In 1905 publiceerde Albert Einstein een artikel over bewegende lichamen en elektrodynamica. Hij merkte op dat Newtons mechanica der bewegende lichamen niet verenigbaar was met de wetten van Maxwell over het elektromagnetisme. In dit artikel zullen we enkele belangrijke aspecten bespreken. We beginnen met twee fundamentele stellingen. En voor de geeks eindigen we met te beantwoorden waarom speciale relativiteit speciaal is.
Einsteins postulaten
Zijn eerste stelling komt erop neer dat of je je nu bevindt in of op een bewegend object, zoals een schip, een trein of je auto, of dat je stilstaat aan de kade, langs het spoor of de weg, de natuurwetten blijven hetzelfde. Als je op het perron staat en je gooit een bal in de lucht zorgen de natuurwetten ervoor dat de bal weer naar beneden komt. Als je in een rijdende trein staat, komt de bal ook weer naar beneden omdat in de trein dezelfde natuurwetten gelden. Het feit dat je in beweging bent, heeft geen gevolgen voor de wetten van het universum.
In het verlengde daarvan komt Einsteins tweede stelling erop neer dat de snelheid van het licht dezelfde is voor iedereen. Hij erkende dat Maxwell en collega’s een correcte beschrijving gaven van licht als een elektromagnetische verstoring die zich voortplant volgens de elektromagnetische wetten der natuurkunde. Hij zag ook in dat de snelheid van de lichtbron geen rol speelt in de wetten van Maxwell. Als het eerste postulaat waar is, dan plant licht zich altijd voort met de snelheid $c$ ($c$ is ongeveer 300 000 000 m/s), onafhankelijk van de beweging van de waarnemer. En niets kan sneller gaan.
Of je nu op het perron staat of dat je je in een rijdende trein bevindt, de natuurwetten zijn dezelfde. De voortplanting van het licht is een wet van de elektrodynamica waarbij de snelheid van de lichtbron geen rol speelt. Daarmee is de lichtsnelheid zoals gezien aan boord van de trein dezelfde zoals gezien vanaf het perron, onafhankelijk van de snelheid van de trein.
Intuïtie klopt veelal, maar eigenlijk niet
Stel, je staat op het perron. Een trein passeert met een snelheid van 30 meter per seconde. Vanaf de trein gooit een vriend een tennisbal het raam uit met een snelheid van 2 meter per seconde, in de bewegingsrichting van de trein. Je vangt de bal. Met welke snelheid raakt de bal je hand?
Intuïtief zou je wellicht zeggen dat het antwoord 30 + 2 = 32 meter per seconde is. Deze manier van berekenen is in heel veel gevallen bruikbaar. Instinctief zou je de snelheid van de trein simpelweg optellen bij de werpsnelheid van de bal. Dit is hoe Isaac Newton(beginfootnote)En eerder al Galileo Galilei, aangezien dit de zogenaamde Galileitransformatie wordt genoemd.(endfootnote) gewild zou hebben dat je het zou berekenen. En in de meeste gevallen heeft hij gelijk. Maar eigenlijk niet.
Laten we ons afvragen wat er zou gebeuren als onze vriend geen bal wierp maar een zaklamp inschakelde. De trein rijdt nog steeds met 30 m/s. Licht verlaat de zaklamp echter met een snelheid van ongeveer 300 000 000 m/s. Je heft je hand op. Het ‘vangt’ het licht. Met welke snelheid raakt het je hand?
Je zou ook hier kunnen zeggen dat dit 30 + 300 000 000 = 300 000 030 m/s is. Maar nee. Dat is fout. Herinner je je Einsteins tweede postulaat nog? Onafhankelijk van de beweging van de waarnemer is de lichtsnelheid altijd 300 000 000 m/s en niets gaat sneller, punt. Dat betekent dat een simpele optelling zou bewijzen dat we een manier hebben gevonden om te zorgen dat licht sneller dan de lichtsnelheid gaat. We zouden zonder meer Nobelprijswinnaars worden. Behalve dan dat dit niet klopt en dat we dat niet worden.
Op de schop
Als de lichtsnelheid even groot is voor onze vriend op de bewegende trein als voor ons op het perron (lees dit nog eens en besef hoe krankzinnig dit is), hoe in Walhalla’s naam krijgt het universum dit dan voor elkaar? Nadat hij wat relatief simpele wiskunde ter hand nam – die een middelbare scholier kan nadoen – realiseerde Einstein zich dat er iets aan de hand was met meters en seconden. Hij bewees dat een meter voor ons niet hetzelfde is als een meter voor onze vriend en vice versa. Bovendien is een seconde voor ons eveneens niet hetzelfde als een seconde voor onze vriend.
Met andere woorden, aangezien wij, op het perron, meten dat het licht zich voortplant met 300 000 000 meter per seconde, en dat onze vriend in de trein precies dezelfde waarde meet, betekent dit dat ons begrip van wat meters en seconden zijn onjuist is.
Het punt
Dit is wat er gebeurt. Als twee ‘dingen’, ‘mensen’, ‘objecten’, of referentiekaders zoals natuurkundigen het noemen, ten opzichte van elkaar bewegen, gebeuren er vreemde dingen met ruimte en tijd. Ja, met ruimte en tijd zelve. Het zijn maffe dingen. We dachten altijd dat ze er gewoon zijn. Statisch. Onbewegelijk. Overal en altijd hetzelfde. Twee onveranderlijke entiteiten. Welnu, dat zijn ze niet.
In Leiden heeft het project Leidse Muurformules natuurkundige vergelijkingen verspreid over het centrum van de stad. Dit is de Lorentzcontractie, toepasselijk naast het spoor geplaatst. Het beschrijft hoe ruimte (in dit geval, een een-dimensionale lengte) krimpt volgens Einsteins speciale relativiteit. Klik hier voor Google Street View.
Stel, nu zijn wij in de trein. We bewegen ons ten opzichte van onze vriend op het perron. Die neemt vervolgens waar dat ruimte in onze bewegingsrichting kleiner wordt – het krimpt. Onze vriend zal feitelijk waarnemen dat onze trein korter wordt in vergelijking met toen de trein stilstond ten opzichte van onze vriend. Die zal ook waarnemen dat onze tijd wordt opgerekt – onze klok vertraagt. Als een seconde verloopt op de klok van onze vriend, ziet die dat er op onze klok in diezelfde tijd slechts 0.9999999995… seconden zijn verstreken(beginfootnote)Dit getal is metaforisch bedoeld. Het echte tijdsverschil is te klein voor mijn calculator om te tonen.(endfootnote).
Vanuit ons perspectief, bezien vanaf de trein, beweegt onze vriend zich voort ten opzichte van ons (achterwaarts). Wat dat betreft beweegt de rest van de hele wereld zich voort ten opzichte van ons, achterwaarts. Dus, inderdaad, zouden wij de wereld zien krimpen in de tegenovergestelde richting. We zouden ook zien dat de tijd van de rest van de wereld langzamer loopt dan onze tijd.
Twin paradox
Nu zou je terecht kunnen opmerken dat als wij en onze vriend elkaars klokken zien vertragen, dan is er toch geen verschil tussen onze klokken? Niettemin, als we terugrijden naar onze vriend, stoppen op het perron en onze klok vergelijken met die van onze vriend, zien we dat onze klok achterloopt. Dit is de zogenaamde tweelingparadox. Als beiden hetzelfde kunnen beweren, hoe kunnen de klokken dan verschillen aan het eind, waarbij, in het geval van een tweeling, de ene helft jonger is (van de trein) dan de andere helft die achterbleef (op het perron)?
Dit komt door het wisselen van referentiekaders: we bevonden ons in een bewegend referentiekader (de trein), wisselden naar een kader dat bewoog in de tegenovergestelde richting (terugkerende naar onze vriend), en, ten slotte, wisselden naar het kader van het perron, om naast onze vriend te staan zodat we onze klokken kunnen vergelijken. Onze vriend heeft nooit van referentiekader gewisseld – hij bleef op het perron staan(beginfootnote)In tegenstelling tot wat veel populaire en zelfs introductieteksten in de natuurkunde beweren, heeft het minder te maken met acceleratie, hoewel het wel een rol speelt – in de echte wereld is het niet mogelijk om zonder acceleratie (en deceleratie) van referentiekader te wisselen. Niettemin is acceleratie in wiskundig opzicht niet nodig – het wisselen van referentiekaders wel.(endfootnote). De situatie is dus niet symmetrisch.
