Afgelopen kerst vroegen mijn vader en een van mijn twee broers hoe een zwaartekrachtsslinger van een ruimteschip bij een planeet precies werkt, waarbij het ruimteschip een extra zwieper meekrijgt terwijl het langs een planeet scheert. Ze realiseerden zich dat als een ruimtevaartuig door de zwaartekracht van een planeet wordt aangetrokken dat het een extra impuls krijgt, maar zodra het weer van de planeet wegvliegt, wordt door diezelfde zwaartekracht die impuls dan niet weer teruggenomen? Goede vraag natuurlijk, dus laten we snel bekijken hoe zo’n planetair duwtje in elkaar zit.
Zwaartekrachtsslinger
Allereerst: het klopt. De hele situatie rondom de zwaartekracht van de planeet is symmetrisch. Oftewel, dezelfde ‘kracht’ die het vaartuig richting de planeet aantrekt waardoor het steeds sneller zal vliegen, zal, zodra het de planeet voorbij is, juist het tegenovergestelde gaan doen: het zal het vaartuig weer afremmen.
Maar wat is er verder dan nog dat niet symmetrisch is in die situatie? Dat is het feit dat de planeet een omloopsnelheid heeft in een baan rondom de zon! Alle planeten in ons zonnestelsel vliegen in een baan om de zon. Hoewel op verschillende snelheden is hun positie ten opzichte van de zon iedere seconde weer anders. Dit feit gecombineerd met dat de planeten een flinke massa hebben leidt ertoe dat ze een een behoorlijke impuls hebben(beginfootnote)Impuls, of momentum in het Engels, is massa keer de snelheid in een bepaalde richting(endfootnote). En slimme klompjes menselijke cellen als wij af en toe zijn, kunnen dit uitbuiten.
Door gebruik te maken van de aantrekkingskracht van een planeet om het vaartuig te laten vallen richting die planeet, krijgt het vaartuig een extra duwtje door het simpele feit dat de planeet daarnaast zelf ook door de ruimte voortbeweegt. Dus ook al verliest het vaartuig zijn eerder door de zwaartekracht verworven impuls weer als het de planeet verlaat, het heeft wél een klap van de zweep meekregen van de omloopsnelheid van de planeet om de zon!
Stel dat je een Batman bent en je bent in het bezit van een grijphaak aan een koord dat met een motortje in je grijphaakpistool terug getrokken kan worden. En stel dat je op het perron staat in een treinstation. Er komt een trein aan, maar die stopt niet in dit treinstation. Die dendert gewoon voorbij, langs het perron. Jij begint mee te rennen, in de richting van waar de trein heen gaat. Je schiet de grijphaak op het dak van de trein en je drukt op de knop waardoor het koord je omhoog richting de trein trekt. Op precies het juiste moment laat je de haak en het koord los, spreid je je batvleugels en daar vlieg je weg. Je hebt een beetje gebruik gemaakt van de impuls van de trein.
En het klopt, dit betekent ook dat de trein een klein beetje impuls verloor omdat jij je van de trein hebt ‘afgeduwd/afgezet’. Niettemin, door het grote verschil tussen jouw massa en die van de trein, in combinatie met de snelheden van beide, is het impulsverlies van de trein verwaarloosbaar, terwijl de toename in jouw impuls significant is.
Hetzelfde geldt voor de planeet. Een ruimtevaartuig die een zwaartekrachtsslinger uitvoert, of een gravity assist krijgt, zoals dat in het Engels heet, zal inderdaad de omloopsnelheid van de planeet om de zon, oftewel de impuls van de planeet, iets doen afnemen. En daarmee zal de planeet zelfs iets dichter bij de zon gaan bewegen. Uiteraard, gezien de verhouding tussen de massa’s van het vaartuig en de planeet is het allemaal verwaarloosbaar.
Voyager
Twee van de beroemdste voorbeelden van zwaartekrachtsslingers zijn Voyager 1 en 2. In de animatie hieronder kun je het traject zien van Voyager 2, waar het zwaartekrachtsslingers kreeg van verschillende planeten van ons zonnestelsel. De aarde is het snel ronddraaiende, blauwe bolletje. Jupiter is groen, Saturnus is cyaan, Uranus is geel en oranje is Neptunus. En terwijl de Voyager-ruimtevaartuigen langs de planeten scheerden, stuurden ze enkele van de beste ansichtkaarten terug naar de aarde.
Uiteraard kun je ook het tegenovergestelde bewerkstelligen: je kunt het ruimtevaartuig vertragen. In dat geval laat je het in de tegenovergestelde richting vliegen ten opzichte van de bewegingsrichting van de planeet in zijn baan om de zon. Op die manier doneert het ruimtevaartuig een beetje impuls aan de planeet terwijl het zelf significant afremt.
Dus wat is de kerstboodschap? Precies. Zelfs de kleinste entiteit in dit universum is in staat om de impuls te veranderen van een hele planeet. Het maakt niet uit hoe klein, het effect is op één of andere manier altijd significant.
Stel je eens voor dat doorzichtige materialen niet bestonden. Hoe zouden auto’s er dan uit zien? Hoe zou je vanuit je slaapkamer naar de koude wintermaan kunnen kijken zonder dat je het zelf koud kreeg? Zou lucht dan ook ondoorzichtig zijn? En hoe zit het dan met de lenzen van onze ogen? En als alle materialen uit moleculen bestaan, hoe kan het dan dat de moleculen van glas doorzichtig zijn en andere niet? Deze laatste vraag werd afgelopen week aan mij gesteld door de oudste(beginfootnote)Als ik me niet vergis is hij dertien jaar op het moment dat ik dit schrijf.(endfootnote) zoon van één van mijn beste vrienden.
Eerst zal ik proberen een zo kort mogelijk antwoord te geven. Als je beter wil weten hoe het zit, dan kun je verder lezen. Maar ik moet je wel waarschuwen. Het artikeltje is mogelijk wat lang. Het antwoord op deze op het oog eenvoudige vraag vraagt namelijk om een heleboel achtergrondkennis. Aan de andere kant, met zo’n briljante vraag vraag je er ook een beetje om.
In het kort
Soms is de samenstelling van een molecuul zodanig dat de elektronen die daarin verwerkt zitten bijna niet reageren als er fotonen langs schieten. De elektronen laten dan de fotonen praktisch met rust. Hooguit veranderen ze de koers van de fotonen een beetje. In onze ogen is het materiaal dan transparant.
Als de elektronen wél reageren op invallende fotonen, kaatsen ze die fotonen weer terug of absorberen ze alle energie van die fotonen (die verdwijnen dan). Soms trillen ze dan een beetje en trillen de atomen een beetje mee (fonon), maar gebeurt er verder niets. Het materiaal warmt een minuscuul beetje op. Soms bewegen de elektronen zoveel dat ze heel snel daarna die energie weer kwijtraken waardoor nieuwe fotonen gecreëerd worden die weer verder gaan. Voor ons is het materiaal dan ondoorzichtig; de fotonen die weer van dat materiaal af komen, komen dan in onze ogen terecht.
Zo. Dit was het in het kort. Als je beter wil weten hoe de vork in de steel zit, lees vooral verder!
Moleculen, atomen, elementaire deeltjes
Waarschijnlijk weet je dit al wel, maar voor de zekerheid, alsnog: alle vaste stoffen, vloeistoffen en gassen bestaan uit moleculen. Hieronder zie je een foto van een groepje zogenaamde pentaceen-moleculen die door Canadese onderzoekers is gemaakt[1]. Deze moleculen zijn niet in glas verwerkt, maar het geeft je een idee van hoe moleculen eruit kunnen zien.
Eén zo’n rupsje in de foto hierboven is dus een molecuul. Als ze sterk genoeg samengeklonterd zijn, vormen ze een vaste stof. Als ze toch langs elkaar kunnen bewegen, is het een vloeistof. En als ze heel veel kunnen bewegen ten opzichte van elkaar is het een gas.
Natuurlijk kunnen we het nog kleiner bekijken. Eigenlijk bestaan die moleculen namelijk weer uit atomen. Laten we daarom vooral even kijken naar een coole foto van één zo’n molecuul die Zwitserse natuurkundigen een natuurkundige van Universiteit Utrecht hebben weten te maken in 2009[2].
Je kunt hier misschien een vijftal zeshoekige vormen met uitsteeksels in zien. Op elke hoek en iedere uitsteeksel bevindt zich een atoom. De individuele atomen zie je dus niet – die zijn daar te klein voor. Maar je kunt wel de structuur goed zien die de aan elkaar vastliggende atomen met elkaar maken en zo het molecuul vormen.
Terug naar glas. Het glas in je slaapkamerraam bestaat uit een mix van verschillende soorten moleculen. Er zitten vooral een heleboel siliciumdioxide-moleculen in, een hoop natriumcarbonaat-moleculen, calciumoxide-moleculen, wat magnesiumoxide-moleculen en dan ook nog wat aluminiumoxide-moleculen. Hieronder zie je één zo’n siliciumdioxide-molecuul uitvergroot, maar dan in de vorm van een tekening.
Zien ze er in het echt ook zo uit? Nee, absoluut niet. Het is maar een model. In de wetenschap is een model puur een hulpmiddel en nooit een exacte kopie van de werkelijkheid. En toch gebruiken we modellen, want ze helpen ons om er toch enigszins een voorstelling van te kunnen maken waar je mee kunt werken. Je moet echter goed in het achterhoofd houden dat het model niet is zoals het molecuul er in het echt uitziet.
In (het model van) het siliciumdioxide-molecuul dat je hierboven ziet afgebeeld zijn drie atomen aanwezig: één siliciumatoom (grijs) en twee zuurstofatomen(beginfootnote)Een ander woord voor zuurstof is ‘oxide’. In het Engels is het ‘oxygen’. Beiden zijn afgeleid van een samenstelling van de oud-Griekse woorden voor ‘scherp’ (ὀξύς, oxús) en ‘geboorte’ (γένος, génos) en het Latijnse woordje voor ‘zuur’, namelijk acidus. En ‘di’ komt van het oud-Griekse woordje δίς (dís) dat ‘twee keer’ betekent. Omdat het molecuul uit twee zuurstofatomen bestaat, is de officiële scheikundige benaming van het molecuul dus siliciumdioxide.(endfootnote) (rood). Je vraagt je natuurlijk af wat die twee staafjes aan weerszijden betekenen. Die symboliseren de elektronen die de atomen met elkaar delen. Atomen kunnen aan elkaar blijven plakken als ze elektronen met elkaar delen. Het geeft kortom aan hoe sterk de binding is tussen de atomen. Meerdere staafjes = sterkere binding.
Ieder atoom bestaat natuurlijk uit nog weer enkele onderdelen. Op één atoom na(beginfootnote)het waterstofatoom(endfootnote) bestaan verder alle atomen uit drie soorten deeltjes: elektronen, protonen en neutronen. In de kern van een atoom zijn alle protonen en neutronen samengeklonterd. De elektronen zitten daaromheen in de vorm van een soort wolk. Omdat elektronen niet verder nog uit deeltjes bestaan, worden ze elementaire(beginfootnote)‘Elementair’ is afkomstig van het Latijnse woordje elementum. Het betekent onder andere zoiets als het ‘eerste principe’. Aan alles dat elementair is, ligt niets anders ten grondslag. Dat wat elementair is, vormt altijd de basis voor andere dingen.(endfootnote) deeltjes genoemd. Hieronder zie je een model van een atoom.
De kern met alle protonen en neutronen is zo klein dat we hem meestal tekenen als een puntje of een bolletje, maar als je die zou uitvergroten, zou je een klontje met protonen en neutronen kunnen zien. De gele wolk daaromheen is model voor één of meer elektronen. (Als je precies wil weten waarom een wolk model is voor één of meer elektronen, kun je Dit is geen atoom lezen.)
Het kan zijn dat een elektron verder van de kern af zit dan hier afgebeeld. Als een elektron bijvoorbeeld energie toegevoerd krijgt, dan springt het elektron verder af van de kern. Na een hele korte periode springt het elektron weer terug naar zijn oude positie rond de kern. En als het dat doet, verlaat die energie het atoom weer in de vorm van licht. Een van de manieren waarop het elektron energie verkrijgt, is lichtinval.
Licht
Wat is licht? Is het een golf, bestaat het uit deeltjes? Heel lang wisten natuurkundigen niet precies wat het was. Sinds de zeventiende eeuw woedde het grote debat tussen natuurkundigen die het eens waren met Sir Isaac Newton en natuurkundigen die het eens waren met Christiaan Huygens. Ik ben een beetje bang dat enkele natuurkundeleraren op scholen nog steeds denken dat het een groot raadsel is. Een van mijn natuurkundeleraren op de middelbare school was er nog steeds niet over uit of het nou deeltjes zijn of golven. Helaas voor hem is het sinds iets minder dan honderd jaar geleden eigenlijk al wel duidelijk.
Isaac Newton (links): licht = deeltjes (balletjes). Christiaan Huygens (rechts): licht = golven. Het juiste quantummechanische antwoord is: licht = een verstoring van het alom aanwezige elektromagnetische veld. Afhankelijk van wat handig is, gebruik je de wiskunde van klassieke golven of de wiskunde van fotonen (golfpakketjes, geen balletjes!) om ermee te werken. Natuurkundestudenten leren met beide te werken.
Ik ga je nu iets vertellen dat je niet snel op de middelbare school zult leren. Ik weet niet waarom dat zo is, maar misschien is het omdat de schrijvers van lesboeken vinden dat de wiskunde die erbij hoort te moeilijk is. Wat je hier gaat lezen is ongeveer wat je onder andere op de universiteit zal leren als je natuurkunde gaat studeren, maar dan zonder de wiskunde.
Het probleem is vooral dat de vraagstelling verkeerd is: ‘golf of deeltje’ suggereert dat het één van de twee is. Dat is onjuist. De vraag moet eigenlijk zijn: wat is licht? Het antwoord is dan: een veld(beginfootnote)In de wiskunde noemen we het een ijkveld. In het Engels noemen we dat een gauge field. Het is heel abstracte wiskunde. Maar hoe abstract het ook is, het blijkt immens praktische toepassingen te hebben. Zo hadden mobiele telefoons niet bestaan zonder deze abstracte wiskunde.(endfootnote), eigenlijk een van de vele soorten velden die in ons universum aanwezig zijn en in dit geval is dat ’t elektromagnetische veld, en om heel precies te zijn: licht is een verstoring van dat elektromagnetische veld. Je kunt die verstoring beschouwen als een golf maar ook als een deeltje, afhankelijk van wat handiger is.
Bovendien, in de moderne natuurkunde is de betekenis van het woord ‘deeltje’ anders dan je normaal zou verwachten. In de natuurkunde is een deeltje eigenlijk een pakketje, een golfpakketje. Het is dus geen kogeltje, een klein balletje of zelfs een punt. Het is een pakketje met informatie dat we wiskundig als een golfje (een verstoring) beschrijven.
Richard Feynman was een belangrijke, Nobelprijswinnende natuurkundige die enorme bijdragen heeft geleverd aan de quantumelektrodynamica.
Volgens een van de beste theorieën van het universum die we nu hebben, de zogenaamde quantumelektrodynamica(beginfootnote)‘Quantum’ is van oorsprong een Latijns woord dat ‘hoeveel’ betekent. Natuurkundigen gebruiken het in de betekenis van ‘deeltje’. Het meervoud is quanta. In Engelstalige landen worden ze precies zo genoemd, one quantum, two or more quanta (of gewoon particle/particles). In Nederland was de officiële spelling vroeger ‘kwantum’ en ‘kwanta’. Tegenwoordig mogen we het ook met een q schrijven. Mijn voorkeur gaat uit naar quantum en quanta. ‘Elektro’ verwijst naar de samenhang met elektriciteit en ‘dynamica’ komt uit het Grieks (δυναμικός, dunamikós, ‘krachtig’) en duidt erop dat de theorie krachten en veranderingen beschrijft.(endfootnote) (QED), is het hele universum doordrenkt met een meestal onzichtbaar – maar soms dus wel degelijk zichtbaar! – elektromagnetisch veld. In de meeste gevallen doet dat veld helemaal niets. Je voelt het niet, je ruikt het niet, je ziet het niet.
Echter, als het elektromagnetisch veld op een bepaalde plek in het universum wordt verstoord – bijvoorbeeld aan de binnenkant van een LED-lamp in jullie toilet – dan rolt die verstoring meestal alle kanten op, vanaf die bepaalde plek in het universum naar de rest van het universum – in dit geval de ruimte van jullie toilet. En die verstoring zie je! Ik weet niet hoe jullie slang, kat en kippen die verstoring noemen, maar mensen noemen die dus licht.
Albert Einstein
Als je enorm zou kunnen inzoomen met je ogen, zou je echter zien dat het licht eigenlijk uit miljarden en miljarden en miljarden ienieminiverstoringen bestaat. Licht is eigenlijk een bundel met ienieminiverstoringen van het alom aanwezige elektromagnetisch veld. Die ienieminiverstoringen werden vroeger door onder andere Albert Einstein ‘lichtquanta’ genoemd, maar sinds 1928 noemen we ze fotonen(beginfootnote)Dat komt dan weer van het oud-Griekse woordje φῶς, phôs, dat ironisch genoeg dan wel weer ‘licht’ betekent.(endfootnote). In populaire boeken en magazines worden ze ‘deeltjes’ genoemd en zelfs ook door natuurkundigen. Maar nogmaals, eigenlijk zijn het dus geen kleine balletjes of kogeltjes of iets dergelijks. Het woord ‘deeltje’ geeft alleen maar aan dat het iets kleins is, maar zegt het verder niets over hoe het eruit ziet. Als model wordt wel vaak een balletje of puntje gebruikt, maar, wederom, dat is dus niet wat het is noch hoe het eruit ziet. Fotonen zijn overigens net als elektronen elementair.
Op de middelbare school en op de universiteit wordt ook wel een golfmodel gebruikt om licht te beschrijven en ermee te rekenen. De grote wis- en natuurkundige James Clerk Maxwell was een van de grondleggers van het wiskundige raamwerk voor het golfmodel voor het licht. Hij en anderen voor hem hebben ervoor gezorgd dat we ook vandaag de dag nog vaak van ‘lichtgolven’ spreken, in plaats van fotonen. De klassieke elektromagnetische theorie van Maxwell werkt zo goed dat het verplichte leerstof is voor natuurkundestudenten. Daarom is het ook helemaal niet verkeerd om te spreken van lichtgolven.
James Clerk Maxwell
In de twintigste eeuw ontdekten natuurkundigen echter dat de quantumelektrodynamica meer fenomenen wist te voorspellen en te verklaren dan Maxwells klassieke elektromagnetische theorie, dus die eerste heeft die laatste min of meer vervangen. Anders gezegd, Maxwells theorie kun je op veel gebieden nog steeds prima toepassen in de industrie, maar met QED kun je zowel wat Maxwells theorie kan plus nog heel wat meer.
Zo gaat dat vaak in de natuurkunde. De zwaartekrachtwet van Sir Isaac Newton werkt bijvoorbeeld uitstekend. Je kunt het zelfs toepassen voor landingen op Mars. Maar met de zwaartekrachttheorie van Albert Einstein, de zogenaamde algemene relativiteitstheorie, kun je wat Newtons theorie kan en nog veel meer, en behoorlijk wat preciezer ook nog. Dus de algemene relativiteitstheorie heeft Newtons zwaartekrachtwet min of meer vervangen. En toch is die laatste verplichte leerstof op de middelbare school en op de universiteit. Hij is namelijk niet fout, hij is zelfs zeer bruikbaar! Maar hij kent dus ook zijn beperkingen. Daarom leren we eerst Newtons zwaartekracht en daarna leren natuurkundestudenten pas over Einsteins zwaartekracht. Zonder Einsteins algemene relativiteitstheorie hadden Google Maps en routeplanners met GPS-systemen bijvoorbeeld nooit goed gewerkt.
En daarom leren natuurkundestudenten eerst alles over Maxwells golftheorie en pas aan het einde van hun studie over quantumelektrodynamica. Zonder quantumelektrodynamica had je nooit computerchips gehad, geen internet, geen mobiele telefoons, geen touchscreens.
Licht en energie
De grote natuurkundige Max Planck bedacht dat ieder foton een bepaalde hoeveelheid energie had. Hij bedacht ook dat bij ieder energieniveau het licht een andere kleur heeft. Zo heeft felblauw licht meer energie dan diepdonkerrood licht. En soms heeft het licht (= hebben de fotonen) zoveel energie dat ze onzichtbaar zijn voor menselijke ogen. Zo is het hoog-energetische ultraviolet(beginfootnote)‘Ultra’ is Latijn voor ‘voorbij’. Met andere woorden, ultraviolet betekent eigenlijk voorbij het violet.(endfootnote) licht (UV-licht) onzichtbaar voor ons. Maar als je ogen veel gevoeliger waren dan ze nu zijn, zou je dus een enorm fel ‘violetter-dan-violetkleurig’ licht kunnen zien. En omgekeerd heeft het licht soms heel weinig energie. Zo weinig zelfs dat het licht voor ons niet eens meer diepdonkerrood is, maar onzichtbaar. Zo is infrarood(beginfootnote)‘Infra’ is Latijn voor ‘beneden’. Dus infrarood is ‘beneden’ of ‘minder dan’ rood.(endfootnote) licht onzichtbaar voor ons, maar als onze ogen iets gevoeliger zouden zijn, zouden we dus ‘minder-rood-dan-roodkleurig’ licht kunnen zien.
Dit vrolijk ogend heerschap was een natuurkundige, Nobelprijswinnaar en een genie. Zijn naam was Max Planck. Dit is een foto uit 1933.
WiFi en 4/5G zijn ook licht. De fotonen hebben maar heel weinig energie als je het vergelijkt met de fotonen in jullie toilet. Als onze ogen duizenden keren gevoeliger waren dan ze nu zijn, zou je hebben gezien dat de antennes in de WiFi-router en de mobiele telefoons eigenlijk lampjes zijn die ‘minder-rood-dan-minder-rood-dan-minder-rood-dan-(duizenden keren ‘minder-rood-dan’)-roodkleurig’ licht zouden verspreiden.
Het elektromagnetische veld dat ons hele universum bestrijkt kan dus op allerlei energieniveaus verstoord worden. En afhankelijk van het energieniveau ‘oogt’ het licht anders. Het heeft een andere kleur of – en in de meeste gevallen is dat zo – het is onzichtbaar. Onze ogen zijn niet de gevoeligste instrumenten om iets mee te zien. Van alle mogelijke energieniveaus die het elektromagnetische veld kan aannemen, zien we er maar een paar. Dat gedeelte noemen we het zichtbare licht.
Een ander woord voor verstoringen in het elektromagnetisch veld is elektromagnetische straling. En afhankelijk van het energieniveau van die straling hebben we weer andere termen voor die straling, zoals ‘radioactieve straling’ of ‘gammastraling’. Maar al deze verschillende vormen – het licht in jullie toilet, de WiFi in huis, 4/5G voor je mobiele telefoon, de koplampen van de auto, de radiogolven van de buurman, de Bluetooth-speaker van je ouders, de röntgenfoto’s bij de tandarts, de magnetron – zijn allemaal licht, zijn allemaal elektromagnetische straling, zijn allemaal verstoringen van hetzelfde elektromagnetisch veld. Het enige verschil is het energieniveau van die verstoring.
De juiste volgorde van heel weinig naar levensgevaarlijk veel energie is als volgt: radio, WiFi, magnetron(beginfootnote)Als je wil weten of magnetronstraling dodelijk is, lees dan mijn artikel Is straling van magnetrons schadelijk voor de gezondheid? eens.(endfootnote), 4/5G >> infrarood licht (afstandsbediening tv) >> zichtbaar licht (toiletlamp, discolampen) >> UV-licht (nu moet je voorzichtig zijn, goed insmeren in de zomer) >> röntgenstraling (alleen toegepast door professioneel medisch personeel) >> gammastraling (dodelijk, behalve voor Bruce Banner) >> kosmische straling (dodelijk, behalve voor Captain Marvel).
