A bit of maths and physics

Tag: quantummechanica

Waarom is glas doorzichtig?

Stel je eens voor dat doorzichtige materialen niet bestonden. Hoe zouden auto’s er dan uit zien? Hoe zou je vanuit je slaapkamer naar de koude wintermaan kunnen kijken zonder dat je het zelf koud kreeg? Zou lucht dan ook ondoorzichtig zijn? En hoe zit het dan met de lenzen van onze ogen? En als alle materialen uit moleculen bestaan, hoe kan het dan dat de moleculen van glas doorzichtig zijn en andere niet? Deze laatste vraag werd afgelopen week aan mij gesteld door de oudste(beginfootnote)Als ik me niet vergis is hij dertien jaar op het moment dat ik dit schrijf.(endfootnote) zoon van één van mijn beste vrienden.

Eerst zal ik proberen een zo kort mogelijk antwoord te geven. Als je beter wil weten hoe het zit, dan kun je verder lezen. Maar ik moet je wel waarschuwen. Het artikeltje is mogelijk wat lang. Het antwoord op deze op het oog eenvoudige vraag vraagt namelijk om een heleboel achtergrondkennis. Aan de andere kant, met zo’n briljante vraag vraag je er ook een beetje om.

In het kort

Soms is de samenstelling van een molecuul zodanig dat de elektronen die daarin verwerkt zitten bijna niet reageren als er fotonen langs schieten. De elektronen laten dan de fotonen praktisch met rust. Hooguit veranderen ze de koers van de fotonen een beetje. In onze ogen is het materiaal dan transparant.

Als de elektronen wél reageren op invallende fotonen, kaatsen ze die fotonen weer terug of absorberen ze alle energie van die fotonen (die verdwijnen dan). Soms trillen ze dan een beetje en trillen de atomen een beetje mee (fonon), maar gebeurt er verder niets. Het materiaal warmt een minuscuul beetje op. Soms bewegen de elektronen zoveel dat ze heel snel daarna die energie weer kwijtraken waardoor nieuwe fotonen gecreëerd worden die weer verder gaan. Voor ons is het materiaal dan ondoorzichtig; de fotonen die weer van dat materiaal af komen, komen dan in onze ogen terecht.

Zo. Dit was het in het kort. Als je beter wil weten hoe de vork in de steel zit, lees vooral verder!

Moleculen, atomen, elementaire deeltjes

Waarschijnlijk weet je dit al wel, maar voor de zekerheid, alsnog: alle vaste stoffen, vloeistoffen en gassen bestaan uit moleculen. Hieronder zie je een foto van een groepje zogenaamde pentaceen-moleculen die door Canadese onderzoekers is gemaakt[1]. Deze moleculen zijn niet in glas verwerkt, maar het geeft je een idee van hoe moleculen eruit kunnen zien.

Eén zo’n rupsje in de foto hierboven is dus een molecuul. Als ze sterk genoeg samengeklonterd zijn, vormen ze een vaste stof. Als ze toch langs elkaar kunnen bewegen, is het een vloeistof. En als ze heel veel kunnen bewegen ten opzichte van elkaar is het een gas.

Natuurlijk kunnen we het nog kleiner bekijken. Eigenlijk bestaan die moleculen namelijk weer uit atomen. Laten we daarom vooral even kijken naar een coole foto van één zo’n molecuul die Zwitserse natuurkundigen een natuurkundige van Universiteit Utrecht hebben weten te maken in 2009[2].

Je kunt hier misschien een vijftal zeshoekige vormen met uitsteeksels in zien. Op elke hoek en iedere uitsteeksel bevindt zich een atoom. De individuele atomen zie je dus niet – die zijn daar te klein voor. Maar je kunt wel de structuur goed zien die de aan elkaar vastliggende atomen met elkaar maken en zo het molecuul vormen.

Terug naar glas. Het glas in je slaapkamerraam bestaat uit een mix van verschillende soorten moleculen. Er zitten vooral een heleboel siliciumdioxide-moleculen in, een hoop natriumcarbonaat-moleculen, calciumoxide-moleculen, wat magnesiumoxide-moleculen en dan ook nog wat aluminiumoxide-moleculen. Hieronder zie je één zo’n siliciumdioxide-molecuul uitvergroot, maar dan in de vorm van een tekening.

Zien ze er in het echt ook zo uit? Nee, absoluut niet. Het is maar een model. In de wetenschap is een model puur een hulpmiddel en nooit een exacte kopie van de werkelijkheid. En toch gebruiken we modellen, want ze helpen ons om er toch enigszins een voorstelling van te kunnen maken waar je mee kunt werken. Je moet echter goed in het achterhoofd houden dat het model niet is zoals het molecuul er in het echt uitziet.

In (het model van) het siliciumdioxide-molecuul dat je hierboven ziet afgebeeld zijn drie atomen aanwezig: één siliciumatoom (grijs) en twee zuurstofatomen(beginfootnote)Een ander woord voor zuurstof is ‘oxide’. In het Engels is het ‘oxygen’. Beiden zijn afgeleid van een samenstelling van de oud-Griekse woorden voor ‘scherp’ (ὀξύς, oxús) en ‘geboorte’ (γένος, génos) en het Latijnse woordje voor ‘zuur’, namelijk acidus. En ‘di’ komt van het oud-Griekse woordje δίς (dís) dat ‘twee keer’ betekent. Omdat het molecuul uit twee zuurstofatomen bestaat, is de officiële scheikundige benaming van het molecuul dus siliciumdioxide.(endfootnote) (rood). Je vraagt je natuurlijk af wat die twee staafjes aan weerszijden betekenen. Die symboliseren de elektronen die de atomen met elkaar delen. Atomen kunnen aan elkaar blijven plakken als ze elektronen met elkaar delen. Het geeft kortom aan hoe sterk de binding is tussen de atomen. Meerdere staafjes = sterkere binding.

Ieder atoom bestaat natuurlijk uit nog weer enkele onderdelen. Op één atoom na(beginfootnote)het waterstofatoom(endfootnote) bestaan verder alle atomen uit drie soorten deeltjes: elektronen, protonen en neutronen. In de kern van een atoom zijn alle protonen en neutronen samengeklonterd. De elektronen zitten daaromheen in de vorm van een soort wolk. Omdat elektronen niet verder nog uit deeltjes bestaan, worden ze elementaire(beginfootnote)‘Elementair’ is afkomstig van het Latijnse woordje elementum. Het betekent onder andere zoiets als het ‘eerste principe’. Aan alles dat elementair is, ligt niets anders ten grondslag. Dat wat elementair is, vormt altijd de basis voor andere dingen.(endfootnote) deeltjes genoemd. Hieronder zie je een model van een atoom.

De kern met alle protonen en neutronen is zo klein dat we hem meestal tekenen als een puntje of een bolletje, maar als je die zou uitvergroten, zou je een klontje met protonen en neutronen kunnen zien. De gele wolk daaromheen is model voor één of meer elektronen. (Als je precies wil weten waarom een wolk model is voor één of meer elektronen, kun je Dit is geen atoom lezen.)

Het kan zijn dat een elektron verder van de kern af zit dan hier afgebeeld. Als een elektron bijvoorbeeld energie toegevoerd krijgt, dan springt het elektron verder af van de kern. Na een hele korte periode springt het elektron weer terug naar zijn oude positie rond de kern. En als het dat doet, verlaat die energie het atoom weer in de vorm van licht. Een van de manieren waarop het elektron energie verkrijgt, is lichtinval.

Licht

Wat is licht? Is het een golf, bestaat het uit deeltjes? Heel lang wisten natuurkundigen niet precies wat het was. Sinds de zeventiende eeuw woedde het grote debat tussen natuurkundigen die het eens waren met Sir Isaac Newton en natuurkundigen die het eens waren met Christiaan Huygens. Ik ben een beetje bang dat enkele natuurkundeleraren op scholen nog steeds denken dat het een groot raadsel is. Een van mijn natuurkundeleraren op de middelbare school was er nog steeds niet over uit of het nou deeltjes zijn of golven. Helaas voor hem is het sinds iets minder dan honderd jaar geleden eigenlijk al wel duidelijk.

