A bit of maths and physics

Tag: Maxwellvergelijkingen

  • Einstein’s speciale relativiteit binnen 6.999 minuten voor onderweg

    Einstein’s speciale relativiteit binnen 6.999 minuten voor onderweg

    In 1905 publiceerde Albert Einstein een artikel over bewegende lichamen en elektrodynamica. Hij merkte op dat Newtons mechanica der bewegende lichamen niet verenigbaar was met de wetten van Maxwell over het elektromagnetisme. In dit artikel zullen we enkele belangrijke aspecten bespreken. We beginnen met twee fundamentele stellingen. En voor de geeks eindigen we met te beantwoorden waarom speciale relativiteit speciaal is.

    Einsteins postulaten

    Zijn eerste stelling komt erop neer dat of je je nu bevindt in of op een bewegend object, zoals een schip, een trein of je auto, of dat je stilstaat aan de kade, langs het spoor of de weg, de natuurwetten blijven hetzelfde. Als je op het perron staat en je gooit een bal in de lucht zorgen de natuurwetten ervoor dat de bal weer naar beneden komt. Als je in een rijdende trein staat, komt de bal ook weer naar beneden omdat in de trein dezelfde natuurwetten gelden. Het feit dat je in beweging bent, heeft geen gevolgen voor de wetten van het universum.

    In het verlengde daarvan komt Einsteins tweede stelling erop neer dat de snelheid van het licht dezelfde is voor iedereen. Hij erkende dat Maxwell en collega’s een correcte beschrijving gaven van licht als een elektromagnetische verstoring die zich voortplant volgens de elektromagnetische wetten der natuurkunde. Hij zag ook in dat de snelheid van de lichtbron geen rol speelt in de wetten van Maxwell. Als het eerste postulaat waar is, dan plant licht zich altijd voort met de snelheid $c$ ($c$ is ongeveer 300 000 000 m/s), onafhankelijk van de beweging van de waarnemer. En niets kan sneller gaan.

    Een afbeelding van de binnenkant van een metro.
    Of je nu op het perron staat of dat je je in een rijdende trein bevindt, de natuurwetten zijn dezelfde. De voortplanting van het licht is een wet van de elektrodynamica waarbij de snelheid van de lichtbron geen rol speelt. Daarmee is de lichtsnelheid zoals gezien aan boord van de trein dezelfde zoals gezien vanaf het perron, onafhankelijk van de snelheid van de trein.

    Intuïtie klopt veelal, maar eigenlijk niet

    Stel, je staat op het perron. Een trein passeert met een snelheid van 30 meter per seconde. Vanaf de trein gooit een vriend een tennisbal het raam uit met een snelheid van 2 meter per seconde, in de bewegingsrichting van de trein. Je vangt de bal. Met welke snelheid raakt de bal je hand?

    Intuïtief zou je wellicht zeggen dat het antwoord 30 + 2 = 32 meter per seconde is. Deze manier van berekenen is in heel veel gevallen bruikbaar. Instinctief zou je de snelheid van de trein simpelweg optellen bij de werpsnelheid van de bal. Dit is hoe Isaac Newton(beginfootnote)En eerder al Galileo Galilei, aangezien dit de zogenaamde Galileitransformatie wordt genoemd.(endfootnote) gewild zou hebben dat je het zou berekenen. En in de meeste gevallen heeft hij gelijk. Maar eigenlijk niet.

    Laten we ons afvragen wat er zou gebeuren als onze vriend geen bal wierp maar een zaklamp inschakelde. De trein rijdt nog steeds met 30 m/s. Licht verlaat de zaklamp echter met een snelheid van ongeveer 300 000 000 m/s. Je heft je hand op. Het ‘vangt’ het licht. Met welke snelheid raakt het je hand?

    Je zou ook hier kunnen zeggen dat dit 30 + 300 000 000 = 300 000 030 m/s is. Maar nee. Dat is fout. Herinner je je Einsteins tweede postulaat nog? Onafhankelijk van de beweging van de waarnemer is de lichtsnelheid altijd 300 000 000 m/s en niets gaat sneller, punt. Dat betekent dat een simpele optelling zou bewijzen dat we een manier hebben gevonden om te zorgen dat licht sneller dan de lichtsnelheid gaat. We zouden zonder meer Nobelprijswinnaars worden. Behalve dan dat dit niet klopt en dat we dat niet worden.

    Op de schop

    Als de lichtsnelheid even groot is voor onze vriend op de bewegende trein als voor ons op het perron (lees dit nog eens en besef hoe krankzinnig dit is), hoe in Walhalla’s naam krijgt het universum dit dan voor elkaar? Nadat hij wat relatief simpele wiskunde ter hand nam – die een middelbare scholier kan nadoen – realiseerde Einstein zich dat er iets aan de hand was met meters en seconden. Hij bewees dat een meter voor ons niet hetzelfde is als een meter voor onze vriend en vice versa. Bovendien is een seconde voor ons eveneens niet hetzelfde als een seconde voor onze vriend.