Omdat de meeste elektronen in de muren van het huis nauwelijks reageren op elektromagnetische verstoringen (fotonen) met het energieniveau van WiFi (heel weinig energie), zijn de muren voor WiFi-fotonen bijna transparant. Daarom ontvang je gewoon WiFi dwars door de muren heen. Als je ogen dus gevoelig genoeg waren, zou je het licht van de router dwars door de muren heen kunnen zien. Maar diezelfde elektronen reageren wel op fotonen met het veel hogere energieniveau dat overeenkomt met het zichtbare licht. Daarom vliegen die fotonen niet dwars door de muur heen. En daarom vinden wij dat muren ondoorzichtig zijn. Echter reageren diezelfde elektronen juist weer niet bij het nog weer veel en veel hogere energieniveau dat past bij röntgenstraling. Dit is precies de reden waarom muren wel weer doorzichtig zijn voor Superman.
Afhankelijk van de samenstelling van de moleculen en atomen reageren elektronen op fotonen van verschillende energieniveaus. Als de elektronen van het betreffende materiaal niet reageren op de fotonen die op het energieniveau zitten van het voor ons zichtbare licht, is het materiaal voor ons doorzichtig.
Hieronder zie je een schema van het volledige spectrum(beginfootnote)‘Spectrum’ is Latijn voor ‘verschijning’. Dus als je over het spectrum spreekt van iets, zoals elektromagnetisme, dan doel je op alle verschijningsvormen ervan.(endfootnote) van elektromagnetische straling (klik erop om uit te vergroten). Zoals je ziet is maar een klein gedeelte zichtbaar voor ons.
Een diagram (niet op schaal) van elektromagnetische straling, of fotonen, zo je wilt. De genoemde waarden zijn de frequenties van de fotonen uitgedrukt in gigahertz (GHz). Hoe hoger de frequentie, des te hoger de energie van het foton.
GHz verwijst naar de frequentie van het foton en is een maat voor de hoeveelheid energie die ieder foton bezit. Hoe hoger de frequentie des te hoger de energie. De ultraviolette straling begint op een gegeven moment gevaarlijk te worden voor ons. Dat is het moment waarop onze lichaamscellen beschadigd raken (‘DNA damage’). Zolang je niet te lang in de zon ligt en zolang het nemen van röntgenfoto’s maar heel kort duurt, is er nog niets aan de hand. Maar wees er voorzichtig mee! Nogmaals, gammastraling en kosmische straling zijn dodelijk. Ik begrijp dat je het misschien niet prettig en comfortabel vindt zitten, maar alsjeblieft, luister naar je ouders als je een ruimtewandeling gaat maken. Trek gewoon je ruimtepak aan.
Beïnvloedbare elektronen
Natuurkundigen zoals Albert Einstein ontdekten in de vorige eeuw dat elektronen beïnvloed kunnen worden door invallende fotonen(beginfootnote)Daar kreeg hij de Nobelprijs voor. Lees meer daarover in mijn artikeltje De formule die Albert Einstein de Nobelprijs bezorgde en ons ervan zou moeten weerhouden de huid te verbranden.(endfootnote). Het hangt echter wel heel erg af van hoe die elektronen gevangen zitten in de moleculen – en dat hangt weer af van de soort atomen waaruit die moleculen zijn opgebouwd – bij welk energieniveau van die fotonen de elektronen reageren.
Bij glas is het zo dat de elektronen de elektromagnetische verstoringen wel een heel klein beetje voelen. Daardoor gaan de elektronen toch een heel klein beetje anders bewegen dan ze normaal gesproken doen. Die beweging zorgt ervoor dat er weer een verandering plaatsvindt in het deel van het elektromagnetische veld dat zich in het glas bevindt. En die verandering in het elektromagnetische veld zorgt er dan weer voor dat de fotonen (de invallende verstoringen van datzelfde elektromagnetische veld) toch iets afbuigen.
Daarom zie je toch vaak een vertekend beeld als je door glas heen kijkt of als lichtstralen van lucht naar water overgaan (want water bevat ook elektronen die reageren op invallende fotonen). De elektronen reageren niet genoeg waardoor de fotonen er wel gewoon dwars doorheen gaan, maar reageren wel net genoeg om de koers van de fotonen iets te wijzigen. Of een heleboel te wijzigen, zoals je in het water kunt zien in de foto hierboven. In mijn artikel Waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking? duiken we in de materie.
Waarom is glas doorzichtig?
Kortom, glas is doorzichtig omdat de elektronen in glasmoleculen niet in staat zijn om heel erg te reageren op invallende elektromagnetische verstoringen (fotonen). Wel iets. Dus ze veranderen wel een beetje de koers van de fotonen.
Er zijn stoffen waarin de elektronen op alle energieniveaus van invallende fotonen reageren behalve bij de energieniveaus van blauw licht bijvoorbeeld. Van blauw licht worden ze niet warm of koud. Dat betekent dus dat het blauwe licht gewoon dwars door het materiaal heen gaat terwijl de rest bijvoorbeeld wordt tegengehouden. Voor ons lijkt het dan dat het materiaal een blauw filter is.
Je kunt ook materialen fabriceren waarin de elektronen ontzettend sterk reageren op de fotonen van al het zichtbare licht. Zo sterk zelfs dat de fotonen weer volledig teruggekaatst worden. Wij zien het materiaal dan als reflecterend. En als die reflecterende werking optimaal is, noemen we het een spiegel.
Let op, we hebben het hier vooral over de fotonen die wij kunnen zien. Voor ons mensen is het meeste glas doorzichtig. Toch kunnen we een bepaald type glas maken die de voor ons zichtbare fotonen (zichtbaar licht dus) doorlaten, terwijl er vogelsoorten zijn die datzelfde glas ervaren als iets dat veel minder doorzichtig is.
Wij kunnen bijvoorbeeld UV-licht niet meer zien. Vogels nog wel. Als de ramen zodanig worden gefabriceerd dat ze UV-licht niet doorlaten, maar voor ons zichtbaar licht wel, zijn de ramen dus veel minder doorzichtig voor vogels en knallen ze er niet tegenaan.
Dus eigenlijk zou het antwoord op de vraag, ‘En als alle materialen uit moleculen bestaan, hoe kan het dan dat de moleculen van glas doorzichtig zijn en andere niet?’, een wedervraag moeten zijn: ‘Doorzichtig voor wie? Voor vogels? Of voor mensen?’
Referenties
[1] Dinca, L. E. et al. (2015) “Pentacene on Ni(111): Room-Temperature Molecular Packing and Temperature-Activated Conversion to Graphene,” Nanoscale, 7(7), pp. 3263–3269. doi: 10.1039/C4NR07057G.
[2] Gross, L. et al. (2009) “The Chemical Structure of a Molecule Resolved by Atomic Force Microscopy,” Science, 325(5944), pp. 1110–1114. doi: 10.1126/science.1176210.
Je leest deze post met behulp van een quantummechanisch ding: een draagbaar apparaat of een computer. Dit kan omdat quantummechanica de meest succesvolle theorie is waar de mens mee op de proppen is gekomen. Maar natuurlijk zijn er nog steeds een aantal zaken die we moeten uitvogelen. Een van die dingen wordt het meetprobleem in de quantummechanica genoemd – een vraagstuk op het niveau van een Nobelprijs. Een van de manieren om het probleem op te lossen werd sinds 1925 gepropageerd door Niels Bohr en Werner Heisenberg. Tegenwoordig noemen we dat de Kopenhaagse interpretatie.
Golffunctie
Eerst nog even een korte samenvatting van de mechanica zoals al uitgebreid beschreven in Het tweespleten-experiment. Laten we een vrij elektron in beschouwing nemen. En met ‘vrij’ bedoel ik dat het niet verstoord noch beperkt is door welke interactie met welk ander ding dan ook. Stel dat er een hele bundel van vrije elektronen wordt gelanceerd door een kanon in de richting van een scherm met twee spleten.
Om het gedrag van een elektron te beschrijven, is een van de onderdelen die we daarvoor gebruiken de zogenaamde golffunctie (het andere onderdeel is de Schrödingervergelijking). Het is een wiskundige beschrijving van alle mogelijke toestanden waarin het elektron zich kan bevinden zodra je dat je gaat meten. In het geval van het tweespleten-experiment kijken we naar de twee mogelijke toestanden wat betreft de positie van het elektron: het kan zich in de positietoestand van het zijn bij spleet 1 of het kan zich in de positietoestand van het zijn bij spleet 2 bevinden.
Figuur 1. Het scherm met de spleten $\lvert 1 \rangle$ en $\lvert 2 \rangle.$
Laten we het symbool $\lvert \Psi \rangle$ gebruiken om de golffunctie van het elektron mee aan te duiden. Dit is overigens inderdaad de notatie in quantummechanica voor de golffunctie. Laten we voorts $\lvert 1 \rangle$ en $\lvert 2 \rangle$ gebruiken om er de positietoestanden van spleet 1 en spleet 2 mee aan te duiden.
Zolang we geen meetapparatuur bij de spleten installeren, weten we niet door welke spleet het elektron is gegaan. De quantummechanica schrijft voor dat in deze situatie de golffunctie bestaat uit de optelling van de twee mogelijke toestanden waarbij die door spleet 1 of spleet 2 vliegt. Natuurlijk kan het ook zijn dat die in het scherm crasht naast of tussen de spleten. Laten we al die posities aanduiden met $\lvert c_n \rangle,$ waarbij $c$ dan staat voor het in het scherm crashen en $n$ is een getal dat iedere minieme positie aanduidt dat niet een spleet is. We kunnen de golffunctie dan als volgt opschrijven(beginfootnote)Ik laat met opzet de complexe coëfficiënten weg om het niet te complex te maken voor het doel van deze post.(endfootnote):
Het jargon van deze optelling van alle mogelijke positietoestanden is dat het elektron zich in een superpositie bevindt van spleet 1, spleet 2 en een heel rijtje andere posities op het eerste scherm – al leiden die laatste dan naar een roemloos einde.
Het ongemeten, vrije deeltje is golfachtig – het gaat door beide spleten tegelijk, uitgespreid als een golf – zoals zichtbaar gemaakt door het tweede scherm erachter: na verloop van tijd wordt een interferentiepatroon zichtbaar.
Figuur 2. Het typerende interferentiepatroon voor golfachtige fenomenen wordt zichtbaar op het tweede scherm wanneer vrije elektronen door de twee spleten vliegen.
Meting
Zodra je echter detectoren bij de spleten plaatst, zul je nooit meten dat het elektron door beide spleten gaat. Er zal altijd maar een van de twee detectoren afgaan, nooit tegelijk. Plotseling gaat het altijd maar slechts door een van de twee spleten.
Het interferentiepatroon verschijnt dan ook niet langer op het tweede scherm. In plaats daarvan zie je een patroon dat precies past bij een deeltjesachtig patroon. Met andere woorden, het golfachtig karakter van het elektron is nu vervangen door een deeltjesachtig karakter!
Figuur 3. Het typische deeltjesachtige patroon verschijnt op het tweede scherm zodra je detectoren bij de spleten plaatst om te achterhalen door welke spleet het vliegt – kortom, om de positie te meten.
De Kopenhaagse interpretatie
Bachelorstudenten aan de universiteit worden meestal de volgende interpretatie geleerd van bovenstaande, vreemde gebeurtenissen.
Bij meting van een deeltje stort de golffunctie ineen.
Dat is het dan. Dit is de kern van de Kopenhaagse interpretatie. Deze uitleg van de gebeurtenissen op het moment dat de meting wordt verricht, is vernoemd naar de stad waar Niels Bohr werkte.
Met andere woorden, alle termen in de golffunctie ‘storten ineen’ in slechts een enkele term. Stel dat het elektron met een detector is gesignaleerd bij spleet 2 dan worden bijna alle termen van onze golffunctie
Merk op dat noch de meting noch de wiskunde beïnvloeden welke termen uiteindelijk worden weggestreept. In dit voorbeeld bleek nu eenmaal $\lvert 2 \rangle$ over te blijven. Wat er uiteindelijk wordt weggestreept is fundamenteel onvoorspelbaar. Daarenboven is de wijze waarop het proces van het wegstrepen plaatsvindt volstrekt onbekend.
Waarschijnlijkheidsinterpretatie van Born
Max Born schreef een Nobelprijs winnende voetnoot in zijn paper van 1926 dat de waarschijnlijkheid van oplossing van de schrödingervergelijking voor een quantummechanisch systeem (zoals een elektron) proportioneel is aan de het kwadraat van de golffunctie. Een oplossing van de schrödingervergelijking representeert een mogelijke, specifieke quantumtoestand, zoals het hebben van een positie bij spleet 2. In onze vergelijkingen hierboven representeert iedere term een specifieke quantumtoestand.
Dus het enige dat we hebben is de waarschijnlijkheidsinterpretatie van Born, in het Engels de Born rule(beginfootnote)Het is misschien te makkelijk en stom, maar ik zou het zo leuk hebben gevonden als Robert Ludlums trilogie een boek zou hebben bevat met de titel The Bourne Rule: One Man Against the Odds.(endfootnote). Hij stelde dat je enkel kan voorspellen wat de kans is dat een van de termen van je vergelijking niet wordt weggestreept na meting.
Figuur 4. De voetnoot waarmee Max Born de Nobelprijs won[1].
Acceptatie van de Kopenhaagse interpretatie
Dit ineenstortingsproces kan volgens Bohr niet beschreven worden door quantummechanica. Nobelprijswinnaar Steven Weinberg constateerde dat dit antwoord nu voor velen onacceptabel is[2]. Steeds meer natuurkundigen realiseren zich dat het in dit opzicht überhaupt onduidelijk is wat dan wel of wat dan niet beschreven zou moeten worden door quantummechanica. Als de ineenstorting van de golffunctie niet binnen het raamwerk valt van de wiskunde bijvoorbeeld, welke criteria moeten we dan handhaven om vast te stellen of iets anders al dan niet quantummechanisch te bestuderen valt of überhaupt bestudeerd kan worden?
De grootste voorstanders Heisenberg en Bohr benadrukten met klem dat de golffunctie uitsluitend een wiskundige bedoening is. Hoewel hun opvattingen niet altijd naadloos samenvielen, waren ze het uiteraard eens over de geldigheid van ineenstorting van de golffunctie[3]. Bohr merkte op dat we de notie van een fysieke representatie van dit hele fenomeen op moeten geven. De aanhangers van deze traditionele, Kopenhaagse interpretatie worden over algemeen als instrumentalisten gezien.
Echter, niemand weet of de Kopenhaagse interpretatie correct is. Er zijn andere gegadigden met het doel het meetprobleem op te lossen.
We zullen later andere instrumentalisten en ook de quantummechanische interpretaties van de realisten beschouwen met een beetje wis- en natuurkunde.
Uitgelichte foto: Werner Heisenberg (links) en Niels Bohr (rechts) door Fermilab, U.S. Department of Energy. Public domain.
Literatuur
[1] Born, M. (1926) “Zur Quantenmechanik Der Stoßvorgänge,” Zeitschrift für Physik, 37(12), pp. 863–867. doi: 10.1007/BF01397477.
[2] Weinberg, Steven (2018) “14 the Trouble with Quantum Mechanics,” in Third Thoughts. Cambridge, Massachusetts; London, England : Harvard University Press, 2018, pp. 124–124.
[3] Kiefer, C. (2003) “On the Interpretation of Quantum Theory — from Copenhagen to the Present Day,” in Castell, Lutz and Ischebeck, Otfried (eds.) Time, Quantum, and Information. Berlin; New York : Springer, 2003, pp. 291–299. doi: 10.1007/978-3-662-10557-3_19.
Zoals vaker met wetenschappelijke kreten in het dagelijks spraakgebruik, in boeken, in de bios, op tv en op internet – zoals energie – is het zelden dat het woord dimensie hetzelfde betekent als wat wis- en natuurkundigen menen dat het betekent. Het is zeer waarschijnlijk dat je wel eens de woorden ‘hogere’ of ‘andere dimensies’ hebt gezien of gehoord. Het is zelfs niet ondenkbaar dat je zelf die woorden wel eens gebezigd hebt. In deze aflevering verkennen we wat wis- en natuurkundigen bedoelen als ze het over ruimten en dimensies hebben.
Dimensies zijn geen universums
In sciencefiction en in het alledaagse spraakgebruik is het woord ‘dimensie’ vaak synoniem aan complete werelden, een (konink)rijk of pocket universes. Zo zijn buitenaardse wezens afkomstig van een andere dimensie. En zielen en/of ‘essenties’ bestaan op een ‘hoger bestaansniveau’ in een ‘andere dimensie van de realiteit’.
Regelmatig worden poorten naar andere dimensies geopend via welke exotische materie en energie worden getransporteerd waar de held of de slechterik van het verhaal gebruik of misbruik van maakt.
Het is ook een favoriete manier om grote afstanden binnen onze realiteit mee af te leggen. Je springt door een dimensionale poort en je springt duizend kilometer verderop door een andere poort. Soms kun je ook tijdreizen via andere dimensies.
En, uiteraard, kunnen dimensies ook binnen onze eigen realiteit worden opgeroepen. En soms zijn die dimensies eigenlijk al aanwezig, maar dan moeten ze alleen nog even zichtbaar gemaakt worden door een krachtige geest. Dit verwijst wederom naar dimensies als een complete wereld die verborgen is binnen onze wereld.
Figuur 1. Doctor Stephen Strange (Benedict Cumberbatch) staat op het punt om in de Mirror Dimension te stappen die was opgeroepen in (of naast) onze realiteit door zijn mentor, de Ancient One (Tilda Swinton) in de film Doctor Strange (2016) van de immens populaire Marvel Cinematic Universe (MCU). Licentie-noot. (Klik om uit te vergroten.)
Deze hele paragraaf was enkel bedoeld om je te laten weten dat wat met dimensies wordt bedoeld in de meeste sciencefiction niet hetzelfde is als wat er in de wiskunde en de natuurkunde mee wordt bedoeld. Het zijn geen rijken, realiteiten, werelden of pocket universes. Als rijken, realiteiten, werelden en pocket universes bedoeld worden, dan zijn dat precies de juiste woorden ervoor.
Normale ruimten en dimensies
Wat bedoelen wis- en natuurkundigen dan als ze het hebben over dimensies?
Vaak verwijzen ze naar echte richtingen waarin je kunt reizen in de normale ruimte. Vooral vogels en vissen zijn prachtige voorbeelden van wezens die zich van nature in alle richtingen van de ruimte kunnen voortbewegen.
Ze kunnen van links naar rechts en omgekeerd (eerste richting). Ze kunnen recht op je af komen en hun reis voortzetten achter je en omgekeerd (tweede richting). En natuurlijk kunnen ze ook van onderen aan komen zetten en doorgaan tot ver boven je schedel en vice versa (derde richting).
Vaak zijn de drie genoemde richtingen haaks op elkaar georiënteerd. Het zijn zogeheten orthogonale richtingen. Alle beweging kan beschreven worden als een combinatie van bewegingen in deze drie orthogonale richtingen, oftewel orthogonale dimensies.
Op de middelbare school hebben we uitbreid kennisgemaakt met deze drie dimensies. We werden geplaagd met het vinden van afstanden tussen hoekpunten van een kubus langs de randen, de zijvlakken of dwars door het blok. Moderne gadgets en bioscopen gebruiken in dit verband natuurlijk ook de term 3D, driedimensionaal. Zij gebruiken of simuleren de drie orthogonale dimensies op een virtuele of fysieke manier voor ons entertainment.
In wiskundig opzicht levert de mogelijkheid van reizen (of ‘transporteren’) langs deze drie orthogonale richtingen automatisch een ruimte op, een topologie, in een of andere vorm.
Dus, hoewel dimensies ruimten met zich meebrengt, zijn ze niet identiek. En hoewel uit één dimensie technisch gezien een topologie, een ruimte, voortkomt, is het nog steeds een ééndimensionale ruimte waar driedimensionale lichamen niet kunnen leven zonder uit elkaar getrokken te worden.
Figuur 2. In onze normale ruimte hebben we drie dimensies in de $x$-richting, de $y$-richting en de $z$-richting. Op de middelbare school moesten we bijvoorbeeld de afstand tussen de punten $O$ en $F$ berekenen.
Euclides en Descartes
Een informele definitie van dimensies is het aantal coördinaten dat nodig om een object te lokaliseren (in een of andere ruimte). Dus op een plat oppervlak (een vlak) zoals een plafond heb je twee coördinaten nodig om een vlieg te lokaliseren. Een vlieg kan 2 meter van de linkermuur verwijderd zijn (de eerste richting) en 3 meter van de muur tegenover je (de tweede richting, haaks op de eerste richting). De coördinaten van de vlieg zijn dus (2,3). En dus is een vlak tweedimensionaal.
In de normale, driedimensionale ruimte hebben we drie coördinaten nodig om een vlieg in een kamer te lokaliseren. Een vlieg kan 2 meter van de linkermuur verwijderd zijn, 3 meter van de muur tegenover je en 1,5 meter van de vloer. Zijn coördinaten zijn daarom (2;3;1,5). We gebruiken nu de puntkomma om de coördinaten van elkaar te scheiden omdat we de komma al voor decimalen gebruiken.
Dit was een van de grote inzichten van René Descartes terwijl hij nog tot laat in de middag in bed lag, zo gaat het verhaal althans. Daarom worden deze coördinaten Cartesische of Cartesiaanse coördinaten genoemd. Descartes speelde een sleutelrol in de ontwikkeling van wat we nu het Cartesisch coördinatenstelsel noemen.
Ik denk dat gesteld kan worden dat Euclides en Descartes er schuldig aan zijn dat wiskundeleraren in staat zijn gesteld om ons te plagen met honderden wiskundesommen waarmee we de Euclidische ruimte met twee- en driedimensionale Cartesische coördinatenstelsels moesten leren kennen.
Figuur 3. Het huis van Descartes in Utrecht, waar hij delen van zijn beroemde Discours de la Méthode schreef. Het huis staat er niet meer. Tegenwoordig ziet het er heel anders uit. (Klik op het plaatje voor de link naar de originele Instagrampost waar je ook naar de foto kan swipen van hoe het er tegenwoordig uitziet. Opent een nieuw tabblad.)
Ruimte en tijd
In de echte wereld, naast een locatie in de normale ruimte, is het ook nodig dat je aangeeft wanneer. Alleen de mededeling dat je ergens in een kantoor op de kruising van twee straten moet zijn, op de vierentwintigste verdieping (dat zijn de drie dimensies in de normale ruimte in een klap), is eigenlijk niet genoeg. Je mist nog een tijdcoördinaat. Wanneer moet je daar zijn?
Een van mijn favoriete boeken is Slaughterhouse-Five, or The Children’s Crusade: A Duty-Dance with Death van Kurt Vonnegut. Het meldt het bestaan van de Tralfamadorians die ‘vriendelijke waren’ en ‘in vier dimensies konden zien’. Tevens voelden ze ‘medelijden voor de aardlingen die er slechts drie kunnen zien’. Zij waren in staat om alle gebeurtenissen tegelijk te aanschouwen.
Einstein noemde het feit dat je op een bepaald tijdstip op een bepaalde plek moest zijn een gebeurtenis. Met andere woorden, waar we in de normale ruimte met Cartesische coördinaten over een positie spraken, gaf Einstein het inzicht dat er nu enkel over gebeurtenissen gesproken moet worden in termen van ruimte en tijd, de ruimte-tijd, met gebruikmaking van ruimte-tijdcoördinaten.
Toen Einstein de speciale relativiteitstheorie introduceerde, realiseerde de Duitse wiskundige Hermann Minkowski dat de theorie geometrisch ook begrepen kan worden in de vierdimensionale ruimte-tijd, waarin tijd de vierde dimensie vormt. We noemen deze ruimte de Minkowski-ruimte. Merk op dat we het woord ‘ruimte’ nu breder zien: het omspant niet alleen de normale ruimtelijke dimensies maar ook een tijd-dimensie (en is, om technische redenen, niet langer Euclidisch).
Overigens, een ander woord dat wis- en natuurkundigen vaker gebruiken is variëteit in het Nederlands en manifold in het Engels. Een variëteit is een topologisch object dat verschillende vormen kan aannemen, zoals een tweedimensionaal vlak, een driedimensionale, Euclidische ruimte, een vierdimensionale Minkowski-ruimte of ieder andere wiskundige ruimte.