Isaac Newton (links): licht = deeltjes (balletjes). Christiaan Huygens (rechts): licht = golven. Het juiste quantummechanische antwoord is: licht = een verstoring van het alom aanwezige elektromagnetische veld. Afhankelijk van wat handig is, gebruik je de wiskunde van klassieke golven of de wiskunde van fotonen (golfpakketjes, geen balletjes!) om ermee te werken. Natuurkundestudenten leren met beide te werken.

Ik ga je nu iets vertellen dat je niet snel op de middelbare school zult leren. Ik weet niet waarom dat zo is, maar misschien is het omdat de schrijvers van lesboeken vinden dat de wiskunde die erbij hoort te moeilijk is. Wat je hier gaat lezen is ongeveer wat je onder andere op de universiteit zal leren als je natuurkunde gaat studeren, maar dan zonder de wiskunde.

Het probleem is vooral dat de vraagstelling verkeerd is: ‘golf of deeltje’ suggereert dat het één van de twee is. Dat is onjuist. De vraag moet eigenlijk zijn: wat is licht? Het antwoord is dan: een veld(beginfootnote)In de wiskunde noemen we het een ijkveld. In het Engels noemen we dat een gauge field. Het is heel abstracte wiskunde. Maar hoe abstract het ook is, het blijkt immens praktische toepassingen te hebben. Zo hadden mobiele telefoons niet bestaan zonder deze abstracte wiskunde.(endfootnote), eigenlijk een van de vele soorten velden die in ons universum aanwezig zijn en in dit geval is dat ’t elektromagnetische veld, en om heel precies te zijn: licht is een verstoring van dat elektromagnetische veld. Je kunt die verstoring beschouwen als een golf maar ook als een deeltje, afhankelijk van wat handiger is.

Bovendien, in de moderne natuurkunde is de betekenis van het woord ‘deeltje’ anders dan je normaal zou verwachten. In de natuurkunde is een deeltje eigenlijk een pakketje, een golfpakketje. Het is dus geen kogeltje, een klein balletje of zelfs een punt. Het is een pakketje met informatie dat we wiskundig als een golfje (een verstoring) beschrijven.

Richard Feynman was een belangrijke, Nobelprijswinnende natuurkundige die enorme bijdragen heeft geleverd aan de quantumelektrodynamica.

Volgens een van de beste theorieën van het universum die we nu hebben, de zogenaamde quantumelektrodynamica(beginfootnote)‘Quantum’ is van oorsprong een Latijns woord dat ‘hoeveel’ betekent. Natuurkundigen gebruiken het in de betekenis van ‘deeltje’. Het meervoud is quanta. In Engelstalige landen worden ze precies zo genoemd, one quantum, two or more quanta (of gewoon particle/particles). In Nederland was de officiële spelling vroeger ‘kwantum’ en ‘kwanta’. Tegenwoordig mogen we het ook met een q schrijven. Mijn voorkeur gaat uit naar quantum en quanta. ‘Elektro’ verwijst naar de samenhang met elektriciteit en ‘dynamica’ komt uit het Grieks (δυναμικός, dunamikós, ‘krachtig’) en duidt erop dat de theorie krachten en veranderingen beschrijft.(endfootnote) (QED), is het hele universum doordrenkt met een meestal onzichtbaar – maar soms dus wel degelijk zichtbaar! – elektromagnetisch veld. In de meeste gevallen doet dat veld helemaal niets. Je voelt het niet, je ruikt het niet, je ziet het niet.

Echter, als het elektromagnetisch veld op een bepaalde plek in het universum wordt verstoord – bijvoorbeeld aan de binnenkant van een LED-lamp in jullie toilet – dan rolt die verstoring meestal alle kanten op, vanaf die bepaalde plek in het universum naar de rest van het universum – in dit geval de ruimte van jullie toilet. En die verstoring zie je! Ik weet niet hoe jullie slang, kat en kippen die verstoring noemen, maar mensen noemen die dus licht.

Albert Einstein

Als je enorm zou kunnen inzoomen met je ogen, zou je echter zien dat het licht eigenlijk uit miljarden en miljarden en miljarden ienieminiverstoringen bestaat. Licht is eigenlijk een bundel met ienieminiverstoringen van het alom aanwezige elektromagnetisch veld. Die ienieminiverstoringen werden vroeger door onder andere Albert Einstein ‘lichtquanta’ genoemd, maar sinds 1928 noemen we ze fotonen(beginfootnote)Dat komt dan weer van het oud-Griekse woordje φῶς, phôs, dat ironisch genoeg dan wel weer ‘licht’ betekent.(endfootnote). In populaire boeken en magazines worden ze ‘deeltjes’ genoemd en zelfs ook door natuurkundigen. Maar nogmaals, eigenlijk zijn het dus geen kleine balletjes of kogeltjes of iets dergelijks. Het woord ‘deeltje’ geeft alleen maar aan dat het iets kleins is, maar zegt het verder niets over hoe het eruit ziet. Als model wordt wel vaak een balletje of puntje gebruikt, maar, wederom, dat is dus niet wat het is noch hoe het eruit ziet. Fotonen zijn overigens net als elektronen elementair.

Op de middelbare school en op de universiteit wordt ook wel een golfmodel gebruikt om licht te beschrijven en ermee te rekenen. De grote wis- en natuurkundige James Clerk Maxwell was een van de grondleggers van het wiskundige raamwerk voor het golfmodel voor het licht. Hij en anderen voor hem hebben ervoor gezorgd dat we ook vandaag de dag nog vaak van ‘lichtgolven’ spreken, in plaats van fotonen. De klassieke elektromagnetische theorie van Maxwell werkt zo goed dat het verplichte leerstof is voor natuurkundestudenten. Daarom is het ook helemaal niet verkeerd om te spreken van lichtgolven.

James Clerk Maxwell

In de twintigste eeuw ontdekten natuurkundigen echter dat de quantumelektrodynamica meer fenomenen wist te voorspellen en te verklaren dan Maxwells klassieke elektromagnetische theorie, dus die eerste heeft die laatste min of meer vervangen. Anders gezegd, Maxwells theorie kun je op veel gebieden nog steeds prima toepassen in de industrie, maar met QED kun je zowel wat Maxwells theorie kan plus nog heel wat meer.

Zo gaat dat vaak in de natuurkunde. De zwaartekrachtwet van Sir Isaac Newton werkt bijvoorbeeld uitstekend. Je kunt het zelfs toepassen voor landingen op Mars. Maar met de zwaartekrachttheorie van Albert Einstein, de zogenaamde algemene relativiteitstheorie, kun je wat Newtons theorie kan en nog veel meer, en behoorlijk wat preciezer ook nog. Dus de algemene relativiteitstheorie heeft Newtons zwaartekrachtwet min of meer vervangen. En toch is die laatste verplichte leerstof op de middelbare school en op de universiteit. Hij is namelijk niet fout, hij is zelfs zeer bruikbaar! Maar hij kent dus ook zijn beperkingen. Daarom leren we eerst Newtons zwaartekracht en daarna leren natuurkundestudenten pas over Einsteins zwaartekracht. Zonder Einsteins algemene relativiteitstheorie hadden Google Maps en routeplanners met GPS-systemen bijvoorbeeld nooit goed gewerkt.

En daarom leren natuurkundestudenten eerst alles over Maxwells golftheorie en pas aan het einde van hun studie over quantumelektrodynamica. Zonder quantumelektrodynamica had je nooit computerchips gehad, geen internet, geen mobiele telefoons, geen touchscreens.

Licht en energie

De grote natuurkundige Max Planck bedacht dat ieder foton een bepaalde hoeveelheid energie had. Hij bedacht ook dat bij ieder energieniveau het licht een andere kleur heeft. Zo heeft felblauw licht meer energie dan diepdonkerrood licht. En soms heeft het licht (= hebben de fotonen) zoveel energie dat ze onzichtbaar zijn voor menselijke ogen. Zo is het hoog-energetische ultraviolet(beginfootnote)‘Ultra’ is Latijn voor ‘voorbij’. Met andere woorden, ultraviolet betekent eigenlijk voorbij het violet.(endfootnote) licht (UV-licht) onzichtbaar voor ons. Maar als je ogen veel gevoeliger waren dan ze nu zijn, zou je dus een enorm fel ‘violetter-dan-violetkleurig’ licht kunnen zien. En omgekeerd heeft het licht soms heel weinig energie. Zo weinig zelfs dat het licht voor ons niet eens meer diepdonkerrood is, maar onzichtbaar. Zo is infrarood(beginfootnote)‘Infra’ is Latijn voor ‘beneden’. Dus infrarood is ‘beneden’ of ‘minder dan’ rood.(endfootnote) licht onzichtbaar voor ons, maar als onze ogen iets gevoeliger zouden zijn, zouden we dus ‘minder-rood-dan-roodkleurig’ licht kunnen zien.