Lengte-contractie en tijddilatatie. Ze zijn niet illusoir, ze zijn echt. Vele experimenten toonden aan dat ruimte krimpt en tijd uitrekt voor dingen die bewegen ten opzichte van dingen die anders bewegen.
Deze $\gamma$ (Griekse letter gamma) is cruciaal. Het is een benodigde factor om te bewerkstelligen dat de lichtsnelheid niet groter wordt dan de lichtsnelheid, zelfs aan boord van een rijdende trein. Deze factor wordt de Lorentz factor(beginfootnote)Vernoemd naar Hendrik Lorentz. De expressie voor de Lorentz factor is: \[ \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}, \] waarbij $v$ de snelheid van de ander is ten opzichte van ons en $c$ is de lichtsnelheid.(endfootnote) genoemd.
We merken er echter bijna nooit iets van. Normaal gesproken zijn onze snelheden veel te laag voor het opmerken van de effecten van speciale relativiteit. Behalve als dingen heel snel gaan. Zonder Einsteins speciale relativiteit zouden gps-satellieten niet werken(beginfootnote)Uiteraard hebben we daarvoor ook nog Einsteins algemene relativiteitstheorie voor nodig, maar dat is iets voor een ander artikel.(endfootnote). Onderzoeksinstituten als CERN en Fermilab zijn ook genoodzaakt om rekening te houden met speciale relativiteit met de hoog-energetische, voortrazende deeltjes.
Dus, onze intuïtie (Newton) is veelal voldoende maar niet precies correct.
Wat er zo speciaal is aan speciale relativiteit
Dit is een enigszins technische vraag waar een ietwat technisch antwoord bij hoort, waarvoor onze excuses. In tegenstelling tot wat vaak wordt beweerd in populair-wetenschappelijke teksten gaat het in speciale relativiteit niet echt om constante snelheden tegenover algemene relativiteit met acceleratie. Speciale relativiteit biedt wel degelijk een wiskundig raamwerk om met versnellingen om te gaan. Het punt is meer dat het prima werkt als je aanneemt dat de dingen zich bevinden in zogenaamde Euclidische ruimte, voldoend aan Euclidische geometrie(beginfootnote)Vernoemd naar Euclides.(endfootnote). Echter, na ampel beraad, concludeerde Einstein via zijn algemene relativiteitstheorie dat we helemaal niet in een Euclidisch-geometrische realiteit leven. We bestaan in een Riemann-variëteit(beginfootnote)Vernoemd naar Bernhard Riemann.(endfootnote). Kort gezegd, Euclidische ruimte is een speciaal geval van de meer algemene Riemann-variëteit(beginfootnote)Als we preciezer willen zijn heeft Hermann Minkowski een gewijzigde versie van Euclidische ruimte ontwikkeld, die we nu Minkowski-ruimte noemen, terwijl Riemann-variëteit eigenlijk pseudo-Riemann-variëteit zou moeten heten, maar natuurkundigen noemen het simpelweg Riemann-variëteit – wellicht omdat ze geen wiskundigen zijn.(endfootnote). Vandaar dat we van speciale relativiteit spreken tegenover algemene relativiteit.
Uitgelichte foto door StockSnap van Pixabay, aangepast door @kjrunia (vergelijkingen toegevoegd).
Einstein en collega’s leerden ons dat ruimte en tijd geen gefixeerde entiteiten zijn. Ze kunnen worden uitgerekt en ingekort. Ze variëren. Er is echter een ding dat dit niet doet: de invariantie van de ruimtetijdinterval.
Stel, er wordt een foton afgevuurd van de oorsprong $O$ en het verplaatst zich naar punt $F$, zoals afgebeeld in Figuur 1. Laten we de gekwadrateerde afstand die het foton aflegt, $d(O,F)^2$, relateren aan de andere afstanden met gebruikmaking van die goeie, ouwe stelling van Pythagoras:
$ d(O,F)^2 = d(O,A)^2 + d(A,B)^2 + d(B,F)^2. $
We kunnen de vorige uitdrukking ook explicieter opschrijven in termen van de afstanden van de punten tot de oorsprong $O$:
Omdat de assen van de ruimte in Figuur 1 ruimtelijk en Euclidisch zijn, wordt $d(O,F)^2$ een ruimtelijke of Euclidische interval genoemd. Het interval kan overigens ook gezien worden als een balk (een recht prisma op een vierhoekig grondvlak) waarvan zijn ruimtelijke diagonaal gelijk is aan $d(O,F)$, hiermee een gebied in een 3D-ruimte afbakenend.
In de echte wereld zouden we, om ons ervan te verzekeren dat we elkaar zullen ontmoeten op de juiste plek, de volgende coördinaten kunnen geven: 1 Einstein Drive, eerste verdieping. Zie Einstein Drive als een plek op de $x$-as (naast andere $x$-asplekken als Battle Road, Mercer Road), nummer 1 als een plek op de $y$-as en de eerste verdieping als een plek op de $z$-as.
Wat we nu nog nodig hebben is een beetje extra informatie: wanneer ontmoeten we elkaar?
Tijdsinterval
Stel, Figuur 2 toont een tijdsserie van een foton op weg naar punt $F$ en verder. Het toont aan dat we in een wereld leven waar we niet alleen drie ruimte coördinaten, maar ook een tijdcoördinaat nodig hebben. Het is logisch de mensen die je zou moeten treffen niet alleen te vertellen waar in de ruimte je zal zijn, maar ook wanneer in de tijd je daar zal zijn.
Ons foton $P$ vliegt door $F$ op $t=3$. Dit betekent dat de tijdcoördinaat van de gebeurtenis dat het foton $F$ heeft bereikt, gelijk is aan:
$ t_{F}=3. $
Aannemende dat op $t=0$ foton $P$ zich bij de oorsprong bevindt,
$ t_{O}=0, $
kunnen we schrijven voor een temporeel interval tussen wanneer het foton $O$ verlaat en $F$ bereikt:
$ \Delta t_{OF} = t_{F} – t_{O} = 3 – 0 = 3. $
Figuur 2 Een foton reist van O naar F in een driedimensionale ruimte in een bepaalde periode
Eenheidsconversie van tijd naar afstand
Zoals de vorige twee hoofdstukken hopelijk duidelijk maakten, hebben we vier coördinaten nodig om een gebeurtenis te beschrijven, zoals bijvoorbeeld de gebeurtenis waarbij foton $P$ punt $F$ bereikt. De drie ruimtelijke afstanden worden uitgedrukt in een afstandseenheid, meestal de meter. De enkele tijdsafsand is geen afstand in de traditionele zin van het woord en wordt meestal uitgedrukt in seconde. Dit maakt het wel lastig om ze op een zinvolle manier met elkaar te vergelijken.
Om tijdseenheden te converteren naar afstandseenheden vermenigvuldigen we met een natuurconstante, de lichtsnelheid $c$, die, bij Einsteins tweede postulaat [1], nota bene invariant is: onafhankelijk van welk referentiekader je verkiest, de lichtsnelheid is altijd constant. Voor een uitgebreidere beschrijving van deze conversie, lees hoofdstuk 4.3 van Deriving the Lorentz transformations from a rotation of frames of reference about their origin with real time Wick-rotated to imaginary time. We concluderen hier dat onze tijdinterval een temporele afstand wordt:
$ \Delta t \mapsto c\Delta t.$
Ruimtetijdinterval
In Figuur 3 hebben we de ruimtelijke $z$-as laten vervallen en in de plaats daarvan de temporele $ct$-as (dat is dus tijd uitgedrukt in afstandseenheden) gebruikt zodat we een begrijpelijke tekening in het platte vlak kunnen maken. In werkelijkheid beweegt het foton uiteraard nog steeds in de $z$-richting. (We zijn tot dusverre niet in staat gebleken een vierdimensionaal object op een plat vlak te tekenen.) Let ook op de eenheidsvectoraanduiding rechtsboven en de afstandspunten die zijn aangegeven met $\Delta x$, $\Delta y$ en $c\Delta t$. Denk er vervolgens heel hard een toegevoegde vierde ruimtelijke afstandspunt $\Delta z$ bij, ergens.