In Einsteins algemene relativiteitstheorie (zwaartekracht) gebruiken we nog steeds een vierdimensionale ruimte-tijd behalve dan dat de vorm niet langer Minkowskiaans is. Deze ruimte is vervormd, gekromd, geplooid en uitgerekt. Binnen de beste theorie van de zwaartekracht die we tot nu toe hebben, werken we met de zogenaamde pseudo-riemann-variëteit, vernoemd naar de grote Duitse wiskundige Bernhard Riemann. De dimensies zijn nog steeds alle richtingen die je op kan gaan, oftewel het minimum aantal coördinaten benodigd om een gebeurtenis te lokaliseren. Echter hier zijn de dimensies niet noodzakelijkerwijs orthogonaal georiënteerd ten opzichte van elkaar.
Figuur 4. In de film Interstellar (2014) toonde de regisseur Christopher Nolan een object dat iets met ruimte en tijd van doen had. Als je de film nog niet gezien hebt en je wilt dat nog steeds doen, lees dan deze voetnoot niet: (beginfootnote)Astronaut Jospeh Cooper (Matthew McConaughey) bevindt zich in deze ruimtelijke representatie van ruimte-tijd. Alle vier dimensies van specifieke gebeurtenissen in een specifieke kamer in het verleden, het heden en de toekomst – opgedeeld in hanteerbare brokken tijd – zijn als het ware uitgespreid, geprojecteerd, over een object (een Tesseract genaamd) dat zich in het binnenste van een zwart gat bevindt (waar de rollen van ruimte en tijd zijn omgedraaid). Cooper kan zich vrijelijk door dit object voortbewegen. Dit stelt hem in staat om informatie door te sijpelen in de gebeurtenis naar keuze, in de kamer op een bepaald tijdstip. In het filmbeeld hierboven zie je vele instantiaties van dezelfde kamer van zijn huis met daarin zijn dochter, op verschillende momenten van de tijd.(endfootnote). Licentie-noot.
Vier normale, ruimtelijke dimensies
Stel je een Pac-Man voor die op het oppervlak van een bol leeft. Voor hen is de wereld plat. Als die alsmaar rechtdoor zou blijven gaan zou die behoorlijk verrast kunnen zijn als zou blijken dat die is teruggekeerd op de plek waar die begon.
Figuur 5. Stel dat je zo plat was als een Pac-Man, reizende over wat een plat vlak lijkt. Je zou waarschijnlijk verrast zijn te ontdekken dat je uiteindelijk zou eindigen waar je begon. Als je geen kennis had van de driedimensionale idee van een bol – of een cirkel, wat dat betreft – zou je niet beter weten dan dat je traject plat en recht is. Stel je voor als we iets soortgelijks in ons universum zouden doen. Wat zou er gebeuren als we miljarden jaren rechtuit zouden vliegen in ons ruimteschip? Zouden we dan ook eindigen waar je begonnen? Zou het universum dan een soort hypersfeer(beginfootnote)Technisch is het een 3-sfeer, of een n-sfeer, waarbij $n=3$ en de ruimte waarin het leeft is dan $n+1.$(endfootnote) kunnen zijn?
Wij, driedimensionale wezens die de meesten van ons zijn, zien de Pac-Mans als kleine vormpjes met kleine oppervlakjes omdat we hen ‘van boven’ zien, vanuit de derde dimensie. We kunnen tevens zien hoe ze reizen rond het oppervlak van de bol. Ze weten niet wat een sfeer is (een sfeer is enkel het oppervlak van een bol, niet de binnenkant ervan). Ze denken alleen aan platte oppervlakken. Voor ons is het vanzelfsprekend dat ze terugkeren naar de plek waar ze de reis begonnen.
Terug naar onze 3D-wereld. Stel je voor dat we met een ruimteschip door het heelal zouden reizen. In een rechte lijn. Alsmaar rechtdoor. Stel je voor dat we na miljarden jaren weer precies uitkwamen waar we ooit startten: aarde. Wat zou er gebeurd zijn? Zou ons universum misschien zoals een sfeer zijn, maar dan vierdimensionaal?
Hoewel nog geen enkel experiment het bestaan van een vierde ruimtelijke dimensie heeft aangetoond (laat staan een vijfde of een zesde etc.), is zeer vermakelijk om je in een vierdimensionale wereld te verdiepen en er wat langer over na te denken.
Voor alle duidelijkheid: tijd is hier niet de vierde dimensie. Hier hebben we het louter over ruimtelijke dimensies. Het komt vaak voor dat deze twee verward worden: vierdimensionale ruimte-tijd is drie ruimtelijke dimensies plus een tijd-dimensie, terwijl een vierdimensionale ruimte uit vier ruimtelijke dimensies bestaat, zonder tijd.
Abstracte ruimten
Er is nog een manier waarop dimensies en ruimten worden gebruikt door wis- en natuurkundigen. Stel je een object voor dat verschillende eigenschappen tegelijk heeft: een positie (in de normale ruimte), beweging, bewegingsrichting, temperatuur, kleur. Om de toestand van dit object te beschrijven heb je meer dan alleen de vier ruimte-tijdcoördinaten nodig. Stel dat die (0,1,1,1) zijn. Oftewel, het bestaat op tijd $t = 0$ op positie $(x = 1; y = 1; z = 1).$
Hebben we nu de toestand van het hele object beschreven? Nee, we missen nog wat kengetallen. Het is in beweging, dus het heeft een snelheid, zeg 10 m/s. Die snelheid heeft ook een richting. Laat dit naar links zijn. Dan schrijven we op dat de snelheid dus -10 m/s is (links is meestal negatief, rechts meestal positief).
Stel dat de temperatuur 273,15 Kelvin is. Dat is 0 ℃. En de kleur is wit. Hoeveel getallen hebben we dan nodig om de volledige toestand van het object te beschrijven? Zeven (we tellen ‘wit’ even als een getal).
De coördinaten (0;1;1;1;-10;273,15;wit) horen bij wat we een faseruimte noemen, een abstracte ruimte waar de eigenschappen van een object de dimensies vormen van een ruimte. In dit voorbeeld is de faseruimte zevendimensionaal. Natuurlijk is het onmogelijk je zoiets voor te stellen, maar in wiskundig opzicht kun je er prima mee werken.
We hebben een wat ongebruikelijk voorbeeld genomen om te benadrukken dat dimensies niet altijd gerelateerd hoeven te zijn aan ruimtelijke en tijd-dimensies. Niettemin is het vrij gebruikelijk dat faseruimten in de context van positie en impuls worden gebruikt.
Figuur 6. Een van de mogelijke trajecten door de faseruimte rondom een zogenaamde Lorenz-aantrekker, een oplossing van een Lorenz-oscillator die Edward Lorenz ontwikkelde om atmosferische convectie te modelleren. De kleur van de oplossing wisselt van zwart naar blauw over de tijd. Het zwarte puntje toont een deeltje dat langs de oplossing beweegt over de tijd. Het driedimensionale pad in de faseruimte wordt geroteerd om de structuur van de oplossing te tonen.
Een ander voorbeeld van een abstracte ruimte is een zogenaamde vectorruimte waar iedere coördinaat niet slechts een punt is in die ruimte maar ook een richting in zich draagt. Een voorbeeld van zo’n ruimte is de snelheid van de wind. Ieder punt in die ruimte heeft niet alleen een waarde met betrekking tot de luchtsnelheid maar ook met betrekking tot de richting ervan in de normale ruimte.
In een vorige post, Complexe getallen: een inleiding, werd een geheel nieuwe getallenlijn geïntroduceerd. Alle ruimten die we zojuist noemden zouden net zo goed complexe dimensies kunnen bevatten. En dat is meestal het geval zoals in de quantummechanica bijvoorbeeld. Complexe, abstracte vectorruimten met complexe getallen waar golffuncties feesten. De Hilbertruimte is dan meestal de place to be!
Het Standaardmodel van de deeltjesfysica is gebaseerd op de symmetrische transformatiegroepen in de complexe ruimte, genaamd SU(3) $\times$ SU(2) $\times$ U(1). De S staat voor special en verwijst naar alle mogelijke transformaties in de complexe ruimte met uitzondering van een enkele soort. U(1) refereert aan een eendimensionale, eenheidscirkelgroep in het complexe vlak. De getallen geven het aantal dimensies aan waarin de transformaties plaatsvinden. De dimensionaliteit van de abstracte, complexe ruimte die volgt uit een symmetriegroep zoals SU(3) is $3^2 -1 = 8.$ Zoals je kunt zien, zijn dimensies vergeleken met het alledaagse spraakgebruik heel andere dingen in wetenschappelijke context.
Algemeen gesteld is iedere variëteit een ruimte. Dit hoeft niet per se ruimtelijke ruimte te betreffen. Het minimum aantal benodigde dimensies om een pad naar een punt op deze variëteit te construeren is de dimensionaliteit van deze ruimte.
Er zijn zoveel meer typen wiskundige ruimten dat het er te veel zijn om op te noemen. Laten we volstaan met te stellen dat hoewel ze niets van doen hebben met normale ruimte, onze alledaagse leefruimte, waar we met z’n allen in rondzwerven, deze ingenieuze vondsten wiskundige gereedschappen vormen om voorspellende berekeningen mee uit te voeren die wél weer betrekking hebben op fenomenen in onze wereld.
Snaartheorieën
Een interessante eend in de bijt is de snaartheorie, of liever, snaartheorieën. Als je de premisse accepteert dat een elementair deeltje zoals een elektron eigenlijk een eendimensionale snaar is, die op specifieke wijze trilt, corresponderend met een hele collectie eigenschappen (van het elektron bijvoorbeeld), dan zijn er automatisch meer dan drie ruimtelijke dimensies nodig om alle verschillende soorten deeltjes op deze manier te kunnen beschrijven. Snaren hebben een voldoende hoeveelheid vrijheidsgraden nodig om te kunnen bewegen op unieke manieren opdat de hele dierentuin aan deeltjes en hun eigenschappen bestreken kunnen worden.
Figuur 7. De fundamentele bouwstenen van het hele universum volgens de snaartheorie. Hoewel de theorie wiskundig consistent is, kan het (nog) niet bewezen worden.
In verschillende versies van de snaartheorieën zijn verschillende aantallen dimensies benodigd. Deze zijn ruimtelijk en onzichtbaar. Aangezien we ze niet ervaren, wordt gedacht dat ze ontzettend klein en opgerold zijn. Ze zijn althans niet zo uitgestrekt als onze normale drie dimensies.
Of dat ze zo groot zijn dat ze ons simpelweg niet merkbaar in de weg zitten. Net als hoe de kromming van de aarde ons ook totaal niet opviel toen we nog zo klein waren en de aarde zo groot, vergeleken met onze actieradius van toen.
Helaas kan de theorie nog niet getest worden. Tot nu toe is het een puur wiskundige exercitie. Hoewel veel ontdekkingen gedaan zijn in pure wiskunde, geen experiment heeft de snaartheorie bewezen (in al zijn hoedanigheden en ik reken nu de supersnaartheorieën en M-theorie hier ook onder, ook al ligt de hiërarchie andersom). Geen extra dimensies zijn gevonden.
Een eervolle vermelding verdient de Calabi-Yau-variëteit of de Calabi-Yau-ruimte. In de supersnaartheorie wordt het verondersteld de voor de theorie benodigde zes onzichtbare, extra dimensies te bevatten. De variëteit is drie-complex-dimensionaal of zes-reëel-dimensionaal. Ik vind het een cool ding.
Niets van dit alles is bewezen; het lijkt erop dat we nu eenmaal vastzitten aan de driedimensionale ruimte met slechts een tijd-dimensie. En, als je het mij vraagt, is het waarschijnlijk dat de driedimensionale ruimte een bijproduct is van iets quantumachtigs.
Figuur 8. Een Calabi-Yau-variëteit, vernoemd naar Eugenio Calabi en Shing-Tung Yau. Het is een complexe ruimte met complexe dimensies. Het brengt toepassingen in de theoretische natuurkunde met zich mee – vooral in de supersnaartheorie, waar de variëteit zes dimensies heeft. Hoewel geen experiment het bestaan ervan heeft bewezen, brengt het fascinerende, wiskundige mogelijkheden en puzzels met zich mee.
Ruimten en dimensies
Er zijn zoveel verschillende ruimten met een variëteit aan dimensies (see what I did there?) dat we hier niet genoeg papier hebben om ze op te sommen en te bespreken.
Maar wat kunnen we van dit alles meenemen? Dimensies zijn geen werelden. In de normale ruimte zijn ze de richtingen waarin objecten getransporteerd kunnen worden. Dat zijn er drie in ons geval.
Als je tijd modelleert als een dimensie, dan leven we in een vierdimensionale ruimte-tijdwereld. Behalve dan dat je niet vrijelijk kan bewegen in de tijd want is eenrichtingsverkeer(beginfootnote)Tijd is absoluut een compleet andere post waardig. Kan niet wachten.(endfootnote).
Hoewel velen hadden gehoopt op het vinden van extra ruimtelijke dimensies heeft het allergrootste experiment dat de mensheid tot nu toe heeft ondernomen, de Large Hadron Collider van het CERN, geen spoortje bewijs hiervoor kunnen vinden. In plaats daarvan heeft het overtuigend bewijs opgeleverd dat het huidige Standaardmodel van de deeltjesfysicazonder extra dimensies nog steeds klopt.
Om fenomenen ons universum te beschrijven en te voorspellen is het niettemin bijna altijd handig om hun eigenschappen als extra dimensies te modelleren. Dit heeft niets van doen met dat er werkelijk extra dimensies zijn – dit is waarschijnlijk waar de pop- en esoterische deelverzamelingen van de menselijke cultuur graag aan appelleren – maar heeft van alles te maken met het in staat stellen van het uitvoeren van calculaties in de abstracte wiskunde.
In een vorige post maakten we bijvoorbeeld gebruik van imaginaire tijd als extra dimensie om er een set vergelijkingen in de speciale relativiteitstheorie mee af te leiden. Het betekent niet dat imaginaire tijd werkelijk een extra dimensie is waarin je je ledematen of je bewustzijn kunt steken.
In snaartheorieën zijn werkelijk bestaande, ruimtelijke dimensies vereist om de theorieën werkend te krijgen. Geen van die hen kan echter worden getest (en geen van hen is getest noch bewezen). Het blijft een prachtig, wiskundig bouwwerk, maar dan ook puur wiskundig.
In toekomstige posts zullen we geometrie, de pseudo-riemann-variëteit, symmetriegroepen en de Hilbertruimte verder gaan verkennen met behulp van een beetje wis- en natuurkunde.
Licenties
De titelafbeelding en Figuren 1 zijn filmbeelden van Doctor Strange (2014) en Figuur 4 van Interstellar (2014), beiden films met auteursrechten. Verondersteld wordt dat deze stilstaande beelden getoond mogen worden onder de fair-use-bepaling van het Amerikaanse auteursrecht.
Figuur 6. Lorenz-aantrekker-animatie door Dan Quinn onder CC BY-SA 3.0
De afgelopen tijd zijn de artikelen over quantummechanica en deeltjes behoorlijk uitgebreid en soms te diep gegaan voor mensen die haast hebben. Daarom volgen hier tien punten in iets normaler Nederlands voor het geval je haast hebt.
1: Elementaire deeltjes
Om objecten in onze alledaagse wereld te natuurkundig te beschrijven, zoals stenen, gebouwen, auto’s, volstaan de wetten van Newton. Om subatomaire, elementaire deeltjes te beschrijven, zoals elektronen, protonen, neutronen en fotonen, gebruiken we een heel ander type natuurkunde: quantummechanica.
2: Golffunctie
De meest complete beschrijving van een elementair deeltje is de zogenaamde golffunctie. Eigenlijk lijkt het woord ‘deeltje’ onjuist te verwijzen naar kleine puntjes, kogeltjes of bolletjes of iets dergelijks. Dat zijn ze absoluut niet. Het zijn ook geen golven. ‘Deeltjes’ zijn golffuncties met golfachtige eigenschappen (nadruk op ‘achtig’). Na interactie met andere deeltjes en/of meting vertonen ze echter deeltjesachtig gedrag. De golffunctie omvat alle fysiek mogelijke toestanden waar een ‘deeltje’ zich in kan bevinden op het moment dat we een meting verrichten. De golffunctie kan gezien worden als een wiskundige beschrijving van de waarschijnlijkheden van de toestanden waarin het deeltje kan ’schieten’ op het moment dat het gemeten wordt. Het wordt vaak gevisualiseerd als een ‘wolk’ al is het niet hoe het er eigenlijk uitziet. Het is slechts een visuele metafoor voor een wiskundig object dat eigenlijk in een complexe ruimte bestaat aangezien complexe waarden aanneemt.
Meestal teken ik vage, bolvormige dingetjes die dan deeltjes moeten voorstellen.
3: Quantumtoestand
Eenmaal gemeten geven deeltjes slechts één enkel quantumtoestand bloot uit een heel scala aan mogelijke quantumtoestanden dat bestond vóór de meting. Positie is een van de bekendste en intuïtief te begrijpen voorbeelden van een quantumtoestand. Impuls is een ander voorbeeld (impuls is een maat voor de hoeveelheid beweging van een deeltje). Er zijn andere toestanden zoals polariteit en spin en nog veel meer. De golffunctie omvat al deze mogelijke toestanden en kent een waarschijnlijkheidswaarde toe aan de uiteindelijke meting van een specifieke toestand. Met andere woorden, voordat je de meting verricht stelt de golffunctie je in staat om de kans te berekenen dat je een bepaalde quantumtoestand gaat meten.
4: Meetprobleem
Zolang je geen meting verricht en zolang het niet interacteert met andere deeltjes bevindt het deeltje zich nog niet in een specifieke quantumtoestand. In plaats daarvan beschrijft de golffunctie al deze mogelijke toestanden als een wiskundige optelsom. Deze ‘optelling’ is waar natuurkundigen op doelen als ze het hebben over superpositie. De term is afkomstig van de wiskunde van golven en lineaire algebra in het algemeen, niet per se specifiek quantummechanica. Hoewel de situatie vaak wordt geportretteerd als deeltjes die zich in alle toestanden tegelijk bevinden (zoals het zijn op twee plekken tegelijk) is het accurater om te zeggen dat het deeltje nog geen specifieke toestand inneemt. Er is alleen de golffunctie met alle waarschijnlijke toekomstige quantumtoestanden. Zodra je een meting verricht, schiet het deeltje uit zijn golffunctie van mogelijkheden in één enkele mogelijkheid. Met andere woorden, wat je ziet is niet wat het was. Wat je observeert is slechts een splinter van zijn complete, vorige bestaan. Hoe dit gebeurt, weet niemand. Het heet het meetprobleem van de quantummechanica. Er ligt een Nobelprijs op je te wachten.
5: Schrödingervergelijking
Golffuncties gehoorzamen de Schrödingervergelijking. Je zou kunnen zeggen dat wat Newtons tweede wet is voor alledaagse objecten is wat de Schrödingervergelijking is voor de subatomaire wereld. Het stelt ons in staat om te voorspellen hoe de golffunctie verandert in de tijd. Het is een volstrekt klassieke vergelijking; het is 100% deterministisch. Waar de golffunctie een bereik van waarschijnlijkheden bestrijkt, voorspelt de Schrödingervergelijking hoe dit bereik van waarschijnlijkheden over de tijd verandert. Met andere woorden, het voorspelt niet exact wat de toestand is van een deeltje als het wordt gemeten maar het voorspelt exact wat de kans is dat je een bepaalde toestand gaat meten op ieder gegeven moment in de tijd.
Dit verbluffend staaltje experimentele natuurkunde leverde een foto op van wat de nauwkeurigste benadering op van de golffunctie van een elektron in een waterstofatoom is tot nu toe. Het is gemaakt door de Poolse natuurkundige Aneta Sylwia Stodolna et al. (Bron: Stodolna AS et al. (2013) “Hydrogen Atoms Under Magnification: Direct Observation of the Nodal Structure of Stark States,” Physical review letters, 110(21), pp. 213001–213001.)
6: Onzekerheid
Er bestaat een fundamenteel kenniscompromis tussen bepaalde mogelijke toestanden zoals tussen positie en impuls, energie en tijd en tijd en frequentie. De oorsprong van dit compromis ligt niet in de quantummechanica. Het heeft te maken met hoe de kwantiteiten gerelateerd zijn aan elkaar. Wiskundige worden deze variabelen Fouriertransformatieparen of geconjugeerde variabelen genoemd. Om de een te berekenen vanuit de ander voer je een wiskundige procedure uit die Fouriertransformatie wordt genoemd. Als je een Fouriertransformatie uitvoert op een variabele waarvan de hoeveelheid mogelijke waarden zeer beperkt is (de variabele kennen we met een hoge precisie), dan is de hoeveelheid mogelijke waarden van de andere variabele die je verkrijgt aan het eind van die transformatie juist groter (de variabele kennen we met een lagere precisie, een grotere onzekerheid). Heisenberg toonde aan dat deze onzekerheidsrelatie ook van toepassing is op de golffunctie in de quantummechanica. Vandaar dat we in deze context spreken van de onzekerheidsrelatie van Heisenberg.
Fourier toonde aan dat als geluid relatief scherp gedefinieerd is in de tijd (onderste golfpakketje), dat het opgebouwd moet zijn uit verschillende frequenties (zoals daarboven geïllustreerd door de verschillende golven met verschillende frequenties). Dit is de fundamentele onzekerheidsrelatie bij golven.
7: Zekerheid
Diezelfde onzekerheidsrelatie voorspelt dat, hoewel zeer significant op de schaal van subatomaire deeltjes, deze onzekerheid volstrekt betekenisloos wordt op de schaal van onze alledaagse wereld met alledaagse objecten. Een bowlingbal waarvan de mogelijke posities ernstig zijn beperkt (opgesloten in een kleine doos met nauwelijks speling) zal nimmer de onzekerheidswaarden vertonen zoals in de quantummechanica. Laten we bijvoorbeeld de hoeveelheid beweging van de bal (impuls) bekijken. Op basis van de onzekerheidsrelatie van Heisenberg zal de bowlingbal bij meting mogelijk een snelheid vertonen van $3.283 \times 10^{-35} \text{ m/s}.$ Dit betekent dat die na 965.9 miljard jaar een afstand zal hebben afgelegd ter grootte van de de diameter van een proton. Dus, nee. Onzekerheid speelt geen rol in onze alledaagse wereld. Tenzij je experimenten doet die een looptijd hebben van zeventig keer de leeftijd van ons huidig universum. In dat geval zul je moeten dealen met de onzekerheid ter grootte van de diameter van een proton(beginfootnote)Als mensen denken of stellen dat alledaagse objecten (onze lichamen, onze hersenen, tennisballen, dieren) quantumeffecten kunnen vertonen als het zijn op twee plekken tegelijk, dan vermoed ik dat dit komt omdat ze geen goed idee hebben van hoe klein subatomaire deeltjes werkelijk zijn alsook geen idee hebben van hoe groot de alledaagse wereld is in die termen. Tevens zullen ze de berekeningen niet hebben uitgevoerd.(endfootnote). We merken hierbij op dat ultra-nauwkeurige meetapparatuur zoals de spiegels van de LIGO– en Virgo-experimenten – de grotere objecten in deze wereld, dus bepaald geen elementaire deeltjes – zeker wel in staat zijn om quantumeffecten te meten. Echter is dit ten eerste niet geheel onverwacht (geen nieuws) maar bovendien iets volstrekt anders dan stellen dat menselijke lichamen zich in quantumsuperposities bevinden. Het meten van quantumeffecten is een ding, hersenen die in staat zouden zijn op twee plekken op aarde aanwezig te zijn (‘gebaseerd op principes uit de quantummechanica’) is iets heel anders.
Alle pins missen is geen gevolg van praktische noch theoretische quantumeffecten. Je bent dan gewoon niet zo goed.
8: Quantumverstrengeling
Als twee of meer deeltjes alleen beschreven kunnen worden door een en dezelfde golffunctie – en niet als separate golffuncties – dan zijn deze deeltjes quantumverstrengeld. Een meting op het ene deeltje bepaald onmiddellijk de uitkomst van de meting op het andere, verstrengelde deeltje, ongeacht de ruimtelijke afstand tussen de twee. Dit verschijnsel wordt daarom non-lokaal genoemd. Hoe dit kan, is onbekend. Het effect verdampt zodra verstrengelde deeltjes met andere deeltjes interacteren. Op de schaal van de alledaagse werkelijkheid is het aantal deeltjes per object zo groot dat interacties niet kunnen uitblijven en het quantumeffect van verstrengeling dus volstrekt wegvaagt. Onder speciale omstandigheden, zoals in onze laboratoria, kan verstrengeling echter gedurende aanzienlijke periode in stand worden gehouden.