Dit vrolijk ogend heerschap was een natuurkundige, Nobelprijswinnaar en een genie. Zijn naam was Max Planck. Dit is een foto uit 1933.

WiFi en 4/5G zijn ook licht. De fotonen hebben maar heel weinig energie als je het vergelijkt met de fotonen in jullie toilet. Als onze ogen duizenden keren gevoeliger waren dan ze nu zijn, zou je hebben gezien dat de antennes in de WiFi-router en de mobiele telefoons eigenlijk lampjes zijn die ‘minder-rood-dan-minder-rood-dan-minder-rood-dan-(duizenden keren ‘minder-rood-dan’)-roodkleurig’ licht zouden verspreiden.

Het elektromagnetische veld dat ons hele universum bestrijkt kan dus op allerlei energieniveaus verstoord worden. En afhankelijk van het energieniveau ‘oogt’ het licht anders. Het heeft een andere kleur of – en in de meeste gevallen is dat zo – het is onzichtbaar. Onze ogen zijn niet de gevoeligste instrumenten om iets mee te zien. Van alle mogelijke energieniveaus die het elektromagnetische veld kan aannemen, zien we er maar een paar. Dat gedeelte noemen we het zichtbare licht.

Een ander woord voor verstoringen in het elektromagnetisch veld is elektromagnetische straling. En afhankelijk van het energieniveau van die straling hebben we weer andere termen voor die straling, zoals ‘radioactieve straling’ of ‘gammastraling’. Maar al deze verschillende vormen – het licht in jullie toilet, de WiFi in huis, 4/5G voor je mobiele telefoon, de koplampen van de auto, de radiogolven van de buurman, de Bluetooth-speaker van je ouders, de röntgenfoto’s bij de tandarts, de magnetron – zijn allemaal licht, zijn allemaal elektromagnetische straling, zijn allemaal verstoringen van hetzelfde elektromagnetisch veld. Het enige verschil is het energieniveau van die verstoring.

De juiste volgorde van heel weinig naar levensgevaarlijk veel energie is als volgt: radio, WiFi, magnetron(beginfootnote)Als je wil weten of magnetronstraling dodelijk is, lees dan mijn artikel Is straling van magnetrons schadelijk voor de gezondheid? eens.(endfootnote), 4/5G >> infrarood licht (afstandsbediening tv) >> zichtbaar licht (toiletlamp, discolampen) >> UV-licht (nu moet je voorzichtig zijn, goed insmeren in de zomer) >> röntgenstraling (alleen toegepast door professioneel medisch personeel) >> gammastraling (dodelijk, behalve voor Bruce Banner) >> kosmische straling (dodelijk, behalve voor Captain Marvel).

Omdat de meeste elektronen in de muren van het huis nauwelijks reageren op elektromagnetische verstoringen (fotonen) met het energieniveau van WiFi (heel weinig energie), zijn de muren voor WiFi-fotonen bijna transparant. Daarom ontvang je gewoon WiFi dwars door de muren heen. Als je ogen dus gevoelig genoeg waren, zou je het licht van de router dwars door de muren heen kunnen zien. Maar diezelfde elektronen reageren wel op fotonen met het veel hogere energieniveau dat overeenkomt met het zichtbare licht. Daarom vliegen die fotonen niet dwars door de muur heen. En daarom vinden wij dat muren ondoorzichtig zijn. Echter reageren diezelfde elektronen juist weer niet bij het nog weer veel en veel hogere energieniveau dat past bij röntgenstraling. Dit is precies de reden waarom muren wel weer doorzichtig zijn voor Superman.

Afhankelijk van de samenstelling van de moleculen en atomen reageren elektronen op fotonen van verschillende energieniveaus. Als de elektronen van het betreffende materiaal niet reageren op de fotonen die op het energieniveau zitten van het voor ons zichtbare licht, is het materiaal voor ons doorzichtig.

Hieronder zie je een schema van het volledige spectrum(beginfootnote)‘Spectrum’ is Latijn voor ‘verschijning’. Dus als je over het spectrum spreekt van iets, zoals elektromagnetisme, dan doel je op alle verschijningsvormen ervan.(endfootnote) van elektromagnetische straling (klik erop om uit te vergroten). Zoals je ziet is maar een klein gedeelte zichtbaar voor ons.

Een diagram (niet op schaal) van elektromagnetische straling, of fotonen, zo je wilt. De genoemde waarden zijn de frequenties van de fotonen uitgedrukt in gigahertz (GHz). Hoe hoger de frequentie, des te hoger de energie van het foton.

GHz verwijst naar de frequentie van het foton en is een maat voor de hoeveelheid energie die ieder foton bezit. Hoe hoger de frequentie des te hoger de energie. De ultraviolette straling begint op een gegeven moment gevaarlijk te worden voor ons. Dat is het moment waarop onze lichaamscellen beschadigd raken (‘DNA damage’). Zolang je niet te lang in de zon ligt en zolang het nemen van röntgenfoto’s maar heel kort duurt, is er nog niets aan de hand. Maar wees er voorzichtig mee! Nogmaals, gammastraling en kosmische straling zijn dodelijk. Ik begrijp dat je het misschien niet prettig en comfortabel vindt zitten, maar alsjeblieft, luister naar je ouders als je een ruimtewandeling gaat maken. Trek gewoon je ruimtepak aan.

Beïnvloedbare elektronen

Natuurkundigen zoals Albert Einstein ontdekten in de vorige eeuw dat elektronen beïnvloed kunnen worden door invallende fotonen(beginfootnote)Daar kreeg hij de Nobelprijs voor. Lees meer daarover in mijn artikeltje De formule die Albert Einstein de Nobelprijs bezorgde en ons ervan zou moeten weerhouden de huid te verbranden.(endfootnote). Het hangt echter wel heel erg af van hoe die elektronen gevangen zitten in de moleculen – en dat hangt weer af van de soort atomen waaruit die moleculen zijn opgebouwd – bij welk energieniveau van die fotonen de elektronen reageren.

Bij glas is het zo dat de elektronen de elektromagnetische verstoringen wel een heel klein beetje voelen. Daardoor gaan de elektronen toch een heel klein beetje anders bewegen dan ze normaal gesproken doen. Die beweging zorgt ervoor dat er weer een verandering plaatsvindt in het deel van het elektromagnetische veld dat zich in het glas bevindt. En die verandering in het elektromagnetische veld zorgt er dan weer voor dat de fotonen (de invallende verstoringen van datzelfde elektromagnetische veld) toch iets afbuigen.

$There's a bear swimming in a pool in a zoo. The pool is visible from the side through a large window. Due to refraction, the head of the bear above the surface seems to be located at a different place than the rest of its submerged body. The bear seems beheaded and yet, it lives.$

Daarom zie je toch vaak een vertekend beeld als je door glas heen kijkt of als lichtstralen van lucht naar water overgaan (want water bevat ook elektronen die reageren op invallende fotonen). De elektronen reageren niet genoeg waardoor de fotonen er wel gewoon dwars doorheen gaan, maar reageren wel net genoeg om de koers van de fotonen iets te wijzigen. Of een heleboel te wijzigen, zoals je in het water kunt zien in de foto hierboven. In mijn artikel Waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking? duiken we in de materie.

Waarom is glas doorzichtig?

Kortom, glas is doorzichtig omdat de elektronen in glasmoleculen niet in staat zijn om heel erg te reageren op invallende elektromagnetische verstoringen (fotonen). Wel iets. Dus ze veranderen wel een beetje de koers van de fotonen.

Er zijn stoffen waarin de elektronen op alle energieniveaus van invallende fotonen reageren behalve bij de energieniveaus van blauw licht bijvoorbeeld. Van blauw licht worden ze niet warm of koud. Dat betekent dus dat het blauwe licht gewoon dwars door het materiaal heen gaat terwijl de rest bijvoorbeeld wordt tegengehouden. Voor ons lijkt het dan dat het materiaal een blauw filter is.