    Met andere woorden, aangezien wij, op het perron, meten dat het licht zich voortplant met 300 000 000 meter per seconde, en dat onze vriend in de trein precies dezelfde waarde meet, betekent dit dat ons begrip van wat meters en seconden zijn onjuist is.

    Het punt

    Dit is wat er gebeurt. Als twee ‘dingen’, ‘mensen’, ‘objecten’, of referentiekaders zoals natuurkundigen het noemen, ten opzichte van elkaar bewegen, gebeuren er vreemde dingen met ruimte en tijd. Ja, met ruimte en tijd zelve. Het zijn maffe dingen. We dachten altijd dat ze er gewoon zijn. Statisch. Onbewegelijk. Overal en altijd hetzelfde. Twee onveranderlijke entiteiten. Welnu, dat zijn ze niet.

    In Leiden heeft het project Leidse Muurformules natuurkundige vergelijkingen verspreid over het centrum van de stad. Dit is de Lorentzcontractie, toepasselijk naast het spoor geplaatst. Het beschrijft hoe ruimte (in dit geval, een een-dimensionale lengte) krimpt volgens Einsteins speciale relativiteit. Klik hier voor Google Street View.

    Stel, nu zijn wij in de trein. We bewegen ons ten opzichte van onze vriend op het perron. Die neemt vervolgens waar dat ruimte in onze bewegingsrichting kleiner wordt – het krimpt. Onze vriend zal feitelijk waarnemen dat onze trein korter wordt in vergelijking met toen de trein stilstond ten opzichte van onze vriend. Die zal ook waarnemen dat onze tijd wordt opgerekt – onze klok vertraagt. Als een seconde verloopt op de klok van onze vriend, ziet die dat er op onze klok in diezelfde tijd slechts 0.9999999995… seconden zijn verstreken(beginfootnote)Dit getal is metaforisch bedoeld. Het echte tijdsverschil is te klein voor mijn calculator om te tonen.(endfootnote).

    Vanuit ons perspectief, bezien vanaf de trein, beweegt onze vriend zich voort ten opzichte van ons (achterwaarts). Wat dat betreft beweegt de rest van de hele wereld zich voort ten opzichte van ons, achterwaarts. Dus, inderdaad, zouden wij de wereld zien krimpen in de tegenovergestelde richting. We zouden ook zien dat de tijd van de rest van de wereld langzamer loopt dan onze tijd.

    Twin paradox

    Nu zou je terecht kunnen opmerken dat als wij en onze vriend elkaars klokken zien vertragen, dan is er toch geen verschil tussen onze klokken? Niettemin, als we terugrijden naar onze vriend, stoppen op het perron en onze klok vergelijken met die van onze vriend, zien we dat onze klok achterloopt. Dit is de zogenaamde tweelingparadox. Als beiden hetzelfde kunnen beweren, hoe kunnen de klokken dan verschillen aan het eind, waarbij, in het geval van een tweeling, de ene helft jonger is (van de trein) dan de andere helft die achterbleef (op het perron)?

    Dit komt door het wisselen van referentiekaders: we bevonden ons in een bewegend referentiekader (de trein), wisselden naar een kader dat bewoog in de tegenovergestelde richting (terugkerende naar onze vriend), en, ten slotte, wisselden naar het kader van het perron, om naast onze vriend te staan zodat we onze klokken kunnen vergelijken. Onze vriend heeft nooit van referentiekader gewisseld – hij bleef op het perron staan(beginfootnote)In tegenstelling tot wat veel populaire en zelfs introductieteksten in de natuurkunde beweren, heeft het minder te maken met acceleratie, hoewel het wel een rol speelt – in de echte wereld is het niet mogelijk om zonder acceleratie (en deceleratie) van referentiekader te wisselen. Niettemin is acceleratie in wiskundig opzicht niet nodig – het wisselen van referentiekaders wel.(endfootnote). De situatie is dus niet symmetrisch.

    Lengte-contractie en tijddilatatie. Ze zijn niet illusoir, ze zijn echt. Vele experimenten toonden aan dat ruimte krimpt en tijd uitrekt voor dingen die bewegen ten opzichte van dingen die anders bewegen.

    Newton vs. Einstein

    Om het heel licht wiskundig samen te vatten – Newton leerde ons dat een meter op het perron en een meter in de trein hetzelfde zijn, net als seconden:

    1 perronmeter = 1 treinmeter,
    1 perronseconde = 1 treinseconde.

    Einstein leerde ons niettemin dat:

    1 perronmeter $\equiv \dfrac{1\text{ treinmeter}}{\gamma}$,
    1 perronseconde $\equiv \dfrac{1\text{ treinseconde}}{\gamma}$.