Om de ruimtelijke afstand $d(O,F)$ van ons foton te berekenen, laten we vergelijking \eqref{eq:distance O-F} nog eens bekijken:
Aangezien we weten dat snelheid, in het algemeen, wordt berekend met $v = \Delta x / \Delta t$, waarbij $x$ de afgelegde afstand is in een richting, en $v = c$ in het geval van ons foton, kunnen we voor de afgelegde afstand van $O$ naar $F$ door ons foton schrijven:
Dit wordt interessant, aangezien $(c\Delta t)^2$ ook (het kwadraat van) de temporele afstand is. Als we vergelijking \eqref{eq:distance O-F} in de vergelijking hierboven substitueren, verkrijgen we
Hoewel dit leuk en aardig is, is de hamvraag nu wat is nul hier? Als we het antwoord hierop weten, weten wat alle termen aan de linkerzijde van het is-gelijkteken zijn.
Als iets gelijk is aan nul is er in de natuur- en wiskunde iets bijzonders aan de hand: het kan betekenen dat je te maken hebt met een systeem in een bepaalde stabiele configuratie, misschien zelfs statisch, het kan wijzen op een constante beweging, een energetisch equilibrium met de laagste waarde, een attractor, de nulwaarde van een functie als oplossing van een specifieke set parameters, een behoudswet, homogeniteit of een minimum of maximum van het een of ander.
In het algemeen betekent het dat er sprake is van een bepaalde symmetrie, wat op zijn beurt inhoudt dat er iets is dat behouden blijft. Hier zijn diepe inzichten aan te boren, zoals Emmy Noether ons leerde [2], en haar genialiteit verdient niets minder dan een hele serie artikelen op zich.
Niettemin, voor nu concluderen we dat, onafhankelijk van welk coördinatenstelsel men hanteert, waarmee verschillende waarden voor $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$, en zelfs $\Delta t$ worden gegenereerd, zoals de lorentztransformaties ons leerden, de som van al deze variabelen blijft invariant. De nul wijst op het feit dat ongeacht zijn vier bewegende delen—los van welk referentiekader je verkiest—de resultante is een constante, oftewel, invariant.
De kwantiteit aan de linkerzijde heeft een naam; het heet de ruimtetijdinterval en wordt aangeduid met $(\Delta s)^2$. De $s$ staat voor het Engelse ‘separation’, wat we hier zouden kunnen vertalen met ‘scheiding’. Het gaat om de scheiding tussen gebeurtenissen. Als we het woord afstand hadden gebruikt (dat wil zeggen, $d$ voor ‘distance’), had het misschien onbedoeld meer verwezen naar een ruimtelijke afstand dan iets anders, vandaar dat we scheiding gebruiken, $(\Delta s)^2$. Dus de ruimtetijdinterval wordt vaak als volgt opgeschreven:
De plus- en mintekens voor de termen kunnen omgedraaid worden in sommige boeken en artikelen, maar het is in elk geval belangrijk om op te merken dat, hoewel tijd vergelijkbaar gemaakt is met ruimte qua eenheden door vermenigvuldiging met $c$, nog steeds te zien is hoe tijd een speciale rol inneemt in het interval van het weefsel van de kosmos.
Figuur 3 Een ruimtetijddiagram met twee ruimtelijke dimensies en een temporele dimensie
E. Noether, Invariante Variationsprobleme, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse1918(1918), 235—257.
De lorentztransformaties, bekend om hun centrale rol in Einsteins speciale relativiteitstheorie, worden afgeleid uit de rotatie van twee referentiekaders in standaard configuratie, waarbij de tijd gezien wordt als imaginaire eenheid van ruimtetijd. Deze afleiding zie je niet vaak. Er zijn weinig boeken voor bachelorstudenten of online artikelen die de details van de uitwerking bieden. Vandaar, dit artikel.
One might think this means that imaginary numbers are just a mathematical game having nothing to do with the real world. (…) It turns out that a mathematical model involving imaginary time predicts not only effects we have already observed but also effects we have not been able to measure yet nevertheless believe in for other reasons. So what is real and what is imaginary? Is the distinction just in our minds?
S. Hawking[1]
Hoewel er vele afleidingen van de lorentztransformaties zijn te vinden in studieboeken, syllabi en online, de versie waar Henri Poincaré naar hintte[2] en Hermann Minkowski vervolgens verder mee speelde – onredelijkerwijs op z’n zachtst uitgedrukt – in wat we nu minkowski-ruimte noemen, blijft wat mij betreft een van de elegantste, doch is zelden uiteengezet op een van de voornoemde plekken.
Henri Poincaré merkte op dat als de tijdas van de twee coördinatenstelsels imaginair is gemaakt, d.i. de imaginaire as in het complexe vlak, de transformaties zoals beschreven door Hendrik Lorentz automatisch tevoorschijn komen na rotatie van de twee referentiekaders in dit complexe vlak.
In dit document beschrijven we hoe dit wordt uitgevoerd. We nemen aan dat de lezer bekend is met complexe getallen.
Het doel is om de volgende set lorentztransformaties af te leiden:
\begin{align}
t’ &= \frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\label{eq:Lorentz t-prime} \\
x’ &= \frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\label{eq:Lorentz x-prime} \\
y’ &= y, \\
z’ &= z,
\end{align}
waarbij $(t,x,y,z)$ en $(t’,x’,y’,z’)$ de coördinaten zijn van een gebeurtenis in twee referentiekaders. Het geaccentueerde ($’$) referentiekader, gezien vanuit het nietgeaccentueerde kader, beweegt zich met snelheid $v$ voort in de $x$-richting. De snelheid van het licht in vacuüm wordt aangeduid met $c$. Zijdelings merken we op dat de terugkerende term $(\sqrt{1-v^2/c^2})^{-1}$ de lorentzfactor wordt genoemd en doorgaans wordt aangeduid met de letter $\gamma$.
2. Standaard configuratieEen tweedimensionale weergave van Hermann Minkowski’s referentiekader M en Albert Einsteins kader E in een standaard configuratie: het laatste beweegt met snelheid v ten opzichte van het eerste in de richting van x. Er is geen beweging in de y- of z-richting. Merk op dat enige tijd is verlopen in dit diagram. Op tijd t=0, waren niettemin de oorsprongen gelijk. Met andere woorden, op de temporele coördinaten t=t’=0, waren de ruimtelijke coördinaten gelijk, x=x’=0.
Stel, Hermann staat stil op de grond. Albert rijdt met zijn auto weg van Hermann met snelheid $v$. We hebben dan te maken met twee referentiekaders. Er is het kader van Hermann, $\mathcal{M}$ (de grond), met de oorsprong $O$ aan Hermanns voeten op de grond. En er is het kader van Albert $\mathcal{E}$ (de auto), met de oorsprong $O’$ ter hoogte van Alberts achterwerk op zijn stoel. Hun referentiekaders zijn in een zogenaamde standaard configuratie zoals weergegeven in Figuur 2. Dit betekent dat op tijdstip $t=0$ in kader $\mathcal{M}$, waarvoor ook geldt $x=0$, het tijdstip $t’=0$ en positie $x’=0$ geldig is in kader $\mathcal{E}$, en dat het ene kader zich eenparig rechtlijnig (constant) beweegt ten opzichte van het andere. Met andere woorden, $\mathcal{M}$ en $\mathcal{E}$ zijn, zogezegd, gesynchroniseerd als voor de ruimtetijdcoördinaten geldt:
\[ (t,x) = (t’,x’) = (0,0). \]
Uiteraard, in de echte wereld zijn er vier ruimtetijdcoördinaten in ieder kader, namelijk $(t,x,y,z)$ en $(t’,x’,y’,z’)$, maar om onze berekeningen een klein beetje makkelijker te maken, houden we het enkel op de tijdscoördinaat $t$ (en $t’$) en ruimtelijke coördinaat $x$ (en $x’$).
Aldus, kijkend naar Figuur 2, zien we vanuit Hermanns perspectief—zich ophoudend in de oorsprong $O$ van $\mathcal{M}$—dat $\mathcal{E}$’s oorsprong $O’$ zich voortbeweegt met snelheid $v$ ten opzichte van de $x$-as van $\mathcal{M}$. Snelheid $v$, betekent uiteraard alleen maar dat $\mathcal{E}$ zich voortbeweegt met een bepaalde hoeveelheid eenheden van $x$ (bijv. meters) per een bepaalde hoeveelheid eenheden van $t$ (bijv. seconden). Dit is niets nieuws, maar het is voor onze afleiding van de lorentztransformaties van belang om ons secundair onderwijs een beetje te herhalen:
\[ v = \frac{\Delta x}{\Delta t}, \]
in Hermanns referentiekader $\mathcal{M}$. Enigszins omgedraaid, als we willen berekenen hoeveel ruimtelijke eenheden $\mathcal{E}$’s oorsprong zich heeft verplaatst van $\mathcal{M}$’s oorsprong, vandaan, herschrijven we de laatste vergelijking in de mogelijk bekendere wet van eenparig rechtlijnige beweging:
\begin{equation}
\Delta x = v\Delta t,
\label{eq:x=vt}
\end{equation}
in Hermanns referentiekader $\mathcal{M}$.
