Misschien dat het je nog niet was opgevallen, maar de volgende keer zul je het vast wel zien: het heldere verschil tussen de binnenkant en de buitenkant van een primaire regenboog. Bovendien weet je dan ook waarom je ziet wat je ziet. Hoewel niet altijd zichtbaar, maar zeker wel aanwezig als er genoeg waterdruppels en licht voorhanden is, is de secundaire regenboog. De donkere band tussen de primaire en de secundaire regenboog wordt Alexanders (donkere) band genoemd.1
Voor het geval je het nog niet wist: er zijn drie dingen benodigd voor een regenboog. Achter je – in je rug – moet de zon schijnen. Voor je moeten regendruppels aanwezig zijn, of het nu duizenden meters omhoog en van je vandaan is of slechts een paar meter (bijvoorbeeld de nevel van een tuinsproeier). Bovendien moeten tussen de zon, de regendruppels en je ogen er zich geen wolken of iets anders bevinden.
Zoals je misschien weet, worden lichtbundels afgebogen door al het transparant materiaal dat ze ontmoeten. Twee keer – aan de twee oppervlakken waar doorheen ze zich voortplanten. Dit komt omdat licht, een elektromagnetische verstoring, de elektrische eigenschappen van het materiaal veranderen. Die veranderen op hun beurt dan weer het elektromagnetische veld in het materiaal. Hierdoor wordt het licht vervolgens afgebogen. In een vorig artikel gingen we dieper in op de kwantumfysica van deze materie.
Figuur 2
Rood licht wordt onder een kleinere hoek afgebogen dan violet licht. Bovendien is de maximale hoek tussen de invallende lichtstraal en het uitvallende rode licht ongeveer 40º. Bij violet is dat maximaal 40º. Met andere woorden, je zult violet licht nooit een regendruppel zien verlaten onder een hoek van 42º – alles is daar rood. Tussen deze twee hoeken verschijnen de gele, groene en blauwe kleuren. Dit is weergegeven in Figuur 2. Dit vormt de oorzaak voor het fenomeen dat ‘wit’ licht van de zon – dat uiteraard een mix is van alle kleuren van de regenboog en helemaal niet ‘wit’ – in een specifieke kleurenvolgorde verstrooid wordt.
Figuur 3
Stel nu dat miljoenen kleine regendruppels in de lucht hangen. Of je het daarvandaan gereflecteerde licht kan zien, hangt mede af van de hoogte van die druppel. Sommige zitten precies op de juiste hoogte zodat je alleen het rode licht kan zien, bij andere zie je alleen violet.
In Figuur 4 zie je de relatie tussen de (volgorde van) kleuren die je krijgt te zien, de verschillende hoeken waaronder verschillende kleuren licht uit de druppel ontsnappen en de hoogte van de druppel. Als een regendruppel laag genoeg hangt, worden alle kleuren weer gemixt. Rood, geel, groen, violet – ze kunnen allemaal de druppel verlaten onder een hoek die kleiner is dan 40º. Dit is waarom ‘wit’ licht ontstaat ‘binnen’ de primaire regenboog.
Figuur 4
De regendruppels reflecteren het licht niet altijd slechts eenmaal, zoals in Figuur 3. Soms wordt het licht twee keer gereflecteerd, zoals in de eerste waterdruppels in Figuur 5. Hier is te zien hoe de omgekeerde volgorde van de kleuren in de secundaire regenboog worden geconstrueerd. Soms verlaat het licht de druppel, maar bereikt het nimmer je ogen – ze zijn te hoog. Een deel van het licht raakt ‘verloren’. Dit is waarom de band tussen de primaire en secundaire regenboog altijd nets iets donkerder is dan de rest van de lucht.
Figuur 3, primaire en secundaire regenboog illustratie door CMG Lee onder CC BY-SA 4.0, aangepast door @kjrunia.
De eerste vermelding van dit fenomeen werd in 200 n.Chr. geleverd door de Griekse wijsgeer Alexander van Aphrodisias in een commentaar op een werk van Aristoteles over meteorologie.[↩]
Ooit afgevraagd waarom letters, woorden en zinnen in een spiegel bijna uitsluitend van rechts naar links in spiegelschrift staan en niet ook op de kop? Er vinden processen plaats die wellicht niet voor de hand liggen. Om te beginnen, spiegels wisselen links en rechts niet om.
