{"id":544,"date":"2018-12-13T17:57:08","date_gmt":"2018-12-13T17:57:08","guid":{"rendered":"https:\/\/staging.opencurve.info\/wp\/?p=544"},"modified":"2020-07-01T23:07:14","modified_gmt":"2020-07-01T21:07:14","slug":"reele-eigenwaarden-en-eigenvectoren-van-3x3-matrices-example-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/staging.opencurve.info\/wp\/nl\/reele-eigenwaarden-en-eigenvectoren-van-3x3-matrices-example-2\/","title":{"rendered":"Re\u00eble eigenwaarden en eigenvectoren van 3×3 matrices, voorbeeld 2"},"content":{"rendered":"
<\/div>\n\n\n\n\n\n\n

In deze serie voorbeelden hebben we te maken met matrices waarvan de eigenwaarden re\u00eble waarden blijken te zijn. Oftewel, de eigenwaarden en de eigenvectoren bevinden zich in $\\mathbb{R}^n$.<\/b><\/p>\n\n

Download pdf<\/a><\/p>\n\nStel, de volgende matrix is gegeven:\n\\begin{equation*}\n\t\\mathbf{A}=\n\t\\begin{pmatrix}\n\t8 & 0 & -5 \\\\\n\t9 & 3 & -6 \\\\\n\t10 & 0 & -7\n\t\\end{pmatrix}.\n\\end{equation*}\n\nDe opdracht is om de eigenwaarden en de bijbehorende eigenvectoren te berekenen.\n\n1. Karakteristieke vergelijking<\/a><\/span>\nStel eerst de karakteristieke vergelijking op en los deze vervolgens op. De gevonden oplossingen zijn de eigenwaarden van matrix $ \\mathbf{A} $. Als $ \\mathbf{I} $ de eenheidsmatrix (ook wel identiteitsmatrix) is van $ \\mathbf{A} $ en $ \\lambda $ de te vinden eigenwaarde(n), dan is de karakteristieke vergelijking:\n\\begin{equation*}\n\t\\det(\\mathbf{A}-\\lambda \\mathbf{I})=0.\n\\end{equation*}\nAls we die opschrijven in matrixvorm, verkrijgen we\n\\begin{equation} \\label{eq:characteristic1}\n\t\\begin{vmatrix}\n\t\t8-\\lambda & 0 & -5 \\\\\n\t\t9 & 3-\\lambda & -6 \\\\\n\t\t10 & 0 & -7-\\lambda\n\t\\end{vmatrix}\n\t=0.\n\\end{equation}\nKies de makkelijkste rij of kolom om de determinant van de matrix van vergelijking \\eqref{eq:characteristic1} te berekenen. Oftewel, hier gaan we langs de middelste kolom naar beneden. Deze kolom bevat namelijk de meeste nullen, wat de lengte van de karakteristieke vergelijking danig zal verkorten:\n\\begin{align*}\n&-0\\begin{vmatrix}9 & -6 \\\\ 10 & -7-\\lambda \\end{vmatrix} \\\\\n&\\quad + (3-\\lambda)\\begin{vmatrix}8-\\lambda & -5 \\\\ 10 & -7-\\lambda \\end{vmatrix} \\\\\n&\\qquad- 0\\begin{vmatrix}8-\\lambda & -5 \\\\ 9 & -6 \\end{vmatrix} = 0,\n\\end{align*}\nen dus\n\\begin{equation}\n(3-\\lambda)\\begin{vmatrix}8-\\lambda & -5 \\\\ 10 & -7-\\lambda \\end{vmatrix} = 0.\n\\end{equation}\nAls we dit verder uitwerken, verkrijgen we\n\\begin{align*}\n\t(3-\\lambda)[(8-\\lambda)(-7-\\lambda)-(-5)(10)]  &= 0, \\\\\n\t(3-\\lambda)[-56-8\\lambda+7\\lambda+\\lambda^2+50] &= 0, \\\\\n\t(3-\\lambda)[\\lambda^2-\\lambda-6] &= 0,\n\\end{align*}\nwaardoor we een hanteerbaardere vorm van de karakteristieke vergelijking hebben gevonden:\n\\begin{equation}\n\t(3-\\lambda)[(\\lambda+2)(\\lambda-3)] = 0,\n\\end{equation}\nwaarvan de oplossingen van $ \\lambda $ vervolgens makkelijk af te lezen zijn:\n\\begin{equation}\n\t\\therefore \\lambda = 3 \\vee \\lambda = -2 \\vee \\lambda = 3.\n\\end{equation}\nWe kunnen ten slotte nog twee controles uitvoeren. De som van de gevonden waarden moet gelijk zijn aan de spoor, of trace, van $\\mathbf{A}$, oftewel, de som van de hoofddiagonaal van $\\mathbf{A}$:\n\\begin{equation*}\n\t\\text{tr }\\mathbf{A}=8+3-7=4.