Je kunt ook materialen fabriceren waarin de elektronen ontzettend sterk reageren op de fotonen van al het zichtbare licht. Zo sterk zelfs dat de fotonen weer volledig teruggekaatst worden. Wij zien het materiaal dan als reflecterend. En als die reflecterende werking optimaal is, noemen we het een spiegel.

Let op, we hebben het hier vooral over de fotonen die wij kunnen zien. Voor ons mensen is het meeste glas doorzichtig. Toch kunnen we een bepaald type glas maken die de voor ons zichtbare fotonen (zichtbaar licht dus) doorlaten, terwijl er vogelsoorten zijn die datzelfde glas ervaren als iets dat veel minder doorzichtig is.

Wij kunnen bijvoorbeeld UV-licht niet meer zien. Vogels nog wel. Als de ramen zodanig worden gefabriceerd dat ze UV-licht niet doorlaten, maar voor ons zichtbaar licht wel, zijn de ramen dus veel minder doorzichtig voor vogels en knallen ze er niet tegenaan.

Dus eigenlijk zou het antwoord op de vraag, ‘En als alle materialen uit moleculen bestaan, hoe kan het dan dat de moleculen van glas doorzichtig zijn en andere niet?’, een wedervraag moeten zijn: ‘Doorzichtig voor wie? Voor vogels? Of voor mensen?’

Referenties

[1] Dinca, L. E. et al. (2015) “Pentacene on Ni(111): Room-Temperature Molecular Packing and Temperature-Activated Conversion to Graphene,” Nanoscale, 7(7), pp. 3263–3269. doi: 10.1039/C4NR07057G.

[2] Gross, L. et al. (2009) “The Chemical Structure of a Molecule Resolved by Atomic Force Microscopy,” Science, 325(5944), pp. 1110–1114. doi: 10.1126/science.1176210.

2020-09-21
Quantummechanica in tien punten voor onderweg

De afgelopen tijd zijn de artikelen over quantummechanica en deeltjes behoorlijk uitgebreid en soms te diep gegaan voor mensen die haast hebben. Daarom volgen hier tien punten in iets normaler Nederlands voor het geval je haast hebt.

1: Elementaire deeltjes

Om objecten in onze alledaagse wereld te natuurkundig te beschrijven, zoals stenen, gebouwen, auto’s, volstaan de wetten van Newton. Om subatomaire, elementaire deeltjes te beschrijven, zoals elektronen, protonen, neutronen en fotonen, gebruiken we een heel ander type natuurkunde: quantummechanica.

2: Golffunctie

De meest complete beschrijving van een elementair deeltje is de zogenaamde golffunctie. Eigenlijk lijkt het woord ‘deeltje’ onjuist te verwijzen naar kleine puntjes, kogeltjes of bolletjes of iets dergelijks. Dat zijn ze absoluut niet. Het zijn ook geen golven. ‘Deeltjes’ zijn golffuncties met golfachtige eigenschappen (nadruk op ‘achtig’). Na interactie met andere deeltjes en/of meting vertonen ze echter deeltjesachtig gedrag. De golffunctie omvat alle fysiek mogelijke toestanden waar een ‘deeltje’ zich in kan bevinden op het moment dat we een meting verrichten. De golffunctie kan gezien worden als een wiskundige beschrijving van de waarschijnlijkheden van de toestanden waarin het deeltje kan ’schieten’ op het moment dat het gemeten wordt. Het wordt vaak gevisualiseerd als een ‘wolk’ al is het niet hoe het er eigenlijk uitziet. Het is slechts een visuele metafoor voor een wiskundig object dat eigenlijk in een complexe ruimte bestaat aangezien complexe waarden aanneemt.

Meestal teken ik vage, bolvormige dingetjes die dan deeltjes moeten voorstellen.

3: Quantumtoestand

Eenmaal gemeten geven deeltjes slechts één enkel quantumtoestand bloot uit een heel scala aan mogelijke quantumtoestanden dat bestond vóór de meting. Positie is een van de bekendste en intuïtief te begrijpen voorbeelden van een quantumtoestand. Impuls is een ander voorbeeld (impuls is een maat voor de hoeveelheid beweging van een deeltje). Er zijn andere toestanden zoals polariteit en spin en nog veel meer. De golffunctie omvat al deze mogelijke toestanden en kent een waarschijnlijkheidswaarde toe aan de uiteindelijke meting van een specifieke toestand. Met andere woorden, voordat je de meting verricht stelt de golffunctie je in staat om de kans te berekenen dat je een bepaalde quantumtoestand gaat meten.

4: Meetprobleem

Zolang je geen meting verricht en zolang het niet interacteert met andere deeltjes bevindt het deeltje zich nog niet in een specifieke quantumtoestand. In plaats daarvan beschrijft de golffunctie al deze mogelijke toestanden als een wiskundige optelsom. Deze ‘optelling’ is waar natuurkundigen op doelen als ze het hebben over superpositie. De term is afkomstig van de wiskunde van golven en lineaire algebra in het algemeen, niet per se specifiek quantummechanica. Hoewel de situatie vaak wordt geportretteerd als deeltjes die zich in alle toestanden tegelijk bevinden (zoals het zijn op twee plekken tegelijk) is het accurater om te zeggen dat het deeltje nog geen specifieke toestand inneemt. Er is alleen de golffunctie met alle waarschijnlijke toekomstige quantumtoestanden. Zodra je een meting verricht, schiet het deeltje uit zijn golffunctie van mogelijkheden in één enkele mogelijkheid. Met andere woorden, wat je ziet is niet wat het was. Wat je observeert is slechts een splinter van zijn complete, vorige bestaan. Hoe dit gebeurt, weet niemand. Het heet het meetprobleem van de quantummechanica. Er ligt een Nobelprijs op je te wachten.

5: Schrödingervergelijking

Golffuncties gehoorzamen de Schrödingervergelijking. Je zou kunnen zeggen dat wat Newtons tweede wet is voor alledaagse objecten is wat de Schrödingervergelijking is voor de subatomaire wereld. Het stelt ons in staat om te voorspellen hoe de golffunctie verandert in de tijd. Het is een volstrekt klassieke vergelijking; het is 100% deterministisch. Waar de golffunctie een bereik van waarschijnlijkheden bestrijkt, voorspelt de Schrödingervergelijking hoe dit bereik van waarschijnlijkheden over de tijd verandert. Met andere woorden, het voorspelt niet exact wat de toestand is van een deeltje als het wordt gemeten maar het voorspelt exact wat de kans is dat je een bepaalde toestand gaat meten op ieder gegeven moment in de tijd.

Dit verbluffend staaltje experimentele natuurkunde leverde een foto op van wat de nauwkeurigste benadering op van de golffunctie van een elektron in een waterstofatoom is tot nu toe. Het is gemaakt door de Poolse natuurkundige Aneta Sylwia Stodolna et al. (Bron: Stodolna AS et al. (2013) “Hydrogen Atoms Under Magnification: Direct Observation of the Nodal Structure of Stark States,” Physical review letters, 110(21), pp. 213001–213001.)

6: Onzekerheid

Er bestaat een fundamenteel kenniscompromis tussen bepaalde mogelijke toestanden zoals tussen positie en impuls, energie en tijd en tijd en frequentie. De oorsprong van dit compromis ligt niet in de quantummechanica. Het heeft te maken met hoe de kwantiteiten gerelateerd zijn aan elkaar. Wiskundige worden deze variabelen Fouriertransformatieparen of geconjugeerde variabelen genoemd. Om de een te berekenen vanuit de ander voer je een wiskundige procedure uit die Fouriertransformatie wordt genoemd. Als je een Fouriertransformatie uitvoert op een variabele waarvan de hoeveelheid mogelijke waarden zeer beperkt is (de variabele kennen we met een hoge precisie), dan is de hoeveelheid mogelijke waarden van de andere variabele die je verkrijgt aan het eind van die transformatie juist groter (de variabele kennen we met een lagere precisie, een grotere onzekerheid). Heisenberg toonde aan dat deze onzekerheidsrelatie ook van toepassing is op de golffunctie in de quantummechanica. Vandaar dat we in deze context spreken van de onzekerheidsrelatie van Heisenberg.

