjes elkaar ontmoeten, worden ze daar extra dallerig. In beide gevallen versterken ze elkaars amplitude. Maar als een piek een dal ontmoet, gebeurt er juist het tegenovergestelde: dan doven ze elkaar uit.
Figuur 5. Twee cirkelvormige golven in een echt vijvertje
Kijk nu naar de animatie van Figuur 6 en dan met name naar hoe het water vervolgens tegen het tweede scherm aanklotst. De plekken waar de golven elkaar versterken zijn wit gekleurd en waar de golven elkaar uitdoven is zwart weergegeven.
Figuur 6. De plekken waar de golven elkaar versterkten zijn wit gekleurd, de plekken waar de golven elkaar uitdoofden zijn zwart
Met andere woorden, het patroon op het tweede scherm dat typisch hoort bij golven is het patroon dat vervolgens is weergegeven in Figuur 7.
Figuur 7. Het scherm met de twee spleten en daarachter het scherm met het kenmerkende patroon dat bij golven ontstaat
Voor de duidelijkheid, we hebben dus twee opties. Als we deeltjes op het eerste scherm met de spleten afvuren, zullen we op het tweede scherm het patroon zien zoals links is weergegeven in Figuur 8. En als het golven zijn die we richting de spleten sturen, zullen we het patroon zien zoals rechts is afgebeeld in Figuur 8.
Figuur 8. Als er deeltjes door de spleten zijn gevlogen, krijg je het patroon links te zien. Als er golven door de spleten zijn gegaan, zie je het patroon rechts.
Het interferentie-experiment van Young
Thomas Young was een veelzijdige wetenschapper en arts. In de jaren negentig, maar dan van de 18e eeuw, schreef hij een verhandeling over de fysieke en wiskundige eigenschappen van geluid. In 1800 presenteerde hij vervolgens voor de Royal Society, de Britse Nationale Academie van de Wetenschappen, zijn bevinding dat licht – net als geluid – uit golven bestaat. Men was in het begin niet echt overtuigd vanwege Newtons en Laplaces sterke voorkeur voor de theorie dat licht uit deeltjes bestaat.
Young toonde vervolgens aan dat ze ernaast zaten. Hij maakte overigens geen gebruik van twee spleten. In plaats daarvan liet hij een zonnestraal door een gaatje ter grootte van een speldenprik schijnen waarachter hij vervolgens een stuk papier haaks op plaatste zodat de straal in feite in tweeën gespleten werd. De twee kleinere straaltjes aan weerzijden van het papier interfereerden vervolgens met elkaar verderop in de kamer. Het resulterende lichtpatroon dat dit opleverde zag eruit zoals weergegeven in Figuur 9.
Figuur 9. Het patroon dat Young produceerde met zonlicht
Als licht uit deeltjes had bestaan zou je een heel ander patroon gezien hebben. Dit resultaat wees er echter op dat de golftheorie van licht correct was. Young noemde dit zijn belangrijkste prestatie.
Dit markeerde het begin van de acceptatie van de golftheorie van licht (hoera voor Huygens en zijn vrienden) en een verlaten van de deeltjestheorie van licht (jammer voor Newton en co).
Of toch deeltjes?
Figuur 10. Individuele elektronen
Om het er niet gemakkelijker op te maken zouden later Max Planck, Albert Einstein en anderen het weer aannemelijker maken dat licht toch weer uit deeltjes bestaat. In een vorige post, De formule die Albert Einstein de Nobelprijs bezorgde en ons ervan zou moeten weerhouden de huid te verbranden, bespraken we Einsteins ontdekking die hem dus de Nobelprijs bezorgde.
In het kort: Max Planck en Albert Einstein toonden aan dat bepaalde eigenschappen en gedragingen van licht alleen verklaard konden worden door aan te nemen dat licht uit kleine energiepakketjes bestaat, of kwanta, zoals ze werden genoemd.
Maar los daarvan vonden experimenteel-natuurkundigen nog iets geks. In de jaren zestig (van de vorige eeuw) werden elektronen over het algemeen nog beschouwd als kleine deeltjes – bij wijze van spreken als kleine hagelkorrels of kogellagertjes. In plaats van licht vuurde men elektronen op een splitter af – één tegelijk. Eerst leek het te gaan zoals te verwachten viel. Enkele (11) stipjes verschenen op het scherm zoals weergegeven in Figuur 10. Echter, naargelang de individuele elektronen werden afgevuurd begon er een verbluffend patroon te ontstaan – het patroon dat je zou verwachten bij met elkaar interfererende golven!
Zijn elektronen dan ook golven? Hoe dan?
Uiteraard voerden ze hetzelfde experiment uit met licht: met individuele fotonen, welteverstaan – de kwanta van licht waar Max Planck en Albert Einstein het over hadden. Het licht was van dermate lage intensiteit dat de fotonen een voor een op het scherm met twee spleten werd afgevuurd. Het resultaat was hetzelfde: het golfpatroon werd langzaam maar zeker zichtbaar op het tweede scherm. Dus zijn het dan deeltjes én golven?
Op twee plekken tegelijkertijd?
Theoretici begonnen te theoretiseren dat de enige verklaring kon zijn dat een individueel elektron of foton op een of andere manier door beide spleten vlogen, op een of andere manier met zichzelf interfereerde om op die manier het golfpatroon op het tweede scherm te doen ontstaan. Op die manier zou je dus een deeltje kunnen hebben dat golfgedragingen vertoont.
Om deze theorie te testen plaatste men detectoren bij de spleten om te zien of de elektronen en fotonen inderdaad door beide spleten vlogen.
Het resultaat was verbluffend. Het golfpatroon op het tweede scherm verdween volstrekt. In plaats daarvan ontstond het patroon dat je verwacht te zien bij deeltjes, zoals in Figuur 2. Bovendien ging er nu telkens maar een detector af – de ander liet dan niets van zich horen. Met andere woorden, de elektronen en fotonen gingen helemaal niet door beide spleten tegelijk: altijd maar een!
Maar op het moment dat de detectoren weer verwijderd werden, ontstond het golfpatroon weer!
En zelfs als men maar een detector plaatste bij een van de twee spleten, verdween het golfpatroon en maakte het plaats voor het deeltjespatroon.
Het was also het elektron en het foton precies wisten wanneer ze bekeken werden en op slag hun gedrag veranderden.
Dit heet het meetprobleem in de kwantummechanica. In de volgende post zullen we daar dieper op ingaan.
Mensen begonnen nu te praten over de golfdeeltjedualiteit. Zijn deeltjes echt deeltjes of toch golven? Antwoord: beide, zei men dan. Soms zijn ze golven, soms zijn ze deeltjes.
Velden
Tegenwoordig heet het heersende paradigma kwantumveldentheorie – wiskundige veldbeschrijvingen om het gedrag van ‘deeltjes’ als het elektron, het foton en een hele dierentuin aan elementaire deeltjes van onze werkelijkheid te beschrijven. De meest succesvolle kwantumveldentheorie tot nu toe is het zogenaamde Standaardmodel. In een vorige post, Waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking, duiken we een beetje in de kwantumveldentheorie.
In het kort komt het erop neer dat de vraag of licht uit deeltjes danwel uit golven bestaat, beantwoord is: het zijn velden. Hetzelfde geldt voor elektronen. En alle andere elementaire ‘deeltjes’. Het zijn allemaal velden.
Zolang als er geen interactie plaatsvindt met de rest van de wereld, zoals met detectoren, zijn een foton of een elektron onderdeel van de golffunctie van hun respectievelijke elektromagnetische veld en elektronveld, gehoorzamend aan de Schrödingervergelijking. Ze gedragen zich als golf. Niettemin, zodra ze interacteren met iets zoals een detector, worden ze gedetecteerd zijnde een deeltje, wat niet meer is dan een doorsnede van de veel grotere extentie die de golffunctie is.
Ik beloof dat we deze laatste twee alinea’s verder zullen uitpluizen in een volgende post. We lichtten al een tipje van de sluier op in Dit is geen atoom.
Maar zijn ze nu op twee plekken tegelijk?
Nee, niet eens in technisch opzicht. In metaforisch opzicht? Ook niet. Die bewering is waarschijnlijk het resultaat van een mix van verkeerde en onbewuste vooronderstellingen en het gebrek aan adequate, talige omschrijvingen van iets dat louter wiskundig te beschrijven lijkt.
Als je stelt dat elektronen op twee plekken tegelijk zijn, beeld je je waarschijnlijk en misschien onbewust in dat elektronen toch nog kleine balletjes zijn, of kogeltjes. Die dan alsnog met zichzelf interferen, op een of andere manier. Dit is gewoon niet juist.
De correcte expressie is dat elektronen en fotonen – en alle elementaire deeltjes – geen specifieke locatie kennen (zolang je ze met rust laat). Hun bestaan is simpelweg verspreid in de ruimte volgens de golffunctie, die op zijn beurt in de tijd veranderingen doormaakt op de manier zoals de Schrödingervergelijking dicteert. Nogmaals, Dit is geen atoom gaat hier verder op in.
Behoorlijke hoofdbrekers, nietwaar? Welkom bij de club. Grote geesten zijn je inmiddels voorgegaan in hun queeste om de hoofden succesvol over de tweespletenexperimenten te breken. En nu ben jij er ook een.