\n\\end{equation*}\nEn inderdaad is ook de som van de gevonden waarden van $\\lambda$ gelijk aan 4. Ten slotte kunnen we nog controleren of het product van de gevonden waarden gelijk is aan $\\det\\mathbf{A}$:\n\\begin{align*}\n\\det\\mathbf{A} &= -0\\begin{vmatrix}9&-6\\\\10&-7\\end{vmatrix} \\\\\n\t&\\qquad +3\\begin{vmatrix}8&-5\\\\10&-7\\end{vmatrix} \\\\\n\t&\\qquad\\quad -0\\begin{vmatrix}8&-5\\\\9&-6\\end{vmatrix} \\\\\n&= 3\\begin{vmatrix}8&-5\\\\10&-7\\end{vmatrix} \\\\\n&= 31<\/a><\/sup> \\\\\n&= -18.\n\\end{align*}\nEn inderdaad is ook het product van de gevonden waarden van $\\lambda$ gelijk aan $3\\cdot-2\\cdot3=-18$.\n\n2. Benoem de eigenwaarden<\/a><\/span>\nDe eigenwaarden van matrix $ \\mathbf{A} $ zijn dus $ \\lambda = -2 $ en $ \\lambda = 3$.\n\n3. Eigenvectorvergelijkingen<\/a><\/span>\nWe herschrijven nu de karakteristieke vergelijking in matrixvorm naar een stelsel van drie lineaire vergelijkingen. Omdat het de bedoeling is dat we een (of meer) eigenvector(en) $ \\mathbf{v} $ gaan vinden, stel dan dat\n\\begin{equation} \\label{eq:v01}\n\t\\mathbf{v} =\n\t\\begin{pmatrix}\n\t\tx_1 \\\\\n\t\tx_2 \\\\\n\t\tx_3\n\t\\end{pmatrix}\n\\end{equation}\nen dat\n\\begin{equation}\n\t(\\mathbf{A}-\\lambda\\mathbf{I})\\mathbf{v}=\\mathbf{0}.\n\\end{equation}\nIn dat geval schrijven we\n\\begin{equation} \\label{eq:A-lambda I times v = 0}\n\t\\begin{pmatrix}\n\t\t8-\\lambda & 0 & -5 \\\\\n\t\t9 & 3-\\lambda & -6 \\\\\n\t\t10 & 0 & -7-\\lambda\n\t\\end{pmatrix}\n\t\\begin{pmatrix}\n\t\tx_1 \\\\\n\t\tx_2 \\\\\n\t\tx_3\n\t\\end{pmatrix}\n\t=\n\t\\mathbf{0},\n\\end{equation}\nwat we vervolgens als een stelsel van drie lineaire vergelijkingen kunnen opstellen:\n\\begin{equation*}\n\t\\left\\{\n\t\\begin{matrix}[r]\n\t\t(8-\\lambda)x_1  + 0x_2  – 5x_3  = 0, \\\\\n\t\t9x_1 + (3-\\lambda)x_2 – 6x_3 = 0, \\\\\n\t\t10x_1 + 0x_2 + (-7-\\lambda)x_3 = 0.\n\t\\end{matrix}\n\t\\right.\n\\end{equation*}\nAls we dit nog enigszins vereenvoudigen, hebben we de volgende eigenvectorvergelijkingen<\/span> verkregen:\n\\begin{equation} \\label{eq:eigenvectorvergelijkingen01}\n\t\\left\\{\n\t\\begin{matrix}[r]\n\t\t(8-\\lambda)x_1 – 5x_3 &= 0, \\\\\n\t\t9x_1 + (3-\\lambda)x_2 – 6x_3 &= 0, \\\\\n\t\t10x_1 + (-7-\\lambda)x_3 &= 0.\n\t\\end{matrix}\n\t\\right.\n\\end{equation}\n\n4. Substitueer elke verkregen eigenwaarde $\\boldsymbol{\\lambda}$ in de eigenvectorvergelijkingen<\/a><\/span>\n4.1. Eigenwaarde $\\boldsymbol{\\lambda = -2}$<\/a><\/span>\nLaten we beginnen met eigenwaarde $ \\lambda = -2 $. Als we dit in eigenvectorvergelijkingen \\eqref{eq:eigenvectorvergelijkingen01} substitueren, verkrijgen we\n\\begin{align*}\n\t(8-(-2))x_1 – 5x_3 &= 0, \\\\\n\t9x_1 + (3-(-2))x_2 – 6x_3 &= 0, \\\\\n\t10x_1 + (-7-(-2))x_3 &= 0.\n\\end{align*}\nDat kunnen we vereenvoudigen tot\n\\begin{align*}\n\t10x_1 &= 5x_3, \\\\\n\t9x_1 + 5x_2 – 6x_3 &= 0, \\\\\n\t10x_1 &= 5x_3.\n\\end{align*}\nVan de eerste en de derde vergelijking blijft over: $ 2x_1 = x_3 $. Laten we $x_3$ in de tweede vergelijking substitueren.\n\\begin{align*}\n\t9x_1 + 5x_2 -6(2x_1) &= 0 \\\\\n\t\\therefore 3x_1 &= 5x_2.