A bit of maths and physics

Tag: Standaardmodel

Ruimten en dimensies

Zoals vaker met wetenschappelijke kreten in het dagelijks spraakgebruik, in boeken, in de bios, op tv en op internet – zoals energie – is het zelden dat het woord dimensie hetzelfde betekent als wat wis- en natuurkundigen menen dat het betekent. Het is zeer waarschijnlijk dat je wel eens de woorden ‘hogere’ of ‘andere dimensies’ hebt gezien of gehoord. Het is zelfs niet ondenkbaar dat je zelf die woorden wel eens gebezigd hebt. In deze aflevering verkennen we wat wis- en natuurkundigen bedoelen als ze het over ruimten en dimensies hebben.

Dimensies zijn geen universums

In sciencefiction en in het alledaagse spraakgebruik is het woord ‘dimensie’ vaak synoniem aan complete werelden, een (konink)rijk of pocket universes. Zo zijn buitenaardse wezens afkomstig van een andere dimensie. En zielen en/of ‘essenties’ bestaan op een ‘hoger bestaansniveau’ in een ‘andere dimensie van de realiteit’.

Regelmatig worden poorten naar andere dimensies geopend via welke exotische materie en energie worden getransporteerd waar de held of de slechterik van het verhaal gebruik of misbruik van maakt.

Het is ook een favoriete manier om grote afstanden binnen onze realiteit mee af te leggen. Je springt door een dimensionale poort en je springt duizend kilometer verderop door een andere poort. Soms kun je ook tijdreizen via andere dimensies.

En, uiteraard, kunnen dimensies ook binnen onze eigen realiteit worden opgeroepen. En soms zijn die dimensies eigenlijk al aanwezig, maar dan moeten ze alleen nog even zichtbaar gemaakt worden door een krachtige geest. Dit verwijst wederom naar dimensies als een complete wereld die verborgen is binnen onze wereld.

Figuur 1. Doctor Stephen Strange (Benedict Cumberbatch) staat op het punt om in de Mirror Dimension te stappen die was opgeroepen in (of naast) onze realiteit door zijn mentor, de Ancient One (Tilda Swinton) in de film Doctor Strange (2016) van de immens populaire Marvel Cinematic Universe (MCU). Licentie-noot. (Klik om uit te vergroten.)

Deze hele paragraaf was enkel bedoeld om je te laten weten dat wat met dimensies wordt bedoeld in de meeste sciencefiction niet hetzelfde is als wat er in de wiskunde en de natuurkunde mee wordt bedoeld. Het zijn geen rijken, realiteiten, werelden of pocket universes. Als rijken, realiteiten, werelden en pocket universes bedoeld worden, dan zijn dat precies de juiste woorden ervoor.

Normale ruimten en dimensies

Wat bedoelen wis- en natuurkundigen dan als ze het hebben over dimensies?

Vaak verwijzen ze naar echte richtingen waarin je kunt reizen in de normale ruimte. Vooral vogels en vissen zijn prachtige voorbeelden van wezens die zich van nature in alle richtingen van de ruimte kunnen voortbewegen.

Ze kunnen van links naar rechts en omgekeerd (eerste richting). Ze kunnen recht op je af komen en hun reis voortzetten achter je en omgekeerd (tweede richting). En natuurlijk kunnen ze ook van onderen aan komen zetten en doorgaan tot ver boven je schedel en vice versa (derde richting).

Vaak zijn de drie genoemde richtingen haaks op elkaar georiënteerd. Het zijn zogeheten orthogonale richtingen. Alle beweging kan beschreven worden als een combinatie van bewegingen in deze drie orthogonale richtingen, oftewel orthogonale dimensies.

Op de middelbare school hebben we uitbreid kennisgemaakt met deze drie dimensies. We werden geplaagd met het vinden van afstanden tussen hoekpunten van een kubus langs de randen, de zijvlakken of dwars door het blok. Moderne gadgets en bioscopen gebruiken in dit verband natuurlijk ook de term 3D, driedimensionaal. Zij gebruiken of simuleren de drie orthogonale dimensies op een virtuele of fysieke manier voor ons entertainment.

In wiskundig opzicht levert de mogelijkheid van reizen (of ‘transporteren’) langs deze drie orthogonale richtingen automatisch een ruimte op, een topologie, in een of andere vorm.

Dus, hoewel dimensies ruimten met zich meebrengt, zijn ze niet identiek. En hoewel uit één dimensie technisch gezien een topologie, een ruimte, voortkomt, is het nog steeds een ééndimensionale ruimte waar driedimensionale lichamen niet kunnen leven zonder uit elkaar getrokken te worden.

Figuur 2. In onze normale ruimte hebben we drie dimensies in de $x$-richting, de $y$-richting en de $z$-richting. Op de middelbare school moesten we bijvoorbeeld de afstand tussen de punten $O$ en $F$ berekenen.