Zonlichtdefractiepatroon door Aleksandr Berdnikov onder CC BY-SA 4.0
Opbouw van het interferentiepatroon in de tijd bij het tweespletenexperiment uitgevoerd met elektronen, uitgevoerd door Dr. Tonomura. Het aantal elektronen zijn respectievelijk 11 (a), 200 (b), 6000 (c), 40000 (d), 140000 (e). Door Belsazar onder CC BY-SA 3.0.
Het Vermoeden van Collatz is waarschijnlijk een van de makkelijkst te begrijpen problemen waarvan niettemin nog nooit in de geschiedenis der wiskunde de geldigheid is bewezen. Het mooie is dat een leerling in de laatste groep van de basisschool heel goed in staat is om de berekeningen uit te voeren, terwijl zelfs de grootste wiskundige geesten nog niet in staat zijn gebleken om te bewijzen of en zo ja, waarom het Vermoeden van Collatz waar is of niet. Wijlen de grote Hongaarse wiskundige Paul Erdős wordt vaak geciteerd: ‘Wiskunde is waarschijnlijk niet voorbereid op dit soort problemen.’[1]
De regels
Er bestaat enige controverse over of het werkelijk de productieve Duitse wiskundige Lothar Collatz was die als eerste op het idee kwam in 1937, twee jaar na zijn promotie tot doctor in de wiskunde. Het is mede hierom ook bekend als het ‘3n + 1 probleem’, het Vermoeden van Ulam, het Probleem van Kakutani, het Vermoeden van Thwaites, Hasse’s Algoritme of het Probleem van Syracuse. Mocht je vermoeden dat de meeste benamingen verwijzen naar andere mensen, dan klopt dat.
De regels van het Vermoeden zijn zo eenvoudig dat het niet onwaarschijnlijk is dat velen hetzelfde idee kregen, onafhankelijk van elkaar.
De regels zijn als volgt:
Neem ieder positief, geheel getal.
Doe een van de volgende dingen:
als het een even getal is, deel het door 2;
als het een oneven getal is, vermenigvuldig met 3 en tel er 1 bij op.
Doe met het antwoord een van de volgende dingen:
als het antwoord 1 is, stop;
als het antwoord niet 1 is, gebruik dan het antwoord om terug te gaan naar stap 2 om er opnieuw een van de twee handelingen mee uit te voeren. En zo verder.
Het Vermoeden luidt als volgt: ongeacht welk positief, geheel getal je neemt als startpunt, ongeacht het aantal stappen die doorlopen moeten worden, je komt altijd uit bij 1.
(Als je door zou gaan met het getal 1, zou je simpelweg een klein cirkeltje maken en in drie stappen weer terugkeren bij 1, tot het einde der tijden. Dat zou een beetje dom zijn, dus stop er dan gewoon mee.)
Voorbeeld
Laten we het eens in de praktijk bekijken. Laten we beginnen met 10. 10 is even; gedeeld door 2 is 5. 5 is oneven; vermenigvuldigd met 3 plus 1 is 16; 16 is even; gedeeld door 2 is 8. 8 is even; gedeeld door 2 is 4. 4 is even; gedeeld door 2 is 2. 2 is even; gedeeld door 2 is 1. We zijn er!
Dit kostte 6 stappen. Je kunt zelf een paar getallen proberen, als je wilt. Dat wil zeggen, je kunt de computer, de telefoon of de tablet het saaie werk laten doen. Dat kan hier.
Visualisatie
Zoals je misschien al wel zag via de voorgaande link is het mogelijk om de stappen te visualiseren die geproduceerd worden door het Collatz-algoritme. Hier laten we snel enkele alternatieven de revue passeren voordat we de bekendste visualisatie bespreken, die van Edmund Harriss (waar we een JavaScript-applet voor schreven, hoera!).
Stel dat we de voortgang van de resultaten van ons voorbeeld hierboven willen visualiseren. We begonnen met 10. Dat ziet er uit zoals hieronder weergegeven. Zoals je ziet, fluctueert de waarde een beetje voordat het neerdaalt naar 1:
Dat zijn heel veel getallen voordat je uiteindelijk bij 1 uitkomt. Honderdveertien stappen. Dit is een visualisatie ervan:
Zoals je ziet fluctueert het behoorlijk. Het is een beetje chaotisch, lijkt het. Er is geen duidelijk patroon te zien, anders dan dat je uiteindelijk bij 1 uitkomt. Omdat de waarden vrij groot lijken te kunnen worden, laten we bovenstaande weergave iets wijzigen en het semi-logaritmisch maken. De y-as wordt logaritmisch, de x-as laten we nog even lineair.
En gewoon, omdat het misschien leuk is, laten we nu de stapvolgorde omdraaien: de grafiek wordt op die manier gespiegeld en convergeert naar 1 in de hoek linksonder.
Omdat het eigenlijk moeilijk te voorspellen is hoeveel stappen een bepaalde serie in beslag gaat nemen, laten we nu ook de x-as in een logaritmische schaal zetten. We krijgen dan:
Met deze manier van weergeven kunnen we waarschijnlijk een heleboel van deze sequenties tonen! Laten we als laatste daarom een reeks van sequenties gaan plotten! Oftewel, we laten ons JavaScript-applet eerst een sequentie vanaf het getal 10000 berekenen. Daarna laten we het automatisch een sequentie vanaf het getal 9999 produceren. En zo verder, tot we het begingetal 4 bereiken. En dan plotten we het allemaal tegelijk! Om te voorkomen dat het te warrig gaat worden – aangezien verschillende sequenties elkaar zullen overlappen – maken we de weergave van een sequentie iets doorzichtig. Als sequenties elkaar overlappen wordt de grafiek daar donkerder. Dit is het resultaat:
Het wordt bijna een soort kunst. Als je deze grafiek zou inlijsten, zonder titels, assen en schaalverdelingen – alleen de grafiek – dan zou je een geometrische kunstvorm kunnen hebben met de titel ‘Het Vermoeden van Collatz’ of iets dergelijks. Ik denk eigenlijk dat ik dat ga doen.
Edmund Harriss, een wiskundige aan de University of Arkansas, bedacht een prachtige visualisatie van Collatz-sequenties. Het werd uitgebreid besproken op het wiskundige YouTube-kanaal Numberphile.
Een screenshot van de video van Numberphile waarin een deels handgemaakte versie van Edmund Harriss’ visualisatie getoond wordt
De regels van zijn visualisatie zijn eenvoudig. Als de huidige stap twee keer zo groot is als de volgende stap, draai een bepaalde hoeveelheid met de klok mee, anders draai de helft van die hoeveelheid tegen de klok in (totdat je natuurlijk de waarde 1 bereikt). Het resultaat is een organische bundel van draden – rommelig en ogenschijnlijk willekeurig, binnen bepaalde grenzen, net als in de natuur.
We schreven een JavaScript-applet waarmee we deze manier van weergeven probeerden te benaderen. We gebruikten het om er de grote afbeelding bovenaan deze pagina mee te maken. Je kunt het hier zelf proberen.
Als je al deze verschillende visualisaties bekijkt en de ogenschijnlijk wanordelijke voortgang van de sequenties in ogenschouw neemt, is het misschien niet verwonderlijk dat het geheim tot nu toe nog niet gekraakt is.
[1] Guy, Richard K. (2004). “E17: Permutation Sequences”. Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. pp. 336–7. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001.
Tegenwoordig weten we dat alle dingen om ons heen – de stoel waar we op zitten, het scherm waar we naar staren – uit allerlei verschillende soorten moleculen bestaan die op hun beurt weer bestaan uit verschillende soorten atomen. De oude Griekse wijsgeren zoals Democritus dachten al dat materie uit kleine, fysiek ondeelbare dingetjes bestaat – die noemden ze dan atomen.
De Grieken hadden het echter niet helemaal bij het rechte eind: ook het atoom bestaat weer uit elektronen, protonen en neutronen. En die laatste twee bestaan dan weer uit nóg kleinere dingen: quarks en gluonen.
Wat niet veel mensen weten echter is dat dit klassieke plaatje:
absoluut geen atoom is!
Oude ideeën
Als je je ophield in de verkeerde vriendenkring kan het zijn dat je werd wijsgemaakt dat elektronen als kleine planeetjes om de atoomkern heen cirkelden. Alsof het mini-zonnestelseltjes zijn. Dat klopt dus niet.
Andere foute vrienden konden je op de mouw hebben gespeld dat kwantummechanica iets magisch, iets spiritueels is, de toegangspoort tot een dieper inzicht in de liefde, het menselijk bewustzijn en ‘healing’. Telepathie zelfs! Ook dat zijn fantasierijke verzinsels.
Toegegeven, de beroemde fysicus Richard Feynman wordt nog vaak geciteerd. Hij zei dat niemand kwantummechanica begrijpt. In zekere zin is dat waar. Elementaire deeltjes gedragen zich niet als onze alledaagse objecten en dat is best vreemd. Bovendien vertellen de wiskundige vergelijkingen ons wel wat ze doen maar niet wat ze zijn. We kennen alle formules maar we weten niet per se wat ze betekenen – in tegenstelling tot bijvoorbeeld de simpele woorden ‘microscopisch kleine balletjes’.
Dat betekent echter niet dat we geen moeite hoeven te doen om elementaire deeltjes toch nuttig en voorspelbaar te maken voor onze beperkte hersenen. En daarmee meteen minder mysterieus en esoterisch. Het betekent geenszins dat we niet in staat zouden zijn om een verbluffende theorie van kwantumgedrag te benutten.
En dat is precies wat we hebben gedaan sinds kwantummechanica voor het eerst in de jaren twintig van de vorige eeuw werd geformuleerd. Vandaar dat we tegenwoordig beschikken over mobiele telefoons, computers, camera’s en zelfscankassa’s in de supermarkt.