Dit is niet hoe quantumverstrengeling eruit ziet. Het is gewoon een plaatje.
9: Quantumveldentheorie
Quantummechanica is door de jaren heen wis- en natuurkundig uitgebreid naar de beschrijving van quantumvelden als de fundamentele bouwstenen van ons universum. Het universum bestaat uit quantumvelden. De meest complete beschrijving van deze velden zijn golffuncties. We noemen dit de quantumveldentheorie (in het Engels vaak afgekort met QFT voor quantum field theory). De succesvolste versie van een QFT heet het Standaardmodel van de deeltjesfysica. ‘Deeltjes’ zijn hier een soort verstoringen van hun veld: een elektron is een verstoring in het elektronenveld. De beschrijving van een deeltje is onderdeel van de golffunctie van het hele veld. De uitdaging ligt in het uitbreiden van deze quantumveldentheorie naar zijn volgende vorm, waarbij zoiets als quantumgravitatie is geïncorporeerd. Wat we bijvoorbeeld nog niet weten is hoe we ruimte en tijd in extreme gebieden zoals zwarte gaten, op natuurlijke wijze uit een quantumtheorie kunnen doen voortkomen.
Een onbehoorlijk ruwe schets van quantumvelden. Het protonveld is niet echt een ding: het is een snelle manier om diverse quarkvelden in een klap te vangen. Plus dat velden driedimensionaal zijn, niet tweedimensionaal.
10: Toepassingen
De woorden ‘I think I can safely say that nobody understands quantum mechanics’(beginfootnote)‘Ik denk dat ik met zekerheid kan stellen dat niemand quantummechanica begrijpt.’(endfootnote), uitgesproken door de beroemde natuurkundige en Nobelprijswinnaar Richard Feynman, worden soms helaas verkeerd begrepen. Soms denkt men dat dit deze uitspraak grond biedt om te stellen dat natuurkundigen uiteindelijk niet weten waar ze mee dealen, waar ze het over hebben. Feynman hintte op het feit dat er nog heel veel te ontdekken valt in de quantumfysica. Er staat nog steeds heel veel werk te doen als het gaat om moeilijke problemen zoals quantumzwaartekracht, het meetprobleem, het sterke CP-probleem, de interpretatie van de quantummechanica, non-lokaliteit en ga zo maar door.
Aan de andere kant beschikken we maar wel mooi over Wifi, internet, (aanraak)schermen, lasers, MRI-scanners, ledverlichting, flashgeheugen, solid state disk, die goeie ouwe knarsende harde schijven, transistoren, rekenprocessoren in computers en geïntegreerde chips in het algemeen.
Dus, ik denk dat ik met zekerheid kan stellen dat het feit dat je dit artikel uit de lucht hebt geplukt om het te vertonen op je (aanraak)scherm op je elektronische apparaat we in elk geval de mate kunnen afleiden waarin ‘nobody understands quantum mechanics’.
Niettemin, we zijn nog lang niet klaar. Er valt nog veel te ontdekken en te verklaren in en over dit universum – met hulp van een beetje wis- en natuurkunde.
Complexe getallen fascineren sinds de middelbare school. Het is de plek waar we van alles leren over natuurlijke, gehele, rationale, irrationale en reële getallen, echter zelden over complexe getallen. Op allerlei plekken worden ze toegepast. Zo hadden elektronische apparaten zoals die waarmee je deze post leest niet bestaan als natuurkundigen, elektrotechnici en computerwetenschappers niet op de hoogte waren geweest van het geschenk van complexe getallen van zestiende-eeuwse wiskundigen. Deze post is voor wie geïnteresseerd is in een zachte inleiding in het domein van de complexe getallen.
Verbijsterd
‘Er bestaan dingen als negatieve getallen’, lichtte mijn vader toe toen ik zes of zeven jaar moest zijn geweest, want ik zat in de tweede klas van de lagere school. Hij legde het concept uit van negatief bezit als je iemand een aantal knikkers schuldig bent terwijl je minder dan dat aantal aan knikkers daadwerkelijk in je bezit hebt. Dit was een van die ik-weet-nog-waar-ik-was-toen-momenten. Als de dag van gisteren zie ik mezelf nog zitten, op de vloer, voor de lage salontafel in de woonkamer van ons rijtjeshuis in Emmeloord.
Ik herinner me dat ik precies hetzelfde gevoel had toen mijn vader me eerder vertelde dat de aarde niet plat was en mijn moeder me daar weer voor had verteld dat we op dat moment met de auto op de zeebodem reden. Mijn schedeldak vloog eraf. Het duurde wederom lang voordat ik er eindelijk slaagde om het kwartje in die kleverige, trage hersenen van mij te laten dalen – het negatieve kwartje, welteverstaan. Wat het lastig maakte, was het feit dat je negatieve getallen niet kon ‘zien’ zoals de andere getallen, zoals bij lengtes of het aantal knikkers(beginfootnote)Op een of andere manier had ik er niet aan gedacht dat temperatuur natuurlijk kon dalen onder nul – iets dat toentertijd nog regelmatig flink gebeurde, toen we iedere winter nog op bevroren meren, vijvers, rivieren en slootjes konden schaatsten.(endfootnote).
Vol enthousiasme vertelde ik de juffrouw van mijn lagere school over negatieve getallen. Ze knikte slechts en gebood me toen om m’n taken af te maken – de saaie vorm van rekenkunde. Ze had een punt aangezien ik er niet goed in was.
Toen ik vijftien of zestien was, kwam ik het begrip complexe getallen tegen in een populair-wetenschappelijk boekje over kwantummechanica. Het feit dat ze ‘complex’ werden genoemd, wekte mijn nieuwsgierigheid op; ik nam foutief aan dat het betrekking had op de moeilijkheidsgraad van de soort getallen. Maar wat het meest fascineerde was dat er kennelijk zogenaamde imaginaire getallen bestaan! Ik had weer precies datzelfde gevoel. Mijn schedeldak smolt. Alles hieraan straalde een soort magische kracht uit. Wat was dit voor hekserij? Zou dit een poort kunnen vormen naar andere dimensies?
De volgende dag vertelde ik vol enthousiasme mijn leraar wiskunde op de middelbare school hierover, meneer Es – Es is niet zijn werkelijke naam maar het was zijn tweeletterige code in ons rooster. Ik vond het zowel terecht als toepasselijk dat Es ook het symbool is voor het element Einsteinium in het periodieke systeem. Omdat zijn voornaam ook nog overeenkwam, grapten mijn vrienden en ik wel eens dat we, desgevraagd, op weg waren naar de les van Albert Einstein.
Meneer Es deed wat iedere goede leraar doet als een scholier geënthousiasmeerd raakt over iets in hun vakgebied: hij moedigde het aan – in zijn geval door zijn oude leerboek van toen hij een eerstejaarsstudent wiskunde was in Amsterdam aan mij uit te lenen. Het was een inleiding over complexe getallen op wat we tegenwoordig undergraduate-niveau noemen.
Het bewuste leerboek. (Klik om uit te vergroten.)
Tot mijn schaamte moet ik bekennen dat ik het eigenlijk nooit terug heb gegeven. Dit was een van die gevallen waarbij ik, na de zoveelste verhuizing, dacht, omg, heb ik dit boekje nooit teruggegeven? Ik heb het altijd gekoesterd. Het heeft een speciale betekenis voor me. Het symboliseert die ene keer dat ik gezien werd, erkend werd in wat mij op dat moment inspireerde. Een ding dat ik niet echt kon delen met vrienden of andere mensen in mijn nabijheid, deelde ik plots met een heel intelligent persoon wiens naam werd aangeduid met het symbool voor Einsteinium.
Dankzij de wonderen van het internet geraakten we weer met elkaar in contact, ongeveer vijfentwintig jaar later. Ik biechtte op dat ik het boekje dus altijd had gehouden en bood mijn verontschuldigingen aan. Hij bleek zich inderdaad afgevraagd te hebben waar het was gebleven; hij had het aan iemand willen uitlenen. Maar ik kon het houden, aangezien hij toch de zolder verder aan het opruimen was. En hij was blij te zien dat wiskunde me ook in het latere leven blijvend geïnteresseerd had.
Ik voel me er nog steeds een beetje schuldig onder. Iemand anders had geïnspireerd kunnen raken zoals ik dat was. En nu ben ik er mogelijk schuldig aan dat dit in elk geval niet door zijn boekje zou komen. Dus wie je ook bent, mijn excuses!
Ik hoop op een dag dat ik op mijn beurt in staat zal zijn om een vonkje te doen overspringen voor de prachtige wiskunde van complexe analyse bij anderen. Ik hoop ook dat u, lezer, wellicht een fractie van de verwondering ervaart die ik voelde en dat het concept van ‘getallen’ er een zal blijken te zijn dat voorbij gaat aan uw imaginatie(beginfootnote)Ik had het niet gedacht, maar het is een correct Nederlands woord.(endfootnote).
Getallenverzamelingen
We zijn allemaal bekend met de natuurlijke getallen die we gebruiken om dingen mee te tellen. 1, 2, 3 etc. Sommige wiskundigen vinden dat 0 hierbij hoort, andere vinden van niet. Hoe dan ook betreft het hier de wiskundige verzameling die we dus de natuurlijke getallen noemen en we aanduiden met het symbool $\mathbb{N}$.
Mijn vader vertelde me vervolgens dat er dus zoiets bestaat als negatieve getallen, zoals -1, -2, -3, etc. Als je de natuurlijke getallen neemt en daaraan toevoegt deze verzameling negatieve getallen (inclusief de 0, voor zover dat nog niet gebeurd was), dan is het resultaat een geheel nieuwe getallenverzameling die we de gehele getallen noemen, aangeduid met het symbool $\mathbb{Z}$.
Om duidelijk te maken dat $\mathbb{N}$ een deelverzameling is van $\mathbb{Z}$, passen wiskundigen het symbool $\subset$ toe. Met andere woorden, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$, oftewel, de natuurlijke getallen vormen een deelverzameling binnen de gehele getallen.
En dan zijn er natuurlijk de verhoudingsgetallen, de quotiënten, de breuken. Tussen 1 en 2 heb je 1,5 bijvoorbeeld. Dus in breuknotatie is dat $\frac{3}{2}$. Uiteraard zijn dat geen gehele getallen. Het zijn zogenaamde rationale(beginfootnote)Regelmatig hoor en lees ik ‘rationale’ en ‘rationaal’ verward worden met ‘rationele’ en ‘rationeel’. Begrijpelijk, maar dat zijn dus verschillende zaken.(endfootnote) getallen, naar het Latijnse ratio, omdat ze kunnen worden opgeschreven als een quotiënt van gehele getallen, een verhouding, een breuk. Deze getallenverzameling wordt gesymboliseerd door $\mathbb{Q}$. We hebben nu $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.
Het is goed om hier op te merken dat deze notie van deelverzameling-van-een-deelverzameling leidt tot de misschien onverwachte conclusie dat ook 9 dus een rationaal getal is. Aan de oppervlakte is het een natuurlijk getal, of een geheel getal. Maar onder de oppervlakte kan het uiteraard ook opgeschreven worden als een rationaal getal: $9 = \frac{9}{1} = \frac{18}{2} = \frac{36}{4}$, bijvoorbeeld (en oneindig veel meer).
We zijn er nog niet. Breuken als 1,5 en 3,2 zijn eindig. Maar wat als de decimalen achter de komma maar niet stoppen? Wat als je getallen hebt die je niet kan opschrijven als een breuk, zoals de getallen $\pi$ en $\sqrt{2}$? Deze getallen noemen we de irrationale(beginfootnote)En nee, het heeft niets met ‘irrationeel’ te maken!(endfootnote) getallen. Dit betreft dus alle getallen die niet rationaal zijn. Hier is niet echt een symbool voor(beginfootnote)Het is niet ongebruikelijk dat wiskundigen dan $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ schrijven.(endfootnote).
Er is wel een symbool voor alle natuurlijke, gehele, rationale en irrationale getallen samen(beginfootnote)Het klopt, beste wiskundige, dat ik transcendentale getallen oversla (en ook de algebraïsche getallen, wat dat betreft). Aangezien alle transcendentale getallen irrationaal zijn, maar niet alle irrationale getallen transcendentaal, besloot ik dat het mijn schematische weergave onnodig zou compliceren in wat een inleidende tekst moet zijn over toch al voldoende complexe zaken.(endfootnote). Al deze deelverzamelingen samen vormen wat we de reële getallen noemen en worden aangeduid met $\mathbb{R}$. Dit is de verzameling waarmee we feitelijk allemaal bekend zijn en waar we voortdurend in rekenen. We hebben nu dus $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$
De verzameling der reële getallen $\mathbb{R}$ bevat alle getallen. Of toch niet?
Het geheim van del Ferro, del Fiore, Tartaglia en Cardano
U raadt het al. Hier komen ze, de complexe getallen. Laten we eerst een heel klein beetje wiskunde doen. Herinnert u zich wat het kwadraat van een getal is? En vervolgens wat de wortel van een getal is? Wat is de wortel van 64, oftewel, $\sqrt{64}$? Ja, 8, heel goed. Want 8 keer 8, oftewel 8-kwadraat, oftewel $8^2$ is gelijk aan 64.
Mooi. Stel nu dat $x^2 = 64$, wat is $x$ dan? Hier doen we precies hetzelfde. We ont-kwadrateren $x$ door de wortel te trekken van $x^2$. En vanwege het =-teken, moeten we dat natuurlijk ook doen bij het getal achter het =-teken. Dus, $\sqrt{x^2} = \sqrt{64}$, en dus krijg je $x = 8$.
Dit soort sommetjes werden meestal gecombineerd met de praktische toepassing van het berekenen van de lengte van de zijden van het vierkante stuk land dat de boer bezit. Stel dat de oppervlakte van de vierkante akker is 64 vierkante kilometer. Hoe groot is dan een zijde van dat stuk land? Dat is dus 8 kilometer.
Al deze berekeningen vinden plaats in de wereld van $\mathbb{R}^+$, het positieve deel van alle reële getallen. Merk op dat geen oppervlak negatief kan zijn. Met andere woorden, een vierkant stuk land kan niet -64 vierkante kilometer groot zijn – dat is natuurlijk onzin. Tevens heeft de wortel uit -64 geen oplossing. Het is niet -8, want -8 keer -8, oftewel $(-8)^2$, is simpelweg weer gelijk aan 64 en niet -64, want een negatief getal vermenigvuldigd met een negatief getal is gelijk aan een positief getal zoals we bespraken in een eerdere post.
Tartaglia
Ergens in de zestiende eeuw, ergens in Italië, loste Scipione del Ferro, lesgevend aan de Universiteit van Bologna, een probleem op dat hiermee te maken had. Het betrof hier niet een kwadratische maar een derdegraadsvergelijking. Waar wij uit ons hoofd de oplossing voor de kwadratische of tweedegraadsvergelijking $x^2 = 64$ konden vinden, vond del Ferro oplossingen voor een derdegraadsvergelijking zoals $x^3 + x^2 + 6x + 3 =0$. Del Ferro stond erom bekend nooit iets van zijn oplossingen en bewijzen te willen publiceren. Hij hield een geheim notitieboekje bij en dat was het dan.
Cardano
Op zijn sterfbed deelde hij echter het geheim om de vergelijking op te lossen met zijn pupil Antonio Maria del Fiore. Die laatste daagde vervolgens de op dat moment in Venetië wonende Niccolò Fontana Tartaglia uit om het op te lossen. Tartaglia had het echter al even daarvoor zelf al opgelost. Hij vertrouwde Gerolamo Cardano, de op dat moment in Milaan gevestigde alleskunner en genie, vervolgens de oplossing toe in de vorm van niets minder dan een gedicht! Het was echter alleen de oplossing, maar niet het bewijs. Uiteraard was Cardano vervolgens zelf in staat om het bewijs te reconstrueren. Aangezien hij ontdekte dat de inmiddels overleden del Ferro de oplossing ook al had gevonden, besloot hij om zijn eigen versie te publiceren in zijn Ars Magna in 1545. Tartaglia nam hem dat niet in dank af.
En wat was nu het geheim waar al deze enorme hersens zo geheimzinnig over deden? Een nieuw getal.
imaginair
Laten we een iets simpeler voorbeeld nemen. Stel dat we de volgende simplistische kwadratische vergelijking hebben: $x^2 -4 = 0$. Om het op te lossen, ‘verplaatsen’ we de 4 naar de andere kant van het =-teken door 4 aan beide kanten erbij op te tellen: $x^2 -4 +4 = 0 + 4$, wat dan simpelweg verwordt tot $x^2 = 4$. Als je de wortel trekt aan beide zijden van het =-teken, verkrijg je $\sqrt{x^2} = \sqrt{4}$. De oplossing is dus $x=2$ en/of $x=-2$ (want -2 keer -2 is ook 4).
Goed. In feite probeerden de wiskundigen van de zestiende eeuw ook oplossingen te vinden voor een variant hierop: $x^2 + 4 = 0$. Laten we wederom de 4 naar de andere kant halen door nu 4 af te trekken van beide zijden: $x^2 + 4 – 4 = 0 – 4$, wat $x^2 = -4$ oplevert. Wederom is de vraag, wat is $x$?
Laten we ook hier weer de wortel proberen te trekken van beide zijden: $\sqrt{x^2} = \sqrt{-4}$. Halt. Stop. Wat is de wortel van -4? Wat is de wortel van een negatief getal?
We verkeren nu in dezelfde situatie als die waarbij we de wortel van een negatief oppervlak proberen te trekken. Het antwoord kan niet -2 zijn, want -2 keer -2 is niet -4. Wat nu?
Vóór Del Ferro, Tartaglia en Cardano zouden mensen hebben geconcludeerd dat er simpelweg geen oplossing bestaat. Maar dankzij hen kunnen we het nu wel oplossen! Het antwoord ligt in de volgende definitie: $$i^2 = -1.$$
Dit bedrieglijk eenvoudige concept stelt ons in staat om $x^2 = -4$ op te lossen. We kunnen dan namelijk schrijven $x = 2i$ en/of $x = -2i$.
Laten we de eerste oplossing bekijken. Als we dit kwadrateren krijgen we $x^2 = (2i)^2$, wat we ook kunnen schrijven als $x^2 = 2^2i^2$. Aangezien $i^2 = -1$ kunnen we dit substitueren zodat we verkrijgen: $x^2 = 2^2(-1)$ en dat is natuurlijk $x^2 = -4$. Tadaa! We zien dat $x= 2i$ dus een oplossing is voor $x^2 = -4$.
Hetzelfde geldt voor de andere oplossing $x = -2i$. Als we dit kwadrateren, verkrijgen we $x^2 = (-2i)^2$, en dat kunnen we schrijven als $x^2 = (-2)^2i^2 = 4i^2$. En als we ook hier weer $i^2 = -1$ substitueren, krijgen we $x = 4(-1) = -4$. Tadaa!
Welnu, wat voor duivels concept is dit $i^2 =-1$? De letter $i$ staat voor ‘imaginair’ en $i$ wordt een imaginair getal genoemd.
Aangezien $i^2 = -1$ kunnen we concluderen(beginfootnote)Eigenlijk geef ik er de voorkeur aan $i^2 = -1$ te schrijven boven $i = \sqrt{-1},$ hoewel die laatste ook vaak gebruikt wordt in studieboeken. Ik vind het een tikkeltje verwarrend. Aangezien de regel is dat $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ waar $a$ en $b$ positieve, reële getallen zijn, zou je kunnen denken dat het ook van toepassing is op de negatieve, reële getallen, zoals wanneer $a=b=-1$. In dat geval zou je echter de onjuiste stelling $\sqrt{-1} \sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1$ verkrijgen, terwijl het natuurlijk eigenlijk $-1$ moet zijn. Daarom probeer ik de notatie $i = \sqrt{-1}$ zoveel mogelijk te vermijden.(endfootnote) dat $i = \sqrt{-1}$. En dit is het verbluffende van de hele situatie: hoe kun je dan in hemelsnaam de wortel trekken van een negatief getal? Hoe bereken je de wortel van een negatief oppervlak? Het antwoord is: dat kan niet. Tenminste… niet in de wereld van de reële getallen $\mathbb{R}$. Inmiddels hebben we ons vertrouwde slootje aan de rand verlaten en zetten we onze eerste stappen in het uitgestrekte landschap van de complexe getallen. Dag $\mathbb{R}$, welkom in $\mathbb{C}$.
Enkele voorbeelden van complexe getallen: $2i$, $\frac{2}{3}i$, $i\sqrt{2}$, $i \pi$ en $-0,25i$. Bovendien kun je een reëel getal zoals 3 erbij optellen. Dat doe je zo: $3 + 2i$ of $3 + \frac{2}{3}i,$ etc. Deze combinaties zijn ook complexe getallen. Je kunt het en hoeft het niet verder te vereenvoudigen.
Een complex getal $z$ heeft de vorm $z = a + bi,$ waarbij $a$ en $b$ reële getallen zijn en $i^2 = -1.$ Het eerste reële getal, $a$, is het zogenaamde reële deel van $z$. Het tweede reële getal, $b$, is het zogenaamde imaginaire deel van $z$. De verzameling van alle complexe getallen wordt aangeduid met $\mathbb{C}$.
Merk op dat ieder reëel getal een complex getal is maar niet ieder complex getal is een reëel getal. Dat is wat het zijn van een deelverzameling van een andere verzameling betekent. Zo is bijvoorbeeld het reële getal 9 een complex getal waarbij $b =0$. Met andere woorden, het reële getal 9 kan worden geschreven als het complexe getal $9 + 0i$; het laatste, imaginaire deel valt weg want alles vermenigvuldigd met 0 is 0, dus houden we het getal 9 over. Het is dus naast complex ook reëel.
Echter, $z = 3 + 2i$ is geen reëel getal aangezien het imaginaire deel is niet gelijk aan 0. Dus $z$ is hier exclusief een complex getal.
Complexe vlak
Grafisch kun je de reële getallen van $\mathbb{R}$ zien als een punt op de getallenlijn.
Waar laat je dan de complexe getallen?
Dankzij mensen als Wallis, Wessel, Argand, Buée, Mourey, Warren, Français, Bellavitis, Gauss en Euler kreeg op een gegeven moment het antwoord op deze vraag zijn geometrische vorm[1]. Het idee is dat de reële getallenlijn werd uitgebreid met een imaginaire getallenlijn die loodrecht staat op de reële getallenlijn. Het resultaat is het zogenaamde complexe vlak, soms ook het argandvlak, gaussvlak of de $z$-plane genoemd.
Een complex getal zoals $z = 3 + 2i$ ‘omvat’ het getal $3$ langs de reële as en langs de imaginaire as het imaginaire getal $2i$. Een complex getal wordt dus altijd gerepresenteerd door een punt in een tweedimensionale ruimte. Merk op dat alle getallen binnen de deelverzamelingen van de complexe getallen, oftewel $\mathbb{R}$ tot en met $\mathbb{N}$, eveneens kunnen worden gerepresenteerd in dit tweedimensionale, complexe vlak – de punten liggen echter precies op de reële as.
Berekeningen met complexe getallen verwerden hiermee tot geometrische problemen! Wat dat betreft, een van de mooiste vergelijkingen in de wiskunde (wat mij betreft, althans) heeft betrekking op trigonometrie in het complexe vlak en heet de Formule van Euler.
Meer dan imaginair
Het is wat ongelukkig dat het getal $i$ en ieder product hiermee imaginaire getallen worden genoemd. De bekende Franse filosoof en wiskundige René Descartes was de eerste die de term toepaste omdat hij meende dat de getallen illusoir waren. Zelfs Cardano had de getallen al als duistere, derderangs soort dingen bestempeld[2].
Het is wat ongelukkig omdat het woord tegenwoordig onnodige, semantische ambiguïteit met zich meebrengt. Ik begrijp waar het vandaan komt: je zult nooit zoiets als $\sqrt{-1}$ in de echte wereld tegenkomen. Aan de andere kant zul je ook nooit zoiets als $\sqrt{2}$ tegenkomen en toch kan dat precies de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek zijn waar een handige doet-het-zelver haar hand niet voor omdraait. Voor mij is een reëel getal zoals $\pi = 3.1415926535897 \dots$ waarvan de decimalen nooit stoppen net zo echt als ‘imaginaire’ getallen echt zijn (en vice versa). Cirkels bestaan er niet minder om en met $\pi$ kun je er prima berekeningen op loslaten. Welnu, met imaginaire getallen kun je er net zo goed berekeningen op loslaten.