Zijdelings zij opgemerkt dat de auto wat Albert betreft niet beweegt; hij zit in de auto. (Eerder is het de rest van de wereld die zich voortbeweegt ten opzichte van zijn auto en zichzelf.) Als de auto ten opzichte van Albert in beweging zou zijn, dan hebben we te maken met de dreiging van een ongeluk met potentieel serieuze consequenties. Dus, omwille van Alberts welbevinden, stellen we dat zijn eigen snelheid binnen zijn eigen kader $\mathcal{E}$ (de auto) wordt uitgedrukt met $v’=0$, zolang hij op z’n plaats blijft zitten met de gordel om. Dus, de wet van eenparig rechtlijnige beweging door Albert, binnen zijn kader $\mathcal{E}$, wordt:
\[ \Delta x’ = v’\Delta t’ = 0\Delta t’=0. \]
3. Invarianties
Als $\mathcal{E}$ zich eenparig rechtlijnig voortbeweegt ten opzichte van $\mathcal{M}$, in een dimensie, de $x$-richting, zoals beschreven in vergelijking \eqref{eq:x=vt}, dan noemen we dit, meetkundig, een translatie in de $x$-richting. Natuurkundig is het een translatiebeweging in de $x$-richting.
Op tijdstip t=t’=0, vuurt Albert een foton P in de x-richting. Zowel het foton alsook Einsteins kader E bewegen in deze zelfde x-richting.
Veronderstel dat, op tijdstip $t=t’=0$, Albert, aan boord van zijn auto, zijn speciale, foto-elektrische kanon activeert, waardoor hij precies een foton $P$ in de $x$-richting afvuurt. Figuur 3 toont hoe het foton door de ruimte van beide referentiekaders vliegt.
Uit het diagram valt af te lezen dat de ruimtelijke coördinaten in de $y$-richting onveranderd blijven, $y=y’=0$, dus om het simpel te houden laten we deze verder buiten beschouwing in onze vergelijkingen. Niettemin, vanwege het feit dat $\mathcal{E}$ zich voortbeweegt ten opzichte van $\mathcal{M}$ in de $x$-richting, weten we dat $xneq x’$ bij $t>0$. En omdat we niet zeker weten dat $t=t’$ bij $t>0$, alleen dat $t=t’=0$, moeten we concluderen dat de locatie van $P$ verschilt:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\text{in Alberts }\mathcal{E}\text{: }P &= (t’,x’), \\
\text{in Hermanns }\mathcal{M}\text{: }P &= (t,x).
\end{aligned} \label{eq:coordinates of P}
\end{equation}
Einsteins Voraussetzungen[3] accepterende, weten we gelukkig dat de snelheid van het licht, $c$, gelijk is in ieder referentiekader. Gebruikmakend van vergelijking \eqref{eq:x=vt}, $x=vt$, en het feit dat, in dit geval, $v=c$, kunnen we voor de afstand die foton $P$ aflegt – de gele lijn in het diagram – in de coördinaten van de respectievelijke referentiekaders schrijven::
\begin{align}
\text{in Alberts }\mathcal{E}\text{: }\Delta x’ &= c\Delta t’, \\
\text{in Hermanns }\mathcal{M}\text{: }\Delta x &= c\Delta t.
\end{align}
Aangezien het voor ieder coördinatenstelsel mogelijk is dat het punten bevat die aan de negatieve zijde van de oorsprong van een ruimtelijke dimensie liggen, zoals $x$ in ons geval, en dat licht zich dus ook kan verplaatsen in de negatieve $x$-richting, kwadrateren we beide vergelijkingen om altijd een positieve waarde te verkrijgen.
\begin{align}
(\Delta x’)^2 &= (c\Delta t’)^2, \\
(\Delta x)^2 &= (c\Delta t)^2.
\end{align}
Als we dit herschikken,
\begin{align}
(\Delta x’)^2 – (c\Delta t’)^2 &= 0, \\
(\Delta x)^2 – (c\Delta t)^2 &= 0,
\end{align}
zien we dat beide gelijk zijn aan nul, wat ons toestaat om te schrijven
\begin{equation}
(\Delta x’)^2 – (c\Delta t’)^2 = (\Delta x)^2 – (c\Delta t)^2.
\label{eq:interval}
\end{equation}
Dit is een prachtig resultaat aangezien het aantoont dat onafhankelijk van welk referentiekader je je in bevindt, afgezien van $c$, Albert en Hermann ook in overeenstemming zijn met de kwantiteit $(\Delta x)^2 – (c\Delta t)^2$, ondanks het feit dat de coördinaten van $P$ niet noodzakelijkerwijs dezelfde zijn in ieder referentiekader, zoals we zagen in \eqref{eq:coordinates of P}. Met andere woorden, zowel $c$ als $(\Delta x)^2 – (c\Delta t)^2$ worden invariant genoemd.
Zou kunnen dat je je afvraagt, wat is die invariante kwantiteit $(\Delta x)^2 – (c\Delta t)^2$, precies? Welnu, dit wordt behandeld in een andere post, genaamd Wat is een ruimtetijdinterval? En nu hebben we waarschijnlijk al verteld wat het is. Hoe dan ook, laten we doorgaan met de afleiding van lorentztransformaties en voorlopig in het achterhoofd houden dat $(\Delta x)^2 – (c\Delta t)^2$ een heel mooie invariantie is, onveranderd en gelijk in beide referentiekaders. Laten we nu overgaan op imaginaire tijd.
4. Wick-rotatie en imaginaire tijd4.1. GetallenverzamelingenEen segment van de reële getallenlijn, de verzameling R van alle reële getallen, die oneindig is aan beide zijden.
Zoals velen van ons zouden moeten weten, toont Figuur ref{fig:real number line} een (segment van een) reële getallenlijn die de verzameling $\mathbb{R}$ is van alle reële getallen. Het is de culminatie van van alle voorgaande uitbreidingen van de toentertijd bekende getallenverzamelingen. Beginnend met de natuurlijke getallen, een verzameling die normaal gesproken wordt aangeduid met $\mathbb{N}$, alle positieve, gehele getallen bevattend en zijn oorsprong vindend in de natuurlijke act van tellen, werd het numerieke repertoire uitgebreid met de notie van negatieve, gehele getallen. In plaats van slechts 1, 2 ,3, konden we nu ook tot -1, -2, -3 etc. tellen. Deze uitbreiding wordt aangeduid met $\mathbb{Z}$. Onnodig te zeggen dat $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$, maar we deden het zojuist toch.
Uiteraard waren er behoorlijke slimme mensen die erkenden dat er een andere uitbreiding nodig was: breuken die verhoudingen of ratio’s weergaven, beter bekend als de rationele getallen, zoals 1/2, 1/-3, 1/4, -1/100, met andere woorden, quotiënten van twee gehele getallen. Deze getallen bevinden zich tussen de gehele getallen van $\mathbb{Z}$. Het symbool is $\mathbb{Q}$ en dat $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$ is een overbodige toevoeging.
Hoewel ingekerfd op een stenen plaat, gevonden in Susa (Irak) in 1936, gedateerd rond 2000 BCE en gebruikt door Babyloniërs, namelijk dat
\[
\frac{3}{\pi}=\frac{57}{60}+\frac{36}{(60)^2}, \therefore
\pi = \frac{25}{8}=3.125,
\]
duurde het tot 1761 voordat het bewijs dat $\pi$ irrationaal is geleverd werd door Johann Heinrich Lambert[4] wat betekende dat het niet geconstrueerd kan worden door welke verhouding van gehele getallen ook, evenals vele andere getallen, zoals $\sqrt{2}$. En dus was wederom een uitbreiding van de bestaande getallenlijn benodigd. Dit was de voornoemde lijn die de verzameling $\mathbb{R}$, representeerde, of, om precies te zijn, $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
En toen, in de zestiende eeuw, ontdekten mensen als de rivalen Tartaglia en Cardano, onafhankelijk van elkaar, dat oplossingen van kwadratische vergelijkingen soms het hanteren van de wortels van negatieve getallen vereiste, zoals $\sqrt{-1}$. Later ontwikkelde Bombelli fatsoenlijke operaties zoals optellen en aftrekken. Een groot aantal wiskundigen ontwikkelden over verschillende decennia wat nu bekend is als het complexe vlak of het gaussiaanse vlak[5] van de verzameling $\mathbb{C}$, de reële getallenlijn uitbreidend met een imaginaire as met meervouden van de imaginaire eenheid $i=\sqrt{-1}$. (Dit is, uiteraard, de oplossing van de kwadratische vergelijking $x^2+1=0$.) We realiseren ons dat het vermelden van het feit dat $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ inmiddels uitermate redundant is.