Laten we er niet langer om heendraaien; tijd om tot de kern door te dringen.
Klassieke mechanica versus kwantummechanica
Op de middelbare school kregen we Newtoniaanse mechanica. We leerden dat de wereld geregeerd wordt door de drie wetten van Newton. De krachtigste was de tweede: kracht is massa maal versnelling,
$F=ma.$
We leerden dat als een object beweegt, het zich verplaatst volgens Newtons tweede wet. Het mooie van deze mechanica was dat fysici en ingenieurs hiermee in staat zijn om de toekomst te voorspellen (en het verleden te reconstrueren) van bijvoorbeeld een glijdend blok, gebaseerd op slechts een handjevol bekende startcondities.
Sommetjes met glijdende blokken op hellingen waren dagelijkse kost in de bovenbouw van de middelbare school
Algemener uitgedrukt – en ietwat natuurkundiger – stellen we dat Newtoniaanse mechanica in staat is om de toestand van een systeem in de tijd met wiskundige, oneindige precisie te beschrijven, gebaseerd op een voldoende bekende set van initiële condities. We noemen dit een deterministische theorie aangezien het mogelijk is om het verleden en de toekomst van de toestand van een systeem te beschrijven. Dankzij deze eigenschap hebben zelfs ruimtevaartuigen zoals de Apollo Lunar Module en de Mars Rover Curiosity hun buitenaardse bestemmingen met succes weten te bereiken.
In de kwantummechanica bestuderen we het gedrag van subatomair spul, zoals elektronen en quarks. Na vele plotwendingen door de geschiedenis heen blijkt dat we hier eigenlijk niet zo goed in staat zijn om het verleden en de toekomst van, zeg, een elektron te voorspellen – althans niet zoals bij blokjes en balletjes in Newtoniaanse mechanica. Waarom niet? Omdat het simpelweg niet hetzelfde is als een blokje of een balletje. Het is in die zin niet eens een deeltje (aangenomen dat met deeltje een ‘kogeltje’ of ‘balletje’ wordt verstaan). Het is een golffunctie (wave function in het Engels), een wiskundige expressie dat alle mogelijke toestanden van een ‘deeltje’ beschrijft. Dat is zowaar een heel ander beestje.
Mogelijke toestanden? Ja, want in de kwantummechanica zijn de dingen niet zo deterministisch. Blijkt namelijk dat om de toestand van bijvoorbeeld een elektron te beschrijven Newtons tweede wet niet van toepassing is. Het is fundamenteel onmogelijk om te voorspellen (of te reconstrueren) waar een elektron zich bevindt op willekeurig welk tijdstip ook. Of hoe snel het zich voortbeweegt op een bepaald tijdstip. Het beste dat we kunnen doen is berekenen wat de waarschijnlijkheid is dat het zich hier of daar bevindt of die of deze snelheid heeft. Met andere woorden, de toestand van een elektron kan alleen worden uitgedrukt in waarschijnlijkheden.
Ook blijkt dat deze waarschijnlijkheden van de set van mogelijke toestanden in de tijd veranderen. Gelukkig is hier dan wél een vergelijking voor, net zoals in de Newtoniaanse mechanica. In de kwantummechanica hebben we de Schrödingervergelijking. Het vertelt ons hoe de golffunctie, de set van alle mogelijke toestanden van een deeltje, in de tijd verandert. In zijn meest compacte vorm(beginfootnote)Hoewel, technisch gezien, als je Newtons notatie gebruikt in plaats van die van Leibniz, een nog compactere vorm $i \hbar \dot{\Psi} = \hat{H} \Psi$ is.(endfootnote) luidt die:
Het is niet nodig om alle symbolen al te begrijpen, maar nu zie je dat er ook in de kwantummechanica een prachtige vergelijking centraal staat zoals bij Newtoniaanse mechanica(beginfootnote)Er zijn andere manieren om de tijdsontwikkeling van een golffunctie te berekenen, zoals de matrixmechanica van Heisenberg, Feynmans padintegralen of Diracs combinatie van matrixmechanica en de Schrödingerverglijking. Echter wordt de hier vermelde wijze zonder uitzondering gedoceerd aan bachelorstudenten.(endfootnote). Het geeft je de tijdsevolutie van $\Psi$, het symbool voor de golffunctie.
Deterministische theorieën zoals Newtoniaanse mechanica worden ‘klassiek’ genoemd waar kwantummechanica met probabilistische golffuncties te maken heeft(beginfootnote)Merk op dat de Schrödingervergelijking zelf deterministisch is. De golffunctie herbergt daarentegen de waarschijnlijkheden. Of, als je een Pietje Precies bent, zoals ik, geeft de normkwadraat van de golffunctie de waarschijnlijkheidsdichtheid (door deze te integreren over een volume, een oppervlak of een afstand).(endfootnote).
Golffunctie
Zoals we leerden in de vorige paragraaf is een deeltje geen deeltje. Toegegeven, we spreken nog steeds van een ‘deeltje’ maar dat is alleen maar bij gebrek aan een betere term. Het is een overblijfsel van de beperkte kennis van het universum die wij mensen vroeger hadden. Het concept van een deeltje past ook beter tussen de dingen die we al wel kennen. We kunnen ons een balletje voor de geest halen omdat we vroeger met balletjes speelden. Of knikkers. Toegegeven, soms lijken deeltjes op deeltjes, maar dat bespreken we in de laatste paragraaf.
Desalniettemin bewezen vroeg-twintigste eeuwse experimenten dat balletjes absoluut niet de juiste beeldvorming opleverden. Tegenwoordig vormen golffuncties onze beste beschrijving van ‘deeltjes’, wiskundige expressies. De fundamentele vraag is of de golffunctie het deeltje is of slechts een mathematische representatie ervan. Deze vraag is nog onbeantwoord, hoewel de mening van de auteur van deze post is dat na ongeveer een eeuw van de ongelooflijk succesvolle theorie van de kwantumwereld het misschien tijd wordt om de golffunctie te zien als dat wat een deeltje is.
Kijk, om het verschil tussen een deeltje en een golf te illustreren, eens naar dit puntachtige deeltje. De horizontale as is de x-coördinaat in de ruimte en de verticale as is de y-coördinaat in de ruimte.
Vertel eens, waar in de ruimte bevindt zich het deeltje? Je had het hoogstwaarschijnlijk meteen goed. Het bevindt zich op coördinaat (2,3). Goed.
Kijk nu eens naar deze (tweedimensionale) golf:
Vertel nu eens, waar in de ruimte houdt de golf zich precies op? Je vindt het hier misschien iets moeilijker om een specifieke set coördinaten op te hoesten. Dat komt omdat het zich op verschillende plekken tegelijkertijd ophoudt. Het heeft niet een specifieke positie. In natuurkundejargon spreken we van een superpositie.
Ditzelfde speelt een rol bij een elektron (of ieder ander ‘deeltje’). Het bevindt zich in een superpositie. En niet alleen in termen van zijn positie: het verkeert ook in een superpositie in termen van energie, impuls en nog een paar eigenschappen. Met andere woorden, het is op allerlei plekken tegelijkertijd op verschillende energieniveau’s tegelijkertijd, zich voortbewegend op allerlei snelheden tegelijkertijd.
Het is belangrijk om te weten dat de golffunctie absoluut niet hetzelfde is als een simpele sinusgolf in de normale ruimte zoals die hier puur ter illustratie is vertoond(beginfootnote)En, inderdaad, als je een voorgaande post over lichtbreking in glas had gelezen, weet je dat ‘deeltjes’ oscillaties zijn van hun respectievelijk, driedimensionaal kwantumveld in de kwantumveldentheorie. De golffunctie speelt een centrale rol in deze ongelooflijk succesvolle theorie. Ten tweede is de golffunctie een zogenaamde complexe functie en bestaat daarmee in de zogenaamde complexe ruimte $\mathbb{C}$ en niet in de ‘gewone’ getalsruimte $\mathbb{R}$ waar we allemaal mee opgroeiden. Ten slotte – en dit is de avant-garde van moderne, theoretische natuurkunde – is er eigenlijk slechts één golffunctie, de golffunctie van het universum. Ieder veld en deeltje vormen slechts kleine stukjes van die golffunctie, die niettemin als kleine, individuele golffuncties gezien kunnen worden om het hanteerbaar te houden.(endfootnote).
Je begrijpt nu misschien hoe revolutionair kwantummechanica is vergeleken met de simpele mechanica van de balletjes en blokjes in ons alledaagse leven.
Plaatje van een atoom
Eindelijk zijn we dan gearriveerd bij het plaatje van het atoom. We weten dus inmiddels dat het elektron geen puntachtig deeltje is, het is een golffunctie. Hoe zien golffuncties er dan uit? Welnu, ze zijn wolkachtig, maar geen wolken, uitgesmeerd in de ruimte, maar ze hebben geen duidelijke omvang noch locatie. Ze hebben geen specifieke snelheid noch specifieke energieniveau’s. Ze bevinden zich in een superpositie van al deze toestanden. De waarschijnlijkheden van die toestanden kunnen in de tijd oscilleren zoals voorgeschreven door de Schrödingervergelijking.
Dat schiet zo niet heel veel op, nietwaar?