Complexe getallen worden toegepast in een scala aan wetenschappen. In Einsteins relativiteit die bijvoorbeeld GPS-navigatie mogelijk maakt, kun je gebruik maken van zogenaamde imaginaire tijd. Het klinkt als iets dat rechtstreeks uit een sciencefictionroman afkomstig is, maar het is een prima gedefinieerd concept. Zo hebben we in een vorige post een afleiding gegeven van een centrale set vergelijkingen in zijn speciale relativiteitstheorie, de Lorentztransformaties, met behulp van imaginaire tijd.
In de kwantummechanica – de succesvolste theorie tot nu toe – kom je complexe getallen overal tegen. Zonder die getallen zouden computers, mobiele telefoons, tablets, de tv, de videorecorder, zelfs de moderne koelkast niet hebben bestaan aangezien elektrotechnici niet in staat waren geweest computerchips te bouwen. De golffunctie is een complexe functie in een complexe Hilbertruimte die complexe waarschijnlijkheidsamplitudes aanneemt en evolueert volgens de Schrödingervergelijking, die zelf een complexe vergelijking is.
In de wiskunde vervullen complexe getallen een centrale rol in de bekendere onderzoeksgebieden als niet-lineaire, complexe, dynamische systemen. De uitgelichte titel-illustratie hierboven is een detail van de beroemde Mandelbrotverzameling. Het is een speciale verzameling van complexe getallen die op kleurrijke wijze geprojecteerd zijn in het complexe vlak. De studie van niet-lineaire, complexe dynamica informeert tevens de studie van allerlei soorten patronen in de natuur en in groei, zelfs in weersvoorspellingen en klimaatwetenschap. Op een andere manier hebben we zelf nog complexe getallen toegepast in het berekenen of een laboratoriumcentrifuge met $n$ beschikbare plekken gebalanceerd ingepakt kan worden met een $k$ aantal reageerbuisjes.
Een andere leuke toepassing van complexe getallen is bij computergames. Om de driedimensionale rotaties in een driedimensionale ruimte te berekenen, maken computerprogrammeurs gebruik van quaternionen – uitbreidingen van de complexe getallen. Een quaternion is een expressie in de vorm van $a + bi + cj + dk$, waarbij $a,b,c,d$ ieder reëel getal zijn en $i^2 = j^2 = k^2 = -1.$ Echter is dit wellicht een interessant onderwerp voor another bit of maths and physics.
[1] Cooke, R. (2005) The history of mathematics : a brief course. 2nd edn. New York, N.Y.: Wiley.
[2] Open University (2014) Essential mathematics 1. Milton Keynes: Open University.
Images
Uitgelichte foto: Mandelbrot set – Step 6 of azoom sequence door Wolfgang Beyer onder CC BY-NC-SA 2.0; aangepast voor layout.
Het is misschien niet zo beroemd als Einsteins formule, maar het is niet ondenkbaar dat je er ooit toch iets van hebt gehoord, de onzekerheidsrelatie van Heisenberg, of, in het Engels, ‘Heisenberg’s uncertainty principle’. Het speelt een belangrijke rol binnen de quantummechanica. Het zou kunnen dat je gehoord hebt dat het gaat over de verstoring van een meting door het meetapparaat: ieder instrument bezit een inherente meetfout plus dat je simpelweg het te meten systeem altijd verstoort door de simpele act van meting zelve. Het zou kunnen dat je gehoord hebt dat de onzekerheidsrelatie van Heisenberg bewijst dat je nooit zeker kunt zijn van je metingen en dat het ons in feite leert dat je nooit zeker kunt zijn van wat het universum ons als het ware vertelt. Mijn excuses als de volgende reactie onnodig vaag klinkt en ruimte voor interpretatie overlaat, maar dit alles is lariekoek. Tijd om er eens goed naar te kijken, nietwaar? Wat betekent het nou echt?
Figuur 1. Werner Heisenberg in Göttingen in 1924.
Fouriertransformatieparen
Of het één, of het ander. Wie heeft er geen hekel aan? Herinner je je nog dat je ouders zeiden dat je dit kon hebben, maar dan niet dat? Of misschien een beetje van zus maar dan ook maar een beetje van zo. Of een beetje van hier maar dan ook maar een beetje van daar. Niet verrassend misschien dat minstens drie beroemde filosofen daar wat woorden aan gespendeerd hebben. Eentje besloot voor rebellie te gaan en schreef: ‘I want it all, I want it all, and I want it now!’ (May, 1988). De andere twee stelden zich iets pragmatischer op en concludeerden: ‘You can’t always get what you want’ (Jagger & Richards, 1968). Ze hadden natuurlijk heel goed door dat je in het leven soms te maken krijgt met Fouriertransformatieparen. Een van de bekendere voorbeelden is dus de onzekerheidsrelatie van Heisenberg.
Als je het bereik van de mogelijke positie van een deeltje beperkt $(\Delta x),$ vergroot je het bereik van de mogelijke impuls(beginfootnote)Impuls is het product van de massa $m$ en de snelheid $v,$ dus $p=mv.$ Het is een maat voor de hoeveelheid beweging van een object (zoals een deeltje).(endfootnote) in de $x$-richting $(\Delta p_x)$ en vice versa.
Dit is wiskundig als volgt geformuleerd:
$$\Delta x \Delta p_x \geq \frac{\hbar}{2}.$$
Het deltasymbool $\Delta$ staat dus voor een bereik van een bepaalde hoeveelheid. Normaal gesproken is $\Delta$ gedefinieerd als het verschil tussen twee waarden. Stel je voor dat op de schutting in je tuin zich een punt A bevindt. Het is $0.1$ meter van de muur van je huis verwijderd. En stel dat een punt B op diezelfde schutting $0.7$ meter van je muur verwijderd is. Dan is de $\Delta$ van deze afstanden, oftewel de lengte tussen punten A en B, gelijk aan $0.7 – 0.1 = 0.6$ meter.
Heisenbergs onzekerheidsrelatie stelt dat het product van deze twee bereiken groter is dan of gelijk is aan een bepaald getal. Dat getal is trouwens ontzettend klein. Het symbool $\hbar$ staat voor de constante van Planck gedeeld door $2 \pi,$ waarvan de uitkomst dan weer gedeeld wordt door $2$ in de onzekerheidsrelatie.
Dit betekent dat als de een groter wordt, $\Delta p_x$ bijvoorbeeld, dat de andere kleiner wordt, wat dan $\Delta x$ zal zijn. En vice versa.
Klik hier als je een beetje wiskunde wil doen. Het is supermakkelijk.
Om iets meer gevoel te krijgen voor deze samenhang, maken we het iets gemakkelijker voor onszelf door te stellen dat $\frac{\hbar}{2} = 1,$ waardoor de formule verandert in $\Delta x \Delta p_x = 1.$ Voorts stellen we dat $\Delta x = 0.5.$ Welke waarde moet $\Delta p_x$ dan aannemen om te zorgen dat de vergelijking weer klopt? Precies, $\Delta p_x$ moet dan gelijk zijn aan $2,$ want $0.5 \times 2 = 1.$
Laten we vervolgens $\Delta x$ iets kleiner maken. Met andere woorden, we zorgen ervoor dat het bereik waarbinnen de positie van het deeltje kan verschijnen kleiner wordt. We preciseren kortom de positie. Stel dat $\Delta x = 0.001.$ Welke waarde moet $\Delta p_x$ vervolgens aannemen om aan de vergelijking te voldoen? Je raadde het vast al wel, $\Delta p_x$ moet juist groter worden: $\Delta p_x = 1000,$ aangezien $0.001 \times 1000 = 1.$ Als je het om zou draaien – waarbij $\Delta p_x$ kleiner zou worden – dan zou $\Delta x$ juist groter worden. Dan zouden we minder precies weten waar het deeltje zich ophoudt.
In werkelijkheid is $\frac{\hbar}{2}$ veel kleiner dan $1$. Het is ongeveer $5.273 \times 10^{-35} \text{ J/s}.$ Dat zijn vierendertig nullen achter de komma eindigend met 5273. Het is ongelooflijk klein. Hier komen we nog op terug.
Hopelijk gaf dit een beetje inzicht in hoe de relatie tussen $\Delta x$ en $\Delta p_x$ tot uitdrukking komen in Heisenbergs formulering. Ze complementeren elkaar. Als een bereik van mogelijke waarden groter wordt, oftewel, de $\Delta$ van waarde-opties wordt groter, dan neemt de zekerheid af waarmee je de uiteindelijke waarde kunt voorspellen. Vandaar het woord ‘onzekerheidsrelatie’(beginfootnote)Uiteindelijk is het statistiek. Het $\Delta$-teken zou wat dat betreft beter $\delta$ kunnen zijn, zodat $\delta x \delta p_x \geq \frac{\hbar}{2},$ wat het statistische karakter beter representeert. Een golffunctie is per slot van rekening een beschrijving der waarschijnlijkheden.(endfootnote).
Maar waar komt deze relatie dan vandaan? Hoewel de onzekerheidsrelatie een centrale rol speelt binnen de quantummechanica is het in de basis geen quantummechanische wet. Het is zelfs een algemeen verschijnsel op verschillende vlakken in de natuurkunde en – algemener – in de wiskunde.
Wiskundigen noemen de variabelen positie en impuls Fouriertransformatieparen. Om in het jargon te blijven – ze worden ook wel geconjugeerde variabelen genoemd.
Figuur 2. Gravure van de Franse wiskundige Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830), vroeg 19e eeuw.{{PD-US}}
Geluid
Een bekend niet-quantummechanisch voorbeeld van de onzekerheidsrelatie is het bepalen van de toonhoogte van geluid. Hoe ‘hoog’ een noot is, hangt af van de frequentie.
De sinusgolf is een vertrouwd voorbeeld van geluid. Het is ook een heel simpel geluid. En verschrikkelijk saai.
De $x$-as is de tijd-as. De $y$-as is de amplitude van het geluid, oftewel het volume, de intensiteit. Zoals je kunt zien, zit er een patroon in het geluid: het herhaalt zichzelf, het is cyclisch. Een hele cyclus is als de curve omhoog, naar beneden, verder naar beneden en weer omhoog gaat. De tijd die het kost om een cyclus te completeren wordt aangeduid met het symbool $T$ en wordt ook wel de periode genoemd(beginfootnote)Het is ook mogelijk om de periode te meten tussen twee pieken of twee dalen.(endfootnote). De curve van deze geluidsgolf wordt ook wel periodiek genoemd.
Figuur 3. De tijd-amplitude-curve van een saaie, sinusoïdale geluidsgolf.
Hoe korter de periode – oftewel hoe sneller de cycli – des te hoger de toon. Anders gezegd, hoe hoger de frequentie, des te hoger te toon. De wiskundige relatie tussen de periode $T$ en de frequentie $f$ is als volgt:
$$f = \frac{1}{T}.$$
Als de periode korter wordt – de waarde van $T$ wordt kleiner – dan wordt de waarde van $f$ juist groter. De frequentie is hoger, de toon is hoger.
In Figuur 3 zien we dat de periode $T = 2 \pi$ seconden. Dat betekent volgens de wiskundige relatie tussen periode en frequentie dus dat de frequentie gelijk is aan $\frac{1}{2 \pi}$ Hz. In een frequentie-amplitude-diagram ziet het eruit als een scherpe piek. Let op, de $x$-as is nu de frequentie. De $y$-as is nog steeds de amplitude.
Figuur 4. Een frequentie-amplitude-diagram van de geluidsgolf van Figuur 3. Het toont de exacte frequentie van de geluidsgolf.
Nu hebben we dus twee manieren om een geluidsgolf te beschrijven: met frequentie (Figuur 4) of met verandering in de tijd (Figuur 3).
Merk op dat de geluidsgolf weergegeven als een functie van tijd (Figuur 3) geen begin noch einde heeft. Voor zover we weten zou die curve voor eeuwig door kunnen gaan. In beide richtingen van de tijd. Als iemand je vraagt wanneer precies dit geluid aanwezig is, is het antwoord: altijd. Er is geen specifieke tijd waarvan we kunnen zeggen dat het bestaat; het bestaat op alle momenten in de tijd.
Met andere woorden, $\Delta t = \infty.$
De frequentie-diagram is precies het tegenovergestelde: het is slechts een streep. Een duidelijke, scherpe piek. Als iemand je vraagt welke frequentie het geluid heeft, is het antwoord: het is exact $\frac{1}{2 \pi}$ Hz $( \approx 0.16)$ en het bestaat op geen enkele andere frequentie.
Fourieranalyse
In werkelijkheid duurt geluid niet oneindig lang. Het geluid van een trillende gitaarsnaar zal langzaam maar zeker wegvagen terwijl het energie afstaat aan de omgeving. Bovendien begon het ook op een specifiek moment: pas op het moment dat de gitarist aan de snaar tokkelde. Met andere woorden, in het echt bestaat een geluidsgolf gedurende een bepaalde periode in de tijd.
Laten we onze geluidsgolf inderdaad beperken tot een kleiner tijdsgebied, zodat het meer als een ‘bliep’ klinkt dan als een saaie, oneindige sinusgolf. Wederom representeert de $x$-as de tijd en de $y$-as de amplitude.
Figuur 5. Een tijd-amplitude-diagram van een zogenaamd wavelet, een korte geluidspuls. In tegenstelling tot de geluidsgolf van Figuur 3 is deze niet oneindig uitgestrekt in de tijd. Tegelijkertijd is het lastiger om de exacte frequentie ervan te bepalen.
Zoals je kunt zien bestaat het geluid hier alleen binnen een bepaald tijdperk – ongeveer anderhalve seconde lang. Met andere woorden, $\Delta t \approx 1.5$ seconden in plaats van de vorige $\Delta t = \infty.$
Wat is dan de frequentie hiervan? Het is lastig om hier een juiste periode $T$ te vinden. De curve is nogal verschillend van die van een oneindige sinusgolf. Zeker, we kunnen een soort van cycli ontwaren, maar geen cyclus is dezelfde. We lijken hier te maken te hebben met verschillende cycli tegelijk. De frequentie-amplitude-diagram ziet er dan ook anders uit:
Figuur 6. De frequentie-amplitude-diagram van de wavelet van Figuur 5. Het heeft niets meer weg van een specifieke, exacte frequentie. In verschillende mate bestaat de geluidsgolf zelfs op verschillende frequenties tegelijk.
Zoals je kunt zien is het nu moeilijker om te exact de frequentie van de wavelet aan te wijzen. Het is een geluid met verschillende frequenties op verschillende amplitudes tegelijk.
Dus hoewel het tijdperk waarbinnen de geluidsgolf bestaat nu beter gedefinieerd is, is de frequentie opeens minder specifiek geworden.
De briljante wiskundige Joseph Fourier ontdekte dat een wavelet zoals die van Figuur 5 geconstrueerd wordt door vele verschillende, oneindige golven met verschillende frequenties bij elkaar op te tellen. Anders gezegd, Fourieranalyse toont aan dat onze wavelet het resultaat is van een superpositie van vele golven met vele frequenties.
Figuur 7. De wavelet onderaan wordt geconstrueerd door een hele rits aan oneindige golven met verschillende frequenties bij elkaar op te tellen. Dit betekent automatisch dat de exacte frequentie van de wavelet veel moeilijker is vast te stellen dan die van Figuur 3.
Nu zie je waarom de frequentie-amplitude-diagram zo anders is ten opzichte van die van Figuur 4. Het betreft nu meer een combinatie van frequenties, zoals in Figuur 6 is weergegeven. In het laatste geval ‘bevat’ de wavelet verschillende golven met verschillende frequenties. Dus als je de tijd-amplitude-diagram Fouriertransformeert naar een frequentie-amplitude-diagram dan wordt het voorheen zo duidelijke frequentiegebied ineens een beetje ‘onzekerder’.
De relatie tussen tijd $\Delta t$ en frequentie $\Delta f$ in de ouderwetse, klassieke natuurkunde is fundamenteel complementair. Hier komt geen quantummechanica bij kijken.
In wiskundig jargon zijn tijd en frequentie zogeheten Fouriertransformatieparen of geconjugeerde variabelen.
De term ‘onzekerheidsrelatie’ heeft dus betrekking op het algemene fenomeen dat Fouriertransformaties (zoals die tussen tijd en frequentie) een fundamenteel, wiskundig compromis tussen de typen informatie van de twee variabelen met zich meebrengen. Heisenberg toonde vervolgens aan dat dit principe ook geldig is binnen de quantummechanica. Vandaar dat het in deze context de onzekerheidsrelatie van Heisenberg wordt genoemd.
De hypothese van De Broglie
Hoog tijd om weer terug te keren naar de quantummechanica. Herinner je je nog dat de beste beschrijving van een deeltje de golffunctie wordt genoemd? Een golffunctie is de wiskundige expressie van een deeltje dat alle mogelijke toestanden waarin het deeltje zich kan bevinden ‘omvat’.
In plaats van een tijd-amplitude-diagram maken we nu een ruimte-amplitude-diagram. Om het iets makkelijker te maken bekijken we de golffunctie van een deeltje waarvan de amplitude alleen varieert langs een enkele ruimtelijke dimensie die we met $x$ aanduiden.
Hieronder zie je de representatie van een golffunctie van een deeltje langs één ruimtedimensie (‘langs een rechte lijn’). De $x$-as representeert de positie in de ruimte. De $y$-as representeert de amplitude van de golffunctie (die proportioneel is aan de waarschijnlijk om het deeltje op die specifieke positie $x$ te vinden).
Figuur 8. Een representatie van de golffunctie van een vrij deeltje. Merk op dat dit niet een getrouwe weergave van een golffunctie is. Ten eerste bestaat een echte golffunctie in een complexe ruimte, die we hier niet tonen. Het doel is om een schematische weergave te leveren en niet om een waarheidsgetrouwe weergave te bieden (dat is eigenlijk niet mogelijk). Merk ook op dat het vrije deeltje geen specifieke positie heeft – het is per slot van rekening een vrij deeltje.
Het was de eminente, Franse natuurkundige Louis de Broglie(beginfootnote)Vele natuurkundigen hebben het geprobeerd maar slaagden er niet in zijn achternaam goed uit te spreken. Het klinkt als ‘broi’ maar dan met de r achter in de keel, zoals de Fransen plegen te doen – een ‘droge’ r. In een interview met hem kun je de Franse presentator zijn naam correct uitspreken (net na 0:16 seconden). Het is dus niet ‘brog-lie’ of ‘bro-lie’. Dank.(endfootnote) die de relatie tussen de golflengte $\lambda$ en de impuls $p$ van een golffunctie legde.
$$\lambda = \frac{h}{p},$$
waarbij $h$ het symbool is voor de Planckconstante. Deze vergelijking staat trouwens bekend als de ‘matter wave’-hypothese van De Broglie. Hij stelde dat materie, zoals elektronen, een golfkarakter hadden(beginfootnote)Diezelfde vergelijking toont aan dat het golfkarakter van grotere dingen zoals onze lichamen, hersenen, bowlingballen, tennisballen en dieren volstrekt verwaarloosbaar is, zoals we aan het einde zullen bespreken.(endfootnote). Daarmee won hij de Nobelprijs.
Als we deze vergelijking enigszins omschrijven, oplossen voor $p,$ zoals dat heet, dan krijgen we
$$p = \frac{h}{\lambda}.$$
De grote van de impuls is dus afhankelijk de golflengte. Hoe kleiner de golflengte des te groter de impuls. Wat is de golflengte ook weer? Het is de lengte tussen twee pieken (of dalen). Hoe hoger de frequentie des te kleiner de golflengte. Kijk nog eens naar Figuur 8. Zoals je kunt zien, heeft de oneindige golf van een vrij deeltje een heel specifieke golflengte. De logische conclusie is dat de impuls juist dan een heel specifieke waarde heeft. Niettemin toont Figuur 8 ook aan dat de positie van het deeltje nog volstrekt onduidelijk is!
Laten we dit omkeren en het bereik van de mogelijke posities van het deeltje gaan beperken. Het is daarmee geen vrij deeltje meer. Het zit nu gevangen in een eindig bereik van mogelijke locaties.
Figuur 9 Ons voormalig vrij deeltje zit nu vast tussen $x=0$ en $x= \pi.$ Met andere woorden, $x$ is beperkt tot een breedte van slechts $\pi.$ Er is geen sprake van een duidelijke golflengte. De golfpatroon heeft verschillende golflengten op verschillende posities. Het is er wel, maar het is hier niet zo duidelijk als bij Figuur 6.
In Figuur 9 is $\Delta x$ veel smaller dan in Figuur 8 (waar het oneindig groot was). Wat dat betreft, $\Delta x = \pi$ breed. Door middel van Fouriertransformatie – net zoals bij het tijd-frequentie-paar – wordt de complementaire zus van de positie-ruimte $\Delta x,$ namelijk de impuls-ruimte $\Delta p_x,$ ‘minder zeker’.
Om een golffunctie zoals die in Figuur 9 te construeren toont Fourier analyse aan dat wat je nodig hebt, een heel stel golven met verschillende frequenties bij elkaar opgeteld zal zijn.
Figuur 10. Een Fourierdeconstructie van de golffunctie in Figuur 9. Vele golven, vele frequenties. Met andere woorden, de impuls, die volgens De Broglie afhankelijk is van golflengte, is minder gedefinieerd.
Dus wat quantumdeeltjes betreft stelt de onzekerheidsrelatie van Heisenberg dat er een fundamenteel compromis bestaat tussen informatie over de positie en de impuls(beginfootnote)Een ander paar vormen energie en tijd. Dit is interessant in de context van Hawkingstraling. Dat komt nog wel.(endfootnote). Het zijn Fouriertransformatieparen of geconjugeerde variabelen.
Dat betekent tevens dat als je een deeltje opsluit in een minuscuul kleine $\Delta x,$ de golffunctie van het deeltje meer impulswaarden $\Delta p_x$ zal bevatten. Het bezit nu veel meer snelheidsopties, inclusief de veel snellere snelheden. Als je vervolgens een meting uitvoert, is de kans dus groter geworden dat je een hoge snelheid meet!
Schaal en uitwerking
Op de schaal van de grote, boze wereld zullen we dit effect nooit zien. Als je een bowlingbal zou opsluiten in een klein kastje zul je zijn impuls (zijn snelheid) niet dramatisch zien toenemen. Het zal niet zomaar gaan stuiteren. Omgedraaid, als je de bowlingbal een flinke impuls zou geven, is het ook niet zo dat je plotsklaps niet meer weet waar hij precies is; de positie van de bal is nog steeds te volgen. Het zal niet zomaar dwars door de nog overeind staande pins gaan quantumtunnelen of tegelijkertijd in alle goten gaan rollen van alle banen naast je. Als het geen enkele pin raakt, is dat niet omdat het plotseling in een superpositie verkeert van alle mogelijke locaties waar het kan bestaan. Je bent dan gewoon niet zo goed.
Je zult dus geen quantumeffecten zien bij objecten op de schaal van het dagelijks leven. Alleen als je met elementaire deeltjes werkt. Of atomen. Maar zodra de massa toeneemt, wordt het al snel een ander verhaal. Waarom? Dat komt deels omdat de Planck constante zo klein is(beginfootnote)En omdat de hoeveelheid interacties tussen atomen exponentieel groeit bij meer massa, wat ieder quantumeffect doet verdwijnen in een proces genaamd decoherentie.(endfootnote). Het is slechts $5.273 \times 10^{-35} \text{ J/s},$ zoals je misschien nog weet. Dat is heel klein.
Al de kennis in deze post stelt ons in staat om een leuke berekening te doen. Stel dat je een bowlingbal met de maximaal toegestane massa van $7.2$ kg in een doos doet die net wat groter is dan de bal: $\Delta x = 22$ cm. Volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg zou zijn snelheid dan $3.283 \times 10^{-35} \text{ m/s}$ kunnen worden. Dat betekent dat het na $965.9$ miljard jaar wellicht een afstand heeft afgelegd die even groot is als de breedte van een proton. Die tijdsduur is zeventig keer de leeftijd van ons huidig universum. Dus ja, het quantumeffect is niet gelijk aan nul, maar zoals je ziet (of liever, berekent), op de schaal van ons alledaags leven zijn die effecten volstrekt betekenisloos.