Euclides en Descartes

Een informele definitie van dimensies is het aantal coördinaten dat nodig om een object te lokaliseren (in een of andere ruimte). Dus op een plat oppervlak (een vlak) zoals een plafond heb je twee coördinaten nodig om een vlieg te lokaliseren. Een vlieg kan 2 meter van de linkermuur verwijderd zijn (de eerste richting) en 3 meter van de muur tegenover je (de tweede richting, haaks op de eerste richting). De coördinaten van de vlieg zijn dus (2,3). En dus is een vlak tweedimensionaal.

In de normale, driedimensionale ruimte hebben we drie coördinaten nodig om een vlieg in een kamer te lokaliseren. Een vlieg kan 2 meter van de linkermuur verwijderd zijn, 3 meter van de muur tegenover je en 1,5 meter van de vloer. Zijn coördinaten zijn daarom (2;3;1,5). We gebruiken nu de puntkomma om de coördinaten van elkaar te scheiden omdat we de komma al voor decimalen gebruiken.

Dit was een van de grote inzichten van René Descartes terwijl hij nog tot laat in de middag in bed lag, zo gaat het verhaal althans. Daarom worden deze coördinaten Cartesische of Cartesiaanse coördinaten genoemd. Descartes speelde een sleutelrol in de ontwikkeling van wat we nu het Cartesisch coördinatenstelsel noemen.

De ruimte waar dit type coördinaten bij horen wordt Euclidische ruimte genoemd; de grote Griekse wiskundige Euclides is de vader van de Euclidische meetkunde.

Ik denk dat gesteld kan worden dat Euclides en Descartes er schuldig aan zijn dat wiskundeleraren in staat zijn gesteld om ons te plagen met honderden wiskundesommen waarmee we de Euclidische ruimte met twee- en driedimensionale Cartesische coördinatenstelsels moesten leren kennen.

Figuur 3. Het huis van Descartes in Utrecht, waar hij delen van zijn beroemde Discours de la Méthode schreef. Het huis staat er niet meer. Tegenwoordig ziet het er heel anders uit. (Klik op het plaatje voor de link naar de originele Instagrampost waar je ook naar de foto kan swipen van hoe het er tegenwoordig uitziet. Opent een nieuw tabblad.)

Ruimte en tijd

In de echte wereld, naast een locatie in de normale ruimte, is het ook nodig dat je aangeeft wanneer. Alleen de mededeling dat je ergens in een kantoor op de kruising van twee straten moet zijn, op de vierentwintigste verdieping (dat zijn de drie dimensies in de normale ruimte in een klap), is eigenlijk niet genoeg. Je mist nog een tijdcoördinaat. Wanneer moet je daar zijn?

Een van mijn favoriete boeken is Slaughterhouse-Five, or The Children’s Crusade: A Duty-Dance with Death van Kurt Vonnegut. Het meldt het bestaan van de Tralfamadorians die ‘vriendelijke waren’ en ‘in vier dimensies konden zien’. Tevens voelden ze ‘medelijden voor de aardlingen die er slechts drie kunnen zien’. Zij waren in staat om alle gebeurtenissen tegelijk te aanschouwen.

Einstein noemde het feit dat je op een bepaald tijdstip op een bepaalde plek moest zijn een gebeurtenis. Met andere woorden, waar we in de normale ruimte met Cartesische coördinaten over een positie spraken, gaf Einstein het inzicht dat er nu enkel over gebeurtenissen gesproken moet worden in termen van ruimte en tijd, de ruimte-tijd, met gebruikmaking van ruimte-tijdcoördinaten.

Toen Einstein de speciale relativiteitstheorie introduceerde, realiseerde de Duitse wiskundige Hermann Minkowski dat de theorie geometrisch ook begrepen kan worden in de vierdimensionale ruimte-tijd, waarin tijd de vierde dimensie vormt. We noemen deze ruimte de Minkowski-ruimte. Merk op dat we het woord ‘ruimte’ nu breder zien: het omspant niet alleen de normale ruimtelijke dimensies maar ook een tijd-dimensie (en is, om technische redenen, niet langer Euclidisch).

Overigens, een ander woord dat wis- en natuurkundigen vaker gebruiken is variëteit in het Nederlands en manifold in het Engels. Een variëteit is een topologisch object dat verschillende vormen kan aannemen, zoals een tweedimensionaal vlak, een driedimensionale, Euclidische ruimte, een vierdimensionale Minkowski-ruimte of ieder andere wiskundige ruimte.