\n\\end{align*}\nMet andere woorden, als $ x_1 = 5 $, dan is $ x_2 = 3 $ en $ x_3 = 10 $. We kunnen nu dus de waarden van $ \\mathbf{v} $ in \\eqref{eq:v01} invullen:\n\\begin{equation}\n\t\\mathbf{v} =\n\t\\begin{pmatrix}\n\t\tx_1 \\\\\n\t\tx_2 \\\\\n\t\tx_3\n\t\\end{pmatrix}\n\t=\n\t\\begin{pmatrix}\n\t\t5 \\\\\n\t\t3 \\\\\n\t\t10\n\t\\end{pmatrix}.\n\\end{equation}\nMet andere woorden, een eigenvector bij de eigenwaarde $ \\lambda = -2 $ is $ \\begin{pmatrix}5 & 3 & 10\\end{pmatrix}^T $. (Noot: we schrijven hier met opzet een eigenvector, aangezien bijvoorbeeld de eigenvector $ \\begin{pmatrix}30 & 18 & 60\\end{pmatrix}^T $ ook een eigenvector is bij deze eigenwaarde. Zolang $ 2x_1 = x_3 $ en $ 3x_1 = 5x_2 $, met andere woorden, zolang de verhoudingen tussen $ x_1$, $ x_2 $ en $ x_3 $ maar onveranderd blijven, is het een<\/span> eigenvector die bij deze eigenwaarde hoort. De conventie is echter om de laagst mogelijke gehele waarden te hanteren.)\n\nDit kunnen we nog controleren door het inwendig product van $\\mathbf{A}$ met de eigenvector te berekenen. Als het goed is, verkrijgen we het inwendige product met dezelfde eigenvector als resultaat, oftewel, $ \\mathbf{Av}=\\lambda \\mathbf{v} $. Als we dit uitschrijven in matrixnotatie (waarbij we voor de duidelijkheid aangeven welk deel welke variabele is), verkrijgen we inderdaad\n\\begin{align*}\n\t& \\underbrace{\\begin{pmatrix}\n\t8 & 0 & -5 \\\\\n\t9 & 3 & -6 \\\\\n\t10 & 0 & -7\n\\end{pmatrix}}_{\\mathbf{A}}\n\\underbrace{\\begin{pmatrix}\n\t5 \\\\\n\t3 \\\\\n\t10\n\\end{pmatrix}}_{\\mathbf{v}} \\\\\n&=\n\\begin{pmatrix}\n\t8\\cdot5 + 0\\cdot3 + -5\\cdot10 \\\\\n\t9\\cdot5 + 3\\cdot3 + -6\\cdot10 \\\\\n\t10\\cdot5 + 0\\cdot3 + -7\\cdot10 \\\\\n\\end{pmatrix} \\\\\n&=\n\\begin{pmatrix}\n\t-10 \\\\\n\t-6 \\\\\n\t-20\n\\end{pmatrix}\n=\n\\underbrace{-2}_{\\lambda}\n\\underbrace{\n\\begin{pmatrix}\n\t5 \\\\\n\t3 \\\\\n\t10\n\\end{pmatrix}}_{\\mathbf{v}}.\n\\end{align*}\n\n4.2. Eigenwaarde $ \\boldsymbol{\\lambda = 3} $<\/a><\/span>\nOp dezelfde manier vervangen we $ \\lambda = 3 $ in de eigenvectorvergelijkingen van \\eqref{eq:eigenvectorvergelijkingen01}. We schrijven dan de volgende drie lineaire vergelijkingen op:\n\\begin{align*}\n\t(8-3)x_1 – 5x_3 &= 0, \\\\\n\t9x_1 + (3-3)x_2 – 6x_3 &= 0, \\\\\n\t10x_1 + (-7-3)x_3 &= 0.\n\\end{align*}\nDie kunnen we verder uitwerken:\n\\begin{align*}\n\t5x_1 &= 5x_3, \\\\\n\t9x_1 &= 6x_3, \\\\\n\t10x_1 &= 10x_3.\n\\end{align*}\nWe zien dat alleen $ x_1=x_3=0 $ een oplossing kan vormen voor dit stelsel van gelijktijdige vergelijkingen. En omdat $ x_2 $ altijd wordt vermenigvuldigd met 0 (die komt dan ook niet langer voor in dit stelsel), kan $ x_2 $ iedere waarde aannemen. Een eigenvector die bij eigenwaarde $ \\lambda = 3 $ hoort, is dan ook simpelweg $ \\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\end{pmatrix}^T $. Als we dit checken met behulp van het inwendig product van matrix $\\mathbf{A}$ met $ \\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\end{pmatrix}^T $, verkrijgen we inderdaad $\\lambda\\mathbf{v}$:\n\\begin{align*}\n\t&\\begin{pmatrix}\n\t8 & 0 & -5 \\\\\n\t9 & 3 & -6 \\\\\n\t10 & 0 & -7\n\\end{pmatrix}\n\\begin{pmatrix}\n\t0 \\\\\n\t1 \\\\\n\t0\n\\end{pmatrix} \\\\\n&=\n\\begin{pmatrix}\n\t8\\cdot0 + 0\\cdot1 + -5\\cdot0 \\\\\n\t9\\cdot0 + 3\\cdot1 + -6\\cdot0 \\\\\n\t10\\cdot0 + 0\\cdot1 + -7\\cdot0 \\\\\n\\end{pmatrix} \\\\\n&=\n\\begin{pmatrix}\n\t0 \\\\\n\t3 \\\\\n\t0\n\\end{pmatrix}\n=\n3\n\\begin{pmatrix}\n\t0 \\\\\n\t1 \\\\\n\t0\n\\end{pmatrix},\n\\end{align*}\ndus dat klopt.\n\n\n