Soms proberen van die vreemde ‘documentaire-achtige’ films zoals What the #$*! Do We (K)now!? en What the Bleep!?: Down the Rabbit Hole je van alles te doen geloven over quantumdingen die we zouden kunnen ontwaren. Ze zullen ook de onzekerheidsrelatie van Heisenberg niet ongemoeid laten, als een soort magische kracht of mystieke natuurwet die ons in staat stelt om bovennatuurlijke dingen te doen of te zien. Ik hoop dat deze post aantoont dat dit niet is waar Heisenberg op doelde. En dat je nu weet dat de onzekerheidsrelatie an sich niet eens zijn wortels heeft in de quantummechanica. Het is simpelweg golfmechanica, de klassieke leerstof voor alle eerstejaars natuurkundestudenten, vaak al in het eerste of misschien het tweede semester.
Enkele maanden geleden stuitte ik op een videoclip van een Australische senator die vragen stelde aan het hoofd van de Commonwealth Scientific and Industrial Research Organisation, een federaal overheidsagentschap verantwoordelijk voor wetenschappelijk onderzoek en advies voor de Australische regering. Het was duidelijk dat de senator de klok had horen luiden, niet wetende waar de klepel hangt. Hij had vast ‘iets gelezen’ over de onzekerheidsrelatie van Heisenberg. Tijdens een hoorzitting van de Senaat vroeg hij zich af of de klimaatonderzoeken niet beter in twijfel getrokken moesten worden nu dat Heisenberg aantoonde dat metingen niet met zekerheid vastgesteld kunnen worden(beginfootnote)Goed, wat hij in feite deed was het op de hoorzitting naar voren brengen van een ‘wetenschappelijke’ reden voor het afwijzen van de conclusies van klimaatwetenschappers. Hij meent dan ook – niet geheel verrassend – dat er niets aan de hand is met het klimaat. Ik claim niet iets zinnigs af te weten van Australische politiek – ik ben tevens geen klimaatwetenschapper – maar als iemand iets beweert over quantummechanica, een senator in dit geval, dan weet ik daar wel degelijk wat over te vertellen.(endfootnote).
Ik vermoed dat de discussie een studie betrof waarbij een satelliet infrarode straling gebruikt voor remote sensing van het aardoppervlak en/of atmosfeer. Hij ging namelijk verder door te stellen dat infrarood licht lagere frequenties heeft dan zichtbaar licht dus dat het volgens de onzekerheidsrelatie van Heisenberg heel erg moeilijk is om de eigenschappen van infrarode straling te bestuderen.
Er ging veel tegelijkertijd niet helemaal goed (ronduit fout) tijdens zijn korte spreektijd, zoals gebruikelijk is wanneer iemand de klok heeft horen luiden maar niet weet waar de klepel hangt. Begrijpelijk, maar het maakte het fragment er niet minder tenenkrommend van (de link opent een nieuw tabblad en leidt naar de korte video op Twitter).
Hoe dan ook hoop ik dat dit artikel op z’n minst een klein beetje bijdraagt aan de kennis van het electoraat van onze wereld, opdat we allen zo geïnformeerd en verantwoord mogelijk kunnen stemmen op de juiste personen voor de juiste posities, nog los van een ieders socio-economisch idealisme.
Als er iets is dat je hiervan hopelijk meekrijgt, dan is het dat de onzekerheidsrelatie van Heisenberg niet iets spiritueels betreft en dat het niets te maken heeft met wetenschappelijke meetfouten: het is goede, oude golfmechanica en Fourieranalyse zoals onderwezen aan undergraduates in hun eerste jaar op de universiteit. Het werkt en het werkt ontzettend goed. Het leidt niet tot de conclusie dat wetenschap niet in staat zal zijn om dingen te weten te komen over het universum. Wat dat betreft bewerkstelligt het precies het tegenovergestelde. Immers, je leest dit met een elektronisch apparaat dat bestaat bij gratie van onder andere Fourier, Heisenberg en De Broglie. En dat alles met een a bit of maths and physics.
Foto Werner Heisenberg door Friedrich Hund, een Duitse natuurkundige die de foto nam in Heisenbergs woonplaats, Göttingen in 1924. Het werd geüpload op Wikimedia Commons onder CC BY 3.0 door Friedrich Hunds zoon, Gerhard Hund, een Duitse wiskundige, informaticus, journalist en schaker. We hebben de kleurgecorrigeerde versie van Martin Geisler gebruikt.
Als de toestand van een subatomair deeltje alleen maar beschreven kan worden door een golffunctie in combinatie met de toestand van een ander subatomair deeltje dan spreken we van kwantumverstrengeling. Dit is het speciale geval waarbij beide deeltjes alleen beschreven kunnen worden door een en dezelfde golffunctie. Ze zijn geen losse entiteiten meer. Het verbluffende gevolg hiervan is dat het verrichten van een meting op het ene deeltje een onmiddellijk effect heeft op de meting van het andere deeltje, onafhankelijk van de fysieke afstand tussen de twee. In deze post, deel twee van onze miniserie over kwantumverstrengeling, zullen we de EPR-paradox van Einstein en zijn collega’s bespreken. Daarna bespreken we de stelling van Bell, die natuurkundigen in staat stelde om Einsteins voorstel te testen. Had Einstein gelijk?
Een schematische weergave van een elektron. Let wel, dit is niet hoe een elektron er werkelijk uitziet noch ziet een elektronspin er zo uit. De kwantumwereld is zo anders dat klassieke noties zoals die hier zijn toegepast eigenlijk niet langer voldoen. Hier doen we alsof het elektron een vervagende bal is die ogenschijnlijk om een as draait, maar eigenlijk is dat het niet en doet dat het niet. Het is nu eenmaal het beste wat we hebben. Hoewel, eigenlijk is het beste dat we hebben de wiskundige expressie die we golffunctie noemen.
Korte samenvatting
Hier volgt eerst een korte samenvatting van de vorige post van dit tweeluik:
1. we maken gebruik van de eigenschap genaamd spin om onderscheid te maken tussen de twee verstrengelde elektronen;
2. de oriëntatie van de spin van het elektron wordt aangeduid met spin-omhoog (tegen de klok in) of spin-omlaag (met de klok mee) ten opzichte van de as waarlangs de meting wordt verricht;
3. het is mogelijk om een willekeurige as te kiezen waarlangs je de meting uitvoert, in drie dimensies;
4. onafhankelijk van welke as je kiest, het meetresultaat zal altijd of spin-omhoog of spin-omlaag zijn (er is geen spin-schuin-naar-rechts bijvoorbeeld);
5. we zijn in staat om deeltjes op zo’n manier met elkaar te verstrengelen dat ze óf altijd tegengestelde spin óf altijd identieke spin zullen vertonen na meting; eenmaal op deze manier geprepareerd zullen ze nooit van dit patroon afwijken na meting;
6. in de vorige en in deze post maken we gebruik van de tegengestelde-spin-configuratie;
7. kwantummechanica stelt dat elektronen nog geen specifieke spinoriëntatie hebben vóór de meting: de golffunctie bevat alle mogelijke meetuitkomsten en in dit geval is dat dus spin-omhoog én spin-omlaag (of, iets anders geformuleerd, ‘in dit geval is dat dus nog geen definitieve spinoriëntatie’)(beginfootnote)Analoog hieraan toonde het dubbelspleetexperiment aan dat vóór meting deeltjes nog geen specifieke locatie hebben.(endfootnote);
8. zodra je, langs een willekeurige as, een meting verricht aan een van de twee elektronen, klapt de spin van het andere elektron onmiddellijk in de tegenovergestelde richting langs dezelfde as, ongeacht de ruimtelijke afstand tussen de twee deeltjes(beginfootnote)Of, als zij zodanig geprepareerd waren dat ze identieke spin zullen hebben, klapt het andere elektron natuurlijk in dezelfde spinoriëntatie langs de willekeurig gekozen as van meting bij het andere elektron.(endfootnote).
EPR-paradox
Einstein had begrip van kwantummechanica zoals weinig anderen en hij accepteerde de voorspellingen en resultaten ervan, maar hij had weinig op met de niet-lokale implicaties. Hij had moeite met punt 8 van de vorige paragraaf. Er is hier immers sprake van nul tijdsverschil tussen de beïnvloeding van een deeltje in Amsterdam (door het meten van zijn spin) en het fysieke gevolg hiervan voor het verstrengelde deeltje in Boston. Het overtreedt het centrale concept van Einsteins speciale relativiteit: geen signaal of informatie – of wat dan ook in dit universum – kan sneller zijn dan de snelheid van het licht(beginfootnote)In een vacuüm.(endfootnote) anders zou causaliteit niet bestaan. Met andere woorden, als informatie of signalen in staat waren om sneller dan het licht te zijn, zouden gevolgen kunnen gebeuren vóór de oorzaken ervan hadden plaatsgevonden. Dat lijkt niet te rijmen met het universum waar wij in leven, om het zachtjes uit te drukken.
Einstein, Podolsky en Rosen (EPR) hypothetiseerden dat er iets anders, iets geheimzinnigs aan de hand was – verborgen voor theoretische en experimenteel natuurkundigen. De kwantummechanica zoals tot dan toe bekend, was volgens hen incompleet. Uiteraard erkenden zij het succes ervan maar als het kwantumverstrengeling betrof, meenden ze dat er iets miste in de theorie van de golffuncties.
Om het probleem van sneller-dan-licht op te lossen, stelden ze zich voor dat wat er werkelijk gebeurde was dat deeltjes zich altijd al in een specifieke toestand bevinden. Als het kwantumverstrengelde elektronenpaar van elkaar gescheiden wordt, hadden ze altijd al een specifieke toestand van spin-omhoog of spin-omlaag, vanaf het begin, toen ze werden geprepareerd.
Stel dat een paar handschoenen werden vervaardigd. Zoals alle handschoenen zijn ze altijd elkaars tegenpool met betrekking tot links- of rechtshandigheid(beginfootnote)De meer algemenere term hiervoor is chiraliteit.(endfootnote). De een is altijd linkshandig, de ander altijd rechtshandig. En als de een rechtshandig is, is de ander linkshandig. (Anders heb je een handschoen van een ander paar.)
Stel, de machine waarmee het handschoenenpaar werd gemaakt, doet iedere handschoen in een eigen doosje. Wij kunnen niet zien welke handschoen in welk doosje ging. Een doosje gaat naar Amsterdam en de andere gaat naar Boston. Experimenteel natuurkundigen openen het doosje in Amsterdam: het is de rechtshandige! Nu weten we onmiddellijk welke handschoen in Boston is: de linkshandige. Geen magie, geen non-lokaliteit, geen lichtsnelheid brekende fratsen.
Einstein en vrienden zeiden dat het zo ook met de verstrengelde elektronen het geval moet zijn. Het elektronenpaar had altijd al een specifieke spinoriëntatie, vanaf het begin al. Pas in Amsterdam en Boston verrichten we de metingen. Het is dan natuurlijk alleen maar logisch dat als je weet welke spin het elektron in Amsterdam heeft, je meteen weet welke spin het elektron in Boston heeft.
Dus, concludeerde Einstein, non-lokaliteit is een illusie. Het betreft allemaal heel normaal en gewoon de lokale wetten van de natuur en een beetje logisch nadenken. Ten eerste is de spinoriëntatie simpelweg verborgen voor ons en niet principieel nog onzeker. Ten tweede is er geen spookachtige werking op afstand[1], zoals hij het uitdrukte(beginfootnote)In het Duits noemde hij het een ‘spukhafte Fernwirkung'[1].(endfootnote).
In het alledaagse spraakgebruik noemen natuurkundigen dit de lokale variant van een verborgen-variabelentheorie. ‘Verborgen variabelen’ verwijzen hierbij min of meer naar de deeltjeseigenschappen die we nog niet kunnen zien (zoals spinoriëntatie of variabelen die deze beïnvloeden) omdat onze kwantummechanische beschrijving (de golffunctie) incompleet is. Niettemin, stelt Einstein, de eigenschappen zijn al wel aanwezig, al wel in een specifieke toestand, en niet nog onbepaald tot een meting plaatsvindt.
De ongelijkheid van Bell
Helaas overleed Einstein in 1955. En Niels Bohr, de grote natuurkundige met wie hij graag debatteerde over de fundamentele aard van kwantummechanica, overleed in 1962. In beide gevallen te vroeg om John Stuart Bells artikel te lezen dat hij in 1964 publiceerde onder de titel ‘Over de Einstein Podolsky Rosen Paradox'[2]. Bell realiseerde zich dat Einsteins beschrijving van wat er zich werkelijk achter de schermen afspeelde zich in principe leent voor experimenten. Einsteins voorstel bracht een duidelijke voorspelling met zich mee, beter bekend als de ongelijkheid van Bell.
In het Nederlands is dat mogelijk wat ongelukkig geformuleerd, ‘ongelijkheid’; verwar het dus niet met ‘het ongelijk’. Er zijn trouwens meer ongelijkheden in de omloop die in de loop der tijd ontwikkeld en afgeleid zijn door natuurkundigen(beginfootnote)Behalve zijn originele ongelijkheid is er bijvoorbeeld de veelal toegepaste CHSH-inequality (Engels).(endfootnote). Om Bells ongelijkheid toe te lichten, maken we hier gebruik van een versie van David Mermin zoals hij die naar voren bracht in zijn fantastische Boojums All the Way Through: Communicating Science in a Prosaic Age[3].
Waar we ook gebruik van gaan maken is de mogelijkheid die genoemd is in punt 3 hierboven. We gaan de spinoriëntatie langs drie verschillende assen meten. Drie assen die onder een hoek van 120° ten opzichte van elkaar staan.
De eerste as betreft de spinoriëntatie langs de verticale as, die we zullen aanduiden met de volgende symbolen voor spin-omhoog en spin-omlaag:
$$\uparrow \downarrow$$
De spinoriëntaties omhoog en omlaag zullen ook langs de tweede as gemeten worden:
$$\nwarrow \searrow$$
En de spinoriëntaties langs de derde as geven we weer als:
$$\nearrow \swarrow$$
Stel je nu twee verstrengelde elektronen voor die van elkaar worden gescheiden. De gebruikelijke kwantummechanische beschrijving van ieder elektron is dat ze zich in een superpositie van spin-omhoog en spin-omlaag bevinden, langs alle drie assen.
Behalve dan dat Einstein zegt, nee, nee, nee, dat is niet echt zo: verborgen achter de ‘sluier van superpositie’ hebben ze in feite al een specifieke spinoriëntatie voor ieder van die drie assen. We weten simpelweg nog niet welke totdat we gaan meten!
Hij zegt dus dat het elektron in Amsterdam al in een specifieke spintoestand is voor alle drie de assen, zoals:
$$\left( \uparrow \searrow \swarrow \right)_A$$
Dus, langs as 1 is het spin-omhoog, langs as 2 is het spin-omlaag en langs as 3 is het ook spin-omlaag.
Einstein stelt verder dat het verstrengelde elektron in Boston dan logischerwijs in de tegenovergestelde spintoestanden verkeert:
$$\left( \downarrow \nwarrow \nearrow \right)_B$$
Einstein besluit dat zodra er een daadwerkelijke meting plaatsvindt in Amsterdam langs as 1, het natuurlijk logisch is dat je de tegenovergestelde spintoestand meet bij het elektron in Boston, langs dezelfde as!
Bells inzicht is vervolgens dat als je dit argument verder uitwerkt voor alle mogelijke combinaties van spintoestanden dat je een voorspelling kan doen over de verhouding waarin al die verschillende combinaties zich voordoen.
Ten eerste, stelt Bell, als je langs as 1 in Amsterdam meet, hoef je in Boston niet per se langs diezelfde as te meten: je kunt ervoor kiezen om langs as 3 te meten, bijvoorbeeld. Dus met de twee voorbeelden hierboven zou je als meetresultaten kunnen verkrijgen dat het in Amsterdam spin-omhoog is en in Boston óók spin-omhoog:
$$\left( \uparrow \right)_A \text{ en } \left( \nearrow \right)_B$$
Bell ging verder door te stellen dat als je het aantal combinaties omhoog-omhoog, omlaag-omlaag en natuurlijk omhoog-omlaag en omlaag-omhoog zou tellen, je dan uiteindelijk specifieke verhoudingen zal krijgen tussen deze combinaties. Als daarentegen zou blijken dat deze verhoudingen zich niet voordoen dan is Einsteins hypothese onjuist. In dat geval is er iets heel anders aan de hand dan Einstein zich voorstelde. De elektronen waren dan niet al in een specifieke toestand, wat betekent dat de non-lokaliteit bij metingen met kwantumverstrengeling daadwerkelijk bestaat!
Alles op een rijtje
Laten we alles even op een rijtje zetten. Laten we ons eerste voorbeeld van hierboven er weer bij pakken:
Als je langs as 1 in Amsterdam en langs as 1 in Boston meet, verkrijg je spin-omhoog en spin-omlaag. Als je langs as 1 in Amsterdam en langs as 2 in Boston meet, verkrijg je spin-omhoog en spin-omhoog. En zo verder. We hebben het in een tabelletje weergegeven:
Hier zie je alle mogelijke combinaties van meetuitkomsten langs de drie mogelijke assen van het elektron in Amsterdam (A) en Boston (B). We gebruiken O voor OP (spin-omhoog) en N voor NEER (spin-omlaag).
Bell stelt verder dat als Einstein het juist had, en de spintoestanden langs deze drie assen allang bepaald waren, dat de hier weergegeven combinaties behoren tot de verwachte uitkomsten.
datLaten we ons vooral concentreren op de combinaties ON en NO. Met andere woorden, laten we ons richten op het aantal keren dat we tegengestelde spintoestanden meten, onafhankelijk van langs welke as we die meting uitvoeren. We hebben die met geel gearceerd.
Precies vijf van de negen keren zal de spincombinatie dus tegengesteld zijn.
Laten we de andere spincombinaties ook verkennen. Stel dat het elektron in Amsterdam stiekem in de volgende spintoestanden verkeert, $\left( \downarrow \nwarrow \swarrow \right)_A$, en het elektron in Boston is dan precies zijn tegenpool, $\left( \uparrow \searrow \nearrow \right)_B$. Als we opnieuw de keren tellen dat de meetuikomsten tegengesteld zijn (langs de verschillende assen dus), zijn dat wederom vijf van de negen keer.
Ik denk dat je nu wel in de gaten krijgt waar dit heen gaat. We gaan niet alle tabellen langs, maar we doen er nog eentje dan. Stel, het elektron in Amsterdam verkeert zich langs alle drie assen in de toestand spin-omlaag, $\left( \downarrow \searrow \swarrow \right)_A$, en, uiteraard, die in Boston verkeert voor alle assen in tegengestelde toestand, $\left( \uparrow \nwarrow \nearrow \right)_B$. In dat geval zouden we negen van de negen keer de tegengestelde spinresultaten verkrijgen.
Deze versie van Bells ongelijkheid stelt dus dat de kans (P) om tegengestelde spincombinaties te meten langs alle drie de assen minstens $\frac{5}{9}$ of 55% (en ten hoogste 1 of 100%) is. Met andere woorden, $P(\text{opposite}) \geq \frac{5}{9}$. Als deze ongelijkheid geschonden wordt door een experiment, is de onderliggende theorie bewezen onwaar.
Experimentele resultaten
In de afgelopen dertig jaar zijn vele experimenten uitgevoerd die allen een versie van Bells ongelijkheid toepasten. Meestal betrof het echter fotonen in plaats van elektronen en mat men polarisatie in plaats van spin.
Freedman en Clauser voerden de eerste Bell-test uit. Zij gebruikten een versie van de zogenaamde CH74-ongelijkheid[4].
Het bekendste experiment werd uitgevoerd door Alain Aspect en collega’s. In opvolging van Bells suggestie waren zij in staat om de twee metingen op de twee verschillende plekken langs verschillende assen uit te voeren die willekeurig werden uitgekozen nadat de deeltjes (fotonen in hun geval) uit elkaar werden gehaald maar voordat de deeltjes bij de meetapparaten arriveerden.
Bij alle experimenten werden geen van de versies van Bells ongelijkheden verkregen. In plaats daarvan was de statistische uitkomst overeenkomstig met wat je zou verwachten vanuit de kwantummechanica zoals we die toen en nu nog steeds kennen. De conclusie was dat Einsteins lokale verborgen-variabelentheorie incorrect was. Er is niets lokaal aan het meten van kwantumverstrengelde deeltjes.
In onze specifieke ongelijkheid bleek dat het aantal keren dat je tegengestelde spincombinaties verkreeg, precies te liggen op 50% van alle metingen en niet 55%.
Conclusies
Laten we samenvatten wat we hier hebben kunnen vaststellen.
In de kwantummechanica verkeren deeltjes waarop nog geen metingen zijn verricht zich nog niet in een definitieve, specifieke toestand. In plaats daarvan worden ze het beste beschreven door een golffunctie die alle mogelijke toekomstige toestanden omvat waar ze uiteindelijk in kunnen ‘omklappen’ zodra ze wel worden gemeten.
Als een deeltje alleen beschreven kan worden in combinatie met een ander deeltje, dat wil zeggen, beide deeltjes kunnen alleen beschreven worden door een en dezelfde golffunctie, dan zijn ze maximaal verstrengeld(beginfootnote)In de praktijk, in de echte wereld, zijn deeltjes niet maximaal verstrengeld zoals we die kunnen verstrengelen in het laboratorium. De wereld is te rommelig voor deze ‘pure verstrengeling’. Er zijn simpelweg te veel deeltjes om niet met andere deeltjes te interacteren. Ieder deeltje zal zonder uitzondering interacteren met triljarden andere deeltjes en dus zal de coherentie van ieder beetje verstrengeling al snel verzwakken of zelfs geheel verdwijnen. Iedere interactie is een meting. Omdat onze hersenen heel groot zijn en uit triljarden deeltjes bestaat, zullen ze nooit in een dergelijke pure toestand van superpositie noch verstrengeling kunnen verkeren. Laat staan dat ons nog veel grotere lichaam zich ooit in een of andere kwantumtoestand kan bevinden. Dat is statistisch zo onwaarschijnlijk dat je zo oud moet worden als $(10^{100})^{100}$ de leeftijd van het huidige universum om dat een keer mee te maken. En dat getal is alleen maar symbolisch bedoeld. Het is veel groter.(endfootnote).
Als de verstrengeling zodanig is dat de spinoriëntatie altijd op een bepaalde manier correleert – ongeacht of het identieke spin of tegengestelde spin betreft – dan heeft een meting op een deeltje, waardoor het in een van de mogelijke, specifieke toestanden klapt, een onmiddellijk effect op de toestand van het andere deeltje: het klapt ook onmiddellijk uit de waas van de golffunctie met het andere deeltje correlerende, specifieke toestand.
Einstein hield er niet van want het impliceerde dat er op een of andere manier informatie van het ene deeltje naar het andere deeltje werd getransporteerd met een snelheid die hoger lag dan die van het licht.
Samen met Podolsky en Rosen stelden hij voor dat deeltjes altijd al een verborgen toestand hadden. Daarmee konden ze non-lokaliteit omzeilen.
John Bell toonde aan dat je de EPR-hypothese kon testen. Latere experimenten toonden aan dat EPR het niet bij het juiste eind hadden.
Deeltjes ‘klappen’ wel degelijk in een specifieke toestand zodra ze gemeten worden waar ze voorheen zich in nog geen enkele specifieke toestand bevonden.
Dat betekende dat non-lokaliteit klopt. Er is geen andere manier waarlangs het andere deeltje in de juiste toestand klapt.
Niemand weet nog hoe dit kan. Er zijn verschillende niet-lokale, verborgen-variabelentheorieën in de omloop. Een van bekendste versies is het zogenaamde ER=EPR-vermoeden van Juan Maldacena en Leonard Susskind. Misschien iets voor een volgende keer om in te duiken.
Einsteins afkeer van deeltjes die zich nog niet in specifieke toestand bevinden totdat ze gemeten worden, brachten hem tot de roemruchte uitspraak: ‘God dobbelt niet’.
Helaas had hij het hier op twee niveaus niet bij het juiste eind. God(beginfootnote)We gebruiken het woord ‘God’ hier puur metaforisch. Het verwijst niet naar een entiteit van een specifieke religie zoals aanbeden door velen in verschillende samenlevingen.(endfootnote) dobbelt wel. Bovendien gooit Hij de stenen waar we ze niet kunnen zien. Zelfs God lijkt gebonden te zijn aan de onzekerheidsrelatie van Heisenberg. Maar dat is een ander onderwerp voor een ander bit of maths and physics.