In Einsteins algemene relativiteitstheorie (zwaartekracht) gebruiken we nog steeds een vierdimensionale ruimte-tijd behalve dan dat de vorm niet langer Minkowskiaans is. Deze ruimte is vervormd, gekromd, geplooid en uitgerekt. Binnen de beste theorie van de zwaartekracht die we tot nu toe hebben, werken we met de zogenaamde pseudo-riemann-variëteit, vernoemd naar de grote Duitse wiskundige Bernhard Riemann. De dimensies zijn nog steeds alle richtingen die je op kan gaan, oftewel het minimum aantal coördinaten benodigd om een gebeurtenis te lokaliseren. Echter hier zijn de dimensies niet noodzakelijkerwijs orthogonaal georiënteerd ten opzichte van elkaar.

Figuur 4. In de film Interstellar (2014) toonde de regisseur Christopher Nolan een object dat iets met ruimte en tijd van doen had. Als je de film nog niet gezien hebt en je wilt dat nog steeds doen, lees dan deze voetnoot niet: (beginfootnote)Astronaut Jospeh Cooper (Matthew McConaughey) bevindt zich in deze ruimtelijke representatie van ruimte-tijd. Alle vier dimensies van specifieke gebeurtenissen in een specifieke kamer in het verleden, het heden en de toekomst – opgedeeld in hanteerbare brokken tijd – zijn als het ware uitgespreid, geprojecteerd, over een object (een Tesseract genaamd) dat zich in het binnenste van een zwart gat bevindt (waar de rollen van ruimte en tijd zijn omgedraaid). Cooper kan zich vrijelijk door dit object voortbewegen. Dit stelt hem in staat om informatie door te sijpelen in de gebeurtenis naar keuze, in de kamer op een bepaald tijdstip. In het filmbeeld hierboven zie je vele instantiaties van dezelfde kamer van zijn huis met daarin zijn dochter, op verschillende momenten van de tijd.(endfootnote). Licentie-noot.

Vier normale, ruimtelijke dimensies

Stel je een Pac-Man voor die op het oppervlak van een bol leeft. Voor hen is de wereld plat. Als die alsmaar rechtdoor zou blijven gaan zou die behoorlijk verrast kunnen zijn als zou blijken dat die is teruggekeerd op de plek waar die begon.

Figuur 5. Stel dat je zo plat was als een Pac-Man, reizende over wat een plat vlak lijkt. Je zou waarschijnlijk verrast zijn te ontdekken dat je uiteindelijk zou eindigen waar je begon. Als je geen kennis had van de driedimensionale idee van een bol – of een cirkel, wat dat betreft – zou je niet beter weten dan dat je traject plat en recht is. Stel je voor als we iets soortgelijks in ons universum zouden doen. Wat zou er gebeuren als we miljarden jaren rechtuit zouden vliegen in ons ruimteschip? Zouden we dan ook eindigen waar je begonnen? Zou het universum dan een soort hypersfeer(beginfootnote)Technisch is het een 3-sfeer, of een n-sfeer, waarbij $n=3$ en de ruimte waarin het leeft is dan $n+1.$(endfootnote) kunnen zijn?

Wij, driedimensionale wezens die de meesten van ons zijn, zien de Pac-Mans als kleine vormpjes met kleine oppervlakjes omdat we hen ‘van boven’ zien, vanuit de derde dimensie. We kunnen tevens zien hoe ze reizen rond het oppervlak van de bol. Ze weten niet wat een sfeer is (een sfeer is enkel het oppervlak van een bol, niet de binnenkant ervan). Ze denken alleen aan platte oppervlakken. Voor ons is het vanzelfsprekend dat ze terugkeren naar de plek waar ze de reis begonnen.

Terug naar onze 3D-wereld. Stel je voor dat we met een ruimteschip door het heelal zouden reizen. In een rechte lijn. Alsmaar rechtdoor. Stel je voor dat we na miljarden jaren weer precies uitkwamen waar we ooit startten: aarde. Wat zou er gebeurd zijn? Zou ons universum misschien zoals een sfeer zijn, maar dan vierdimensionaal?

Ik kan The Fourth Dimension: Toward a Geometry of Higher Reality van harte aanbevelen. Het was een van mijn favorieten in de jaren ’90 (hoewel het al in 1984 was uitgegeven). En dan is er natuurlijk deze die door velen, zoals Carl Sagan en Stephen Hawking, werd aangehaald in het verleden.

Hoewel nog geen enkel experiment het bestaan van een vierde ruimtelijke dimensie heeft aangetoond (laat staan een vijfde of een zesde etc.), is zeer vermakelijk om je in een vierdimensionale wereld te verdiepen en er wat langer over na te denken.

Voor alle duidelijkheid: tijd is hier niet de vierde dimensie. Hier hebben we het louter over ruimtelijke dimensies. Het komt vaak voor dat deze twee verward worden: vierdimensionale ruimte-tijd is drie ruimtelijke dimensies plus een tijd-dimensie, terwijl een vierdimensionale ruimte uit vier ruimtelijke dimensies bestaat, zonder tijd.