Fourier toonde aan dat als geluid relatief scherp gedefinieerd is in de tijd (onderste golfpakketje), dat het opgebouwd moet zijn uit verschillende frequenties (zoals daarboven geïllustreerd door de verschillende golven met verschillende frequenties). Dit is de fundamentele onzekerheidsrelatie bij golven.

7: Zekerheid

Diezelfde onzekerheidsrelatie voorspelt dat, hoewel zeer significant op de schaal van subatomaire deeltjes, deze onzekerheid volstrekt betekenisloos wordt op de schaal van onze alledaagse wereld met alledaagse objecten. Een bowlingbal waarvan de mogelijke posities ernstig zijn beperkt (opgesloten in een kleine doos met nauwelijks speling) zal nimmer de onzekerheidswaarden vertonen zoals in de quantummechanica. Laten we bijvoorbeeld de hoeveelheid beweging van de bal (impuls) bekijken. Op basis van de onzekerheidsrelatie van Heisenberg zal de bowlingbal bij meting mogelijk een snelheid vertonen van $3.283 \times 10^{-35} \text{ m/s}.$ Dit betekent dat die na 965.9 miljard jaar een afstand zal hebben afgelegd ter grootte van de de diameter van een proton. Dus, nee. Onzekerheid speelt geen rol in onze alledaagse wereld. Tenzij je experimenten doet die een looptijd hebben van zeventig keer de leeftijd van ons huidig universum. In dat geval zul je moeten dealen met de onzekerheid ter grootte van de diameter van een proton(beginfootnote)Als mensen denken of stellen dat alledaagse objecten (onze lichamen, onze hersenen, tennisballen, dieren) quantumeffecten kunnen vertonen als het zijn op twee plekken tegelijk, dan vermoed ik dat dit komt omdat ze geen goed idee hebben van hoe klein subatomaire deeltjes werkelijk zijn alsook geen idee hebben van hoe groot de alledaagse wereld is in die termen. Tevens zullen ze de berekeningen niet hebben uitgevoerd.(endfootnote). We merken hierbij op dat ultra-nauwkeurige meetapparatuur zoals de spiegels van de LIGO– en Virgo-experimenten – de grotere objecten in deze wereld, dus bepaald geen elementaire deeltjes – zeker wel in staat zijn om quantumeffecten te meten. Echter is dit ten eerste niet geheel onverwacht (geen nieuws) maar bovendien iets volstrekt anders dan stellen dat menselijke lichamen zich in quantumsuperposities bevinden. Het meten van quantumeffecten is een ding, hersenen die in staat zouden zijn op twee plekken op aarde aanwezig te zijn (‘gebaseerd op principes uit de quantummechanica’) is iets heel anders.

Alle pins missen is geen gevolg van praktische noch theoretische quantumeffecten. Je bent dan gewoon niet zo goed.

8: Quantumverstrengeling

Als twee of meer deeltjes alleen beschreven kunnen worden door een en dezelfde golffunctie – en niet als separate golffuncties – dan zijn deze deeltjes quantumverstrengeld. Een meting op het ene deeltje bepaald onmiddellijk de uitkomst van de meting op het andere, verstrengelde deeltje, ongeacht de ruimtelijke afstand tussen de twee. Dit verschijnsel wordt daarom non-lokaal genoemd. Hoe dit kan, is onbekend. Het effect verdampt zodra verstrengelde deeltjes met andere deeltjes interacteren. Op de schaal van de alledaagse werkelijkheid is het aantal deeltjes per object zo groot dat interacties niet kunnen uitblijven en het quantumeffect van verstrengeling dus volstrekt wegvaagt. Onder speciale omstandigheden, zoals in onze laboratoria, kan verstrengeling echter gedurende aanzienlijke periode in stand worden gehouden.

Dit is niet hoe quantumverstrengeling eruit ziet. Het is gewoon een plaatje.

9: Quantumveldentheorie

Quantummechanica is door de jaren heen wis- en natuurkundig uitgebreid naar de beschrijving van quantumvelden als de fundamentele bouwstenen van ons universum. Het universum bestaat uit quantumvelden. De meest complete beschrijving van deze velden zijn golffuncties. We noemen dit de quantumveldentheorie (in het Engels vaak afgekort met QFT voor quantum field theory). De succesvolste versie van een QFT heet het Standaardmodel van de deeltjesfysica. ‘Deeltjes’ zijn hier een soort verstoringen van hun veld: een elektron is een verstoring in het elektronenveld. De beschrijving van een deeltje is onderdeel van de golffunctie van het hele veld. De uitdaging ligt in het uitbreiden van deze quantumveldentheorie naar zijn volgende vorm, waarbij zoiets als quantumgravitatie is geïncorporeerd. Wat we bijvoorbeeld nog niet weten is hoe we ruimte en tijd in extreme gebieden zoals zwarte gaten, op natuurlijke wijze uit een quantumtheorie kunnen doen voortkomen.

Een onbehoorlijk ruwe schets van quantumvelden. Het protonveld is niet echt een ding: het is een snelle manier om diverse quarkvelden in een klap te vangen. Plus dat velden driedimensionaal zijn, niet tweedimensionaal.

10: Toepassingen

De woorden ‘I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics’(beginfootnote)‘Ik denk dat ik met zekerheid kan stellen dat niemand quantummechanica begrijpt.’(endfootnote), uitgesproken door de beroemde natuurkundige en Nobelprijswinnaar Richard Feynman, worden soms helaas verkeerd begrepen. Soms denkt men dat dit deze uitspraak grond biedt om te stellen dat natuurkundigen uiteindelijk niet weten waar ze mee dealen, waar ze het over hebben. Feynman hintte op het feit dat er nog heel veel te ontdekken valt in de quantumfysica. Er staat nog steeds heel veel werk te doen als het gaat om moeilijke problemen zoals quantumzwaartekracht, het meetprobleem, het sterke CP-probleem, de interpretatie van de quantummechanica, non-lokaliteit en ga zo maar door.

Aan de andere kant beschikken we maar wel mooi over Wifi, internet, (aanraak)schermen, lasers, MRI-scanners, ledverlichting, flashgeheugen, solid state disk, die goeie ouwe knarsende harde schijven, transistoren, rekenprocessoren in computers en geïntegreerde chips in het algemeen.

Dus, ik denk dat ik met zekerheid kan stellen dat het feit dat je dit artikel uit de lucht hebt geplukt om het te vertonen op je (aanraak)scherm op je elektronische apparaat we in elk geval de mate kunnen afleiden waarin ‘nobody understands quantum mechanics’.

Niettemin, we zijn nog lang niet klaar. Er valt nog veel te ontdekken en te verklaren in en over dit universum – met hulp van een beetje wis- en natuurkunde.

2020-07-12
De onzekerheidsrelatie van Heisenberg

Het is misschien niet zo beroemd als Einsteins formule, maar het is niet ondenkbaar dat je er ooit toch iets van hebt gehoord, de onzekerheidsrelatie van Heisenberg, of, in het Engels, ‘Heisenberg’s uncertainty principle’. Het speelt een belangrijke rol binnen de quantummechanica. Het zou kunnen dat je gehoord hebt dat het gaat over de verstoring van een meting door het meetapparaat: ieder instrument bezit een inherente meetfout plus dat je simpelweg het te meten systeem altijd verstoort door de simpele act van meting zelve. Het zou kunnen dat je gehoord hebt dat de onzekerheidsrelatie van Heisenberg bewijst dat je nooit zeker kunt zijn van je metingen en dat het ons in feite leert dat je nooit zeker kunt zijn van wat het universum ons als het ware vertelt. Mijn excuses als de volgende reactie onnodig vaag klinkt en ruimte voor interpretatie overlaat, maar dit alles is lariekoek. Tijd om er eens goed naar te kijken, nietwaar? Wat betekent het nou echt?

Figuur 1. Werner Heisenberg in Göttingen in 1924.