[1] Einstein, A., Podolsky, B. and Rosen, N. (1935) “Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?,” Physical Review, 47(10), pp. 777–780. doi: 10.1103/PhysRev.47.777.
[2] Bell, J. S. (1964) “On the Einstein Podolsky Rosen Paradox,” Physics Physique Fizika, 1(3), pp. 195–200. doi: 10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195.
[3] Mermin, N. D. (1990) Boojums all the way through : communicating science in a prosaic age. Cambridge England: Cambridge University Press.
[4] Fry, E. S. and Thompson, R. C. (1976) “Experimental Test of Local Hidden-Variable Theories,” Physical Review Letters, 37(8), pp. 465–468. doi: 10.1103/PhysRevLett.37.465.
[5] Aspect, A., Dalibard, J. and Roger Gérard (1982) “Experimental Test of Bell’s Inequalities Using Time-Varying Analyzers,” Physical Review Letters, 49(25), pp. 1804–1807. doi: 10.1103/PhysRevLett.49.1804.
Uitgelichte foto: theoretisch natuurkundige John Stuart Bell in het CERN, juni 1982 (CERN, CC BY 4.0)
Tot op de dag van vandaag krabben natuurkundigen zich op het hoofd als het gaat om kwantumverstrengeling en de daaruit voortkomende effecten. Dit onderwerp is opgesplitst in twee delen. In deze post bespreken we de begrippen lokaliteit en non-lokaliteit en wat kwantumverstrengeling is. De term kwantumverstrengeling is in het populaire taalgebruik veelvoorkomend in de context van spiritualiteit, healing en new-agebenaderingen van het menselijk bewustzijn. Dit heeft echter niets te maken met de kwantumverstrengeling die we hier bespreken. Hier kijken we puur naar de natuurkunde, de zuivere herkomst en originele context. We zullen daartoe de toestand van een systeem met twee deeltjes nader bestuderen. In de volgende post bespreken we welke bezwaren Einstein en vrienden naar voren brachten, wat Bell toen schreef en of Einsteins voorstel correct was. En we bespreken enkele intrigerende mazen van het net.
De basics
Voor de zekerheid nog even de basis. ‘Deeltjes’ zijn volstrekt geen deeltjes in de klassieke betekenis van het woord – het zijn geen kleine balletjes of kogeltjes. De beste beschrijving die we van ze hebben is de golffunctie, een wiskundige expressie waarin alle mogelijke toestanden van het deeltje zijn verwerkt. Dit betreft onder andere zijn energieniveau’s, zijn positie en nog een aantal andere eigenschappen of toestanden die het kan omvatten.
Zolang er geen metingen op los zijn gelaten, verkeert het deeltje niet in een specifieke toestand. Het vertoont golfachtige gedrag als een ondoorzichtige wolk van alle mogelijke toestanden. Zodra je echter metingen verricht, klaart die wolk ogenblikkelijk op en zal het deeltje eruit zien als een echt deeltje, in de klassieke zin van het woord. Met een specifieke toestand.
Overigens kan ‘de toestand van een elektron’ referen naar een deeltje zonder specifieke toestand of specifieke waarden van eigenschappen zolang geen metingen hiernaar zijn verricht. De toestand van een elektron is hier het beste beschreven als een golffunctie die alle mogelijke specifieke toestanden omvat.
Hierna worden ‘golffunctie’ en ‘toestand’ door elkaar gebruikt.
Isaac Newton wist dat hij een probleem had toen hij zijn theorie van de zwaartekracht eenmaal had geformuleerd. Het beschrijft heel mooi in behoorlijk precieze termen hoe de zwaartekrachten van twee massa’s zich tot elkaar verhouden, maar het verklaart niet hoe dat gebeurt. Hij was niet blij met de conclusie dat de zwaartekracht tussen de aarde en de maan op grote afstand dwars door een vacuum een soort spookachtige invloed kan hebben. Hij schreef dat het een dusdanig grote absurditeit was dat hij meende dat geen mens met enig talent tot nadenken over filosofische aangelegenheden hiervoor zal vallen. Beroemd is zijn toevoeging dat hij dit onopgeloste mysterie verder ‘ter overdenking aan zijn lezers’ overliet[1].
Met andere woorden, Newton was geen fan van non-lokaliteit(beginfootnote)De eerlijkheid gebiedt me te zeggen dat ik op het moment van schrijven niet zeker weet of dit de juiste Nederlandse term is voor het Engelse non-locality. Hetzelfde geldt voor ‘lokaliteit’, oftewel locality.(endfootnote). En toch, zijn theorie impliceerde dat er sprake moet zijn van een onzichtbare kracht die over grote afstanden door de leegte van een vacuum kan doorwerken. Bovendien lijkt het een instantane kracht te zijn: als de zon plotseling zou verdwijnen, dan zou de aarde subiet zijn ellipsvormige baan verlaten en de ruimte ingeslingerd worden. Tegenwoordig weten we dat niets sneller kan voortbewegen dan het licht, dus ook veranderingen in de zwaartekracht van de zon zouden er ongeveer acht minuten over doen voordat ze de aarde bereiken.
In de daaropvolgende jaren bleken fenomenen als magnetisme en elektriciteit inderdaad toch gewoon lokaal te zijn. Aan werd getoond dat er altijd sprake is van een indirecte weg via welke het ene object het andere kan beïnvloeden. Wat wordt er dus precies bedoeld met lokaliteit? Dit is het mechanisme: een object interacteert met zijn directe omgeving, een veld dat verankerd is in onze driedimensionale wereld, een elektromagnetisch veld in dit geval. Die interactie brengt als het ware een rimpeling teweeg in het veld, dat die rimpeling vervolgens doorzet naar het andere object. In termen van ‘velden’ kun je stellen dat er dus een bepaalde waarde van het veld veranderd is door het object. Die waardeverandering verandert op zijn beurt de waarden van het veld in de directe omgeving, die op hun beurt de waarde van het veld weer wijzigen in hún directe omgeving, enzovoort. Het is vergelijkbaar met ‘de wave’ van duizenden supporters in een voetbalstadion. Of omvallende dominostenen. Iedere verandering is altijd lokaal en de voortbewegingssnelheid kent een maximum van de snelheid van het licht.
Tuimelende telefooncellen zijn absoluut een ‘lokaal fenomeen’. De sculptuur Out of Order van David Mach bevindt zich in Kingston upon Thames (VK). Foto door 272447.
Vele jaren later verving Einstein de zwaartekrachttheorie van Newton met zijn algemene relativiteitstheorie. Het toonde aan dat Newtons intuïtie dat zwaartekracht nietniet-lokaal kon zijn, correct was. In de algemene relativiteitstheorie zijn ruimte en tijd zelve de rekbare substantie via welke zwaartekrachtverstoringen worden voortgeplant richting het andere object met de snelheid van het licht. Als een massa de ruimtetijd om zich heen plooit en kromt, rimpelen deze verstoringen verder door het universum op weg naar andere objecten. Op 11 februari 2016 slaagde een enorm samenwerkingsverband tussen ongelooflijk getalenteerde wetenschappers erin om deze zwaartekrachtrimpelingen in de ruimtetijd daadwerkelijk te meten en te registreren. Einstein voorspelde het bestaan van deze rimpelingen al in 1916. Het leverde drie sleutelfiguren de Nobelprijs op.
En zo leek het erop dat spookachtige invloeden op een afstand in de natuurkunde niet bestaan. En zelfs heden ten dage, in de moderne kwantumfysica, luidt de beste en meest succesvolle theorie dat er kwantumvelden verankerd zijn in ons universum die de media vormen via welke krachten worden voortgepland met de maximumsnelheid van het licht.
Non-lokaliteit omvat de verandering van een plek in de ruimte die ogenblikkelijk invloed uitoefent op een andere plek in de ruimte, onafhankelijk van de afstand tussen die twee plekken. Lokaliteit omvat de voortplanting van verandering op een plek in de ruimte door telkens aangrenzende plekken in die ruimte navenant te veranderen met de maximumsnelheid van het licht, onderweg naar een andere plek in de ruimte.
Spin
Elektronen beschikken over verschillende eigenschappen. Een van de meest in het oog springende is (negatieve) lading. Het Stern-Gerlach-experiment toonde aan dat ze over nog een eigenschap beschikken: kwantummechanische spin. De term is mogelijk wat verwarrend. Het verwijst geenszins naar het impulsmoment zoals we dat in de klassieke mechanica kennen; het heeft niets te maken met het klassieke draaien om een as. In feite valt het met geen mogelijkheid klassiek-mechanisch te beschrijven.
Niettemin, feit is, elektronen hebben een intrinsieke, kwantummechanische spin. Het valt te meten langs elke gewenste as – het maakt niet uit welke hoek die as maakt met enige horizontaal of verticaal. Zoals met alle objecten in de driedimensionale ruimte waar we in leven, kun je iedere hoek binnen de 360 graden kiezen – en dat in drie dimensies. Ten opzichte van welke as je ook kiest, kunnen elektronen echter maar twee spinoriëntaties hebben: met de klok mee of tegen de klok in(beginfootnote)Inderdaad, dit klinkt alsof ze toch om hun as roteren in de klassieke zin van het woord. En wellicht, in zekere, diepere zin, is dat wat het toch gedeeltelijk is, maar hoe dan ook verdient dit een eigen post. Voorlopig moeten we helaas maar accepteren dat onze taal te simplistisch is om klassieke termen voor het beschrijven van kwantummechanische fenomenen te vermijden – wat helaas misleidend is.(endfootnote). Die laatste noemen we spin omhoog en die daarvoor noemen we spin omlaag, geheel volgens de rechterhandregel.
Als elektronen als kleine, pluizige balletjes zijn, zoals hier afgebeeld, zou je je ‘spin’ kunnen voorstellen als een draaiing om de as waarlangs de meting plaatsvindt: met de klok mee of tegen de klok in. Gebruikmakend van de rechterhandregel duiden we die draaiing aan met spin-omhoog en spin-omlaag. Uiteraard kan er langs iedere willekeurige as gemeten worden omdat de wereld driedimensionaal is. En iedere keer bevat het elektron een spin om die as. Let wel: deze klassiek-mechanische illustratie geeft niet echt weer wat elektronen zijn noch wat kwantummechanische spin is. Maar mogelijk helpt het als een analogie. (Illustratie door KJ Runia)
Symbolen
Omdat we de lezer graag serieus nemen, grijpen we hier de gelegenheid aan om enkele wiskundige symbolen door te nemen die van pas komen in deze en de volgende post.
Vanaf nu gebruiken het symbool $\lvert A \rangle$ voor de toestand van een elektron in Amsterdam met betrekking tot z’n spinoriëntatie. Zolang we er nog geen metingen aan hebben verricht, verkeert het elektron nog niet in een specifieke toestand. Echter, zodra we bijvoorbeeld langs de verticale as de spin gaan meten, kan de spin dus alleen maar spin omhoog of spin omlaag zijn. Laten we die twee mogelijke uitkomsten aanduiden met $\lvert \uparrow \rangle_A$ en $\lvert \downarrow \rangle_A$.
Analoog hieraan duiden we de toestand van een elektron in Boston aan met $\lvert B \rangle$ en zijn de twee mogelijke meetuitkomsten $\lvert \uparrow \rangle_B$ en $\lvert \downarrow \rangle_B$.
Aangenomen dat de toestand van het elektron in Amsterdam nog niet gemeten is, kunnen we dit met betrekking tot z’n spin wiskundig opschrijven als een combinatie van beide mogelijke spin-toestanden:
Dit is waarom natuurkundigen het op een haast poëtische manier hebben over een deeltje dat – zolang het niet gemeten is – in beide spin-toestanden tegelijk verkeert, terwijl het nauwkeuriger is om te zeggen dat ze nog geen specifieke toestand hebben. Wiskundig gezien is de toestand een amalgaam van alle mogelijke, in een lineaire superpositie gebrachte (bij elkaar opgetelde), algebraïsche oplossingen van de Schrödingervergelijking. Vandaar dat men spreekt over een ‘deeltje in superpositie’.
Wat zijn die $\alpha$ en $\beta$? Dat zijn de waarschijnlijkheidsfactoren die we nog even moeten vinden. De waarschijnlijkheidsinterpretatie van Born stelt dat als we het kwadraat van de (modulus van de) golffunctie (de toestand) nemen, dat we dan de waarschijnlijkheid(sdichtheid) verkrijgen van eender welke mogelijke meetuitkomst. Experimenten toonden aan dat spin-omhoog en spin-omlaag beide in 50% van de gevallen uit de meting komt. Met andere woorden, de waarschijnlijkheid voor beide spin-toestanden is precies $\frac{1}{2}$. Dus als $\alpha=\beta=\frac{1}{\sqrt{2}}$, dan is het kwadraat daarvan $\lvert\alpha\rvert^2 = \lvert\beta\rvert^2 = \frac{1}{2}$. Immers, $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2}$ en dat is precies wat we willen. Dus de toestand (golffunctie) van ons Amsterdamse elektron met betrekking tot spin wordt dan genoteerd als
Met andere woorden, de toestand van een elektron voor een meting is de som van alle mogelijke toestanden (vermenigvuldigd met een waarschijnlijkheidsfactor, in dit geval is dat dus $\frac{1}{\sqrt{2}}$).
In het geval van een spinoriëntatie ten opzichte van de verticale as, zoals hier, is de toestand van het elektron dus de som van twee mogelijke toestanden, spin-omhoog $\lvert \uparrow \rangle$ of spin-omlaag $\lvert \downarrow \rangle$.
Nota bene: er zijn andere mogelijkheden. We hadden ook een meting kunnen verrichten langs de horizontale as. Ook dan zijn er maar twee spinoriëntaties mogelijk, maar die zouden we dan kunnen representeren met de symbolen spin-links $\lvert \leftarrow \rangle$ of spin-rechts $\lvert \rightarrow \rangle$. Of we hadden de spin langs assen onder een hoek van 120 graden ten opzichte van de verticale as kunnen meten. Dan zouden we $\lvert \nwarrow \rangle$ en $\lvert \searrow \rangle$ of $\lvert \nearrow \rangle$ en $\lvert \swarrow \rangle$ kunnen gebruiken. We gaan hier nog verder op in tijdens de bespreking van de Stelling van Bell in de volgende post.
Kwantumverstrengeling
Dus, wat is kwantumverstrengeling nu precies? Zoals inmiddels al herhaald is de golffunctie de meest complete beschrijving van een deeltje. Dit betrof echter meestal een vrij, enkel deeltje dat verder niet met iets of wat dan ook interacteerde. In het geval van kwantumverstrengeling gaat dit echter niet meer op.
Als de toestand van een deeltje niet langer beschreven kan worden zonder de beschrijving van de toestand van een ander deeltje, zijn deze twee deeltjes kwantumverstrengeld. Met andere woorden, het is niet langer mogelijk om van ieder deeltje afzonderlijk een golffunctie te formuleren. Ze kunnen alleen nog maar samen, als één systeem van twee deeltjes, door middel van één en dezelfde golffunctie worden beschreven.
Dit heeft verstrekkende gevolgen. Stel dat onze twee elektronen op zo’n manier kwantumverstrengeld zijn dat ze altijd elkaars tegengestelde spinoriëntatie bezitten(beginfootnote)De productie van spinverstrengelde elektronen is niet makkelijk, maar slimme experimenteel-natuurkundigen hebben zo hun trucs.(endfootnote). Dus als de een spin-omhoog is, $\lvert \uparrow \rangle$, is de andere altijd automatisch spin-omlaag, $\lvert \downarrow \rangle$, of vice versa(beginfootnote)Het is ook mogelijk om ze zodanig met elkaar te laten correleren dat de spin identiek is, maar in ons voorbeeld even niet dus.(endfootnote). Nu hebben we dus een systeem met twee deeltjes die altijd elkaars tegengestelde spin hebben, hetgeen betekent dat de totale spin van het systeem gelijk is aan 0, nul. Laten we de totale spin van ons systeem voortaan aanduiden met $\lvert S \rangle$.
Voordat de meting plaatsvindt, worden de elektronen van elkaar gescheiden. Een blijft achter in het laboratorium in Amsterdam, de ander gaat op transport naar Boston. Beiden verkeren op dit moment nog steeds in superpositie, geheel volgens hun ene golffunctie. Ze hebben geen exacte locatie (hoewel op het moment van meting de een zeer waarschijnlijk in Amsterdam zal zijn en de ander in Boston), hun energieniveau’s zijn niet scherp gedefinieerd en hun spin is omhoog noch omlaag.
We kunnen deze situatie met betrekking tot spin weergeven als volgt:
Oftewel, de totale spin $\lvert S \rangle$ van ons systeem met twee deeltjes is een combinatie van twee situaties: het elektron in Amsterdam is spin-omhoog en dat in Boston spin-omlaag of het elektron in Amsterdam is spin-omlaag en dat in Boston is spin-omhoog. We trekken de producten van elkaar af omdat de totale spin gelijk is aan 0, weet je nog? Ten slotte worden beide toestanden vermenigvuldigd met de breuk $\frac{1}{\sqrt{2}}$ omdat beide toestanden 50% kans hebben om als resultaat te verschijnen (wat je krijgt als je alles kwadrateert).
Wat betekent dit nu? Zodra je een meting op het elektron in Amsterdam uitvoert en het resultaat is dat het spin-omhoog is, is het elektron in Boston ogenblikkelijk spin-omlaag ten opzichte van de gemeten as in Amsterdam. En dit terwijl de kans vóór de meting nog steeds 50% was. Hoe ‘weet’ het elektron in Boston wat de meetuitkomst in Amsterdam was? En hoe weet het dat zo snel? Sneller dan het licht, nota bene! Bovendien blijkt dat je bij het andere elektron altijd een specifieke spin tegengesteld aan die van het eerste gemeten elektron verkrijgt. Dus ineens is de kans 100% dat de meetuitkomst in Boston een tegengestelde spin is. (Of vice versa.) Er treden geen enkele uitzonderingen op!
Met andere woorden, zodra we de meting uitvoeren, verandert de wiskundige beschrijving van
$$\lvert S \rangle = \lvert \uparrow \rangle_A \lvert \downarrow \rangle_B,$$
oftewel, de toestand van de totale spin is gelijk aan de spin-omhoog voor het elektron in Amsterdam en in Boston spin-omlaag, of, vice versa:
$$\lvert S \rangle = \lvert \downarrow \rangle_A \lvert \uparrow \rangle_B.$$
En hier is het verbluffende: de uitkomst van de meting van deeltje A heeft dus instantane gevolgen voor de spin van deeltje B, ongeacht de ruimtelijke afstand tussen de twee deeltjes. Tot zover lokaliteit dus. Welkom terug, non-lokaliteit.
Einstein accepteerde deze kwantummechanische voorspelling. Echter, hij had er niets mee. Hoe kon het deeltje onmiddellijk weten welke spintoestand aan te nemen terwijl Einsteins verbluffend succesvolle theorieën van relativiteit op de universele wet leunden dat niets sneller kan gaan dan de snelheid van licht? Hij accepteerde de theorie, maar concludeerde dat de theorie nog niet compleet was. Er moest nog sprake zijn van een verborgen mechanisme dat ze over het hoofd zagen.
Einsteins poging om het principe van lokaliteit en de universele snelheidslimiet te redden zullen we in de volgende post bespreken. De stelling van John Bell en het experiment van Alain Aspect zullen dan ook aan bod komen. Tot die tijd laten we de vraag of Einstein gelijk kreeg ‘ter overdenking over aan de lezer’.
[1] Newton, I. (1756) Four Letters from Sir Isaac Newton to Doctor Bentley: Containing Some Arguments in Proof of a Deity [Online]. Available here. (Accessed: 14 May 2020)
Micro- en moleculair-biologen die onderzoek verrichten naar virussen, bacteriën, schimmels, menselijke en dierlijke cellen maken vaak gebruik van een laboratoriumcentrifuge. Met dit apparaat kunnen ze verschillende stoffen van elkaar scheiden. Denk aan het recente coronavirus, SARS-CoV-2, of dna-materiaal.
De rotor van het apparaat draait vaak op hoge snelheid. Het is van vitaal belang dat de reageerbuizen op een uitgebalanceerde manier zijn aangebracht. Als dat niet gebeurt, kan de machine kapot gaan en kunnen de glasscherven en potentieel gevaarlijke substanties in de rondte vliegen(beginfootnote)Veel apparaten bevatten sensoren om dit te voorkomen. Zie voorts Tot besluit hieronder.(endfootnote).
Gelukkig is er een vernuftige manier om van tevoren te berekenen of het in principe mogelijk is om met een gegeven aantal beschikbare plekken voor reageerbuizen en een gegeven aantal reageerbuizen de machine gebalanceerd in te pakken. Hiervoor gebruiken we mijn favoriete type getallen: de priemgetallen. Fun fact: deze truc is pas in 2010 wiskundig bewezen.
Voor we beginnen nemen we aan dat de massa van iedere reageerbuis plus inhoud dezelfde is. Verder merken we op dat deze berekening uiteraard ook op de natuurkundige manier uitgevoerd kan worden, met hoeksnelheid en draaimomenten en dergelijke, maar in dit geval gebruiken we pure wiskunde, i.c. de getaltheorie.
Stel dat de centrifuge acht reageerbuizen kan bevatten. De acht gaten zijn gelijkmatig verdeeld over de rotor van de machine.
Als we slechts een reageerbuis zouden hebben, zie je meteen dat dit niet uitgebalanceerd kan worden. Met twee lukt het natuurlijk prima. Je plaatst ze gewoon tegenover elkaar. Met drie? Hm. Dat wordt lastig. Hoe je ze ook plaatst, het blijft een asymmetrische toestand. Met vier? Dat is weer gemakkelijk. Je kunt gewoon een symmetrisch rechthoekje of vierkantje maken.
Oké, en vijf dan? Wacht eens even… deze situatie is vergelijkbaar met drie reageerbuizen. Drie en vijf zijn complementair bij een totaal van acht. Bij drie lukte het al niet, dus bij vijf gaat het dan ook niet lukken. Logisch.
Zes? Absoluut. Bij twee lukte het ook. Dan lukt het bij zes ook. Je kunt het prima symmetrisch inpakken.
Zeven? Nee. Je zult het inmiddels wel door hebben: zeven reageerbuizen zijn complementair aan die ene reageerbuis aan het begin.
En acht… nou ja, nogal wiedes. Dat lukt. En het is hetzelfde als geen reageerbuizen. Dan is de machine ook gebalanceerd natuurlijk.
Zie je er al een patroon in? Misschien lukt het je. Merk dus op hoe de bezette plekken en de lege plekken altijd complementair zijn aan elkaar.
Ontbinden in priemfactoren
Ik neem aan dat bekend is wat een priemgetal is: een geheel getal groter dan 1 die niet geschreven kan worden als een product van twee kleinere gehele getallen. Op de middelbare of misschien zelfs de basisschool heb je misschien meegekregen dat het hele getallen zijn (groter dan 1) die alleen door 1 of door zichzelf gedeeld kunnen worden. Dus voorbeelden van priemgetallen zijn 2, 3, 5, 11, 13, 17 enzovoorts.
Ontbinden in priemfactoren is het schrijven van een niet-priemgetal als een product van twee of meer priemgetallen. De hoofdstelling van de rekenkunde stelt dat ieder geheel getal óf zelf een priemgetal is óf een product van priemgetallen. Dit is een van de redenen waarom priemgetallen mijn favoriet zijn; het zijn de basisblokjes van alle gehele getallen.
Laten we het getal 15 nemen. Dit kunnen we dus ook schrijven als $15 = 3 × 5$. Of neem 279. Dit kunnen we ontbinden als $279 = 3 × 3 × 31 = 3^2 × 31$. En 16 wordt dan $16 = 2 × 2 × 2 × 2 = 2^4$.
Zoals je ziet is het ontbinden in priemgetallen een soort van uit elkaar trekken van een niet-priemgetal in kleinere priemgetallen. Die laatste noemen we in dit verband ook wel priemfactoren.
Dus, dat is dat. Een van de vele toepassingen van ontbinding in priemfactoren is het vinden van de grootste gemene deler. Of het versleutelen (en ontsleutelen) van geheime berichten en bestanden. Hier gaan we het toepassen om te berekenen of we reageerbuizen in een rotor kunnen doen op een manier die uitgebalanceerd is.