Abstracte ruimten

Er is nog een manier waarop dimensies en ruimten worden gebruikt door wis- en natuurkundigen. Stel je een object voor dat verschillende eigenschappen tegelijk heeft: een positie (in de normale ruimte), beweging, bewegingsrichting, temperatuur, kleur. Om de toestand van dit object te beschrijven heb je meer dan alleen de vier ruimte-tijdcoördinaten nodig. Stel dat die (0,1,1,1) zijn. Oftewel, het bestaat op tijd $t = 0$ op positie $(x = 1; y = 1; z = 1).$

Hebben we nu de toestand van het hele object beschreven? Nee, we missen nog wat kengetallen. Het is in beweging, dus het heeft een snelheid, zeg 10 m/s. Die snelheid heeft ook een richting. Laat dit naar links zijn. Dan schrijven we op dat de snelheid dus -10 m/s is (links is meestal negatief, rechts meestal positief).

Stel dat de temperatuur 273,15 Kelvin is. Dat is 0 ℃. En de kleur is wit. Hoeveel getallen hebben we dan nodig om de volledige toestand van het object te beschrijven? Zeven (we tellen ‘wit’ even als een getal).

De coördinaten (0;1;1;1;-10;273,15;wit) horen bij wat we een faseruimte noemen, een abstracte ruimte waar de eigenschappen van een object de dimensies vormen van een ruimte. In dit voorbeeld is de faseruimte zevendimensionaal. Natuurlijk is het onmogelijk je zoiets voor te stellen, maar in wiskundig opzicht kun je er prima mee werken.

We hebben een wat ongebruikelijk voorbeeld genomen om te benadrukken dat dimensies niet altijd gerelateerd hoeven te zijn aan ruimtelijke en tijd-dimensies. Niettemin is het vrij gebruikelijk dat faseruimten in de context van positie en impuls worden gebruikt.

Figuur 6. Een van de mogelijke trajecten door de faseruimte rondom een zogenaamde Lorenz-aantrekker, een oplossing van een Lorenz-oscillator die Edward Lorenz ontwikkelde om atmosferische convectie te modelleren. De kleur van de oplossing wisselt van zwart naar blauw over de tijd. Het zwarte puntje toont een deeltje dat langs de oplossing beweegt over de tijd. Het driedimensionale pad in de faseruimte wordt geroteerd om de structuur van de oplossing te tonen.

Een ander voorbeeld van een abstracte ruimte is een zogenaamde vectorruimte waar iedere coördinaat niet slechts een punt is in die ruimte maar ook een richting in zich draagt. Een voorbeeld van zo’n ruimte is de snelheid van de wind. Ieder punt in die ruimte heeft niet alleen een waarde met betrekking tot de luchtsnelheid maar ook met betrekking tot de richting ervan in de normale ruimte.

In een vorige post, Complexe getallen: een inleiding, werd een geheel nieuwe getallenlijn geïntroduceerd. Alle ruimten die we zojuist noemden zouden net zo goed complexe dimensies kunnen bevatten. En dat is meestal het geval zoals in de quantummechanica bijvoorbeeld. Complexe, abstracte vectorruimten met complexe getallen waar golffuncties feesten. De Hilbertruimte is dan meestal de place to be!

Het Standaardmodel van de deeltjesfysica is gebaseerd op de symmetrische transformatiegroepen in de complexe ruimte, genaamd SU(3) $\times$ SU(2) $\times$ U(1). De S staat voor special en verwijst naar alle mogelijke transformaties in de complexe ruimte met uitzondering van een enkele soort. U(1) refereert aan een eendimensionale, eenheidscirkelgroep in het complexe vlak. De getallen geven het aantal dimensies aan waarin de transformaties plaatsvinden. De dimensionaliteit van de abstracte, complexe ruimte die volgt uit een symmetriegroep zoals SU(3) is $3^2 -1 = 8.$ Zoals je kunt zien, zijn dimensies vergeleken met het alledaagse spraakgebruik heel andere dingen in wetenschappelijke context.

Algemeen gesteld is iedere variëteit een ruimte. Dit hoeft niet per se ruimtelijke ruimte te betreffen. Het minimum aantal benodigde dimensies om een pad naar een punt op deze variëteit te construeren is de dimensionaliteit van deze ruimte.

Er zijn zoveel meer typen wiskundige ruimten dat het er te veel zijn om op te noemen. Laten we volstaan met te stellen dat hoewel ze niets van doen hebben met normale ruimte, onze alledaagse leefruimte, waar we met z’n allen in rondzwerven, deze ingenieuze vondsten wiskundige gereedschappen vormen om voorspellende berekeningen mee uit te voeren die wél weer betrekking hebben op fenomenen in onze wereld.