Fouriertransformatieparen

Of het één, of het ander. Wie heeft er geen hekel aan? Herinner je je nog dat je ouders zeiden dat je dit kon hebben, maar dan niet dat? Of misschien een beetje van zus maar dan ook maar een beetje van zo. Of een beetje van hier maar dan ook maar een beetje van daar. Niet verrassend misschien dat minstens drie beroemde filosofen daar wat woorden aan gespendeerd hebben. Eentje besloot voor rebellie te gaan en schreef: ‘I want it all, I want it all, and I want it now!’ (May, 1988). De andere twee stelden zich iets pragmatischer op en concludeerden: ‘You can’t always get what you want’ (Jagger & Richards, 1968). Ze hadden natuurlijk heel goed door dat je in het leven soms te maken krijgt met Fouriertransformatieparen. Een van de bekendere voorbeelden is dus de onzekerheidsrelatie van Heisenberg.

Als je het bereik van de mogelijke positie van een deeltje beperkt $(\Delta x),$ vergroot je het bereik van de mogelijke impuls(beginfootnote)Impuls is het product van de massa $m$ en de snelheid $v,$ dus $p=mv.$ Het is een maat voor de hoeveelheid beweging van een object (zoals een deeltje).(endfootnote) in de $x$-richting $(\Delta p_x)$ en vice versa.

Dit is wiskundig als volgt geformuleerd:

$$\Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}.$$

Het deltasymbool $\Delta$ staat dus voor een bereik van een bepaalde hoeveelheid. Normaal gesproken is $\Delta$ gedefinieerd als het verschil tussen twee waarden. Stel je voor dat op de schutting in je tuin zich een punt A bevindt. Het is $0.1$ meter van de muur van je huis verwijderd. En stel dat een punt B op diezelfde schutting $0.7$ meter van je muur verwijderd is. Dan is de $\Delta$ van deze afstanden, oftewel de lengte tussen punten A en B, gelijk aan $0.7 – 0.1 = 0.6$ meter.

Heisenbergs onzekerheidsrelatie stelt dat het product van deze twee bereiken groter is dan of gelijk is aan een bepaald getal. Dat getal is trouwens ontzettend klein. Het symbool $\hbar$ staat voor de constante van Planck gedeeld door $2 \pi,$ waarvan de uitkomst dan weer gedeeld wordt door $2$ in de onzekerheidsrelatie.

Dit betekent dat als de een groter wordt, $\Delta p_x$ bijvoorbeeld, dat de andere kleiner wordt, wat dan $\Delta x$ zal zijn. En vice versa.
Klik hier als je een beetje wiskunde wil doen. Het is supermakkelijk.

Om iets meer gevoel te krijgen voor deze samenhang, maken we het iets gemakkelijker voor onszelf door te stellen dat $\frac{\hbar}{2} = 1,$ waardoor de formule verandert in $\Delta x \Delta p_x = 1.$ Voorts stellen we dat $\Delta x = 0.5.$ Welke waarde moet $\Delta p_x$ dan aannemen om te zorgen dat de vergelijking weer klopt? Precies, $\Delta p_x$ moet dan gelijk zijn aan $2,$ want $0.5 \times 2 = 1.$

Laten we vervolgens $\Delta x$ iets kleiner maken. Met andere woorden, we zorgen ervoor dat het bereik waarbinnen de positie van het deeltje kan verschijnen kleiner wordt. We preciseren kortom de positie. Stel dat $\Delta x = 0.001.$ Welke waarde moet $\Delta p_x$ vervolgens aannemen om aan de vergelijking te voldoen? Je raadde het vast al wel, $\Delta p_x$ moet juist groter worden: $\Delta p_x = 1000,$ aangezien $0.001 \times 1000 = 1.$ Als je het om zou draaien – waarbij $\Delta p_x$ kleiner zou worden – dan zou $\Delta x$ juist groter worden. Dan zouden we minder precies weten waar het deeltje zich ophoudt.

In werkelijkheid is $\frac{\hbar}{2}$ veel kleiner dan $1$. Het is ongeveer $5.273 \times 10^{-35} \text{ J/s}.$ Dat zijn vierendertig nullen achter de komma eindigend met 5273. Het is ongelooflijk klein. Hier komen we nog op terug.

Hopelijk gaf dit een beetje inzicht in hoe de relatie tussen $\Delta x$ en $\Delta p_x$ tot uitdrukking komen in Heisenbergs formulering. Ze complementeren elkaar. Als een bereik van mogelijke waarden groter wordt, oftewel, de $\Delta$ van waarde-opties wordt groter, dan neemt de zekerheid af waarmee je de uiteindelijke waarde kunt voorspellen. Vandaar het woord ‘onzekerheidsrelatie’(beginfootnote)Uiteindelijk is het statistiek. Het $\Delta$-teken zou wat dat betreft beter $\delta$ kunnen zijn, zodat $\delta x \delta p_x \geq \frac{\hbar}{2},$ wat het statistische karakter beter representeert. Een golffunctie is per slot van rekening een beschrijving der waarschijnlijkheden.(endfootnote).

Maar waar komt deze relatie dan vandaan? Hoewel de onzekerheidsrelatie een centrale rol speelt binnen de quantummechanica is het in de basis geen quantummechanische wet. Het is zelfs een algemeen verschijnsel op verschillende vlakken in de natuurkunde en – algemener – in de wiskunde.

Wiskundigen noemen de variabelen positie en impuls Fouriertransformatieparen. Om in het jargon te blijven – ze worden ook wel geconjugeerde variabelen genoemd.

Figuur 2. Gravure van de Franse wiskundige Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830), vroeg 19e eeuw. {{PD-US}}

Geluid

Een bekend niet-quantummechanisch voorbeeld van de onzekerheidsrelatie is het bepalen van de toonhoogte van geluid. Hoe ‘hoog’ een noot is, hangt af van de frequentie.

De sinusgolf is een vertrouwd voorbeeld van geluid. Het is ook een heel simpel geluid. En verschrikkelijk saai.

De $x$-as is de tijd-as. De $y$-as is de amplitude van het geluid, oftewel het volume, de intensiteit. Zoals je kunt zien, zit er een patroon in het geluid: het herhaalt zichzelf, het is cyclisch. Een hele cyclus is als de curve omhoog, naar beneden, verder naar beneden en weer omhoog gaat. De tijd die het kost om een cyclus te completeren wordt aangeduid met het symbool $T$ en wordt ook wel de periode genoemd(beginfootnote)Het is ook mogelijk om de periode te meten tussen twee pieken of twee dalen.(endfootnote). De curve van deze geluidsgolf wordt ook wel periodiek genoemd.

Figuur 3. De tijd-amplitude-curve van een saaie, sinusoïdale geluidsgolf.

Hoe korter de periode – oftewel hoe sneller de cycli – des te hoger de toon. Anders gezegd, hoe hoger de frequentie, des te hoger te toon. De wiskundige relatie tussen de periode $T$ en de frequentie $f$ is als volgt:

$$f = \frac{1}{T}.$$

Als de periode korter wordt – de waarde van $T$ wordt kleiner – dan wordt de waarde van $f$ juist groter. De frequentie is hoger, de toon is hoger.

In Figuur 3 zien we dat de periode $T = 2 \pi$ seconden. Dat betekent volgens de wiskundige relatie tussen periode en frequentie dus dat de frequentie gelijk is aan $\frac{1}{2 \pi}$ Hz. In een frequentie-amplitude-diagram ziet het eruit als een scherpe piek. Let op, de $x$-as is nu de frequentie. De $y$-as is nog steeds de amplitude.

Figuur 4. Een frequentie-amplitude-diagram van de geluidsgolf van Figuur 3. Het toont de exacte frequentie van de geluidsgolf.

Nu hebben we dus twee manieren om een geluidsgolf te beschrijven: met frequentie (Figuur 4) of met verandering in de tijd (Figuur 3).

Merk op dat de geluidsgolf weergegeven als een functie van tijd (Figuur 3) geen begin noch einde heeft. Voor zover we weten zou die curve voor eeuwig door kunnen gaan. In beide richtingen van de tijd. Als iemand je vraagt wanneer precies dit geluid aanwezig is, is het antwoord: altijd. Er is geen specifieke tijd waarvan we kunnen zeggen dat het bestaat; het bestaat op alle momenten in de tijd.

Met andere woorden, $\Delta t = \infty.$

De frequentie-diagram is precies het tegenovergestelde: het is slechts een streep. Een duidelijke, scherpe piek. Als iemand je vraagt welke frequentie het geluid heeft, is het antwoord: het is exact $\frac{1}{2 \pi}$ Hz $( \approx 0.16)$ en het bestaat op geen enkele andere frequentie.