Vrees niet. Dillon Berger, een PhD-student in de theoretische deeltjesfysica aan de Universiteit van Californië, Irvine, heeft met gebruikmaking van de Schrödingervergelijking een prachtige animatie gemaakt van een dwarsdoorsnede van een waterstofatoom. De contouren representeren de golffunctie van een elektron. De kleuren geven de waarschijnlijkheid aan waarmee het elektron zich in die toestand bevindt als een functie van de tijd. Een waterstofatoom heeft overigens maar één elektron, dus wat je ziet is slechts één elektron. (De tijd in in de animatie is duizend biljoen keer vertraagd. De kern, een proton, is te klein, dus die zie je niet.)
Time Evolution of Hydrogen in Superposition of Energy Eigenstates (3,2,0 & 4,1,0 states) •The probability density of the electron's position oscillates in time when in a superposition of states of definite energy pic.twitter.com/Yx8oFPaKb5
Dus die hele kleine-balletjes-of-planeten-om-de-kern-draaiend-analogie? Vergeet het voorgoed.
Tenzij we kijken
Ho eens even, zou je kunnen zeggen. Hoe komt het dan eigenlijk dat professionele natuurkundigen het nog steeds over deeltjes hebben? En als je zegt, ‘geen specifieke omvang’, hoe verklaar je dan in de wetenschappelijke tabellenboekjes van de middelbare school we prima konden aflezen hoe groot de verschillende deeltjes zijn? En hoe verklaar je onderstaand klassiek geworden afdruk van een nevelvat die het bestaan van een nieuw subatomair deeltje aantoonde? Die kromme baan lijkt absoluut als iets dat een puntachtig deeltje zou maken en totaal niet wat een golf zou achterlaten.
Source: Anderson, Carl D. (1933). “The Positive Electron”. Physical Review 43 (6): 491–494
Het is zeer begrijpelijk dat je, in het licht van deze empirisch verkregen gegevens, dat hele verhaal over golffuncties in twijfel trekt. Je bent hiermee gestuit op een mysterie in het hart van de kwantummechanica, een Nobelprijs waardig. Het heeft natuurlijk ook een naam: het meetprobleem.
Gebleken is dat deeltjes inderdaad golffuncties zijn maar alleen als we niet kijken. Zodra we metingen verrichten, waarbij we bijvoorbeeld de positie proberen te bepalen, zullen we ze niet op allerlei plekken vinden, zoals een golf. In plaats daarvan zullen we ze op een specifieke plek aantreffen – precies zoals we zouden verwachten van een puntachtig deeltje!
Dit is wat het beroemde tweespletenexperiment aantoonde. In een andere post gaan we hier nader op in.
Dit is de reden dat je heden ten dage misschien hebt gehoord van ‘golfdeeltjedualiteit’ van de subatomaire wereld. De golffunctie is de meest complete beschrijving van een deeltje. Zodra we metingen verrichten zien we enkele een minuscuul segment van de oorspronkelijke golffunctie, niet meer dan een scherf van de set van alle mogelijke toestanden.
Om die reden toont Dillon Bergers animatie dan ook een waterstofatoom dat volstrekt met rust gelaten wordt. Het is zijn fundamentele bestaanstoestand: een elektrongolffunctie in superpositie, oscillerend in de tijd volgens de Schrödingervergelijking. Maar zodra er sprake is van interactie met zijn omgeving zal er slechts een metaforische snede uit zijn volledige existentie zichtbaar worden (een snede die correspondeert met het uiterlijk vertoon van een puntachtig deeltje).
Hoe dit gebeurt of wat er eigenlijk gebeurt als we een meting verrichten is nog onduidelijk. Hier zullen we in een andere post nader op in gaan, waarbij we verschillende interpretaties de revue zullen laten passeren. Verwacht een post over de Kopenhaagse interpratie, de Vele-wereldeninterpratie en andere pogingen.
Nu heb je in ieder geval een beter beeld van een atoom. Waarschijnlijk.
Hoewel het een van de bekendste bewijzen is onder de bewijzen, kan de irrationaliteit van $\sqrt{2}$ eigenlijk niet ontbreken op een blog over wiskunde en natuurkunde. Dus, bij deze.
Wat is irrationaal?
In het geval men niet geheel bekend is met wiskundig jargon lichten we eerst toe wat het betekent om irrationaal te zijn. Uiteraard doelen we niet op de psychologische attributie ‘irrationeel’. Je schrijft het net iets anders. We spreken over het wiskundige begrip irrationaal.
Misschien dat je je nog de breuken van de lagere of basisschool kunt herinneren:
Een voorbeeld van de toepassing van een breuk is bij een lekker recept waar een zekere verhouding van water en rijst in voorkomt. Mogelijk ben je je er niet altijd van bewust, maar die verhouding kan worden opgeschreven als een breuk: het is de ratio tussen water en rijst. In feite is een breuk een verhouding, een ratio. Daarom wordt een getal dat óók kan worden weergegeven als een breuk, een rationaal getal genoemd (dus, nogmaals, niet rationeel, maar rationaal).
Om de perfecte, luchtige rijst te verkrijgen zonder af te hoeven gieten na afloop, moet men bijvoorbeeld een verhouding van 1 kop rijst en 1,5 kop water aanhouden(beginfootnote)Spoel de rijst eerst goed af om het zetmeel en het stof te verwijderen. Hiermee bevorder je de luchtigheid van de gekookte rijst. Voeg 1.5 keer de hoeveelheid rijst aan water toe. Voeg zout toe als je vindt dat het moet. Breng het water zo snel mogelijk aan de kook. Draai het vuur laag tot het kokende water zachtjes pruttelt. Roer de rijst nog een keer goed om en doe het deksel erop. Laat het acht minuten zo staan. Verwijder het deksel niet van de pan, ook niet om even te kijken. Al het water moet in de pan blijven. Draai na acht minuten het vuur uit en laat het nu rusten voor weer acht minuten. Laat nog steeds het deksel erop zitten. Laat de rijst zoveel mogelijk al het water opnemen, ook nog in dampvorm. Dat is het.(endfootnote). Dus, de breuk is $\frac{1}{1.5}$.
Uiteraard is het gebruikelijk om een breuk op te schrijven met gehele getallen in de noemers en delers. Dus, $\frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$. Vermenigvuldig de noemer en de deler met twee. Met andere woorden, voeg voor iedere twee koppen rijst, drie koppen water toe.
Op de rekenmachine zien we dat $\frac{2}{3} = 0.666\dots$ Er komt geen eind aan dat getal, maar het getal is niettemin prima op te schrijven als een breuk, een verhouding, een ratio: $\frac{2}{3}$.
Uiteraard is $\frac{2}{3}$ hetzelfde als $\frac{4}{6}$, $\frac{10}{15}$ of $\frac{200}{300}$, aangezien deze allen – en dit is van cruciaal belang – veelvouden zijn van de originele breuk: ze kunnen allemaal vereenvoudigd worden tot hun meest simpele vorm, $\frac{2}{3}$. Iets technischer uitgedrukt: als een breuk niet verder vereenvoudigd kan worden, is de grootste gemene deler van de teller en de noemer gelijk aan 1. De breuk $\frac{2}{3}$ is de meest vereenvoudigde breuk, want je kunt de teller en de noemer niet verder delen door hetzelfde gehele getal, afgezien van het getal 1. Goed onthouden.
Nu kunnen we aangeven wat irrationaliteit betekent.
Premisse 1. Een getal is irrationaal als het niet geschreven kan worden als breuk, een ratio, die zo ver mogelijk vereenvoudigd is.
Twee bekende voorbeelden van irrationale getallen zijn $\pi$ en $\sqrt{2}$. Op de rekenmachine zien we dat er geen numerieke herhaling in deze getallen lijkt voor te komen. Dit is een eigenschap van irrationale getallen.
Babylonisch kleitablet met wortel 2. (Credits beneden.)
Bewijs uit het ongerijmde
Hoe bewijzen we nu dat $\sqrt{2}$ irrationaal is, oftewel, hoe tonen we aan dat het niet als een verhoudingsgetal, een breuk, kan worden geschreven? Dat doen we via het zogenaamde bewijs uit het ongerijmde: als het tegenovergestelde van een stelling aantoonbaar onwaar is (en er zijn ook werkelijk maar twee mogelijkheden), dan moet de oorspronkelijke stelling waar zijn. In een vorig artikel gebruikten we dezelfde strategie om te bewijzen dat min min plus is.
Dat doen we hier nu ook.
Even en oneven
Premisse 2
We maken ook gebruik van het feit dat een getal vermenigvuldigd met 2 gelijk is aan een even getal. Neem ieder getal, even of oneven, vermenigvuldig dat met 2 en je krijgt een even getal. Dit is verder geen hogere wiskunde: karakteristiek van een even getal is immers precies dat het deelbaar is door 2. In ons bewijs zullen het symbool $k$ voor ‘een getal, ieder getal, even of oneven’ gebruiken, dat vermenigvuldigd zal worden met 2.
Premisse 3
Als je het kwadraat neemt van een oneven getal, is het resultaat altijd een oneven getal. Als je het kwadraat neemt van een even getal, is het resultaat altijd een even getal. Andersom, als je de vierkantswortel van een oneven kwadraat neemt, is het resultaat altijd oneven. Bij even kwadraten krijg je een even wortel. Check in het hoofd even dat het klopt (het klopt). We zullen in een andere post bewijs hiervoor leveren.
Oké? Let’s go.
Bewijs dat wortel 2 irrationaal is
Anti-premisse 1. Stel het tegenovergestelde: $\sqrt{2}$ kan wel worden geschreven als een zoveel mogelijk vereenvoudigde verhouding: enig (geheel) getal $a$ gedeeld door enig (geheel) getal $b$.