Snaartheorieën

Een interessante eend in de bijt is de snaartheorie, of liever, snaartheorieën. Als je de premisse accepteert dat een elementair deeltje zoals een elektron eigenlijk een eendimensionale snaar is, die op specifieke wijze trilt, corresponderend met een hele collectie eigenschappen (van het elektron bijvoorbeeld), dan zijn er automatisch meer dan drie ruimtelijke dimensies nodig om alle verschillende soorten deeltjes op deze manier te kunnen beschrijven. Snaren hebben een voldoende hoeveelheid vrijheidsgraden nodig om te kunnen bewegen op unieke manieren opdat de hele dierentuin aan deeltjes en hun eigenschappen bestreken kunnen worden.

Figuur 7. De fundamentele bouwstenen van het hele universum volgens de snaartheorie. Hoewel de theorie wiskundig consistent is, kan het (nog) niet bewezen worden.

In verschillende versies van de snaartheorieën zijn verschillende aantallen dimensies benodigd. Deze zijn ruimtelijk en onzichtbaar. Aangezien we ze niet ervaren, wordt gedacht dat ze ontzettend klein en opgerold zijn. Ze zijn althans niet zo uitgestrekt als onze normale drie dimensies.

Of dat ze zo groot zijn dat ze ons simpelweg niet merkbaar in de weg zitten. Net als hoe de kromming van de aarde ons ook totaal niet opviel toen we nog zo klein waren en de aarde zo groot, vergeleken met onze actieradius van toen.

Helaas kan de theorie nog niet getest worden. Tot nu toe is het een puur wiskundige exercitie. Hoewel veel ontdekkingen gedaan zijn in pure wiskunde, geen experiment heeft de snaartheorie bewezen (in al zijn hoedanigheden en ik reken nu de supersnaartheorieën en M-theorie hier ook onder, ook al ligt de hiërarchie andersom). Geen extra dimensies zijn gevonden.

Een eervolle vermelding verdient de Calabi-Yau-variëteit of de Calabi-Yau-ruimte. In de supersnaartheorie wordt het verondersteld de voor de theorie benodigde zes onzichtbare, extra dimensies te bevatten. De variëteit is drie-complex-dimensionaal of zes-reëel-dimensionaal. Ik vind het een cool ding.

Niets van dit alles is bewezen; het lijkt erop dat we nu eenmaal vastzitten aan de driedimensionale ruimte met slechts een tijd-dimensie. En, als je het mij vraagt, is het waarschijnlijk dat de driedimensionale ruimte een bijproduct is van iets quantumachtigs.

Figuur 8. Een Calabi-Yau-variëteit, vernoemd naar Eugenio Calabi en Shing-Tung Yau. Het is een complexe ruimte met complexe dimensies. Het brengt toepassingen in de theoretische natuurkunde met zich mee – vooral in de supersnaartheorie, waar de variëteit zes dimensies heeft. Hoewel geen experiment het bestaan ervan heeft bewezen, brengt het fascinerende, wiskundige mogelijkheden en puzzels met zich mee.

Ruimten en dimensies

Er zijn zoveel verschillende ruimten met een variëteit aan dimensies (see what I did there?) dat we hier niet genoeg papier hebben om ze op te sommen en te bespreken.

Maar wat kunnen we van dit alles meenemen? Dimensies zijn geen werelden. In de normale ruimte zijn ze de richtingen waarin objecten getransporteerd kunnen worden. Dat zijn er drie in ons geval.

Als je tijd modelleert als een dimensie, dan leven we in een vierdimensionale ruimte-tijdwereld. Behalve dan dat je niet vrijelijk kan bewegen in de tijd want is eenrichtingsverkeer(beginfootnote)Tijd is absoluut een compleet andere post waardig. Kan niet wachten.(endfootnote).

Hoewel velen hadden gehoopt op het vinden van extra ruimtelijke dimensies heeft het allergrootste experiment dat de mensheid tot nu toe heeft ondernomen, de Large Hadron Collider van het CERN, geen spoortje bewijs hiervoor kunnen vinden. In plaats daarvan heeft het overtuigend bewijs opgeleverd dat het huidige Standaardmodel van de deeltjesfysica zonder extra dimensies nog steeds klopt.

Om fenomenen ons universum te beschrijven en te voorspellen is het niettemin bijna altijd handig om hun eigenschappen als extra dimensies te modelleren. Dit heeft niets van doen met dat er werkelijk extra dimensies zijn – dit is waarschijnlijk waar de pop- en esoterische deelverzamelingen van de menselijke cultuur graag aan appelleren – maar heeft van alles te maken met het in staat stellen van het uitvoeren van calculaties in de abstracte wiskunde.

In een vorige post maakten we bijvoorbeeld gebruik van imaginaire tijd als extra dimensie om er een set vergelijkingen in de speciale relativiteitstheorie mee af te leiden. Het betekent niet dat imaginaire tijd werkelijk een extra dimensie is waarin je je ledematen of je bewustzijn kunt steken.