We zijn intelligente types met (soms iets te veel) zelfbewustzijn. We kijken in de spiegel en we weten dat het onze reflectie is. Het is niet iemand anders die ons recht in de ogen staart. Maar mocht het zo zijn dat je in de veronderstelling verkeert dat bijvoorbeeld de linker- en rechterzijde van je gezicht verwisseld zijn door de spiegel, dan is het wellicht toch nodig om nog eens bij jezelf na te gaan of je niet stiekem alsnog denkt dat het iemand anders is. Hoewel de situaties op elkaar lijken, zijn ze niet dezelfde – niet alleen in de metafysische zin, maar, relevanter, in de wiskundige zin. Dit hangt samen met waarom bij letters, woorden en zinnen, links en rechts verwisseld lijken te zijn en ze bijna nooit ondersteboven worden gereflecteerd. Maar daar komen we later op terug.
Laten we onderstaande foto eens bestuderen. De man, die voor de spiegel zijn vlinderstrik strikt voor een etentje in rokkostuum, kijkt naar zichzelf. O, wonder. Ik weet dat het een open deur is, maar houd vol, het wordt zo duidelijk. Het is, gek genoeg, van cruciaal belang om vast te stellen dat hijzelf het spiegelbeeld is en niet iemand anders.
Laten we nu een gedachte-experiment uitvoeren. Stel je voor dat de man een grote L in de palm van zijn linkerhand en een grote R in die van zijn rechter tekent.
De man heeft een L op zijn linkerhandpalm en een R op zijn rechter;
het spiegelbeeld is niet iemand anders: het spiegelbeeld is de man;
de man drukt zijn linkerhandpalm met de L tegen de spiegel;
als een spiegel links en rechts omwisselt, zou het spiegelbeeld de hand met de R moeten gebruiken, want dat is de andere hand van de man;
dat doet het spiegelbeeld niet, het gebruikt de linkerhand met de L;
de linkerhand met de L van het spiegelbeeld is de linkerhand met de L van de man;
dus een spiegel verwisselt links en rechts niet.
Punt 6 is misschien moeilijk te accepteren. Vaststaat echter dat zowel de man als het spiegelbeeld de handpalm met de L tegen de spiegel houdt. Niettemin volharden we in de zienswijze dat een spiegel links en rechts verwisselt. De cognitieve horde is wellicht dat, uiteraard beseffend dat wijzelf ons spiegelbeeld zijn, het er bij ons desondanks is ingesleten dat we het voor de rest toch mentaal benaderen als ware het een ander persoon.
Waarschijnlijk hebben we meer interacties met mensen die tegenover ons staan of zitten dan met ons spiegelbeeld. We zijn aan de mentale verwisseling van links en rechts gewend geraakt, wat duidelijk zijn nut heeft bewezen in contacten met de alledaagse stervelingen. Al jong werd ons geleerd, ‘jouw links is haar rechts’ of ‘haar links is jouw rechts’. Evenzo weet een hoogleraar in de mathematische fysica, zich eenmaal te hebben omgedraaid richting de collegebanken, dat de vergelijkingen op het bord aan haar linkerzijde voor haar studenten op het bord aan de rechterkant staan.
De ironie wil dat verwisseling van links en rechts vooral in de echte wereld plaatsvindt en niet in de wereld van de spiegel. Onze linkerhand is simpelweg de linkerhand van ons spiegelbeeld – zo werkt het Spiegeluniversum nu eenmaal.
Transformaties
Met opzet schreef ik ‘omgedraaid’ cursief: het was een hint. Rotaties, reflecties en symmetrieën zijn lastig, daarom volgt hier een belangrijk onderscheid.
Iemand die met haar gezicht naar het jouwe gekeerd staat – of je kloon staat tegenover je – is wiskundig 180º geroteerd ten opzichte van jouw positie en kijkrichting, terwijl je spiegelbeeld dat niet is. In plaats daarvan is jouw spiegelbeeld… nou ja, een reflectie. (Verrassing.) De crux is dat rotatie en reflectie twee verschillende geometrische transformaties zijn. Stellen dat een spiegel links en rechts omgooit, komt overeen met het verwarren van rotatie met reflectie.
Rotatie is niet hetzelfde als reflectie
Dus na een rotatie van 180º moeten we het antoniem van ‘links’ of ‘rechts’ gaan gebruiken, terwijl we dat bij een reflectie niet hoeven te doen. Nu komt het niet vaak voor dat je met gereflecteerde mensen te maken krijgt. We hebben meestal met geroteerde tweevoeters van doen. Maar in het geval van je spiegelbeeld moet je dus meer dan je zou vermoeden ervan doordrongen zijn dat het hier niet iemand anders betreft.
Grappig genoeg is het makkelijker te accepteren dat een spiegel onder en boven niet omwisselt. Stel je voor dat de man met de vlinderstrik zijn hoofd tegen de spiegel zou bonken. Zijn spiegelbeeld schopt vervolgens natuurlijk niet met zijn voeten tegen de spiegel. Enfin, een spiegel wisselt dus onder en boven alsook links en rechts niet om.