    Deze $\gamma$ (Griekse letter gamma) is cruciaal. Het is een benodigde factor om te bewerkstelligen dat de lichtsnelheid niet groter wordt dan de lichtsnelheid, zelfs aan boord van een rijdende trein. Deze factor wordt de Lorentz factor(beginfootnote)Vernoemd naar Hendrik Lorentz. De expressie voor de Lorentz factor is: \[ \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}, \] waarbij $v$ de snelheid van de ander is ten opzichte van ons en $c$ is de lichtsnelheid.(endfootnote) genoemd.

    We merken er echter bijna nooit iets van. Normaal gesproken zijn onze snelheden veel te laag voor het opmerken van de effecten van speciale relativiteit. Behalve als dingen heel snel gaan. Zonder Einsteins speciale relativiteit zouden gps-satellieten niet werken(beginfootnote)Uiteraard hebben we daarvoor ook nog Einsteins algemene relativiteitstheorie voor nodig, maar dat is iets voor een ander artikel.(endfootnote). Onderzoeksinstituten als CERN en Fermilab zijn ook genoodzaakt om rekening te houden met speciale relativiteit met de hoog-energetische, voortrazende deeltjes.

    Dus, onze intuïtie (Newton) is veelal voldoende maar niet precies correct.

    Wat er zo speciaal is aan speciale relativiteit

    Dit is een enigszins technische vraag waar een ietwat technisch antwoord bij hoort, waarvoor onze excuses. In tegenstelling tot wat vaak wordt beweerd in populair-wetenschappelijke teksten gaat het in speciale relativiteit niet echt om constante snelheden tegenover algemene relativiteit met acceleratie. Speciale relativiteit biedt wel degelijk een wiskundig raamwerk om met versnellingen om te gaan. Het punt is meer dat het prima werkt als je aanneemt dat de dingen zich bevinden in zogenaamde Euclidische ruimte, voldoend aan Euclidische geometrie(beginfootnote)Vernoemd naar Euclides.(endfootnote). Echter, na ampel beraad, concludeerde Einstein via zijn algemene relativiteitstheorie dat we helemaal niet in een Euclidisch-geometrische realiteit leven. We bestaan in een Riemann-variëteit(beginfootnote)Vernoemd naar Bernhard Riemann.(endfootnote). Kort gezegd, Euclidische ruimte is een speciaal geval van de meer algemene Riemann-variëteit(beginfootnote)Als we preciezer willen zijn heeft Hermann Minkowski een gewijzigde versie van Euclidische ruimte ontwikkeld, die we nu Minkowski-ruimte noemen, terwijl Riemann-variëteit eigenlijk pseudo-Riemann-variëteit zou moeten heten, maar natuurkundigen noemen het simpelweg Riemann-variëteit – wellicht omdat ze geen wiskundigen zijn.(endfootnote). Vandaar dat we van speciale relativiteit spreken tegenover algemene relativiteit.

    Uitgelichte foto door StockSnap van Pixabay, aangepast door @kjrunia (vergelijkingen toegevoegd).

  • Waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking?

    Waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking?

    De zomer is er. Je gaat van een aantrekkelijk ogende cocktail genieten. De condensatiedruppels aan de buitenkant van het glas verraden de aanwezigheid van een koele, verfrissende drank. Maar precies op het moment dat je lippen de rand van de kleurige kelk der gelukzalige voldoening bereiken, vraagt je schokkend intelligente kind je waarom het rietje gebroken lijkt te zijn in je glas. En als het niet deze vraag is, dan in elk geval waarom het hoofd van deze beer op de verkeerde plek drijft. Natuurlijk is het antwoord lichtbreking, maar waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking?

    Mensen kijken naar een beer in zijn dierentuinhabitat. De zijkant is doorzichtig zodat mensen de beer zien staan in het water. Door de lichtbreking veroorzaakt door het water en het glas is het hoofd van de beer op schijnbaar een andere plek dan de rest van zijn lichaam onder water. Een dramatisch andere plek.

    We zullen je voorzien van het antwoord. Maar voor we beginnen, vragen we toch even voor de zekerheid: te lang, geen tijd, geen zin in formules? Scroll dan door naar de laatste paragraaf, de snelle samenvatting. Toch nieuwsgierig? In dat geval, lees gerust door. Ik beloof je, er zal geen enkele berekening worden uitgevoerd. En als je toch even doorzet, zul je echte natuurkundige kennis hebben verkregen. Meer dan de meesten.

    Voor het gemak, zie hieronder een inhoudsopgave:
    Enkele incorrecte verklaringen
    Waarom zijn ze incorrect?
    Stap 1. Geen deeltjes, geen golven: het zijn allemaal velden
    Stap 2. Maxwellvergelijkingen
    Stap 3. Teken de vectoren
    Stap 4. Het elektrische veld in materialen
    Snelle samenvatting: waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking

    Enkele incorrecte verklaringen

    Wat zou je antwoorden? Hier zijn enkele voorbeelden van incorrecte verklaringen die mensen (maar niet jij) hun kinderen zouden kunnen voorschotelen.