4.2. TranslatieIedere opeenvolgende getallenverzameling is een uitbreiding van de voorgaande. We kunnen van een simpele naar een complexere verzameling bewegen door bijvoorbeeld simpelweg onze huidige positie te vermenigvuldigen met een getal dat alleen aanwezig is in de complexere verzameling. Hoewel het lijkt alsof we van de ene naar de andere verzameling buitelen, zijn we eigenlijk enkel naar links of naar rechts aan het ‘glijden’, in een dimensie, op de getallenlijn van die complexere verzameling. Deze glijdende beweging wordt translatie genoemd. Nota bene: het aantal deelstreepjes in Q is veel groter, maar om voor de hand liggende redenen zoals leesbaarheid hebben we alleen iedere 1/2-ratio aangeduid.
Laten we opnieuw kijken naar de natuurlijke getallenlijn van $\mathbb{N}$. Als we het getal 1 zouden willen converteren naar een getal dat niet bestaat in $\mathbb{N}$ maar wel zou kunnen bestaan op de lijn der gehele getallen van $\mathbb{Z}$, dan kunnen we het natuurlijke getal 1 simpelweg vermenigvuldigen met een getal uit $\mathbb{Z}$, namelijk het negatieve, gehele getal $-1$. Aangezien $1\times-1=-1$, zijn we overgestapt van $\mathbb{N}$ op $\mathbb{Z}$. We ‘gleden’ van 1 naar $-1$, hoewel in een andere getallenverzameling, hetgeen wiskundig hetzelfde is als een emph{translatie} van $-2$. Dit is makkelijk uitgedrukt zijnde startende van positie 1, optelling van $-2$ en eindigend op positie $-1$ op de getallenlijn van, minstens, $\mathbb{Z}$ (maar niet $\mathbb{N}$): $1+-2=-1$. Figuur 4.2a poogt dit te tonen.
We kunnen hetzelfde uitvoeren vanaf positie $-1$ in $\mathbb{Z}$ naar een getal dat geen element is van $\mathbb{N}$, noch van $\mathbb{Z}$, maar minstens van $\mathbb{Q}$ door simpelweg te vermenigvuldigen met een breuk, zoals $-1/2$, die zelf ook geen element is van $\mathbb{N}$ of $\mathbb{N}$. Dit is, wederom, eigenlijk een translatie, maar nu door er $3/2$ bij op te tellen: $-1+3/2=1/2$. Figuur 4.2b poogt dit te tonen.
Op dezelfde wijze transformeren we positie 1 in $\mathbb{Q}$ naar $\mathbb{R}$ door bijvoorbeeld te vermenigvuldigen met $\sqrt{2}$, dat wel in $\mathbb{R}$ bestaat maar niet in $\mathbb{Q}$, en dus is het resultaat $1\times\sqrt{2}=\sqrt{2}$ element van minstens $\mathbb{R}$ doch niet $\mathbb{Q}$, noch $\mathbb{Z}$, noch $\mathbb{N}$. Het resultaat is tevens een translatie van $1+(\sqrt{2}-1)=\sqrt(2)$ in $\mathbb{R}$. Figuur 4.2c poogt dit te tonen.
4.3. RotatieVergeleken met de toenemende complexiteit van de getallenlijnen in Figuur 5, dit is de meest complexe tot nu toe. Twee Wick-rotaties in het complexe vlak C, waar (a) de Re-as de reële getallenlijn van R is en de Im-as de imaginaire eenheidslijn is van de verzameling C. Merk op dat een complex getal uit beide bestaat: a reëel deel en een imaginair deel. Bijvoorbeeld, het complexe getal z wordt geschreven in de vorm z = a + bi, met i = √-1. Het reële deel z is Re(z) = a en het imaginaire deel Im(z) = b. Dus z = 1 + i, z =1/2 + 3i, z = 3 zijn allemaal complexe getallen, waar de laatste een imaginair deel heeft waarvoor geldt Im(z) = 0, hetgeen we dan gewoon weglaten, aangezien 0i = 0. Een complex getal is dus tweedimensionaal, ingebed in een vlak met een reële as en een imaginaire as. (b) Wick-rotatie van alle reële getallen op de tijd-as naar de imaginaire as, waarmee reële tijd wordt getransformeerd tot imaginaire tijd.
Merk op dat, tot nu toe, de transformaties van het getal 1 of een ander getal het ‘glijden’ op de getallenlijnen inhield, eendimensionaal. Telkens als een nieuw type getal werd geïntroduceerd – de negatieve, gehele getallen, breuken en, ten slotte, reëele getallen – werd er een nieuwe getallenverzameling gecreëerd, als het ware, en de getallenlijn evolueerde van discrete vorm ($\mathbb{N}$) tot een lijncontinuüm ($\mathbb{R}$). De vraag is, wat zal de volgende uitbreiding zijn en hoe zou dat er uit zien?
Zoals eerder beschreven werd het in de zestiende eeuw duidelijk dat een nieuw type getal benodigd was om een groot aantal kwadratische vergelijkingen[5] op te lossen. Met dank aan mensen als Wallis, Wessel, Argand, Buée, Mourey, Warren, Français, Bellavitis, Gauss en Euler[5][6], werd het idee om de reële getallenlijn van $\mathbb{R}$ uit te breiden met een imaginaire, loodrechte getallenlijn. Dit creëerde het zogenaamde complexe vlak, soms noemt men het ’t $z$-vlak, gaussvlak of argandvlak. Het is belangrijk om vast te stellen dat de transformatie van een reëel getal in $\mathbb{R}$ naar een complex getal in $\mathbb{C}$ geen translatie maar een rotatie inhoudt. Het vermenigvuldigen van een reëel getal in $\mathbb{R}$, bijvoorbeeld 1, met een getal dat alleen in $\mathbb{C}$ bestaat, bijvoorbeeld $i$, is hetzelfde als de geometrische rotatie van onze positie 1 op de reële as ter grootte van $\pi/2$ naar de positie $i$ op de imaginaire as, zoals weergegeven in Figuur 4.3a.
Wat nu als we dit zouden doen met de gehele reële tijdas in een ruimtetijddiagram zoals getoond in Figuur 4.3b? Ieder element van de reële tijdas $t$ wordt vermenigvuldigd met $i$. Met andere woorden, ieder deel wordt geroteerd in het complexe vlak tot een volledig imaginaire tijdas $it$. Deze procedure wordt Wick-rotatie genoemd, naar de theoretisch-natuurkundige Gian Carlo Wick, die de procedure beschreef om vraagstukken in de kwantum- en statistische mechanica op te lossen[7].
Dit lijkt veelbelovend en is wat Henri Poincaré naar hintte vijftig jaren daarvoor. Voordat we verder gaan, moeten we nog een klein ding doen. Het heeft te maken met meeteenheden.
4.4. Minkowski-diagrammenDe afstand-tijd-diagram waar we allemaal mee op zijn gegroeid. De onafhankelijke variabele tijd t als de x-as en afhankelijke variabele afstand, x, als de y-as. Vier deeltjes verplaatsen zich door tijd en (eendimensionale) ruimte, ieder met z’n eigen tijdsafhankelijke afstandsfunctie, dat wil zeggen, ieder met z’n eigen snelheid. Merk op dat P de grootste afstand aflegt over dezelfde periode, met andere woorden, het is de snelste. Merk ook op dat S exact nul afstand aflegt in diezelfde periode.