Nu zien we dus dat $a^2$ een even getal is aangezien $b^2$ – eender welk getal dit moge zijn – vermenigvuldigd wordt met 2. Dit betekent ook dat $a$ geen oneven getal kan zijn, het is een even getal – zie premisse 3.
Conclusie 1: $a$ kan niet oneven zijn, het is een even getal.
We kunnen ook stellen dat $a = 2k$, waarbij $k$ enig getal is, eender welk getal, even of oneven. Als we dit substitueren in vergelijking (4), verkrijgen we
Dit betekent dat, onafhankelijk van wat de waarde van $k^2$ is, het is een even getal omdat het wordt vermenigvuldigd met 2. Met andere woorden, $b^2$ is ook een even getal. En dat betekent weer dat $b$ ook een even getal is.
Conclusie 2. $b$ kan geen even getal zijn – het is ook een even getal.
Kijkend naar Conclusies 1 en 2, verkrijgen we
Conclusie 3: $\frac{a}{b}$ is niet de meest vereenvoudigde breuk aangezien $a$ en $b$ nog steeds door 2 gedeeld kunnen worden.
Dit is een contradictie. De breuk $\frac{a}{b}$ kan niet zowel de meest vereenvoudigde breuk zijn en tegelijkertijd niet de meest vereenvoudigde breuk. Conclusie 3 rijmt niet met Anti-premisse 1: ze zijn zelfs in tegenspraak. Met andere woorden, er bestaat geen breuk $\frac{a}{b}$ in de meest vereenvoudigde vorm die gelijk is aan $\sqrt{2}$. En dus, de oorspronkelijke stelling Premisse 1 is waar.
Credentials of the Babylonian tablet clay tablet showing the root of 2: Photograph by Bill Casselman under CC BY-SA 3.0, and the Yale Babylonian Collection as the original holder of the tablet. A black and white rendition of Casselman’s own photograph of the Yale Babylonian Collection’s Tablet YBC 7289 (c. 1800–1600 BCE), showing a Babylonian approximation to the square root of 2 (1 24 51 10 w: sexagesimal) in the context of Pythagoras’ Theorem for an isosceles triangle. The tablet also gives an example where one side of the square is 30, and the resulting diagonal is 42 25 35 or 42.4263888…(30 x square root of 2).
Het is waarschijnlijk de beroemdste vergelijking op deze planeet: $E = mc^2$. Energie is massa keer de lichtsnelheid in het kwadraat(beginfootnote)In de wiskunde laten we meestal het teken voor vermenigvuldiging, $\times$, achterwege.(endfootnote). Deze relatie, deze vergelijking tussen energie, massa en de lichtsnelheid, heeft een naam: de massa-energierelatie. Misschien heb je ooit ergens gelezen of heb je iemand horen uitleggen dat ‘Einstein bewees’ dat massa een vorm van energie is, dat massa bevroren energie is, dat massa omgezet kan worden in energie en dat, uiteindelijk, alle materie in essentie pure energie is.
Dit alles is echter helemaal niet wat de vergelijking inhoudt. Niet in dit universum, in elk geval. Laten we hier de werkelijke betekenis ervan bespreken. We denken dat het tijd is om ons te ontdoen van het onnodig obscurantisme dat gepaard gaat met de vele populaire verklaringen. Alle wis- en natuurkundigen die vroeger hebben bijgedragen aan ons huidige begrip van massa en energie verdienen namelijk beter.
Albert Einstein (rechts) met de Nederlandse natuurkundige Paul Ehrenfest (links) en Ehrenfests zoon in Ehrenfests huis in Leiden.
Standing on the shoulders of giants
Einstein was niet de eerste om de relatie tussen massa en energie te beschrijven. Er waren best nog wat mensen voor hem die, op een of andere manier de connectie tussen massa, energie en snelheid verkenden. Niettemin hielden de meesten er de hypothese op na dat er sprake was van een toename van mechanische massa uitsluitend als gevolg van interacties met elektromagnetische velden. Men sprak van zogenaamde elektromagnetische zelf-energie dat een vorm van elektromagnetische massa veroorzaakte (Miller, 1981; Okun 1989). Einstein toonde vervolgens aan dat een dergelijk concept niet nodig was en kwam als eerste met een correcte afleiding van de beroemde relatie. Desalniettemin publiceerde hij gedurende een aantal jaren daarna nog meer afleidingen van de vergelijking.
Overigens bevatten geen van zijn publicaties de letterlijke vorm $E = mc^2$. Je zou ze mogelijk niet herkennen als je ze zag. Bovendien is de vergelijking niet universeel waar.
Ten slotte is de beroemde formule niet de volledige versie. Meestal zijn mensen enkel bekend met de hippe editie die op een honkbalpetje past. De complete vergelijking is echter universeler en wordt ook wel door hedendaagse natuurkundigen de correcte versie genoemd(beginfootnote)cf. https://youtu.be/mkiCPMjpysc(endfootnote). Deze is echter niet als eerste door Einstein opgesteld, maar door Paul Dirac (Eisberg & Resnick, 1974; Miller 1981). Daar komen we nog op terug.
Onder andere deze indrukwekkende geesten hebben allen een versie van de beroemde vergelijking afgeleid voordat Einstein dat deed.
Energie is een mathematisch concept
We herinneren ons eraan dat energie niet een ‘ding’ is. Zoals we al benoemden in een vorig artikel is het niet een of ander onzichtbare, immateriële, vloeistofachtige ‘essentie’ waar alles van gemaakt is, schuilgaand achter de façade van de tastbare wereld. Fork, no.
Het is altijd slechts een getal geweest, een boekhoudkundig hulpmiddel, een belangrijk en heel praktisch mathematisch concept. Het werd voor het eerst voorgesteld door de zeventiende eeuwse, Duitse geleerde Gottfried Wilhelm von Leibniz. Wat het mathematisch concept is? Het is het getal dat je verkrijgt als je de massa van een object vermenigvuldigt met zijn snelheid in het kwadraat(beginfootnote)Later werd dit herijkt op 1/2 keer de massa keer de snelheid in het kwadraat.(endfootnote). Het is een pragmatische manier om de balans tussen deze twee eigenschappen op te maken.
Stel je een biljarttafel voor met drie biljartballen. We negeren iedere vorm van wrijving. Dit geïsoleerde systeem ondergaat een constante, interne verandering: de ballen ketsen voortdurend tegen elkaar en stuiteren tegen de rand. Leibniz veronderstelde dat de massa van de ballen niet veranderde. Wat wel veranderde was de snelheid van de ballen (en de bewegingsrichting). Hij merkte op dat als je van iedere bal het product berekent van zijn massa met zijn snelheid en alle producten dan bij elkaar optelt, dat deze som altijd constant blijft, op welk tijdstip ook, ongeacht de veranderende snelheid en richting van de ballen. (Totdat je iets veranderde aan het systeem door een stoot van de keu bijvoorbeeld.)
Dit was de vroege formulering van wat we tegenwoordig de wet van behoud van energie noemen(beginfootnote)Hij noemde het resultaat van het product vis viva. Het woord energie had hier zijn intrede dus nog niet gedaan. Wellicht had hij een poëtische bui. Hij ondervond stevige competitie van zijn rivaal Newton die het begrip impuls had geïntroduceerd. Dit was een andere manier van de balans bijhouden. Dit was het product van massa keer de snelheid – gewoon, snelheid, dus niet het kwadraat ervan. Ook de totale impuls bleek constant. Dit is de wet van impulsbehoud. Later zou men begrijpen dat de twee kwantiteiten elkaar aanvullen en ten onrechte als twee met elkaar competerende concepten werden gezien.(endfootnote). Deze wet is geldig in een relatief klein gebied van het universum, zoals de aarde of ons zonnestelsel. Echter, op de schaal van het gehele, waarneembare universum blijft energie niet behouden. Dus hoewel de wet van energiebehoud fundamenteel lijkt voor ons aardlingen en onze experimenten, op de schaal van het waarneembaar universum is het dat niet(beginfootnote)Met dank aan een combinatie van het werk van de geniale Emmy Noether (Stelling van Noether) en Albert Einstein (algemene relativiteit).(endfootnote).
Voor ons is dit voorlopig even irrelevant. Belangrijk is dat sindsdien de mensen, met hun natuurlijke neiging om complexe categoriesystemen te bedenken, onderscheid maakten tussen verschillende vormen van energie. Denk aan potentiële energie (iets bevindt zich op grote hoogte en kan naar beneden vallen of is iets is opgewonden en kan spontaan afwinden), warmte-energie (iets is heet), chemische energie (iets is ‘opgeladen’) en kinetische energie (iets beweegt). Deze begrippen, inclusief het moederbegrip energie, zijn menselijke constructen. Deze zelfstandige naamwoorden beschouwen als verwijzend naar fysieke, op zichzelf staande, tastbare dingen is, ironisch genoeg, een categoriefout.
Af en toe interpreteerde men Albert Einstein verkeerd. In de oude tijd brachten mensen onderscheid aan in dingen, zoals ze altijd doen. Er waren nu verschillende vormen van ‘massa’: rustmassa en relativistische massa. Rustmassa is de massa van een object dat niet beweegt. Relativistische massa is de massa van een object dat wel beweegt. Als hij steeds sneller gaat bewegen dan zou zijn massa groeien, alsmaar groter en groter, want dat is wat hij zei.