    1. Licht neemt de snelste route. Aangezien zijn snelheid per medium verschilt, zal het van richting moeten veranderen. Of: licht neemt de route met de kleinste werking. Verder dezelfde redenering.
    2. Als licht door het glas of vloeistoffen valt, stuitert het heen en weer tussen de moleculen en atomen van het materiaal. Door de kristalstructuur of de schuivende moleculaire schikkingen van een vloeistof wordt de richting van het licht als geheel een bepaalde kant op gestuurd. En zo ontstaat lichtbreking.
    3. Licht bestaat uit deeltjes, zogenaamde fotonen, die worden geabsorbeerd door de atomen van het materiaal, waardoor de elektronen tijdelijk in een baan verder van de atoomkern af ronddraaien. Op het moment dat ze weer terugvallen stoten ze een foton af in een specifieke richting die afhankelijk is van het type atoom, i.e. het materiaal in kwestie. Het algehele resultaat is dat de lichtstraal van richting veranderd is. En zo ontstaat lichtbreking.
    4. Het beginsel van Huygens. Licht is een golf. Ieder punt op de golffront kan een bron zijn van cirkelvormige golfjes. Teken ze, verbind de punten en lichtbreking ontstaat.

    Waarom zijn ze incorrect?

    1. Oké, dit is niet incorrect, maar hoewel het licht dat doet, geeft het geen informatie over wat er precies gebeurt. Het is eigenlijk een antwoord op een ander type vraag. Dus, kniesoorderig, qua antwoord-op-de-gestelde-vraag, dan toch incorrect.
    2. Met dezelfde logica zou licht meer uitgespreid moeten worden door de probabilistische aard van het veronderstelde heen-en-weer stuiteren van de chaotisch bewegende of trillende moleculen en atomen. Een specifieke richting van stuiterend licht is hier niet gegarandeerd en daarmee niet zo consistent als we niettemin in de realiteit wel waarnemen. We zouden een veel waziger rietje moeten zien. Een soort gloed. De contouren zouden verdwenen zijn.
    3. Hier zou het licht zich ook meer moeten gaan uitspreiden. De richting van een opnieuw uitgezonden foton is niet gegarandeerd in de richting zoals we die in de realiteit waarnemen. Een foton zou opnieuw uitgezonden kunnen worden in elke richting, onafhankelijk van het type atoom. De frequentie van een door een terugvallende elektron ‘uitgezonden’ foton correleert met de atomaire configuratie, maar niet zijn richting. Bovendien zijn ‘uitgezonden’ en ‘geabsorbeerd worden’ niet goed gedefinieerd. Wat betekent dat dan precies?
    4. Dit is een verfijnde kwestie. Op het eerste gezicht produceert het beginsel de juiste, nieuwe hoek voor de lichtstraal. Echter, het beginsel van Huygens komt alleen overeen met de waarnemingen als je heel selectief bent, terwijl er meerdere, geldige mogelijkheden aanwezig zijn. Zie Figuur 1 voor een samenvatting.
    (a) De verticale lijnen stellen de pieken van de lichtgolf voor. Het blauwe gebied is het glas of de vloeistof. Aangezien lichtbreking alleen plaatsvindt als het onder een hoek valt, benadert de lichtbundel het oppervlak ook hier onder een hoek. Huygens stelde voor dat 'cirkelvormige golfjes' kunnen worden getekend (hier weergegeven als delen van cirkels met stippellijnen) op iedere plek vanaf de golffront, die groeien met de tijd. Verbinding van de golffronten van die kleinere, cirkelvormige golfjes leveren een voorspelling op voor de loop en richting van de volgende golf (piek). Aangezien de onderstelde delen van de golven het oppervlak eerst raken, hebben de cirkelvormige golfjes tijd om te groeien voordat de bovenkant van de golven het oppervlak raken. (b) Over de tijd zullen meerdere cirkelvormige golfjes zich hebben ontwikkeld. (c) Waar de golfjes elkaar snijden kunnen andere golfpieken worden getekend. Het resultaat lijkt op de voorspelde nieuwe voortplantingsrichting van de lichtstraal in (of uit) het materiaal. (d) Echter, na verloop van tijd zullen meerdere snijpunten zijn gaan ontstaan. Met Huygens' logica zouden hiermee ook andere golffronten getekend kunnen worden. Het zou resulteren in diffuus licht in plaats van een scherp gedefinieerde lichtbaan. Stellen dat een situatie als getekend in (c) zal plaatsvinden, houdt simpelweg in dat er sprake is van een voorkeurscenario, terwijl (d) erop wijst dat meerdere scenario's mogelijk zijn. Het beginsel van Huygens lijkt correct op het eerste gezicht, maar uiteindelijk faalt het.
    (a) De verticale lijnen stellen de pieken van de lichtgolf voor. Het blauwe gebied is het glas of de vloeistof. Aangezien lichtbreking alleen plaatsvindt als het onder een hoek valt, benadert de lichtbundel het oppervlak ook hier onder een hoek. Huygens stelde voor dat ‘cirkelvormige golfjes’ kunnen worden getekend (hier weergegeven als delen van cirkels met stippellijnen) op iedere plek vanaf de golffront, die groeien met de tijd. Verbinding van de golffronten van die kleinere, cirkelvormige golfjes leveren een voorspelling op voor de loop en richting van de volgende golf (piek). Aangezien de onderstelde delen van de golven het oppervlak eerst raken, hebben de cirkelvormige golfjes tijd om te groeien voordat de bovenste golven het oppervlak raken. (b) Over de tijd zullen meerdere cirkelvormige golfjes zich hebben ontwikkeld. (c) Waar de golfjes elkaar snijden kunnen andere golfpieken worden getekend. Het resultaat lijkt op de voorspelde nieuwe voortplantingsrichting van de lichtstraal in (of uit) het materiaal. (d) Echter, na verloop van tijd zullen meerdere snijpunten zijn gaan ontstaan. Met Huygens’ logica zouden hiermee ook andere golffronten getekend kunnen worden. Het zou resulteren in diffuus licht in plaats van een scherp gedefinieerde lichtbaan. Stellen dat een situatie als getekend in (c) zal plaatsvinden, houdt simpelweg in dat er sprake is van een voorkeurscenario, terwijl (d) erop wijst dat meerdere scenario’s mogelijk zijn. Het beginsel van Huygens lijkt correct op het eerste gezicht, maar uiteindelijk faalt het.