We groeiden allen op te leren om het type diagram van Figuur 4.4 af te lezen tijdens onze natuurkundelessen. Tijd is geprojecteerd op de $x$-as en afstand $x$ is geprojecteerd op de $y$-as. Ietwat verwarrend, in eerste aanleg, aangezien men gewend kon zijn geraakt aan het gebruiken van $x$-waarden op de $x$-as tijdens wiskundelessen. Uiteraard leert men vervolgens dat het minder te doen is om de namen van variabelen en assen, maar eerder om wat de onafhankelijke en wat de afhankelijke variabele is. De onafhankelijke variabele, in dit geval, tijd $t$ (tijd vliegt, of we dit willen of niet) wordt dan over de as genaamd $x$ (die niet veel te maken heeft met de variabele genaamd $x$) geprojecteerd en de afhankelijke variabele, toevallig genaamd $x$, over de $y$-as.
In dit diagram zien we vier deeltjes. De snelste, $P$, verplaatst zich in de $x$-richting (en dat is omhoog, maar niet noodzakelijkerwijs de lucht in, realiseert dat!) meer eenheden van $x$ afleggend dan de andere drie nadat dezelfde hoeveelheid tijd $t$ is gepasseerd. Dit is de reden waarom het een steilere helling heeft. De langzaamste is degene die volstrekt niet beweegt, het stationaire deeltje $S$. Het verplaatst zich in de tijd, wat de reden is voor zijn bestaan op tijdstip $t_1$, terwijl het ruimtelijk niet bestaat op een bepaalde eenheden van $x$ van de oorsprong vandaan. De facto bestaat het in exact dezelfde plek, de oorsprong.
4.5. OmgedraaidEen diagram van een natuurkundige, waar ruimtelijke afstand, x, geprojecteerd is op de x-as en temporele afstand t geprojecteerd is op de y-axis. Merk op dat hoe sneller een deeltje zich voortbeweegt, des te kleiner de hoek van zijn ‘lijn’ door ruimte en tijd met de x-as. Als het deeltje stationair is, ‘reist’ het alleen door tijd en de hoek met de x-as is gemaximaliseerd op π/2. Met andere woorden, het gaat gewoon recht omhoog.
Welnu, ontwen er maar aan: blijkt dat professionele natuurkundigen de assen graag omdraaien wat de tijd aangaat. Met andere woorden, ze projecteren de afstandsvariabele $x$ op de $x$-as, terwijl de tijdvariabele $t$ bijna zonder uitzondering wordt geprojecteerd op de $y$-as. Ja, je hoorde het goed. Tijd gaat omhoog in het diagram van een natuurkundige. De zeer gewaardeerde professor Leonard Susskind, een theoretisch-natuurkundige van Stanford University, postuleerde zelfs, half-grappend, tijdens een college over het principe van de kleinste werking, dat natuurkundigen het enige type mens is die dit doet(beginfootnote)Zie https://youtu.be/3apIZCpmdls?t=1447(endfootnote). Dus, draaien we onze diagram om zoals te zien is in Figuur 4.5.
Over eenheden gesproken, normaal gesproken wordt tijd gemeten in seconden en afstand in meters. Normaliter. Hoewel, herinner je je nog dat je met je ouders die nieuwe vrienden van hen bezocht en dat een van de eerste dingen die ze na aankomst zeiden was dat hun woonplaats eigenlijk niet zo ver verwijderd was dat het slechts een uurtje of twee rijden was? Afstand, hoewel tussen twee woonplaatsen normaliter gemeten in kilometer, wordt nu uitgedrukt in tijdseenheden. Aangenomen dat mensen legaal – van deur tot deur – met een gemiddelde snelheid van $100\text{ km/h}$ rijden, zal de afstand ongeveer 200 km zijn.
Waarom drukken mensen afstand soms uit in tijd? Soms zijn mensen niet geïnteresseerd in het exacte aantal kilometer, maar richten ze hun aandacht eerder op hoeveel van de kostbare tijd iets in beslag neemt, waardoor een antwoord in termen van tijd meer zin heeft.
Astrofysici doen een andere interessante afstand-als-tijd conversie als het om afstanden tussen sterrenstelsels gaat, bijvoorbeeld. Ze werken met lichtbaar licht dat in hun telescopen valt, en andere soorten straling. Bovendien werken ze met belachelijke grote afstanden, helemaal als ze zouden worden uitgedrukt in kilometer. En dus werken ze met emph{lichtjaren}, wat een als een tijdseenheid klinkt, maar een zekere afstand aanduidt. Een lichtjaar is de afstand die licht aflegt in een Juliaans jaar, dat is $365.25$ dagen. Licht plant zich voort met een snelheid van $c=299792458\text{ ms}^{-1}$ in vacuüm. Om het aantal seconden in een Juliaans jaar te berekenen vermenigvuldigen we het aantal seconden in een minuut maal het aantal minuten in een uur maal het aantal uren per dag maal het aantal dagen in een Juliaans jaar:
\begin{align}
60\text{ s} &\times 60\text{ minuten} \times \times 24\text{ uren} \times 365.25\text{ dagen} \\
&= 31557600\text{ s}.
\end{align}
Gebruikmakende van vergelijking \eqref{eq:x=vt} om de afstand $x$ te berekenen die licht aflegt in een Juliaans jaar, verkrijgen we
\begin{align}
x &= vt \text{, en omdat }v=c\text{, schrijven we:} \\
x &= ct,\label{eq:x=ct} \\
&= 299792458\text{ ms}^{-1} \times 31557600\text{ s} \\
&= 9460730472580800\text{ m}, \\
&= 9460730472580.800\text{ km}.
\end{align}
Omdat licht deze belachelijke grote hoeveelheden kilometers bestrijkt, is het heel logisch dat astrofysici bovenstaand feit gebruiken om de afstanden van sterren en sterrenstelsels te beschrijven. Hierdoor is het dichtstbijzijnde sterrenstelsel Andromeda slechts $2.5$ lichtjaren van ons vandaan. Dit is duidelijk veel praktischer dan $23651826181452\text{ km}$.
Dus, met betrekking tot het uitdrukken van afstanden in tijdseenheden hebben we geleerd dat
in het geval van ‘normaal geschaalde’ afstanden zoals tussen twee woonplaatsen, het uitdrukken van ruimtelijke afstand in tijdseenheden het gemakkelijker maakt om te vergelijken met de hoeveelheid tijd die men wenst te spenderen aan reizen – het verwordt tot het vergelijken van tijd met tijd;
in het geval van veel groter geschaalde afstanden als tussen twee sterrenstelsels, het uitdrukken van een ruimtelijke afstand in licht-eenheden van tijd het gemakkelijker maakt om de onpraktische grote getallen van de originele eenheden toch te kunnen hanteren.
Als we weer terugkeren naar ons diagram van Figuur 4.5, zien we dat de eenheden van beide assen niet gelijk zijn. De $x$-as is de afstand, uitgedrukt in ruimtelijke eenheden, zoals meters. De $y$-as is de tijd, uitgedrukt in tijdseenheden zoals seconden. Het is lastig om de twee te vergelijken. Bovendien zijn deeltjesfysici gewend om met extreem snelle deeltjes te rekenen, nabij de lichtsnelheid, en is het onpraktisch om standaard tijdseenheden te gebruiken. Dus natuurkundigen hebben een oplossing bedacht voor beide problemen. Nummer een: wat als we de tijdseenheden in afstandseenheden zouden uitdrukken? Dus, dat is de omgekeerde situatie: niet afstand in tijdseenheden, maar tijd in afstandseenheden.
Om dat voor elkaar te krijgen, gebruiken we simpelweg de formule die gegeven is in vergelijking \eqref{eq:x=ct}: $x=ct$. Met andere woorden, als we tijd $t$ vermenigvuldigen met de lichtsnelheid $c$, verkrijgen we een afstand. Een kleine analyse van de eenheden toont aan dat dit klopt. Als we de eenheden van de lichtsnelheid vermenigvuldigen met de tijdseenheid, verkrijgen we een afstandseenheid:
\begin{equation}
\text{m,s}^{-1} \times \text{s} = \text{m,s}^{-1}\text{s} = \text{m}\frac{\text{s}}{\text{s}} = \text{m}.
\end{equation}
4.6. Tijd maal lichtsnelheid(a) De tijd-as is vermenigvuldigd met c, dus het is makkelijker om te vergelijken met ruimte, d.i. tijd is uitgedrukt in afstandseenheden. (b) We stellen c = 1 opdat de zogenaamde wereldlijn van ieder deeltje dat zich met exact de lichtsnelheid verplaatst altijd een hoek maakt van π/4 met de x-as. Of 45°, als je dat leuker vindt.