Maar nee. Hij publiceerde in zijn derde artikel van 1905 (1905a, p. 920), Zur Elektrodynamik bewegter Körper, een vergelijking voor de energie van een elektron, dat luidde als volgt:
Het lijkt er misschien niet op, maar je zou kunnen zeggen dat dit zijn eerste wiskundige expressie was van de relatie tussen (kinetische) energie, massa en de lichtsnelheid in de kwadraat(beginfootnote)Overigens had Max Abraham net daarvoor het werk van Walter Kaufman gepubliceerd die dezelfde vergelijking voor kinetische energie had opgesteld. Einstein was hier waarschijnlijk niet van op de hoogte (Miller, 1981).(endfootnote). Het vraagt om een beetje vertaling, maar het is niet echt moeilijk. Negeer het middelste gedeelte en concentreer je alleen op de letter $W$ en het deel achter het laatste isgelijkteken. Je moet dan alleen even weten dat Einsteins notatie zich als volgt laat vertalen: de kinetische energie $W = E_k$, rustmassa $mu = m_0$ en de lichtsnelheid $V = c$. Dus, in moderne notatie staat er eigenlijk:
Dit begint al aardig te lijken op de bekende $E=mc^2$. Het stelt echter niet dat massa toeneemt. Het stelt alleen dat als de snelheid van een object, $v$, de lichtsnelheid $c$ nadert, het resultaat van deze hele vergelijking oneindig groot wordt – een oneindige hoeveelheid energie.
Gezien de massa-energierelatie concludeerden mensen (van de oude garde) niettemin dat als de energie van een bewegend object oneindig wordt bij de snelheid van het licht, de massa van het object ook oneindig wordt, de relativistische massa, om precies te zijn.
Dit is echter iets van het verleden – technisch gesproken. Al in 1940 negeerden de grote Lev Landau en Evgeny Lifshitz het onderscheid tussen rustmassa en relativistische massa in hun boek The Classical Theory of Fields. De legendarische John A. Wheeler en Edwin F. Taylor brachten een dito geüpdatete Spacetime Physics naar een ieders leestafel. Niettemin zijn er helaas nog talloze studieboeken die archaïsche begrippen, verlopen jargon en notatie hanteren.
Hedendaagse natuurkundigen spreken echter niet langer van relativistische massa. Met speciale relativiteit toonde Einstein dat waarnemingen en metingen afhangen van het referentiekader. Per definitie zijn er ook een paar dingen zijn die daar niet van afhangen. Naast de ruimtetijdinterval, natuurwetten en de lichtsnelheid blijkt dat rustmassa te zijn.
De rustmassa van een object is invariant, oftewel, het varieert of verandert niet door de beweging van de waarnemer in relatie tot het object (Taylor & Wheeler, 1992, p. 211). Zoals ook in Einsteins vergelijking voor kinetische energie te zien is, speelt alleen rustmassa een rol. Relativistische massa komt er niet in voor. Het is zelfs zo dat Einstein schreef (zoals geciteerd in Okun, 1989, p. 32):
‘Het is niet goed om een concept van massa $M = m/(\sqrt{1-v^2/c^2})$ van een lichaam te introduceren waarvoor geen heldere definitie gegeven kan worden. Het is beter om geen ander massaconcept te introduceren dan de ‘rustmassa’ $m$. In plaats van de introductie van $M$ is het beter om de uitdrukking voor impuls en energie van een bewegend lichaam te noemen.’(beginfootnote)Vertaling door @kjrunia.(endfootnote)
Uiteraard, $M$ is wat de mensen later relativistische massa zouden noemen, wat betekent dat ze het toch gewoon deden, tegen Einsteins voorkeur in.
Heden ten dage – nou ja, in elk geval sinds 1940 – spreken natuurkundigen enkel van massa. We ontdeden ons van relativistische massa. Bovendien is het bijvoeglijk deel ‘rust’ in rustmassa overbodig. Massa betreft sowieso een object in rust. Als het beweegt, spreken we van het product van massa en snelheid in een bepaalde verhouding: als impuls of als energie. De massa van een object groeit niet als gevolg van zijn beweging.
Resistance is crucial
Wat is massa dan? Voor de zekerheid, massa is niet hetzelfde als gewicht: dezelfde hoeveelheid massa heeft verschillend gewicht op verschillende planeten. Dit is ons op de middelbare school al geleerd. Een weegschaal meet gewicht, geen massa. Een ouderwetse balans met geijkte contragewichten – *kuch* contramassa’s – is de beste optie voor de interplanetaire reizen. Deze massa’s moeten uiteraard geijkt zijn aan de definitie van een kilogram volgens de International Bureau of Weights and Measures.
Massa is ook niet hetzelfde als materie. Massa en materie behoren tot verschillende categorieën. De eerste is een eigenschap, de tweede is een ‘ding’. Elementaire ‘deeltjes’, dingen(beginfootnote)We gebruiken aanhalingstekens bij ‘deeltjes’ want hoewel de term makkelijk is in gebruik, erkennen we dat het eigenlijk kwantumveldoscillatoren zijn, of, mooier nog, golffuncties.(endfootnote), zoals elektronen, bezitten een zekere hoeveelheid massa. Een elektron verkrijgt massa door interactie met het Higgsveld, waarvan het bestaan bewezen werd in 2012 bij het CERN. De hoeveelheid elementaire deeltjes correleert met de hoeveelheid massa, echter, de massa van een object bestaat niet alleen hieruit: het betreft ook de beweging van gluonen (in de protonen), de beweging van de elektronen, atomen en moleculen – de kinetische, thermische en chemische energie in het object (in rust).
Einstein schreef in zijn vierde artikel van 1905, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? (1905b, p. 641):
‘Als een lichaam energie afgeeft in de vorm van straling neemt de massa af met $L/V^2$’,(beginfootnote)Vertaling door @kjrunia.(endfootnote)
waarbij, in moderne notatie, $L=E$, and $V=c$. De energie die hij noemt is niet de kinetische energie (van een lichaam in beweging) maar de interne energie (van een lichaam in rust), zoals warmte-energie. En inderdaad, dit betekent dat massa toeneemt of afneemt, afhankelijk van de interne energie van een object.
Twee structureel identieke ballen van staal hebben verschillende massa als een bal heter is (meer massa) dan de ander; hun interne warmte-energie verschilt. Twee structureel identieke mobiele telefoons hebben verschillende massa als een opgeladen is (meer massa) en de ander is leeg; hun interne elektrochemische energie verschilt. Nota bene, we hebben het hier dus over objecten in rust.
Bovendien, zodra een van de objecten licht of warmte uitstraalt, verliezen ze massa. De breuk $E/c^2$ is echter heel klein omdat de lichtsnelheid zo groot is. Daarom is de extra massatoename of -afname zo klein dat dit wellicht de reden is dat mensen massa met de hoeveelheid materie verwarren. Het is bijna hetzelfde. Het is de hoeveelheid materie plus iets meer, de interne energie.
Massa zou beschreven kunnen worden als de weerstand tegen versnelling – een verhouding tussen de kracht benodigd om de versnelling te veroorzaken die het dan heeft. Massa is inerte massa, de inertie van een object (zoals Einstein het ook noemde in de titel van zijn artikel (1905a) uit 1905).
De volledige vergelijking
Als je geen vergelijkingen meer kunt zien, sla deze paragraaf dan maar over. Als je de echte, volledige versie wil zien: let’s go.
Einstein publiceerde verschillende afleidingen. Een van de meest bekende was de volgende voor de totale energie van een object:
Als je toevallig vloeiend algebra spreekt, kun je zien hoe we $E=mc^2$ verkrijgen. Zo niet, geen probleem. Als een object in rust is, heeft het geen snelheid, dus $v=0$. Als je dit getal in de vergelijking invult, wordt de noemer van de grote breuk gelijk aan 1. En alles dat je deelt door 1 blijft zichzelf, dus dat betekent dat je $E=mc_0c^2$ overhoudt.
Uiteraard zouden we dat subscript 0 in $m_0$ gewoon weg kunnen laten. Het duidt ‘rustmassa’ aan, maar ‘rust’ is eigenlijk overbodig.
Dit betekent ook dat de beroemde vergelijking $E=mc^2$ eigenlijk alleen toepasbaar is als het object niet beweegt. Bovendien is het niet toepasbaar op massaloze deeltjes, zoals het foton.
$E=mc^2$ is niet universeel toepasbaar. Alleen in een inertiaalstelsel, waar het object niet beweegt, en alleen in het geval van ‘deeltjes’ met massa, is deze vergelijking geldig. Dus niet in het geval van fotonen en gluonen.
De volgende vergelijking is echter wel geldig bij zowel massa-houdende en massaloze deeltjes. Hoewel Einstein het fundament legde was het de geniale Paul Dirac die deze uitdrukking voor het eerst optekende in 1928 (Eisberg & Resnick, 194; Miller, 1981), zij het op een enigszins meer technische manier dan hieronder weergegeven. De volgende vergelijking betreft alle objecten, inclusief licht:
De letter $p$ is de impuls. Stel, we willen de energie van een foton berekenen. Aangezien het foton geen massa heeft ($m=0$), verwordt deze vergelijking tot $E = pc$, wat inderdaad het correcte verband is tussen energie en een foton. Als je zou proberen om $E = mc^2$ te gebruiken om de energie van een foton te berekenen, zou je maar een mal antwoord krijgen.
Dus, $E = mc^2$ is geen universele vergelijking aangezien het niet opgaat voor massaloze ‘deeltjes’. De vergelijking zoals eerst opgetekend door Paul Dirac echter wel en het past zelfs op een t-shirt.
wat het mogelijk nog cooler maakt aangezien het een prachtige, pythagorische driehoeksverhouding blootlegt.