Fourieranalyse

In werkelijkheid duurt geluid niet oneindig lang. Het geluid van een trillende gitaarsnaar zal langzaam maar zeker wegvagen terwijl het energie afstaat aan de omgeving. Bovendien begon het ook op een specifiek moment: pas op het moment dat de gitarist aan de snaar tokkelde. Met andere woorden, in het echt bestaat een geluidsgolf gedurende een bepaalde periode in de tijd.

Laten we onze geluidsgolf inderdaad beperken tot een kleiner tijdsgebied, zodat het meer als een ‘bliep’ klinkt dan als een saaie, oneindige sinusgolf. Wederom representeert de $x$-as de tijd en de $y$-as de amplitude.

Figuur 5. Een tijd-amplitude-diagram van een zogenaamd wavelet, een korte geluidspuls. In tegenstelling tot de geluidsgolf van Figuur 3 is deze niet oneindig uitgestrekt in de tijd. Tegelijkertijd is het lastiger om de exacte frequentie ervan te bepalen.

Zoals je kunt zien bestaat het geluid hier alleen binnen een bepaald tijdperk – ongeveer anderhalve seconde lang. Met andere woorden, $\Delta t \approx 1.5$ seconden in plaats van de vorige $\Delta t = \infty.$

Wat is dan de frequentie hiervan? Het is lastig om hier een juiste periode $T$ te vinden. De curve is nogal verschillend van die van een oneindige sinusgolf. Zeker, we kunnen een soort van cycli ontwaren, maar geen cyclus is dezelfde. We lijken hier te maken te hebben met verschillende cycli tegelijk. De frequentie-amplitude-diagram ziet er dan ook anders uit:

Figuur 6. De frequentie-amplitude-diagram van de wavelet van Figuur 5. Het heeft niets meer weg van een specifieke, exacte frequentie. In verschillende mate bestaat de geluidsgolf zelfs op verschillende frequenties tegelijk.

Zoals je kunt zien is het nu moeilijker om te exact de frequentie van de wavelet aan te wijzen. Het is een geluid met verschillende frequenties op verschillende amplitudes tegelijk.

Dus hoewel het tijdperk waarbinnen de geluidsgolf bestaat nu beter gedefinieerd is, is de frequentie opeens minder specifiek geworden.

De briljante wiskundige Joseph Fourier ontdekte dat een wavelet zoals die van Figuur 5 geconstrueerd wordt door vele verschillende, oneindige golven met verschillende frequenties bij elkaar op te tellen. Anders gezegd, Fourieranalyse toont aan dat onze wavelet het resultaat is van een superpositie van vele golven met vele frequenties.

Figuur 7. De wavelet onderaan wordt geconstrueerd door een hele rits aan oneindige golven met verschillende frequenties bij elkaar op te tellen. Dit betekent automatisch dat de exacte frequentie van de wavelet veel moeilijker is vast te stellen dan die van Figuur 3.

Nu zie je waarom de frequentie-amplitude-diagram zo anders is ten opzichte van die van Figuur 4. Het betreft nu meer een combinatie van frequenties, zoals in Figuur 6 is weergegeven. In het laatste geval ‘bevat’ de wavelet verschillende golven met verschillende frequenties. Dus als je de tijd-amplitude-diagram Fouriertransformeert naar een frequentie-amplitude-diagram dan wordt het voorheen zo duidelijke frequentiegebied ineens een beetje ‘onzekerder’.

De relatie tussen tijd $\Delta t$ en frequentie $\Delta f$ in de ouderwetse, klassieke natuurkunde is fundamenteel complementair. Hier komt geen quantummechanica bij kijken.

In wiskundig jargon zijn tijd en frequentie zogeheten Fouriertransformatieparen of geconjugeerde variabelen.

De term ‘onzekerheidsrelatie’ heeft dus betrekking op het algemene fenomeen dat Fouriertransformaties (zoals die tussen tijd en frequentie) een fundamenteel, wiskundig compromis tussen de typen informatie van de twee variabelen met zich meebrengen. Heisenberg toonde vervolgens aan dat dit principe ook geldig is binnen de quantummechanica. Vandaar dat het in deze context de onzekerheidsrelatie van Heisenberg wordt genoemd.

De hypothese van De Broglie

Hoog tijd om weer terug te keren naar de quantummechanica. Herinner je je nog dat de beste beschrijving van een deeltje de golffunctie wordt genoemd? Een golffunctie is de wiskundige expressie van een deeltje dat alle mogelijke toestanden waarin het deeltje zich kan bevinden ‘omvat’.

In plaats van een tijd-amplitude-diagram maken we nu een ruimte-amplitude-diagram. Om het iets makkelijker te maken bekijken we de golffunctie van een deeltje waarvan de amplitude alleen varieert langs een enkele ruimtelijke dimensie die we met $x$ aanduiden.

Hieronder zie je de representatie van een golffunctie van een deeltje langs één ruimtedimensie (‘langs een rechte lijn’). De $x$-as representeert de positie in de ruimte. De $y$-as representeert de amplitude van de golffunctie (die proportioneel is aan de waarschijnlijk om het deeltje op die specifieke positie $x$ te vinden).

Figuur 8. Een representatie van de golffunctie van een vrij deeltje. Merk op dat dit niet een getrouwe weergave van een golffunctie is. Ten eerste bestaat een echte golffunctie in een complexe ruimte, die we hier niet tonen. Het doel is om een schematische weergave te leveren en niet om een waarheidsgetrouwe weergave te bieden (dat is eigenlijk niet mogelijk). Merk ook op dat het vrije deeltje geen specifieke positie heeft – het is per slot van rekening een vrij deeltje.

Het was de eminente, Franse natuurkundige Louis de Broglie(beginfootnote)Vele natuurkundigen hebben het geprobeerd maar slaagden er niet in zijn achternaam goed uit te spreken. Het klinkt als ‘broi’ maar dan met de r achter in de keel, zoals de Fransen plegen te doen – een ‘droge’ r. In een interview met hem kun je de Franse presentator zijn naam correct uitspreken (net na 0:16 seconden). Het is dus niet ‘brog-lie’ of ‘bro-lie’. Dank.(endfootnote) die de relatie tussen de golflengte $\lambda$ en de impuls $p$ van een golffunctie legde.

$$\lambda = \frac{h}{p},$$

waarbij $h$ het symbool is voor de Planckconstante. Deze vergelijking staat trouwens bekend als de ‘matter wave’-hypothese van De Broglie. Hij stelde dat materie, zoals elektronen, een golfkarakter hadden(beginfootnote)Diezelfde vergelijking toont aan dat het golfkarakter van grotere dingen zoals onze lichamen, hersenen, bowlingballen, tennisballen en dieren volstrekt verwaarloosbaar is, zoals we aan het einde zullen bespreken.(endfootnote). Daarmee won hij de Nobelprijs.

Als we deze vergelijking enigszins omschrijven, oplossen voor $p,$ zoals dat heet, dan krijgen we

$$p = \frac{h}{\lambda}.$$

De grote van de impuls is dus afhankelijk de golflengte. Hoe kleiner de golflengte des te groter de impuls. Wat is de golflengte ook weer? Het is de lengte tussen twee pieken (of dalen). Hoe hoger de frequentie des te kleiner de golflengte. Kijk nog eens naar Figuur 8. Zoals je kunt zien, heeft de oneindige golf van een vrij deeltje een heel specifieke golflengte. De logische conclusie is dat de impuls juist dan een heel specifieke waarde heeft. Niettemin toont Figuur 8 ook aan dat de positie van het deeltje nog volstrekt onduidelijk is!

Laten we dit omkeren en het bereik van de mogelijke posities van het deeltje gaan beperken. Het is daarmee geen vrij deeltje meer. Het zit nu gevangen in een eindig bereik van mogelijke locaties.

Figuur 9 Ons voormalig vrij deeltje zit nu vast tussen $x=0$ en $x= \pi.$ Met andere woorden, $x$ is beperkt tot een breedte van slechts $\pi.$ Er is geen sprake van een duidelijke golflengte. De golfpatroon heeft verschillende golflengten op verschillende posities. Het is er wel, maar het is hier niet zo duidelijk als bij Figuur 6.