    Stap 1. Geen deeltjes, geen golven: het zijn allemaal velden

    Dus waardoor vindt er dan lichtbreking plaats? We zullen een aantal denkstappen moeten verrichten. Hier is de eerste, waarover we kunnen stellen dat het gewoon een kwestie is van even wennen.

    De ruimte zelf van het gehele waarneembare universum is gevuld met velden. Sterker nog, velden zijn een eigenschap van ruimte. Ruimte zonder velden bestaat niet. Met ruimte komen velden. In de meeste velden heeft ieder punt niet alleen een waarde maar ook een richting. Deze velden worden vectorvelden genoemd. Sommige worden scalaire velden genoemd; de punten hiervan hebben geen richting, enkel waarden. Er zijn nog meer veldtypes, zoals tensorvelden en fermionische velden. Dit is de kwantumveldentheorie, de succesvolste en accuraatste theorie tot nu toe. Dat is het al sinds meer dan negentig jaar geleden (inclusief een herleving in de jaren 1970).

    De volgende vraag is, over welke concrete velden hebben we het? Waarschijnlijk heb je wel eens gehoord of gelezen over het Higgsveld(beginfootnote)Toevallig is dit geen vectorveld; de punten hiervan hebben geen richting, enkel waarden, en dus is het een scalair veld.(endfootnote). In 2012 produceerde de Large Hadron Collider van het CERN een oscillatie in het Higgsveld. Die oscillatie is wat we het Higgsdeeltje noemen. De energie die in de LHC werd bereikt was meer dan genoeg om een oscillatie in het Higgsveld te veroorzaken die we vervolgens waarnemen als een deeltje(beginfootnote)Het Higssdeeltje werd indirect geobserveerd aangezien het te snel vervalt om gedetecteerd te kunnen worden door de sensoren. De vervalproducten – oscillaties in andere velden – werden niettemin direct als deeltje waargenomen.(endfootnote). Het bestaan van het veld was een bewezen feit. Twee Nobelprijzen werden uitgereikt aan François Englert en Peter Higgs, die, achtenveertig jaar eerder, onafhankelijk van elkaar de theoretische basis legden voor het bestaan ervan. Het was een indrukwekkend vertoon van hoe mensen met hun schokkend minuscule hersenen in staat bleken om de diepten van de subatomaire wereld, duizend keer kleiner dan de atoomkern, te onderzoeken en daarmee tegelijkertijd cruciale aspecten van het gehele waarneembare universum beschreven. Met behulp van wiskunde en, achtenveertig jaar later, ingenieuze experimenten.

    Er zijn meer velden. Er is een elektronenveld. Meestal heeft het veld de waarde nul. Maar als de waarden in een klein deel van dat veld oscilleren met een specifieke frequentie, noemen we dat een electron.

    Er is ook een elektromagnetisch veld. Een bundel van miljarden lokale oscillaties binnen een bepaald frequentiegebied is wat we zichtbaar licht noemen. Het is zowel handig om te spreken van lichtdeeltjes (fotonen) alsook van lichtgolven (elektromagnetische straling). Het hangt ervan af wat je wil berekenen.