  1. 8)(-7)-(-5)(10[↩<\/a>]<\/span><\/li><\/ol>","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

    We berekenen de eigenwaarden en eigenvectoren van een 3×3 matrix in de re\u00eble getalruimte.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":563,"comment_status":"closed","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_uag_custom_page_level_css":"","_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"footnotes":""},"categories":[40,51,59],"tags":[77,75,79,81],"class_list":["post-544","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-tweedejaars","category-werkcollege","category-wiskunde","tag-eigenvector","tag-eigenwaarde","tag-lineaire-algebra-nl","tag-matrix-nl"],"jetpack_featured_media_url":"https:\/\/i0.wp.com\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/handwriting-3x3-real-2-1.png?fit=1242%2C414&ssl=1","uagb_featured_image_src":{"full":["https:\/\/i0.wp.com\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/handwriting-3x3-real-2-1.png?fit=1242%2C414&ssl=1",1242,414,false],"thumbnail":["https:\/\/i0.wp.com\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/handwriting-3x3-real-2-1.png?resize=150%2C150&ssl=1",150,150,true],"medium":["https:\/\/i0.wp.com\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/handwriting-3x3-real-2-1.png?fit=300%2C100&ssl=1",300,100,true],"medium_large":["https:\/\/i0.wp.com\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/handwriting-3x3-real-2-1.png?fit=768%2C256&ssl=1",768,256,true],"large":["https:\/\/i0.wp.com\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/handwriting-3x3-real-2-1.png?fit=1024%2C341&ssl=1",1024,341,true],"1536x1536":["https:\/\/i0.wp.com\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/handwriting-3x3-real-2-1.png?fit=1242%2C414&ssl=1",1242,414,true],"2048x2048":["https:\/\/i0.wp.com\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/handwriting-3x3-real-2-1.png?fit=1242%2C414&ssl=1",1242,414,true],"crp_thumbnail":["https:\/\/i0.wp.com\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-content\/uploads\/2018\/12\/handwriting-3x3-real-2-1.png?resize=150%2C150&ssl=1",150,150,true]},"uagb_author_info":{"display_name":"KJ Runia","author_link":"https:\/\/staging.opencurve.info\/wp\/author\/kjrunia\/"},"uagb_comment_info":0,"uagb_excerpt":"We berekenen de eigenwaarden en eigenvectoren van een 3x3 matrix in de re\u00eble getalruimte.","jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/544","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=544"}],"version-history":[{"count":13,"href":"https:\/\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/544\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":6754,"href":"https:\/\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/544\/revisions\/6754"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-json\/wp\/v2\/media\/563"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=544"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=544"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/staging.opencurve.info\/wp\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=544"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}