In snaartheorieën zijn werkelijk bestaande, ruimtelijke dimensies vereist om de theorieën werkend te krijgen. Geen van die hen kan echter worden getest (en geen van hen is getest noch bewezen). Het blijft een prachtig, wiskundig bouwwerk, maar dan ook puur wiskundig.

In toekomstige posts zullen we geometrie, de pseudo-riemann-variëteit, symmetriegroepen en de Hilbertruimte verder gaan verkennen met behulp van een beetje wis- en natuurkunde.

Licenties

De titelafbeelding en Figuren 1 zijn filmbeelden van Doctor Strange (2014) en Figuur 4 van Interstellar (2014), beiden films met auteursrechten. Verondersteld wordt dat deze stilstaande beelden getoond mogen worden onder de fair-use-bepaling van het Amerikaanse auteursrecht.

Figuur 6. Lorenz-aantrekker-animatie door Dan Quinn onder CC BY-SA 3.0

Figuur 8. Calabi-Yau-variëteit door Lunch onder CC BY-SA 2.5, vervaardigd in Mathematica

2020-07-18
Het tweespleten-experiment

Meer dan driehonderd jaar geleden ontstonden er onder een groepje mannen met 17e-eeuwse pruiken of 18e-eeuwse mannenpaardenstaarten met zwarte lintjes, twee kampen. Ze kibbelden over wat voor soort verschijnsel licht is. ‘Licht is golven’, zeiden Huygens, Hooke, Euler en companen. ‘Nee, nee, licht is deeltjes’, zeiden Newton en Laplace en collega’s. Zelfs in het jaar 1990 moest mijn natuurkundeleraar van de middelbare school bekennen dat hij zelf niet precies wist wat het goede antwoord was.

Zijn verwarring is begrijpelijk. Hoewel hij de accurate wijze waarop je licht moet aanschouwen had kunnen weten, is het waar dat de inmiddels fameuze tweespletenexperimenten op het eerste gezicht voor veel onduidelijkheid en onrust zorgden.

Laten we door de twee spleten in de wondere wereld van kwantummechanica tuimelen waar dingen op twee plekken tegelijk kunnen zijn. Of lijken te zijn.

NIEUW: Luister naar de audio |
download

(niet per se bedoeld als podcast; er wordt verwezen naar figuren in het artikel)

De opzet

Stel dat je een flink geweer had waarmee je met één schot een flinke hagelwolk kunt afvuren. Stel dat je die op een scherm met twee smalle spleten zou richten. De spleten zijn smal maar breed genoeg om een stukje hagel door te laten. Hoe zou de hagelinslag op een scherm erachter uitzien? Wat voor patroon zou je verwachten?

Figuur 1. Een scherm met twee smalle spleten

Ik ben er vrij zeker van dat je antwoord sterke overeenkomsten vertoont met de situatie zoals weergegeven in Figuur 2.

Figuur 2. Het scherm met de twee spleten en een scherm daarachter waarop het kenmerkende patroon van deeltjes te zichtbaar is

Het is precies wat je zou verwachten als je hagel, of liever, deeltjes af zou vuren op een scherm met twee smalle spleten.

Goed. Stel je nu voor dat we de twee schermen langzaam voor de helft zouden onderdompelen in een vijvertje. De golven van het vijvertje rollen gemoedelijk richting het eerste scherm met de twee spleten, zoals weergegeven in Figuur 3.

Figuur 3. De schermen zijn nu half ondergedompeld in water. Watergolfjes naderen het eerste scherm.

Hoe zouden nu de golven eruit zien aan de andere kant van de twee spleten? In Figuur 4 zie je een bovenaanzicht van het resultaat.

Figuur 4. De twee spleten veranderen de golven in cirkelvormige golven alsof er twee stenen tegelijk in het water zijn gegooid

De twee spleten transformeren de golfjes in twee cirkelvormige golven. Alsof er twee stenen in het water waren gegooid. Je ziet ook hoe de cirkelvormige golven elkaar snijden. Je mag terecht verwachten dat er enige vorm van interactie zal zijn tussen die twee cirkelvormige golven.

Laten we daartoe eens naar een echte vijver kijken. In de GIF van Figuur 5 zie je ook heel duidelijk hoe twee cirkelvormige golven met elkaar interfereren. Als twee pieken elkaar ontmoeten, versterken ze elkaar, ze worden op die plek extra hoog. En als twee dalletjes elkaar ontmoeten, worden ze daar extra dallerig. In beide gevallen versterken ze elkaars amplitude. Maar als een piek een dal ontmoet, gebeurt er juist het tegenovergestelde: dan doven ze elkaar uit.