    Je zou kunnen zeggen dat er ook een protonenveld is, al zijn er eigenlijk fundamentelere velden, namelijk de quark- en gluonenvelden (protonen zijn geen elementaire deeltjes, ze bestaan uit quarks en gluonen). Niettemin, voor dit artikel houden we de eenvoudige notie aan van een protonenveld. Een relatief lokale oscillatie is een proton, die we waarnemen als een deeltje.

    Er zijn nog meer velden maar om die allemaal te bespreken zou een artikel op zichzelf zijn. Of een aantal boeken. En een paar jaren studie.

    Dus, wat is licht, wat zijn elektronen, wat zijn protonen of quarks en gluonen? Zijn het zowel deeltjes alsook golven? Nee, dat is een oude en misleidende vraag. Zijn ze af en toe een deeltje, af en toe een golf? Nee, ook dat niet.

    ‘Deeltjes’ zijn niet echt deeltjes, zoals de kleine zilveren kogeltjes in een kogellager of iets dergelijks. Ze worden het best beschreven als een wiskundige functie die we de golffunctie noemen (aangeduid met het symbool Ψ). Als ze gemeten worden zijn het relatief lokale oscillaties of verstoringen met specifieke frequenties in de universum vullende velden en gedragen ze zich hoofdzakelijk als deeltjes. Wiskundig gesproken is het soms praktisch om ze te modelleren als deeltjes of golven, afhankelijk van de situatie. Het is echter betekenisloos om te stellen dat ze één van de twee zijn of allebei. Het is accurater om ze te behandelen als mathematische golffuncties dan als iets andersEen persoonlijke overtuiging is momenteel dat de golffunctie alles is dat er is. Elementaire ‘deeltjes’ zijn golffuncties. Niets meer, niets minder. Voorkeur geven aan ’tastbare objecten’, zoals deeltjes, boven ‘slechts mathematische beschrijvingen’, zoals golffuncties, die overigens onvoorstelbaar accuraat bleken na ettelijke miljarden tests, geeft eigenlijk blijk van ons beperkt begrip van kwantumfysica, begrip dat zich stiekem vooral kenmerkt door alledaagse, macroscopische ervaringen als spelen met tennis-, hockey- en voetballen. Er is echter geen enkele reden om aan te nemen dat deze laatsten representatief zijn voor de benadering en interpretatie van het subatomaire fundament van ons universum. In mijn optiek zou dat de golffunctie moeten zijn. — KJ.

    Figuur 2. Drie velden in de ruimte zijn boven elkaar afgebeeld. Ze zijn hier tweedimensionaal maar in werkelijkheid zijn ze driedimensionaal en vullen ze dezelfde driedimensionale ruimte, volstrekt met elkaar vervlochten en vermengd. Het probleem is dat het tekenen van vervlochten en vermengde driedimensionale dingen moeilijk is op een tweedimensionaal scherm. In dit diagram zijn er geen 'deeltjes' aanwezig. Er zijn geen specifieke oscillaties in de velden. Met andere woorden, de velden hebben een nulwaarde, er zijn geen deeltjes, maar de velden zijn er niettemin. (Om helemaal precies te zijn, in werkelijkheid oscilleren velden altijd een klein beetje vanwege Heisenberg's onzekerheidsprincipe.)
    Figuur 2. Drie velden in de ruimte zijn boven elkaar afgebeeld. Ze zijn hier tweedimensionaal maar in werkelijkheid zijn ze driedimensionaal en vullen ze dezelfde driedimensionale ruimte, volstrekt met elkaar vervlochten en vermengd. Het probleem is dat het tekenen van vervlochten en vermengde driedimensionale dingen moeilijk is op een tweedimensionaal scherm. In dit diagram zijn er geen ‘deeltjes’ aanwezig. Er zijn geen specifieke oscillaties in de velden. Met andere woorden, de velden hebben een nulwaarde, er zijn geen deeltjes, maar de velden zijn er niettemin. (Om helemaal precies te zijn, in werkelijkheid oscilleren velden altijd een klein beetje vanwege de onzekerheidsrelatie van Heisenberg.)

    Step 2. Maxwellvergelijkingen

    James Clerk Maxwell was, naast Schots, een wetenschapper in de mathematische fysica. Na bestudering van eerder werk van Faraday, Gauss en Ampère, toonde hij aan dat een elektrisch veld en een magnetisch veld hetzelfde ding waren, slechts verschillende aspecten ervan. Dat ding noemen we het eerder vermelde, ruimtevullende elektromagnetische veld. Hij toonde ook aan dat licht een elektromagnetisch fenomeen is. Een verstoring in het veld.

    Gravure van James Clerk Maxwell door G.J. Stodart van een foto door Fergus of Greenock. Titelplaat in James Maxwell, The Scientific Papers of James Clerk Maxwell. Ed: W.D. Niven. New York: Dover, 1890. Public domain.