Waarom spiegelschrift er gek uitziet
Maar hoe zit het dan met dat spiegelschrift? Er gebeurt natuurlijk wel iets met letters, woorden en complete werken, zoals Leonardo da Vinci zou beamen. Ja, er is inderdaad iets aan de hand, maar het is misschien niet wat je denkt. Wat dat betreft, de spiegel heeft er eigenlijk weinig mee te maken. Ik geef de relatieve ondoorschijnendheid van het meeste materiaal waarop wij letters schrijven er de schuld van dat we niet onmiddellijk inzien wat er precies gebeurt bij spiegelschrift.
Kijk eens naar Figuur 1. We hebben een min of meer symmetrisch mens vervangen door een asymmetrisch object dat nog het meeste weg heeft van de Griekse hoofdletter gamma ($\Gamma$) om het iets inzichtelijker te maken.
Figuur 1. Een asymmetrisch voorwerp voor een spiegel. Merk op dat de punten A en B niet omgewisseld zijn in het spiegelbeeld.
Zoals je onmiddellijk kan zien, zijn de punten A en B niet omgewisseld in het spiegelbeeld. Stel je nu voor dat je achter het object staat met je gezicht richting de spiegel. Punt A zou zich aan je linkerhand bevinden en punt B aan je rechterhand. Hetzelfde geldt voor het spiegelbeeld. Zoals we inmiddels begrijpen, hebben we dat te danken aan de geometrische transformatie genaamd reflectie – kenmerk van een goede spiegel.
Stel je nu voor dat we het voorwerp op een groot stuk papier zouden plakken, zoals weergegeven in Figuur 2. Dit representeert een enorme letter afgedrukt op een groot stuk papier.
Figuur 2. Ons lettervoorwerp is vastgelijmd op een groot stuk papier, daarmee een geprinte letter representerend
Nu hebben we als het ware een geprinte letter op een grote pagina. Het probleem is dat we in de spiegel nu niets anders zien dan de achterkant van het enorme vel. Wat doen we hieraan? Omdraaien? Zei je omdraaien? Oké, prima. Zoals je kunt zien in Figuur 3 hebben we het papier geroteerd. En kijk nu eens naar de punten A en B. Inderdaad, A en B zijn van positie gewisseld! En waarom? Omdat wij een rotatie hebben uitgevoerd om de verticale as.
Figuur 3. Het vel papier is geroteerd om de verticale as. De letter staat nu aan de andere zijde, maar is om agogische redenen nog lichtjes zichtbaar.
Hoe staat het met de spiegel? Welnu, zie Figuur 4. De spiegel toont precies wat je hem presenteert: de reflectie van een geroteerde letter, waarvan punt A zich nu rechts bevindt en punt B links.
Figuur 4. De spiegel toont exact wat je hem presenteert: een geroteerde letter.
Conclusie
En dus, spiegelschrift ontstaat doordat je een rotatie hebt uitgevoerd, niet omdat een spiegel reflecteert. Die rotatie veroorzaakt dat links en rechts worden verwisseld en letters en er zo gek uitzien.
Aangezien je papier met tekst meestal om de verticale as roteert voor je het voor de spiegel houdt, lijkt het alsof die laatste de letters, woorden en zinnen uitsluitend in de links-rechts-richting omwisselt. Dit is niet het geval zodra je een andere rotatieas kiest.
Ten slotte, drie mogelijk interessante bespiegelingen. [1] De term spiegelschrift is misleidend, al klinkt het iets preciezere ‘rotatieschrift’ dan ook weer niet echt lekker. [2] Zoals je jezelf in de spiegel ziet (reflectie), zien anderen jou niet (rotatie). [3] Om letters in spiegelschrift te verkrijgen, heb je eigenlijk geen spiegel nodig; schrijf op een goeie ouwe transparant, draai het 180º om de verticale as en houd het voor je neus.
Dus je begrijpt, er is geen spiegel, want het is niet wat de omwisseling van letters veroorzaakt: er is alleen maar jezelf.
Volledigheidshalve vermelden we hier dat hoewel spiegels links en rechts en onder en boven niet omwisselen, ze wel voor en achter omdraaien – de derde optie in een 3D-ruimte. Maar omdat letters symmetrisch zijn in die richting (wat dat betreft zijn ze immers plat), is dit doorgaans niet wat het spiegelschrift verklaart. Daarom bespraken we het verder niet. In plaats daarvan benadrukten we het verschil tussen reflectie (verwisselen van voor en achter) en de rotatie van een voorwerp.