Dit houdt niet in dat we op magische wijze, kwalitatief of zelfs slechts hypothetisch de tijddimensie in een ruimtedimensie hebben getransformeerd, hoewel dit een mooi concept zou zijn voor coole science-fictionfictie, maar het betekent wel dat we nu tijd uitdrukken in afstand. En dus labelen we de $y$-as met $ct$, zoals getoond wordt in Figuur 4.6(a).
Welnu, om het tweede probleem bij de horens te vatten, waarbij natuurkundigen met deeltjes werken waarvan de botsende bewegingen de lichtsnelheid naderen op afstandsschalen kleiner dan een elektron in de buurt van zwarte gaten met krachten groter dan je ooit zal tegenkomen, blijft het onpraktisch om te werken met normale afstands- en tijdeenheden. Sterker nog, hun voorkeur gaat uit naar eenheden van $ct$ en $x$ die maken dat een ‘lijn’ van een foton, dat wil zeggen, licht, zich voortplantend door ruimte en tijd, altijd weergegeven wordt met een hoek van $\pi/4$ of $45^\circ$ met de $x$-as. Om dit te bewerkstelligen, stellen ze de snelheid van het licht op 1. Dus, $c=1$. Wat je hiermee verkrijgt, is een diagram zoals weergegeven in Figuur 4.6(b). Deeltje $P$ is een foton, die zich dus voortbeweegt met de lichtsnelheid. Hierdoor maakt zijn ‘lijn’ dus een hoek van exact $\pi/4$ radialen met zowel de $x$- als de $y$-as, oftewel respectievelijk $x$ en $ct$. Alle andere deeltjes bewegen zich dus voort met een bepaalde fractie van de snelheid van $c$, een bepaalde fractie van 1.
Dit alles zou voldoende moeten zijn om uit te vogelen hoe snel een deeltje moet zijn als zijn ‘lijn’ onder die van $P$ getekend zou worden, oftewel onder een hoek kleiner dan $\pi/4$. En hoewel je in staat zou zijn om te concluderen of dit überhaupt mogelijk is, vertellen we je nu al dat dit niet zo is.
Overigens, de term ‘lijn’, die we gebruikten om het pad van een deeltje door ruimte en tijd in onze diagrammen mee aan te duiden, wordt eigenlijk ‘wereldlijn’ genoemd, zoals Hermann Minkowski dat gewild zou hebben. En de diagrammen in de Figuren 4.5 en 4.6 worden, ter ere van hem, minkowski-diagrammen genoemd. Ze worden overigens ook wel eens ruimtetijddiagrammen genoemd, maar er is een subtiel verschil: minkowski-diagrammen zijn de subset van tweedimensionale diagrammen binnen de grotere set ruimtetijddiagrammen, die 3D- en zelfs 4D-versies bevat.
4.7. Opnieuw Wick-rotatie(a) De Wick-rotatie van de reële tijd-as ct naar de imaginaire tijd-as ict. We projecteerden het coördinatenstelsel van Figuur 4.6 ‘op de vloer’ om vervolgens de ct-as te draaien naar de imaginaire ict-as door middel van vermenigvuldiging met de imaginaire eenheid i. (b) Het gevolg is dat de wereldlijn van P ook geroteerd wordt naar het complexe vlak.
We zijn bijna klaar om de lorentztransformaties af te leiden. Het enige dat we nog moeten doen, is de reële tijdas te Wick-roteren naar de imaginaire tijdas, oftewel, we roteren de $ct$-as in Figuur 4.6. Dus, we doen zoals we deden in de paragraaf Getallenverzamelingen: we vermenigvuldigen met de imaginaire eenheid $i$ van de getallenverzameling $\mathbb{C}$, waardoor we de tijdas van $\mathbb{R}$ in het complexe vlak $\mathbb{C}$ roteren waarmee het een imaginaire tijdas wordt.
Figuur 4.7 biedt een geometrische representatie van de hele operatie. We projecteerden ons originele coördinatenstelsel van Figuur 4.6 ‘op de vloer’, zogezegd. We hebben deeltjes $Q$, $R$, en $S$ weggelaten om het leesbaar te houden. De Wick-rotatie van de reële tijdas $ct$ door vermenigvuldiging met de imaginaire eenheid $i$ levert de imaginaire tijdas $ict$ op. De wereldlijn $P$ wordt automatisch meegeroteerd naar het complexe vlak. Merk op dat de ruimtetijdcoördinaten van $P$ een aantal keer veranderd zijn in dit hoofdstuk. Ze begonnen als $(x_P,t_1)$, werden toen $(x_P,ct_1)$ en eindigden als $(x_P,ict_1)$. Dat laatste precies zoals de bedoeling is.
5. Afleiding van de lorentztransformaties5.1. Invariante wereldlijn in het complexe vlakHermanns M en Alberts E referentiekaders zijn ten opzichte van elkaar om hun oorsprong geroteerd onder hoek θ in het complexe vlak. We hebben een hulpvierkantje ingevoegd met zijden I en II om ons te assisteren bij de trigonometrische berekeningen.
Om aan het eind de lorentztransformaties te verkrijgen zoals geformuleerd in vergelijkingen \eqref{eq:Lorentz t-prime} en \eqref{eq:Lorentz x-prime} door twee referentiekaders ten opzichte van elkaar te roteren in het complexe vlak – met een imaginaire tijdas – refereren we aan Figuur 5.1.
Door beide kaders, die van Hermann en Albert, beweegt een foton zich voort met snelheid $c$. Door het tweede postulaat van Einsteins speciale relativiteitstheorie[2] weten we dat, op een of andere manier, de waarde van $c$, dat hier is gesteld op 1, dezelfde is in beide referentiekaders, hoewel de een ten opzichte van de ander beweegt, waardoor de coördinaten van de twee kaders ongelijk zijn. In Figuur 3 wordt dit gerepresenteerd door $v$. In Figuur 5.1 is dit weergegeven als een hoek $\theta$.
We zien dat de coördinaten van $P$ in $\mathcal{M}$ zijn: $(\Delta x, ic\Delta t)$. In $\mathcal{E}$ zijn ze echter $(\Delta x’, ic\Delta t’)$. Deze zijn verbonden met elkaar via een bepaalde proportie van hoek $\theta$. Voordat we deze relatie deduceren, herhalen we onze bevinding betreffende vergelijking \eqref{eq:interval}: de kwantiteit $(\Delta x)^2 – (c\Delta t)^2$ is invariant. In ons geval is het $OP$ die invariant is, ondanks dat $P$ verschillende coördinaten heeft. Met andere woorden, geometrisch, zowel $\mathcal{M}$ en $\mathcal{E}$ zijn in overeenstemming over de lengte van de gele wereldlijn zoals te zien is in Figuur 5.1. We zullen we moeten aantonen.
Laten we eerst de formulering voor de invariante gele wereldlijn $OP$ opschrijven in beide referentiekaders:
\begin{align}
\text{Hermann, staand in }\mathcal{M}\text{, zegt: }(OP)^2 &= (\Delta x)^2 + (ic\Delta t)^2, \\
\text{Albert, staand in }\mathcal{E}\text{, zegt: }(OP)^2 &= (\Delta x’)^2 + (ic\Delta t’)^2.
\end{align}
En omdat beide formuleringen uiteraard dezelfde invariante kwantiteit betreft, kunnen we schrijven:
\begin{equation}
(\Delta x)^2 + (ic\Delta t)^2 = (\Delta x’)^2 + (ic\Delta t’)^2,
\end{equation}
wat we simplificeren tot
\begin{equation}
\Delta x^2 – c^2\Delta t^2 = (\Delta x’)^2 – c^2(\Delta t’)^2.\label{eq:interval in the complex plane}
\end{equation}
Dit is het gewenste resultaat. Of je nu met imaginaire tijd of met reële tijd werkt, de kwantiteit $\Delta x^2 – c^2\Delta t^2$ blijft invariant. (Niet vergeten: $i^2=(sqrt{-1})^2=-1$.) Zelfs in het complexe vlak blijven $\mathcal{M}$ en $\mathcal{E}$ in overeenstemming over de grootte.