    Hij formuleerde een set van vier vergelijkingen. Die set draagt zijn naam. We zullen er hier slechts twee ‘gebruiken’:

    \begin{align}
    \mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} &= \frac{\rho}{\varepsilon_0}, \\
    \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E} &= -\frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t}.
    \end{align}

    Ik zeg, ‘gebruiken’, maar maak je niet ongerust, we gaan geen moeilijke berekeningen uitvoeren.

    Vergelijking (1) wordt de wet van Gauss genoemd en toont hoe het elektrisch veld (dat dus een aspect is van het elektromagnetische veld), aangeduid met E, beïnvloed wordt door een lading $\rho$, zoals de negatieve lading van een elektron of de positieve lading van een proton. Het symbool $\varepsilon_0$ duidt een constante aan, die verschilt per materiaal. Het subscript 0 wijst erop dat het de constante is van het vacuüm. Deze natuurkundige constante $\varepsilon_0$ staat bekend als de elektrische (veld)constante, maar vroeger werd het de diëlektrische constante van het vacuüm genoemd. In dit artikel gebruiken we verschillende waarden voor deze constante, voor verschillende materialen. Namelijk:

    \[ \varepsilon_\text{air} \text{ and } \varepsilon_\text{mat}. \]

    ‘Mat’ is ‘materiaal’, zoals glas of een vloeistof. ‘Air’ is lucht, uiteraard. De exacte numerieke waarden zullen we niet gebruiken want het is niet van belang om lichtbreking te begrijpen. Deze twee epsilons an sich zullen er niettemin een essentiële rol bij spelen. Lees vooral door, zou ik zeggen.

    In Figuur 3 zijn de drie velden wederom afgebeeld. Deze keer kun je oscillaties zien: afgebeeld als vlekken in het protonenveld. Dit zijn de protonen. Ze worden omgeven door elektronenvlekken die zijn afgebeeld in het elektronenveld. Beide ‘deeltjes’ beïnvloeden het elektromagnetische veld, of, preciezer, het elektrische subveld daarvan. Let op: de vlekken in die laatste zijn geen ‘deeltjes’ maar invloeden in het elektrisch veld.

    Figuur 3. Een schematische weergave van protonen en elektronen, tezamen atomen vormend, beïnvloeden het elektromagnetisch veld, althans, het elektrische subveld ervan.
    Figuur 3. Een schematische weergave van protonen en elektronen, tezamen atomen vormend, beïnvloeden het het elektrische subveld van het elektromagnetisch veld.

    Stap 3. Teken de vectoren

    Zie Figuur 4. De oranje pijl of vector duidt de richting van het licht aan in het materiaal. Maxwell toonde aan dat licht, zijnde een oscillatie in het elektromagnetisch veld, een oscillerend component in het elektrische subveld van het elektromagnetisch veld heeft. Dat elektrisch veld is haaks georiënteerd op de richting van het licht. Dit wordt aangeduid met de groene vector.

    Figuur 4. Licht in het materiaal valt onder hoek op het oppervlak van het materiaal. Het heeft een oscillatie in het elektrische veld haaks op de voortplantingsrichting van het licht.
    Figuur 4. Licht in het materiaal valt onder hoek op het oppervlak van het materiaal. Het heeft een oscillatie in het elektrische veld haaks op de voortplantingsrichting van het licht.

    Het is belangrijk om in te zien dat de vector van het elektrische veld twee fundamentele componenten heeft, namelijk de component-vector parallel aan het oppervlak, dat we aanduiden met het symbool $\parallel$, en een component-vector die loodrecht staat op het oppervlak, die we aanduiden met het symbool $\perp$. Dit is weergegeven in Figuur 5.

    Figuur 5. Het elektrische veld in het materiaal, veroorzaakt door het licht, heeft twee component-vectoren: parallel aan en loodrecht op het oppervlak.
    Figuur 5. Het elektrische veld in het materiaal, veroorzaakt door het licht, heeft twee component-vectoren: parallel aan en loodrecht op het oppervlak.

    Precies aan het oppervlak, de overgang van het materiaal naar de lucht, moet het elektrische veld in het materiaal en het elektrische veld van de lucht naar dezelfde waarde ‘glijden’ (anders hebben we te maken met een scheur in ons universum). Dit betekent dat

    \begin{align}
    \varepsilon_\text{air}(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}_\text{air}) &= \varepsilon_\text{mat}(\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E}_\text{mat}), \\
    \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}_\text{air} &= \mathbf{\nabla} \times \mathbf{E}_\text{mat}.
    \end{align}

    Als we de nodige differentiaalrekening verder uitvoeren, verkrijgen we de volgende vergelijkingen:

    \begin{align}
    \mathbf{E}_{\text{mat}\parallel} &= \mathbf{E}_{\text{air}\parallel} \\
    \varepsilon_\text{mat}\mathbf{E}_{\text{mat}\perp} &= \varepsilon_\text{air}\mathbf{E}_{\text{air}\perp}.
    \end{align}

    Dus de component-vectoren van zowel lucht alsook het materiaal die parallel zijn aan het oppervlak, zijn gelijk. Echter, de component-vectoren loodrecht op het oppervlak zijn ongelijk. Dit is de crux:

    \[ \varepsilon_\text{mat} \neq \varepsilon_\text{air}. \]

    Het is zelfs zo dat

    \[ \varepsilon_\text{mat} > \varepsilon_\text{air}. \]

    Dit betekent dat de loodrechte component-vector van lucht groter moet zijn dan dat van het materiaal om te voldoen aan vergelijking (6). Dit is weergegeven in Figuur 6.