Paul Dirac
De betekenis van E = mc²
Alles goed en wel, maar los van alle technische mitsen en maren, wat betekent het nou eigenlijk?
Het betekent dat energie massa is, geproportioneerd door een factor $c^2$.
Het betekent ook dat de massa van een object een maat is voor zijn totale intrinsieke energie (potentiële, thermische, chemische, elektrische, zelfs kinetische als delen aan de binnenkant van het object in beweging zijn), geproportioneerd door een factor van $1/c^2$.
$E = mc^2$ zou eigenlijk geschreven moeten worden als $E_0 = mc^2$ want het gaat over de energie van een object in rust. Het subscript 0 betekent meestal dat het iets in rust betreft.
Het is echter niet de volledige vergelijking.
Het betekent niet dat energie materie is en materie energie. Massa is niet hetzelfde als materie. Dat is een categoriefout.
Het betekent niet dat massa geconverteerd kan worden in energie en vice versa. Ten eerste, massa kan niet geconverteerd worden want het is een eigenschap, een meetbare eigenschap. Energie is een ook een eigenschap, een berekenbare eigenschap, wat gedaan kan worden door massa te meten.
Stel je een object voor dat de volgende eigenschappen heeft: omvang, kleur, hardheid en energie. Stel, de vergelijking zou als volgt hebben geluid: $E =$ hardheid $\times c^2$. Wellicht wordt het zo duidelijk dat dit niet betekent dat hardheid geconverteerd wordt in energie. Wat het betekent, is dat je hiermee een mathematische manier hebt om een maat in termen van een andere maat te berekenen. Het enige dat hier wordt geconverteerd, is een getal, een kwantiteit.
Materie is een ander beestje. Het is een klomp van dingen: ‘deeltjes’. Een object is een klomp materie en interacties. Zoals CERN dagelijks aantoont, kan materie in beweging geconverteerd worden in duizenden andere dingen in beweging. Als mensen erop staan om te spreken over dingen die geconverteerd worden, zouden ze kunnen spreken over de conversie van deeltje A met beweging $a$ en deeltje B met beweging $b$ naar deeltjes C, D, E, F, G, $\dots$ met beweging $c,d,e,f,g,\dots$
Dus, de volgende keer dat iemand meent aan jou te moeten uitleggen dat $E = mc^2$ betekent dat massa geconverteerd kan worden naar energie en dat dingen nimmer de snelheid van het licht kunnen bereiken omdat anders de massa oneindig groot wordt, kun je volstaan met de volgende reactie: ‘Neh, man. Massa is een invariante eigenschap van een lichaam, calculeerbaar met de volledige vergelijking, $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$, weet je. Hoewel je het dan nog wel even moet oplossen voor $m$ en je niet vergeten moet om alleen de pseudo-euclidische norm van de impuls te nemen en niet de hele viervector, maar dat moet geen probleem zijn verder – het maakt het er alleen maar makkelijker op.’ Pauzeer even en voeg dan toe: ‘In de Minkowski-ruimte, uiteraard.’(beginfootnote)De Minkowsi-ruimte is als euclidische ruimte, maar dan in vier dimensies. Dit is misschien ook een goed moment om de voetnoot te plaatsen dat er nog zelfs een fundamentelere vergelijking is, namelijk Einsteins veldvergelijking van zijn algemene relativiteitstheorie (Carroll, 2014), maar dat is iets voor later.(endfootnote)
Ten slotte, pure energie = puur nonsens. Als Leibniz het kon horen, zou hij schaterlachen en zich in zijn graf omdraaien – als hij er de energie voor kon vinden. Eerlijkheidshalve moet gezegd dat natuurkundigen het woord energie altijd en overal gebruiken. Het is kort en simpel, maar bijzonder krachtig als term. En dat is prima, zolang we het er allemaal over eens zijn wat we bedoelen.
Energie ligt niet ten grondslag aan beweging, maar beweging(beginfootnote)Van kwantumvelden, beschreven door golffuncties.(endfootnote) en interacties liggen ten grondslag aan het construct energie.
Hoe dan ook, mocht je toch ooit tegen een half-doorzichtige, zwevende kwak pure energie aanlopen aan het eind van de lange gang in dat duistere landhuis van je rijke tante, dan, ja, dat is dan iets vreemds.
Referentielijst
Carroll, S. (2014) Spacetime and Geometry: Pearson New International Edition : an Introduction to General Relativity. 1st. Pearson.
Einstein, A. (1905a) ‘Zur Elektrodynamik bewegter Körper’, Annalen der Physik, 322(10), pp. 891-921.
Einstein, A. (1905b) ‘Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?’, Annalen der Physik, 323(13), pp. 639-641.
Eisberg, R. M. and Resnick, R. (1974) Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei, and particles. New York: Wiley.
Miller, A. I. (1981) Albert Einstein’s special theory of relativity : emergence (1905) and early interpretation (1905-1911). Reading, Mass ;: Addison-Wesley.
Okun, L. B. (1989) ‘The Concept of Mass’, Physics Today, 42(6), pp. 31-36.
Taylor, E. F. and Wheeler, J. A. (1992) Spacetime physics : introduction to special relativity. 2nd ed. edn. New York: W.H. Freeman.
Featured image: NASA’s Solar Dynamics Observatory captured this image of an X2.0-class solar flare bursting off the lower right side of the sun on Oct. 27, 2014. The image shows a blend of extreme ultraviolet light with wavelengths of 131 and 171 Angstroms. Credit: NASA/SDO. Retrieved 30 Aug 2019, from https://www.nasa.gov/content/goddard/sun-release-x20-class-flare-on-oct-27-2014
Einstein and Ehrenfest. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 21 Aug 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1510430/1/132_1510430/cite
Oliver Heaviside (1850-1925) – Science and Society Museum/ Universal Images Group. Oliver Heaviside, English physicist, c 1900.. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/102_541915/1/102_541915/cite
Hendrik Lorentz (1853-1928) – Science and Society Museum/ Universal Images Group. Hendrik Antoon Lorentz, Dutch physicist, c 1920.. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/102_523268/1/102_523268/cite
Henri Poincaré (1954-1912) – akg-images / Universal Images Group. Henri Poincare / Photo c. 1890. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 3 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/109_171035/1/109_171035/cite
Joseph J. Thomson (1856-1940) – Science and Society Museum/ Universal Images Group. Sir Joseph J. Thomson, English physicist, late 19th century/early 20th century.. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/102_547694/1/102_547694/cite. Cropped by @kjrunia.
George Frederick Charles Searl FRS(1864-1954) – Royal Society. As printed in Thomson, G. (1955) ‘George Frederick Charles Searle. 1864-1954’, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society,1, p. 247. Cropped by @kjrunia.
Wilhelm Wien (1864-1928) – NATIONAL LIBRARY OF CONGRESS / SCIENCE PHOTO LIBRARY / Universal Images Group. Wilhelm Wien, German physicist. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1255736/1/132_1255736/cite
Max Abraham (1875-1922) – Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen. Max Abraham around 1905. Public domain. Slightly cropped by @kjrunia.
Albert Einstein, Swiss-German physicist. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 22 Aug 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1510416/1/132_1510416/cite
Paul Dirac. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 24 Aug 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1254852/1/132_1254852/cite
In 1905 publiceerde Albert Einstein een artikel over bewegende lichamen en elektrodynamica. Hij merkte op dat Newtons mechanica der bewegende lichamen niet verenigbaar was met de wetten van Maxwell over het elektromagnetisme. In dit artikel zullen we enkele belangrijke aspecten bespreken. We beginnen met twee fundamentele stellingen. En voor de geeks eindigen we met te beantwoorden waarom speciale relativiteit speciaal is.
Einsteins postulaten
Zijn eerste stelling komt erop neer dat of je je nu bevindt in of op een bewegend object, zoals een schip, een trein of je auto, of dat je stilstaat aan de kade, langs het spoor of de weg, de natuurwetten blijven hetzelfde. Als je op het perron staat en je gooit een bal in de lucht zorgen de natuurwetten ervoor dat de bal weer naar beneden komt. Als je in een rijdende trein staat, komt de bal ook weer naar beneden omdat in de trein dezelfde natuurwetten gelden. Het feit dat je in beweging bent, heeft geen gevolgen voor de wetten van het universum.
In het verlengde daarvan komt Einsteins tweede stelling erop neer dat de snelheid van het licht dezelfde is voor iedereen. Hij erkende dat Maxwell en collega’s een correcte beschrijving gaven van licht als een elektromagnetische verstoring die zich voortplant volgens de elektromagnetische wetten der natuurkunde. Hij zag ook in dat de snelheid van de lichtbron geen rol speelt in de wetten van Maxwell. Als het eerste postulaat waar is, dan plant licht zich altijd voort met de snelheid $c$ ($c$ is ongeveer 300 000 000 m/s), onafhankelijk van de beweging van de waarnemer. En niets kan sneller gaan.
Of je nu op het perron staat of dat je je in een rijdende trein bevindt, de natuurwetten zijn dezelfde. De voortplanting van het licht is een wet van de elektrodynamica waarbij de snelheid van de lichtbron geen rol speelt. Daarmee is de lichtsnelheid zoals gezien aan boord van de trein dezelfde zoals gezien vanaf het perron, onafhankelijk van de snelheid van de trein.