Figuur 5. Twee cirkelvormige golven in een echt vijvertje

Kijk nu naar de animatie van Figuur 6 en dan met name naar hoe het water vervolgens tegen het tweede scherm aanklotst. De plekken waar de golven elkaar versterken zijn wit gekleurd en waar de golven elkaar uitdoven is zwart weergegeven.

Figuur 6. De plekken waar de golven elkaar versterkten zijn wit gekleurd, de plekken waar de golven elkaar uitdoofden zijn zwart

Met andere woorden, het patroon op het tweede scherm dat typisch hoort bij golven is het patroon dat vervolgens is weergegeven in Figuur 7.

Figuur 7. Het scherm met de twee spleten en daarachter het scherm met het kenmerkende patroon dat bij golven ontstaat

Voor de duidelijkheid, we hebben dus twee opties. Als we deeltjes op het eerste scherm met de spleten afvuren, zullen we op het tweede scherm het patroon zien zoals links is weergegeven in Figuur 8. En als het golven zijn die we richting de spleten sturen, zullen we het patroon zien zoals rechts is afgebeeld in Figuur 8.

Figuur 8. Als er deeltjes door de spleten zijn gevlogen, krijg je het patroon links te zien. Als er golven door de spleten zijn gegaan, zie je het patroon rechts.

Het interferentie-experiment van Young

Thomas Young was een veelzijdige wetenschapper en arts. In de jaren negentig, maar dan van de 18e eeuw, schreef hij een verhandeling over de fysieke en wiskundige eigenschappen van geluid. In 1800 presenteerde hij vervolgens voor de Royal Society, de Britse Nationale Academie van de Wetenschappen, zijn bevinding dat licht – net als geluid – uit golven bestaat. Men was in het begin niet echt overtuigd vanwege Newtons en Laplaces sterke voorkeur voor de theorie dat licht uit deeltjes bestaat.

Young toonde vervolgens aan dat ze ernaast zaten. Hij maakte overigens geen gebruik van twee spleten. In plaats daarvan liet hij een zonnestraal door een gaatje ter grootte van een speldenprik schijnen waarachter hij vervolgens een stuk papier haaks op plaatste zodat de straal in feite in tweeën gespleten werd. De twee kleinere straaltjes aan weerzijden van het papier interfereerden vervolgens met elkaar verderop in de kamer. Het resulterende lichtpatroon dat dit opleverde zag eruit zoals weergegeven in Figuur 9.

Figuur 9. Het patroon dat Young produceerde met zonlicht

Als licht uit deeltjes had bestaan zou je een heel ander patroon gezien hebben. Dit resultaat wees er echter op dat de golftheorie van licht correct was. Young noemde dit zijn belangrijkste prestatie.

Dit markeerde het begin van de acceptatie van de golftheorie van licht (hoera voor Huygens en zijn vrienden) en een verlaten van de deeltjestheorie van licht (jammer voor Newton en co).

Of toch deeltjes?

Figuur 10. Individuele elektronen

Om het er niet gemakkelijker op te maken zouden later Max Planck, Albert Einstein en anderen het weer aannemelijker maken dat licht toch weer uit deeltjes bestaat. In een vorige post, De formule die Albert Einstein de Nobelprijs bezorgde en ons ervan zou moeten weerhouden de huid te verbranden, bespraken we Einsteins ontdekking die hem dus de Nobelprijs bezorgde.

In het kort: Max Planck en Albert Einstein toonden aan dat bepaalde eigenschappen en gedragingen van licht alleen verklaard konden worden door aan te nemen dat licht uit kleine energiepakketjes bestaat, of kwanta, zoals ze werden genoemd.

Maar los daarvan vonden experimenteel-natuurkundigen nog iets geks. In de jaren zestig (van de vorige eeuw) werden elektronen over het algemeen nog beschouwd als kleine deeltjes – bij wijze van spreken als kleine hagelkorrels of kogellagertjes. In plaats van licht vuurde men elektronen op een splitter af – één tegelijk. Eerst leek het te gaan zoals te verwachten viel. Enkele (11) stipjes verschenen op het scherm zoals weergegeven in Figuur 10. Echter, naargelang de individuele elektronen werden afgevuurd begon er een verbluffend patroon te ontstaan – het patroon dat je zou verwachten bij met elkaar interfererende golven!

Zijn elektronen dan ook golven? Hoe dan?

Uiteraard voerden ze hetzelfde experiment uit met licht: met individuele fotonen, welteverstaan – de kwanta van licht waar Max Planck en Albert Einstein het over hadden. Het licht was van dermate lage intensiteit dat de fotonen een voor een op het scherm met twee spleten werd afgevuurd. Het resultaat was hetzelfde: het golfpatroon werd langzaam maar zeker zichtbaar op het tweede scherm. Dus zijn het dan deeltjes én golven?

Op twee plekken tegelijkertijd?