5.2. Coördinaten uitgedrukt met andere coördinaten
Laten we nu de coördinaten van $P$ in $\mathcal{E}$, oftewel $(\Delta x’,ic\Delta t’)$, uitdrukken in de hoek $\theta$ en de coördinaten van $P$ in $\mathcal{M}$, oftewel $(\Delta x,ic\Delta t)$. Ten eerste deduceren we een formulering voor $\Delta x’$ met hulp van Figuur 5.1:
\begin{align}
\Delta x’ &= \Delta x\cos\theta + \text{I}, \\
\text{I} &= ic\Delta t\sin\theta, \\
\therefore \Delta x’ &= \Delta x\cos\theta + ic\Delta t\sin\theta.\label{eq:delta x prime}
\end{align}
Ten tweede deduceren we een uitdrukking voor $ic\Delta t’$:
\begin{align}
ic\Delta t’ &= ic\Delta t\cos\theta – \text{II}, \\
\text{II} &= \Delta x\sin\theta, \\
\therefore ic\Delta t’ &= ic\Delta t\cos\theta – \Delta x\sin\theta.\label{eq:icdelta t prime}
\end{align}
Ten slotte, als we de relatie tussen $\theta$ in het complexe vlak en $v$ in de reële ruimtetijd willen vinden, vergeten we $P$ voor dit moment en schrijven we nu een uitdrukking op voor Albert Einstein zelve, zittend in $O’$ van zijn referentiekader $\mathcal{E}$ (de auto), uitgedrukt in de coördinaten van Hermanns referentiekader $\mathcal{M}$. Met andere woorden, hoe ziet Hermann Albert bewegen? Aangezien Albert zich niet beweegt ten opzichte van zijn eigen referentiekader $\mathcal{E}$, zoals we eerder zeiden, zal, na een zekere hoeveelheid tijd $ic\Delta t$, zijn $\Delta x’=0$. Dus, met vergelijking \eqref{eq:delta x prime}, schrijven we
\begin{equation}
\Delta x’ = \Delta x\cos\theta + ic\Delta t\sin\theta = 0.
\end{equation}
Verder uitgewerkt, levert
\begin{align}
ic\Delta t\sin\theta &= -\Delta x\cos\theta, \\
\frac{\sin\theta}{\cos\theta} &= -\frac{\Delta x}{ic\Delta t}, \\
\tan\theta &= -\frac{1}{ic}\frac{\Delta x}{\Delta t}, \\
\tan\theta &= -\frac{1}{ic}v, \\
\tan\theta &= -\frac{v}{ic}.
\end{align}
Om de imaginaire eenheid – die een onmeetbare wortel is – uit de noemer te verwijderen, vermenigvuldigen we de uitdrukking rechts van het is-gelijk-teken met $i/i$, wat oplevert:
\begin{align}
\tan\theta &= -\frac{i}{i}\frac{v}{ic}, \\
\tan\theta &= -i\frac{v}{-c}, \\
\therefore \tan\theta &= \frac{iv}{c}.\label{eq:tan theta}
\end{align}
Samengevat hebben we nu de vergelijkingen \eqref{eq:delta x prime}, \eqref{eq:icdelta t prime} verkregen, die de coördinaten van $P$ in $\mathcal{E}$ uitdrukken in de hoek $\theta$ en de coördinaten van $\mathcal{M}$. Ten slotte, we hebben de relatie \eqref{eq:tan theta} tussen hoek $\theta$ en snelheid $v$ van Alberts kader $\mathcal{E}$ verkregen, zoals gezien door Hermann in zijn kader $\mathcal{M}$. Dus, herhalend, hebben we de volgende transformaties:
\begin{aligned}
\Delta x’ &= \Delta x\cos\theta + ic\Delta t\sin\theta,&\quad\eqref{eq:delta x prime} \\
ic\Delta t’ &= ic\Delta t\cos\theta – \Delta x\sin\theta,&\quad\eqref{eq:icdelta t prime} \\
\tan\theta &= \frac{iv}{c}.&\quad\eqref{eq:tan theta}
\end{aligned}
5.3. De lorentztransformatiesDe geometrische representatie van vergelijking 42: een imaginaire driehoek met een imaginaire helling tan θ, waarbij Γ de hypotenusa is. Merk op dat sin θ = (iv/c)/Γ en cos θ = 1/Γ.
Merk op dat het algebraïsch mogelijk is om vergelijking \eqref{eq:tan theta} als
\begin{equation}
\tan\theta = \frac{iv/c}{1},
\end{equation}
te schrijven, wat geometrisch hetzelfde is als Figuur 5.3. Merk op dat $\sin\theta=(mathrm{iv/c})/\Gamma$ en $\cos\theta=1/\Gamma$, dus alles dat we nu nog hoeven te doen, is te deduceren wat $\Gamma$ is. Gebruikmakend van wederom de stelling van Pythagoras:
\begin{align}
\Gamma^2 &= 1^2 + \left(\frac{iv}{c}\right)^2, \\
&= 1 + \frac{-v^2}{c^2}, \\
\therefore \Gamma &= \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.
\end{align}
We kunnen nu schrijven:
\begin{align}
\sin\theta &= \frac{iv/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \\
\cos\theta &= \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
\end{align}
Dit begint erop te lijken. We substitueren nu $\sin\theta$ en $\cos\theta$ in vergelijking \eqref{eq:delta x prime}, wat oplevert:
\begin{align}
\Delta x’ &= \Delta x \left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right) + ic\Delta t\left(\frac{iv/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right), \\
&= \frac{\Delta x}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + \frac{-v\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \\
\therefore \Delta x’ &= \frac{\Delta x-v\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
\end{align}
Aangezien onze configuratie de afstandsverschillen worden berekend met de oorsprong, kunnen we het $\Delta$-teken weglaten, waardoor we slechts de coördinaten gebruiken en dus verkrijgen we
\begin{equation}
x’ = \frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},
\end{equation}
wat inderdaad vergelijking \eqref{eq:Lorentz x-prime} is.
Substitutie van $\sin\theta$ en $\cos\theta$ in vergelijking \eqref{eq:icdelta t prime} levert:
\begin{align}
ic\Delta t’ &= ic\Delta t\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right) – \Delta x\left(\frac{iv/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right), \\
ic\Delta t’ &= \frac{ic\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} – \frac{iv\Delta x/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \\
\Delta t’ &= \frac{\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} – \frac{v\Delta x/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \\
\therefore \Delta t’ &= \frac{\Delta t-v\Delta x/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.\end{align}
En dus, het $\Delta$-teken weglatend, gebruikmakend van enkel de coördinaten, verkrijgen we
\begin{equation}
t’ = \frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},
\end{equation}
wat, inderdaad, vergelijking \eqref{eq:Lorentz t-prime} is.
Het is wel belangrijk nog op te merken dat, hoewel het niet ongebruikelijk is het $\Delta$-teken weg te laten voor het gemak, het formeel incorrect is: er is in de speciale relativiteitstheorie geen voorkeur voor een (vaste) oorsprong, dus het blijft eigenlijk altijd gaan om verschillen.
Ten slotte, het is het opmerken waard dat de term $1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ vaak wordt aangeduid met $\gamma$ en de lorentzfactor wordt genoemd. In sommige boeken en artikelen wordt de term $v/c$ vervangen door het symbool $\beta$, wat de volgende vorm geeft aan de lorentztransformaties:
\begin{align}
ct’ &= \gamma(ct-\beta x), \\
x’ &= \gamma(x-\beta ct), \\
y’ &= y, \\
z’ &= z.
\end{align}
Dankzij de verbeelding van vele wiskundigen en natuurkundigen voor ons, is ons vermogen om te onderzoeken, te analyseren en te berekenen niet slechts denkbeeldig, en net zo soepel en kneedbaar als, inderdaad, het weefsel van de kosmos.
[1] Hawking, S. (2001) The universe in a nutshell. New York: Bantam Books. [2] Walter, S. (2014) Poincaré on clocks in motion. Amsterdam, Ne. [3] Einstein, A. (1905) “Zur Elektrodynamik Bewegter Körper,” Annalen der Physik, 322(10), pp. 891–921. doi: 10.1002/andp.19053221004. [4] Bailey, D. H. and Borwein, J. M. (2016) Pi : the next generation : a sourcebook on the recent history of pi and its computation. Switzerland: Springer. doi: 10.1007/978-3-319-32377-0. [5] Cooke, R. (2005) The history of mathematics : a brief course. 2nd edn. New York, N.Y.: Wiley. [6] Caparrini S. (2006) On the Common Origin of Some of the Works on the Geometrical Interpretation of Complex Numbers. In: Williams K. (eds) Two Cultures. Birkhäuser Basel, pp. 139-151. [7] Wick, G.C. (1954) Properties of Bethe-Salpeter Wave Functions. Physical Review, 96(4), pp. 1124-1134.