Intuïtie klopt veelal, maar eigenlijk niet
Stel, je staat op het perron. Een trein passeert met een snelheid van 30 meter per seconde. Vanaf de trein gooit een vriend een tennisbal het raam uit met een snelheid van 2 meter per seconde, in de bewegingsrichting van de trein. Je vangt de bal. Met welke snelheid raakt de bal je hand?
Intuïtief zou je wellicht zeggen dat het antwoord 30 + 2 = 32 meter per seconde is. Deze manier van berekenen is in heel veel gevallen bruikbaar. Instinctief zou je de snelheid van de trein simpelweg optellen bij de werpsnelheid van de bal. Dit is hoe Isaac Newton(beginfootnote)En eerder al Galileo Galilei, aangezien dit de zogenaamde Galileitransformatie wordt genoemd.(endfootnote) gewild zou hebben dat je het zou berekenen. En in de meeste gevallen heeft hij gelijk. Maar eigenlijk niet.
Laten we ons afvragen wat er zou gebeuren als onze vriend geen bal wierp maar een zaklamp inschakelde. De trein rijdt nog steeds met 30 m/s. Licht verlaat de zaklamp echter met een snelheid van ongeveer 300 000 000 m/s. Je heft je hand op. Het ‘vangt’ het licht. Met welke snelheid raakt het je hand?
Je zou ook hier kunnen zeggen dat dit 30 + 300 000 000 = 300 000 030 m/s is. Maar nee. Dat is fout. Herinner je je Einsteins tweede postulaat nog? Onafhankelijk van de beweging van de waarnemer is de lichtsnelheid altijd 300 000 000 m/s en niets gaat sneller, punt. Dat betekent dat een simpele optelling zou bewijzen dat we een manier hebben gevonden om te zorgen dat licht sneller dan de lichtsnelheid gaat. We zouden zonder meer Nobelprijswinnaars worden. Behalve dan dat dit niet klopt en dat we dat niet worden.
Op de schop
Als de lichtsnelheid even groot is voor onze vriend op de bewegende trein als voor ons op het perron (lees dit nog eens en besef hoe krankzinnig dit is), hoe in Walhalla’s naam krijgt het universum dit dan voor elkaar? Nadat hij wat relatief simpele wiskunde ter hand nam – die een middelbare scholier kan nadoen – realiseerde Einstein zich dat er iets aan de hand was met meters en seconden. Hij bewees dat een meter voor ons niet hetzelfde is als een meter voor onze vriend en vice versa. Bovendien is een seconde voor ons eveneens niet hetzelfde als een seconde voor onze vriend.
Met andere woorden, aangezien wij, op het perron, meten dat het licht zich voortplant met 300 000 000 meter per seconde, en dat onze vriend in de trein precies dezelfde waarde meet, betekent dit dat ons begrip van wat meters en seconden zijn onjuist is.
Het punt
Dit is wat er gebeurt. Als twee ‘dingen’, ‘mensen’, ‘objecten’, of referentiekaders zoals natuurkundigen het noemen, ten opzichte van elkaar bewegen, gebeuren er vreemde dingen met ruimte en tijd. Ja, met ruimte en tijd zelve. Het zijn maffe dingen. We dachten altijd dat ze er gewoon zijn. Statisch. Onbewegelijk. Overal en altijd hetzelfde. Twee onveranderlijke entiteiten. Welnu, dat zijn ze niet.
In Leiden heeft het project Leidse Muurformules natuurkundige vergelijkingen verspreid over het centrum van de stad. Dit is de Lorentzcontractie, toepasselijk naast het spoor geplaatst. Het beschrijft hoe ruimte (in dit geval, een een-dimensionale lengte) krimpt volgens Einsteins speciale relativiteit. Klik hier voor Google Street View.
Stel, nu zijn wij in de trein. We bewegen ons ten opzichte van onze vriend op het perron. Die neemt vervolgens waar dat ruimte in onze bewegingsrichting kleiner wordt – het krimpt. Onze vriend zal feitelijk waarnemen dat onze trein korter wordt in vergelijking met toen de trein stilstond ten opzichte van onze vriend. Die zal ook waarnemen dat onze tijd wordt opgerekt – onze klok vertraagt. Als een seconde verloopt op de klok van onze vriend, ziet die dat er op onze klok in diezelfde tijd slechts 0.9999999995… seconden zijn verstreken(beginfootnote)Dit getal is metaforisch bedoeld. Het echte tijdsverschil is te klein voor mijn calculator om te tonen.(endfootnote).
Vanuit ons perspectief, bezien vanaf de trein, beweegt onze vriend zich voort ten opzichte van ons (achterwaarts). Wat dat betreft beweegt de rest van de hele wereld zich voort ten opzichte van ons, achterwaarts. Dus, inderdaad, zouden wij de wereld zien krimpen in de tegenovergestelde richting. We zouden ook zien dat de tijd van de rest van de wereld langzamer loopt dan onze tijd.
Twin paradox
Nu zou je terecht kunnen opmerken dat als wij en onze vriend elkaars klokken zien vertragen, dan is er toch geen verschil tussen onze klokken? Niettemin, als we terugrijden naar onze vriend, stoppen op het perron en onze klok vergelijken met die van onze vriend, zien we dat onze klok achterloopt. Dit is de zogenaamde tweelingparadox. Als beiden hetzelfde kunnen beweren, hoe kunnen de klokken dan verschillen aan het eind, waarbij, in het geval van een tweeling, de ene helft jonger is (van de trein) dan de andere helft die achterbleef (op het perron)?
Dit komt door het wisselen van referentiekaders: we bevonden ons in een bewegend referentiekader (de trein), wisselden naar een kader dat bewoog in de tegenovergestelde richting (terugkerende naar onze vriend), en, ten slotte, wisselden naar het kader van het perron, om naast onze vriend te staan zodat we onze klokken kunnen vergelijken. Onze vriend heeft nooit van referentiekader gewisseld – hij bleef op het perron staan(beginfootnote)In tegenstelling tot wat veel populaire en zelfs introductieteksten in de natuurkunde beweren, heeft het minder te maken met acceleratie, hoewel het wel een rol speelt – in de echte wereld is het niet mogelijk om zonder acceleratie (en deceleratie) van referentiekader te wisselen. Niettemin is acceleratie in wiskundig opzicht niet nodig – het wisselen van referentiekaders wel.(endfootnote). De situatie is dus niet symmetrisch.
Lengte-contractie en tijddilatatie. Ze zijn niet illusoir, ze zijn echt. Vele experimenten toonden aan dat ruimte krimpt en tijd uitrekt voor dingen die bewegen ten opzichte van dingen die anders bewegen.
Deze $\gamma$ (Griekse letter gamma) is cruciaal. Het is een benodigde factor om te bewerkstelligen dat de lichtsnelheid niet groter wordt dan de lichtsnelheid, zelfs aan boord van een rijdende trein. Deze factor wordt de Lorentz factor(beginfootnote)Vernoemd naar Hendrik Lorentz. De expressie voor de Lorentz factor is: \[ \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}, \] waarbij $v$ de snelheid van de ander is ten opzichte van ons en $c$ is de lichtsnelheid.(endfootnote) genoemd.
We merken er echter bijna nooit iets van. Normaal gesproken zijn onze snelheden veel te laag voor het opmerken van de effecten van speciale relativiteit. Behalve als dingen heel snel gaan. Zonder Einsteins speciale relativiteit zouden gps-satellieten niet werken(beginfootnote)Uiteraard hebben we daarvoor ook nog Einsteins algemene relativiteitstheorie voor nodig, maar dat is iets voor een ander artikel.(endfootnote). Onderzoeksinstituten als CERN en Fermilab zijn ook genoodzaakt om rekening te houden met speciale relativiteit met de hoog-energetische, voortrazende deeltjes.
Dus, onze intuïtie (Newton) is veelal voldoende maar niet precies correct.
Wat er zo speciaal is aan speciale relativiteit
Dit is een enigszins technische vraag waar een ietwat technisch antwoord bij hoort, waarvoor onze excuses. In tegenstelling tot wat vaak wordt beweerd in populair-wetenschappelijke teksten gaat het in speciale relativiteit niet echt om constante snelheden tegenover algemene relativiteit met acceleratie. Speciale relativiteit biedt wel degelijk een wiskundig raamwerk om met versnellingen om te gaan. Het punt is meer dat het prima werkt als je aanneemt dat de dingen zich bevinden in zogenaamde Euclidische ruimte, voldoend aan Euclidische geometrie(beginfootnote)Vernoemd naar Euclides.(endfootnote). Echter, na ampel beraad, concludeerde Einstein via zijn algemene relativiteitstheorie dat we helemaal niet in een Euclidisch-geometrische realiteit leven. We bestaan in een Riemann-variëteit(beginfootnote)Vernoemd naar Bernhard Riemann.(endfootnote). Kort gezegd, Euclidische ruimte is een speciaal geval van de meer algemene Riemann-variëteit(beginfootnote)Als we preciezer willen zijn heeft Hermann Minkowski een gewijzigde versie van Euclidische ruimte ontwikkeld, die we nu Minkowski-ruimte noemen, terwijl Riemann-variëteit eigenlijk pseudo-Riemann-variëteit zou moeten heten, maar natuurkundigen noemen het simpelweg Riemann-variëteit – wellicht omdat ze geen wiskundigen zijn.(endfootnote). Vandaar dat we van speciale relativiteit spreken tegenover algemene relativiteit.
Uitgelichte foto door StockSnap van Pixabay, aangepast door @kjrunia (vergelijkingen toegevoegd).