    Figuur 6. Omdat de epsilon (elektrische constante) van het materiaal groter is dan dat van lucht, moet de loodrechte component-vector van lucht groter zijn om aan de vergelijking te voldoen. Hier is een nieuwe resultante van het elektrische veld in de lucht getekend over de oude vector heen om het verschil te benadrukken.
    Figuur 6. Omdat de epsilon (elektrische constante) van het materiaal groter is dan dat van lucht, moet de loodrechte component-vector van lucht groter zijn om aan de vergelijking te voldoen. Hier is een nieuwe resultante van het elektrische veld in de lucht getekend over de oude vector heen om het verschil te benadrukken.

    Het enige dat nog rest is de nieuwe richting van het licht in lucht te tekenen. Zoals we weten staat de richting van het elektrische veld haaks op de voortplantingsrichting van het licht, met dank aan Maxwell en collega’s. We kunnen dus de nieuwe richting van licht in lucht met gemak construeren, zoals weergegeven in Figuur 7.

    Figuur 7. De nieuwe voortplantingsrichting van licht in lucht is afgebogen ten opzichte van de oorspronkelijke hoek waaronder licht zich voortbewoog in het materiaal, precies zoals onze vectorrekening voorspelde.
    Figuur 7. De nieuwe voortplantingsrichting van licht in lucht is afgebogen ten opzichte van de oorspronkelijke hoek waaronder licht zich voortbewoog in het materiaal volgens de voorspelling van onze vectorrekening, precies zoals waargenomen in de realiteit.

    Stap 4. Het elektrisch veld in materialen

    Dan nu de hamvraag: hoe komt het nu dat de elektrische veldconstante van materiaal zo anders is?

    Figuur 8 toont een schematische weergave van wat licht, verstoringen veroorzakend in het elektrisch veld, met elektrisch geladen ‘deeltjes’ doet in materialen in termen van kwantumveldenverstoringen. Merk op hoe de schikking van de ladingen en daarmee de oscillaties in het elektromagnetische veld op dusdanige wijze veranderd zijn dat het elektrische subveld als geheel, in het materiaal, in waarde veranderd moet zijn. Deze veranderingen zijn vervat in de elektrische constante, $\varepsilon_\text{mat}$.

    Licht verandert de elektromagnetische configuratie binnen een materiaal wat vervolgens de voortplantingsrichting van datzelfde licht beïnvloedt.

    Figuur 8. Licht verandert de elektromagnetische configuratie binnen een materiaal wat vervolgens de voortplantingsrichting van datzelfde licht beïnvloedt. Merk op hoe de invloeden veroorzaakt door de door licht veroorzaakte herschikking van elektronen en protonen een verandering teweegbrengen in het elektrische veld.

    Snelle samenvatting: waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking

    Het universum, i.e. de ruimte zelve(beginfootnote)Met ‘ruimte’ bedoelen we niet per se de plek buiten de aarde waar ruimtevaart plaatsvindt, maar het ding zelf, het onzichtbare volume, de driedimensionale bewegingsvrijheid waarmee we ons voor-achter, links-rechts, op-neer kunnen verplaatsen.(endfootnote), bevat een alomtegenwoordig elektromagnetisch veld. Wiskundig kunnen we dat opdelen in twee componenten: het elektrische (sub)veld en het magnetische (sub)veld.

    Zowel elektronen in glas en vloeistoffen alsook licht worden beïnvloed door oscillaties in het elektrische veld van het materiaal. Tegelijkertijd veroorzaken ze verstoringen in hetzelfde elektrische veld. Als licht het materiaal binnenvalt, wijzigt het elektrisch veld en wijzigt daarmee de schikking van de elektronen. Deze herschikking maakt dat elektronen op hun beurt ook wijzingen veroorzaken in het elektrische veld van het materiaal. Het netto elektrische veld verandert vervolgens de voortplantingsrichting van licht op eenvoudig te voorspellen wijze. Met dank aan vector calculus.

    Of, als je dat meer aanspreekt:

    Licht duwt elektronen via het elektrische veld. Elektronen duwen terug via datzelfde elektrische veld. Licht zegt, ‘Oké, oké, relax!’, en neemt een iets andere route.