Theoretici begonnen te theoretiseren dat de enige verklaring kon zijn dat een individueel elektron of foton op een of andere manier door beide spleten vlogen, op een of andere manier met zichzelf interfereerde om op die manier het golfpatroon op het tweede scherm te doen ontstaan. Op die manier zou je dus een deeltje kunnen hebben dat golfgedragingen vertoont.

Om deze theorie te testen plaatste men detectoren bij de spleten om te zien of de elektronen en fotonen inderdaad door beide spleten vlogen.

Het resultaat was verbluffend. Het golfpatroon op het tweede scherm verdween volstrekt. In plaats daarvan ontstond het patroon dat je verwacht te zien bij deeltjes, zoals in Figuur 2. Bovendien ging er nu telkens maar een detector af – de ander liet dan niets van zich horen. Met andere woorden, de elektronen en fotonen gingen helemaal niet door beide spleten tegelijk: altijd maar een!

Maar op het moment dat de detectoren weer verwijderd werden, ontstond het golfpatroon weer!

En zelfs als men maar een detector plaatste bij een van de twee spleten, verdween het golfpatroon en maakte het plaats voor het deeltjespatroon.

Het was also het elektron en het foton precies wisten wanneer ze bekeken werden en op slag hun gedrag veranderden.

Dit heet het meetprobleem in de kwantummechanica. In de volgende post zullen we daar dieper op ingaan.

Mensen begonnen nu te praten over de golfdeeltjedualiteit. Zijn deeltjes echt deeltjes of toch golven? Antwoord: beide, zei men dan. Soms zijn ze golven, soms zijn ze deeltjes.

Velden

Tegenwoordig heet het heersende paradigma kwantumveldentheorie – wiskundige veldbeschrijvingen om het gedrag van ‘deeltjes’ als het elektron, het foton en een hele dierentuin aan elementaire deeltjes van onze werkelijkheid te beschrijven. De meest succesvolle kwantumveldentheorie tot nu toe is het zogenaamde Standaardmodel. In een vorige post, Waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking, duiken we een beetje in de kwantumveldentheorie.

In het kort komt het erop neer dat de vraag of licht uit deeltjes danwel uit golven bestaat, beantwoord is: het zijn velden. Hetzelfde geldt voor elektronen. En alle andere elementaire ‘deeltjes’. Het zijn allemaal velden.

Zolang als er geen interactie plaatsvindt met de rest van de wereld, zoals met detectoren, zijn een foton of een elektron onderdeel van de golffunctie van hun respectievelijke elektromagnetische veld en elektronveld, gehoorzamend aan de Schrödingervergelijking. Ze gedragen zich als golf. Niettemin, zodra ze interacteren met iets zoals een detector, worden ze gedetecteerd zijnde een deeltje, wat niet meer is dan een doorsnede van de veel grotere extentie die de golffunctie is.

Ik beloof dat we deze laatste twee alinea’s verder zullen uitpluizen in een volgende post. We lichtten al een tipje van de sluier op in Dit is geen atoom.

Maar zijn ze nu op twee plekken tegelijk?

Nee, niet eens in technisch opzicht. In metaforisch opzicht? Ook niet. Die bewering is waarschijnlijk het resultaat van een mix van verkeerde en onbewuste vooronderstellingen en het gebrek aan adequate, talige omschrijvingen van iets dat louter wiskundig te beschrijven lijkt.

Als je stelt dat elektronen op twee plekken tegelijk zijn, beeld je je waarschijnlijk en misschien onbewust in dat elektronen toch nog kleine balletjes zijn, of kogeltjes. Die dan alsnog met zichzelf interferen, op een of andere manier. Dit is gewoon niet juist.

De correcte expressie is dat elektronen en fotonen – en alle elementaire deeltjes – geen specifieke locatie kennen (zolang je ze met rust laat). Hun bestaan is simpelweg verspreid in de ruimte volgens de golffunctie, die op zijn beurt in de tijd veranderingen doormaakt op de manier zoals de Schrödingervergelijking dicteert. Nogmaals, Dit is geen atoom gaat hier verder op in.

Behoorlijke hoofdbrekers, nietwaar? Welkom bij de club. Grote geesten zijn je inmiddels voorgegaan in hun queeste om de hoofden succesvol over de tweespletenexperimenten te breken. En nu ben jij er ook een.

Uitgelichte foto door Free-Photos

Zonlichtdefractiepatroon door Aleksandr Berdnikov onder CC BY-SA 4.0

Opbouw van het interferentiepatroon in de tijd bij het tweespletenexperiment uitgevoerd met elektronen, uitgevoerd door Dr. Tonomura. Het aantal elektronen zijn respectievelijk 11 (a), 200 (b), 6000 (c), 40000 (d), 140000 (e). Door Belsazar onder CC BY-SA 3.0.

2020-05-03