In Figuur 9 is $\Delta x$ veel smaller dan in Figuur 8 (waar het oneindig groot was). Wat dat betreft, $\Delta x = \pi$ breed. Door middel van Fouriertransformatie – net zoals bij het tijd-frequentie-paar – wordt de complementaire zus van de positie-ruimte $\Delta x,$ namelijk de impuls-ruimte $\Delta p_x,$ ‘minder zeker’.

Om een golffunctie zoals die in Figuur 9 te construeren toont Fourier analyse aan dat wat je nodig hebt, een heel stel golven met verschillende frequenties bij elkaar opgeteld zal zijn.

Figuur 10. Een Fourierdeconstructie van de golffunctie in Figuur 9. Vele golven, vele frequenties. Met andere woorden, de impuls, die volgens De Broglie afhankelijk is van golflengte, is minder gedefinieerd.

Dus wat quantumdeeltjes betreft stelt de onzekerheidsrelatie van Heisenberg dat er een fundamenteel compromis bestaat tussen informatie over de positie en de impuls(beginfootnote)Een ander paar vormen energie en tijd. Dit is interessant in de context van Hawkingstraling. Dat komt nog wel.(endfootnote). Het zijn Fouriertransformatieparen of geconjugeerde variabelen.

Dat betekent tevens dat als je een deeltje opsluit in een minuscuul kleine $\Delta x,$ de golffunctie van het deeltje meer impulswaarden $\Delta p_x$ zal bevatten. Het bezit nu veel meer snelheidsopties, inclusief de veel snellere snelheden. Als je vervolgens een meting uitvoert, is de kans dus groter geworden dat je een hoge snelheid meet!

Schaal en uitwerking

Op de schaal van de grote, boze wereld zullen we dit effect nooit zien. Als je een bowlingbal zou opsluiten in een klein kastje zul je zijn impuls (zijn snelheid) niet dramatisch zien toenemen. Het zal niet zomaar gaan stuiteren. Omgedraaid, als je de bowlingbal een flinke impuls zou geven, is het ook niet zo dat je plotsklaps niet meer weet waar hij precies is; de positie van de bal is nog steeds te volgen. Het zal niet zomaar dwars door de nog overeind staande pins gaan quantumtunnelen of tegelijkertijd in alle goten gaan rollen van alle banen naast je. Als het geen enkele pin raakt, is dat niet omdat het plotseling in een superpositie verkeert van alle mogelijke locaties waar het kan bestaan. Je bent dan gewoon niet zo goed.

Je zult dus geen quantumeffecten zien bij objecten op de schaal van het dagelijks leven. Alleen als je met elementaire deeltjes werkt. Of atomen. Maar zodra de massa toeneemt, wordt het al snel een ander verhaal. Waarom? Dat komt deels omdat de Planck constante zo klein is(beginfootnote)En omdat de hoeveelheid interacties tussen atomen exponentieel groeit bij meer massa, wat ieder quantumeffect doet verdwijnen in een proces genaamd decoherentie.(endfootnote). Het is slechts $5.273 \times 10^{-35} \text{ J/s},$ zoals je misschien nog weet. Dat is heel klein.

Al de kennis in deze post stelt ons in staat om een leuke berekening te doen. Stel dat je een bowlingbal met de maximaal toegestane massa van $7.2$ kg in een doos doet die net wat groter is dan de bal: $\Delta x = 22$ cm. Volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg zou zijn snelheid dan $3.283 \times 10^{-35} \text{ m/s}$ kunnen worden. Dat betekent dat het na $965.9$ miljard jaar wellicht een afstand heeft afgelegd die even groot is als de breedte van een proton. Die tijdsduur is zeventig keer de leeftijd van ons huidig universum. Dus ja, het quantumeffect is niet gelijk aan nul, maar zoals je ziet (of liever, berekent), op de schaal van ons alledaags leven zijn die effecten volstrekt betekenisloos.

Soms proberen van die vreemde ‘documentaire-achtige’ films zoals What the #$*! Do We (K)now!? en What the Bleep!?: Down the Rabbit Hole je van alles te doen geloven over quantumdingen die we zouden kunnen ontwaren. Ze zullen ook de onzekerheidsrelatie van Heisenberg niet ongemoeid laten, als een soort magische kracht of mystieke natuurwet die ons in staat stelt om bovennatuurlijke dingen te doen of te zien. Ik hoop dat deze post aantoont dat dit niet is waar Heisenberg op doelde. En dat je nu weet dat de onzekerheidsrelatie an sich niet eens zijn wortels heeft in de quantummechanica. Het is simpelweg golfmechanica, de klassieke leerstof voor alle eerstejaars natuurkundestudenten, vaak al in het eerste of misschien het tweede semester.

Enkele maanden geleden stuitte ik op een videoclip van een Australische senator die vragen stelde aan het hoofd van de Commonwealth Scientific and Industrial Research Organisation, een federaal overheidsagentschap verantwoordelijk voor wetenschappelijk onderzoek en advies voor de Australische regering. Het was duidelijk dat de senator de klok had horen luiden, niet wetende waar de klepel hangt. Hij had vast ‘iets gelezen’ over de onzekerheidsrelatie van Heisenberg. Tijdens een hoorzitting van de Senaat vroeg hij zich af of de klimaatonderzoeken niet beter in twijfel getrokken moesten worden nu dat Heisenberg aantoonde dat metingen niet met zekerheid vastgesteld kunnen worden(beginfootnote)Goed, wat hij in feite deed was het op de hoorzitting naar voren brengen van een ‘wetenschappelijke’ reden voor het afwijzen van de conclusies van klimaatwetenschappers. Hij meent dan ook – niet geheel verrassend – dat er niets aan de hand is met het klimaat. Ik claim niet iets zinnigs af te weten van Australische politiek – ik ben tevens geen klimaatwetenschapper – maar als iemand iets beweert over quantummechanica, een senator in dit geval, dan weet ik daar wel degelijk wat over te vertellen.(endfootnote).

Ik vermoed dat de discussie een studie betrof waarbij een satelliet infrarode straling gebruikt voor remote sensing van het aardoppervlak en/of atmosfeer. Hij ging namelijk verder door te stellen dat infrarood licht lagere frequenties heeft dan zichtbaar licht dus dat het volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg heel erg moeilijk is om de eigenschappen van infrarode straling te bestuderen.

Er ging veel tegelijkertijd niet helemaal goed (ronduit fout) tijdens zijn korte spreektijd, zoals gebruikelijk is wanneer iemand de klok heeft horen luiden maar niet weet waar de klepel hangt. Begrijpelijk, maar het maakte het fragment er niet minder tenenkrommend van (de link opent een nieuw tabblad en leidt naar de korte video op Twitter).

Hoe dan ook hoop ik dat dit artikel op z’n minst een klein beetje bijdraagt aan de kennis van het electoraat van onze wereld, opdat we allen zo geïnformeerd en verantwoord mogelijk kunnen stemmen op de juiste personen voor de juiste posities, nog los van een ieders socio-economisch idealisme.

Als er iets is dat je hiervan hopelijk meekrijgt, dan is het dat de onzekerheidsrelatie van Heisenberg niet iets spiritueels betreft en dat het niets te maken heeft met wetenschappelijke meetfouten: het is goede, oude golfmechanica en Fourieranalyse zoals onderwezen aan undergraduates in hun eerste jaar op de universiteit. Het werkt en het werkt ontzettend goed. Het leidt niet tot de conclusie dat wetenschap niet in staat zal zijn om dingen te weten te komen over het universum. Wat dat betreft bewerkstelligt het precies het tegenovergestelde. Immers, je leest dit met een elektronisch apparaat dat bestaat bij gratie van onder andere Fourier, Heisenberg en De Broglie. En dat alles met een a bit of maths and physics.

Foto Werner Heisenberg door Friedrich Hund, een Duitse natuurkundige die de foto nam in Heisenbergs woonplaats, Göttingen in 1924. Het werd geüpload op Wikimedia Commons onder CC BY 3.0 door Friedrich Hunds zoon, Gerhard Hund, een Duitse wiskundige, informaticus, journalist en schaker. We hebben de kleurgecorrigeerde versie van Martin Geisler gebruikt.

2020-06-27