De truc
Stel, je machine heeft $n$ beschikbare plekken. Stel, $k$ is het aantal reageerbuizen die je erin wilt stoppen. Het aantal lege plekken is dan $n-k$. Hier is dan de truc.
Ontbindt $n$ in priemfactoren. Als $k$ geschreven kan worden als de som van deze priemfactoren en het aantal lege plekken $n-k$ geschreven kan worden als de som van deze priemfactoren, kun je de rotor gebalanceerd inpakken. (En vice versa.)
De wiskunde
Het voert te ver om het bewijs van Gary Sivek in zijn paper van 2010 (ook hier) uitgebreid te bespreken. De strekking ervan, mocht je daartoe neigen, kun je lezen door op ‘Meer’ te klikken. Maar je kunt het natuurlijk ook skippen en doorgaan naar de volgende paragraaf als het (begrijpelijk) onbegrijpelijk is.
Meer
Om een cyclotomische polynoom te verkrijgen (of priempolynoom), zoeken we de eenheidswortels op van de complexe getallen $z^n$ waarbij $z^n = 1$. Oftewel, we hebben dan $n$-de eenheidswortels waarbij $n$ het totaal aantal plekken is in de centrifuge. We projecteren vervolgens de reageerbuizen zonder overlap op de eenheidswortels. Zoals welbekend zijn de waarden van $z in \mathbb{C}$ gegeven door $e^{\frac{2\pi i}{n} k}$, waarbij $1 \leqslant k \leqslant n$.
Nu heben we dus $k$-eenheidswortels onder de $n$-de eenheidswortels.
Sivek bewees met het Theorema van Leung en Lam dat als (en slechts dan als) de som van de $n$-de machten van de $k$-bezette eenheidswortels en de som van de $n$-de machten van de $n-k$-‘bezette’ (dus lege) eenheidswortels ‘opgeheven worden’, oftewel gelijk zijn aan nul (met die goede, oude formule van De Moivre, zoals je vast nog weet van het eerste sememster op de uni), er sprake is van een $k$-balans, oftewel, je kunt het balanceren (zolang als $n \geqslant 2$ en $1 \leqslant k \leqslant n-1 $; $k=0$ and $k=n$ werden om voor de hand liggende redenen als triviaal beschouwd).
Zoals je kunt zien komt er geen klassieke mechanica bij aan te pas.
Een voorbeeld van acht eenheidswortels in het complexe vlak
Voor de hand liggende voorbeelden
Stel, we hebben een centrifuge voor maximaal 8 reageerbuizen. We hebben slechts 6 reageerbuizen. Eerst ontbinden we 8 in priemfactoren. Dat is makkelijk, dat is alleen het getal 2. Vervolgens zien we dat we 6 inderdaad als een som van 2 kunnen schrijven. En complementair is het aantal lege plekken, $8-6=2$, de priemfactor zelve! Dus het antwoord is ja, 6 reageerbuizen kun je gebalanceerd in een machine voor 8 stoppen.
Laten we 7 reageerbuizen nemen. Kunnen we 7 schrijven als een som van priemfactor 2? Nee. Nou, dat is dan dat. We kunnen geen gebalanceerde verdeling maken.
Een contra-intuïtief voorbeeld
Stel, onze centrifuge kan er 12 hebben. We hebben er slechts 7. Hm. Van 6 weten we dat het werkt, maar eentje meer, zou dat lukken?
De priemfactoren van 12 zijn 2 en 3, immers $12=2×2×3=2^2×3$.
We kunnen 7 schrijven als een som van die priemfactoren $7=2+2+3$. Oké, dat gaat goed. En het aantal lege plekken dan? Welnu, $12-7=5$ en inderdaad, 5 kunnen we ook schrijven als $5=2+3$.
Dus het antwoord is: ja, we kunnen met 7 reageerbuizen een uitgebalanceerde indeling maken in een rotor met 12 plekken.
Misschien was dat niet iets wat je meteen inzag. Maar als je een afbeelding en een uitwerking ervan zou zien, is het waarschijnlijk ineens heel erg logisch. Je krijgt bonuspunten voor als je een dergelijke tekening kan maken voor 5 reageerbuizen. Dat zou nu een eitje moeten zijn.
Bonustruc
Het mooie is dat al het bovenstaande leidt tot nóg een manier om uit te vogelen of je een uitgebalanceerde centrifuge kunt verkrijgen. En, eerlijk gezegd, dit is denk ik de makkelijkste manier. Als je het aantal reageerbuizen kunt schrijven als de som van twee aantallen waarvan je al weet dat je daarmee afzonderlijk een uitgebalanceerde centrifuge mee krijgt, kun je er een uitgebalanceerde centrifuge mee krijgen. Gheghe.
Tot besluit
In werkelijkheid beschikken de meeste machines over sensoren om vervelende onbalans te voorkomen. De rotoren bevatten vaak ook markeringen waardoor men er niet heel erg over hoeft na te denken waar de reageerbuisjes geplaatst moeten worden. Bovendien zorgt men er meestal voor dat men het aantal buisjes prepareert die overeenstemt met een gebalanceerde centrifuge.
Veel rotoren hebben drie compartimenten met sets reageerbuizen. Dat vangt een grotere massavariatie makkelijker op. En sommige machines, zoals bijvoorbeeld in ziekenhuislaboratoria, beschikken over volledig geautomatiseerde robots die de buisjes weegt, plaatst en eventueel balansbuisjes toevoegt.
De reden waarom dit type wiskunde wordt bedreven is niet zozeer gelegen in de toepasbaarheid ervan als wel plezier hebben in de ontdekking van diepe verbanden zoals hier – tussen priemgetallen en complexe meetkunde, zogezegd. Het is vooral een opwindende, leuke en vruchtbare menselijke verkenning van de landen der getaltheorie, algebraïsche meetkunde en bijvoorbeeld Galoisvelden op het continent van de zuivere wiskunde.
Meer dan driehonderd jaar geleden ontstonden er onder een groepje mannen met 17e-eeuwse pruiken of 18e-eeuwse mannenpaardenstaarten met zwarte lintjes, twee kampen. Ze kibbelden over wat voor soort verschijnsel licht is. ‘Licht is golven’, zeiden Huygens, Hooke, Euler en companen. ‘Nee, nee, licht is deeltjes’, zeiden Newton en Laplace en collega’s. Zelfs in het jaar 1990 moest mijn natuurkundeleraar van de middelbare school bekennen dat hij zelf niet precies wist wat het goede antwoord was.
Zijn verwarring is begrijpelijk. Hoewel hij de accurate wijze waarop je licht moet aanschouwen had kunnen weten, is het waar dat de inmiddels fameuze tweespletenexperimenten op het eerste gezicht voor veel onduidelijkheid en onrust zorgden.
Laten we door de twee spleten in de wondere wereld van kwantummechanica tuimelen waar dingen op twee plekken tegelijk kunnen zijn. Of lijken te zijn.
(niet per se bedoeld als podcast; er wordt verwezen naar figuren in het artikel)
De opzet
Stel dat je een flink geweer had waarmee je met één schot een flinke hagelwolk kunt afvuren. Stel dat je die op een scherm met twee smalle spleten zou richten. De spleten zijn smal maar breed genoeg om een stukje hagel door te laten. Hoe zou de hagelinslag op een scherm erachter uitzien? Wat voor patroon zou je verwachten?
Figuur 1. Een scherm met twee smalle spleten
Ik ben er vrij zeker van dat je antwoord sterke overeenkomsten vertoont met de situatie zoals weergegeven in Figuur 2.
Figuur 2. Het scherm met de twee spleten en een scherm daarachter waarop het kenmerkende patroon van deeltjes te zichtbaar is
Het is precies wat je zou verwachten als je hagel, of liever, deeltjes af zou vuren op een scherm met twee smalle spleten.
Goed. Stel je nu voor dat we de twee schermen langzaam voor de helft zouden onderdompelen in een vijvertje. De golven van het vijvertje rollen gemoedelijk richting het eerste scherm met de twee spleten, zoals weergegeven in Figuur 3.
Figuur 3. De schermen zijn nu half ondergedompeld in water. Watergolfjes naderen het eerste scherm.
Hoe zouden nu de golven eruit zien aan de andere kant van de twee spleten? In Figuur 4 zie je een bovenaanzicht van het resultaat.
Figuur 4. De twee spleten veranderen de golven in cirkelvormige golven alsof er twee stenen tegelijk in het water zijn gegooid
De twee spleten transformeren de golfjes in twee cirkelvormige golven. Alsof er twee stenen in het water waren gegooid. Je ziet ook hoe de cirkelvormige golven elkaar snijden. Je mag terecht verwachten dat er enige vorm van interactie zal zijn tussen die twee cirkelvormige golven.
Laten we daartoe eens naar een echte vijver kijken. In de GIF van Figuur 5 zie je ook heel duidelijk hoe twee cirkelvormige golven met elkaar interfereren. Als twee pieken elkaar ontmoeten, versterken ze elkaar, ze worden op die plek extra hoog. En als twee dalletjes elkaar ontmoeten, worden ze daar extra dallerig. In beide gevallen versterken ze elkaars amplitude. Maar als een piek een dal ontmoet, gebeurt er juist het tegenovergestelde: dan doven ze elkaar uit.
Figuur 5. Twee cirkelvormige golven in een echt vijvertje
Kijk nu naar de animatie van Figuur 6 en dan met name naar hoe het water vervolgens tegen het tweede scherm aanklotst. De plekken waar de golven elkaar versterken zijn wit gekleurd en waar de golven elkaar uitdoven is zwart weergegeven.
Figuur 6. De plekken waar de golven elkaar versterkten zijn wit gekleurd, de plekken waar de golven elkaar uitdoofden zijn zwart
Met andere woorden, het patroon op het tweede scherm dat typisch hoort bij golven is het patroon dat vervolgens is weergegeven in Figuur 7.
Figuur 7. Het scherm met de twee spleten en daarachter het scherm met het kenmerkende patroon dat bij golven ontstaat
Voor de duidelijkheid, we hebben dus twee opties. Als we deeltjes op het eerste scherm met de spleten afvuren, zullen we op het tweede scherm het patroon zien zoals links is weergegeven in Figuur 8. En als het golven zijn die we richting de spleten sturen, zullen we het patroon zien zoals rechts is afgebeeld in Figuur 8.
Figuur 8. Als er deeltjes door de spleten zijn gevlogen, krijg je het patroon links te zien. Als er golven door de spleten zijn gegaan, zie je het patroon rechts.
Het interferentie-experiment van Young
Thomas Young was een veelzijdige wetenschapper en arts. In de jaren negentig, maar dan van de 18e eeuw, schreef hij een verhandeling over de fysieke en wiskundige eigenschappen van geluid. In 1800 presenteerde hij vervolgens voor de Royal Society, de Britse Nationale Academie van de Wetenschappen, zijn bevinding dat licht – net als geluid – uit golven bestaat. Men was in het begin niet echt overtuigd vanwege Newtons en Laplaces sterke voorkeur voor de theorie dat licht uit deeltjes bestaat.
Young toonde vervolgens aan dat ze ernaast zaten. Hij maakte overigens geen gebruik van twee spleten. In plaats daarvan liet hij een zonnestraal door een gaatje ter grootte van een speldenprik schijnen waarachter hij vervolgens een stuk papier haaks op plaatste zodat de straal in feite in tweeën gespleten werd. De twee kleinere straaltjes aan weerzijden van het papier interfereerden vervolgens met elkaar verderop in de kamer. Het resulterende lichtpatroon dat dit opleverde zag eruit zoals weergegeven in Figuur 9.
Figuur 9. Het patroon dat Young produceerde met zonlicht
Als licht uit deeltjes had bestaan zou je een heel ander patroon gezien hebben. Dit resultaat wees er echter op dat de golftheorie van licht correct was. Young noemde dit zijn belangrijkste prestatie.
Dit markeerde het begin van de acceptatie van de golftheorie van licht (hoera voor Huygens en zijn vrienden) en een verlaten van de deeltjestheorie van licht (jammer voor Newton en co).
Of toch deeltjes?
Figuur 10. Individuele elektronen
Om het er niet gemakkelijker op te maken zouden later Max Planck, Albert Einstein en anderen het weer aannemelijker maken dat licht toch weer uit deeltjes bestaat. In een vorige post, De formule die Albert Einstein de Nobelprijs bezorgde en ons ervan zou moeten weerhouden de huid te verbranden, bespraken we Einsteins ontdekking die hem dus de Nobelprijs bezorgde.
In het kort: Max Planck en Albert Einstein toonden aan dat bepaalde eigenschappen en gedragingen van licht alleen verklaard konden worden door aan te nemen dat licht uit kleine energiepakketjes bestaat, of kwanta, zoals ze werden genoemd.
Maar los daarvan vonden experimenteel-natuurkundigen nog iets geks. In de jaren zestig (van de vorige eeuw) werden elektronen over het algemeen nog beschouwd als kleine deeltjes – bij wijze van spreken als kleine hagelkorrels of kogellagertjes. In plaats van licht vuurde men elektronen op een splitter af – één tegelijk. Eerst leek het te gaan zoals te verwachten viel. Enkele (11) stipjes verschenen op het scherm zoals weergegeven in Figuur 10. Echter, naargelang de individuele elektronen werden afgevuurd begon er een verbluffend patroon te ontstaan – het patroon dat je zou verwachten bij met elkaar interfererende golven!
Zijn elektronen dan ook golven? Hoe dan?
Uiteraard voerden ze hetzelfde experiment uit met licht: met individuele fotonen, welteverstaan – de kwanta van licht waar Max Planck en Albert Einstein het over hadden. Het licht was van dermate lage intensiteit dat de fotonen een voor een op het scherm met twee spleten werd afgevuurd. Het resultaat was hetzelfde: het golfpatroon werd langzaam maar zeker zichtbaar op het tweede scherm. Dus zijn het dan deeltjes én golven?
Op twee plekken tegelijkertijd?
Theoretici begonnen te theoretiseren dat de enige verklaring kon zijn dat een individueel elektron of foton op een of andere manier door beide spleten vlogen, op een of andere manier met zichzelf interfereerde om op die manier het golfpatroon op het tweede scherm te doen ontstaan. Op die manier zou je dus een deeltje kunnen hebben dat golfgedragingen vertoont.
Om deze theorie te testen plaatste men detectoren bij de spleten om te zien of de elektronen en fotonen inderdaad door beide spleten vlogen.
Het resultaat was verbluffend. Het golfpatroon op het tweede scherm verdween volstrekt. In plaats daarvan ontstond het patroon dat je verwacht te zien bij deeltjes, zoals in Figuur 2. Bovendien ging er nu telkens maar een detector af – de ander liet dan niets van zich horen. Met andere woorden, de elektronen en fotonen gingen helemaal niet door beide spleten tegelijk: altijd maar een!
Maar op het moment dat de detectoren weer verwijderd werden, ontstond het golfpatroon weer!
En zelfs als men maar een detector plaatste bij een van de twee spleten, verdween het golfpatroon en maakte het plaats voor het deeltjespatroon.
Het was also het elektron en het foton precies wisten wanneer ze bekeken werden en op slag hun gedrag veranderden.
Dit heet het meetprobleem in de kwantummechanica. In de volgende post zullen we daar dieper op ingaan.
Mensen begonnen nu te praten over de golfdeeltjedualiteit. Zijn deeltjes echt deeltjes of toch golven? Antwoord: beide, zei men dan. Soms zijn ze golven, soms zijn ze deeltjes.
Velden
Tegenwoordig heet het heersende paradigma kwantumveldentheorie – wiskundige veldbeschrijvingen om het gedrag van ‘deeltjes’ als het elektron, het foton en een hele dierentuin aan elementaire deeltjes van onze werkelijkheid te beschrijven. De meest succesvolle kwantumveldentheorie tot nu toe is het zogenaamde Standaardmodel. In een vorige post, Waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking, duiken we een beetje in de kwantumveldentheorie.
In het kort komt het erop neer dat de vraag of licht uit deeltjes danwel uit golven bestaat, beantwoord is: het zijn velden. Hetzelfde geldt voor elektronen. En alle andere elementaire ‘deeltjes’. Het zijn allemaal velden.
Zolang als er geen interactie plaatsvindt met de rest van de wereld, zoals met detectoren, zijn een foton of een elektron onderdeel van de golffunctie van hun respectievelijke elektromagnetische veld en elektronveld, gehoorzamend aan de Schrödingervergelijking. Ze gedragen zich als golf. Niettemin, zodra ze interacteren met iets zoals een detector, worden ze gedetecteerd zijnde een deeltje, wat niet meer is dan een doorsnede van de veel grotere extentie die de golffunctie is.
Ik beloof dat we deze laatste twee alinea’s verder zullen uitpluizen in een volgende post. We lichtten al een tipje van de sluier op in Dit is geen atoom.
Maar zijn ze nu op twee plekken tegelijk?
Nee, niet eens in technisch opzicht. In metaforisch opzicht? Ook niet. Die bewering is waarschijnlijk het resultaat van een mix van verkeerde en onbewuste vooronderstellingen en het gebrek aan adequate, talige omschrijvingen van iets dat louter wiskundig te beschrijven lijkt.
Als je stelt dat elektronen op twee plekken tegelijk zijn, beeld je je waarschijnlijk en misschien onbewust in dat elektronen toch nog kleine balletjes zijn, of kogeltjes. Die dan alsnog met zichzelf interferen, op een of andere manier. Dit is gewoon niet juist.
De correcte expressie is dat elektronen en fotonen – en alle elementaire deeltjes – geen specifieke locatie kennen (zolang je ze met rust laat). Hun bestaan is simpelweg verspreid in de ruimte volgens de golffunctie, die op zijn beurt in de tijd veranderingen doormaakt op de manier zoals de Schrödingervergelijking dicteert. Nogmaals, Dit is geen atoom gaat hier verder op in.
Behoorlijke hoofdbrekers, nietwaar? Welkom bij de club. Grote geesten zijn je inmiddels voorgegaan in hun queeste om de hoofden succesvol over de tweespletenexperimenten te breken. En nu ben jij er ook een.
Zonlichtdefractiepatroon door Aleksandr Berdnikov onder CC BY-SA 4.0
Opbouw van het interferentiepatroon in de tijd bij het tweespletenexperiment uitgevoerd met elektronen, uitgevoerd door Dr. Tonomura. Het aantal elektronen zijn respectievelijk 11 (a), 200 (b), 6000 (c), 40000 (d), 140000 (e). Door Belsazar onder CC BY-SA 3.0.
Het Vermoeden van Collatz is waarschijnlijk een van de makkelijkst te begrijpen problemen waarvan niettemin nog nooit in de geschiedenis der wiskunde de geldigheid is bewezen. Het mooie is dat een leerling in de laatste groep van de basisschool heel goed in staat is om de berekeningen uit te voeren, terwijl zelfs de grootste wiskundige geesten nog niet in staat zijn gebleken om te bewijzen of en zo ja, waarom het Vermoeden van Collatz waar is of niet. Wijlen de grote Hongaarse wiskundige Paul Erdős wordt vaak geciteerd: ‘Wiskunde is waarschijnlijk niet voorbereid op dit soort problemen.’[1]
De regels
Er bestaat enige controverse over of het werkelijk de productieve Duitse wiskundige Lothar Collatz was die als eerste op het idee kwam in 1937, twee jaar na zijn promotie tot doctor in de wiskunde. Het is mede hierom ook bekend als het ‘3n + 1 probleem’, het Vermoeden van Ulam, het Probleem van Kakutani, het Vermoeden van Thwaites, Hasse’s Algoritme of het Probleem van Syracuse. Mocht je vermoeden dat de meeste benamingen verwijzen naar andere mensen, dan klopt dat.
De regels van het Vermoeden zijn zo eenvoudig dat het niet onwaarschijnlijk is dat velen hetzelfde idee kregen, onafhankelijk van elkaar.
De regels zijn als volgt:
Neem ieder positief, geheel getal.
Doe een van de volgende dingen:
als het een even getal is, deel het door 2;
als het een oneven getal is, vermenigvuldig met 3 en tel er 1 bij op.
Doe met het antwoord een van de volgende dingen:
als het antwoord 1 is, stop;
als het antwoord niet 1 is, gebruik dan het antwoord om terug te gaan naar stap 2 om er opnieuw een van de twee handelingen mee uit te voeren. En zo verder.
Het Vermoeden luidt als volgt: ongeacht welk positief, geheel getal je neemt als startpunt, ongeacht het aantal stappen die doorlopen moeten worden, je komt altijd uit bij 1.
(Als je door zou gaan met het getal 1, zou je simpelweg een klein cirkeltje maken en in drie stappen weer terugkeren bij 1, tot het einde der tijden. Dat zou een beetje dom zijn, dus stop er dan gewoon mee.)
Voorbeeld
Laten we het eens in de praktijk bekijken. Laten we beginnen met 10. 10 is even; gedeeld door 2 is 5. 5 is oneven; vermenigvuldigd met 3 plus 1 is 16; 16 is even; gedeeld door 2 is 8. 8 is even; gedeeld door 2 is 4. 4 is even; gedeeld door 2 is 2. 2 is even; gedeeld door 2 is 1. We zijn er!
Dit kostte 6 stappen. Je kunt zelf een paar getallen proberen, als je wilt. Dat wil zeggen, je kunt de computer, de telefoon of de tablet het saaie werk laten doen. Dat kan hier.
Visualisatie
Zoals je misschien al wel zag via de voorgaande link is het mogelijk om de stappen te visualiseren die geproduceerd worden door het Collatz-algoritme. Hier laten we snel enkele alternatieven de revue passeren voordat we de bekendste visualisatie bespreken, die van Edmund Harriss (waar we een JavaScript-applet voor schreven, hoera!).
Stel dat we de voortgang van de resultaten van ons voorbeeld hierboven willen visualiseren. We begonnen met 10. Dat ziet er uit zoals hieronder weergegeven. Zoals je ziet, fluctueert de waarde een beetje voordat het neerdaalt naar 1:
Dat zijn heel veel getallen voordat je uiteindelijk bij 1 uitkomt. Honderdveertien stappen. Dit is een visualisatie ervan:
Zoals je ziet fluctueert het behoorlijk. Het is een beetje chaotisch, lijkt het. Er is geen duidelijk patroon te zien, anders dan dat je uiteindelijk bij 1 uitkomt. Omdat de waarden vrij groot lijken te kunnen worden, laten we bovenstaande weergave iets wijzigen en het semi-logaritmisch maken. De y-as wordt logaritmisch, de x-as laten we nog even lineair.
En gewoon, omdat het misschien leuk is, laten we nu de stapvolgorde omdraaien: de grafiek wordt op die manier gespiegeld en convergeert naar 1 in de hoek linksonder.
Omdat het eigenlijk moeilijk te voorspellen is hoeveel stappen een bepaalde serie in beslag gaat nemen, laten we nu ook de x-as in een logaritmische schaal zetten. We krijgen dan:
Met deze manier van weergeven kunnen we waarschijnlijk een heleboel van deze sequenties tonen! Laten we als laatste daarom een reeks van sequenties gaan plotten! Oftewel, we laten ons JavaScript-applet eerst een sequentie vanaf het getal 10000 berekenen. Daarna laten we het automatisch een sequentie vanaf het getal 9999 produceren. En zo verder, tot we het begingetal 4 bereiken. En dan plotten we het allemaal tegelijk! Om te voorkomen dat het te warrig gaat worden – aangezien verschillende sequenties elkaar zullen overlappen – maken we de weergave van een sequentie iets doorzichtig. Als sequenties elkaar overlappen wordt de grafiek daar donkerder. Dit is het resultaat:
Het wordt bijna een soort kunst. Als je deze grafiek zou inlijsten, zonder titels, assen en schaalverdelingen – alleen de grafiek – dan zou je een geometrische kunstvorm kunnen hebben met de titel ‘Het Vermoeden van Collatz’ of iets dergelijks. Ik denk eigenlijk dat ik dat ga doen.
Edmund Harriss, een wiskundige aan de University of Arkansas, bedacht een prachtige visualisatie van Collatz-sequenties. Het werd uitgebreid besproken op het wiskundige YouTube-kanaal Numberphile.
Een screenshot van de video van Numberphile waarin een deels handgemaakte versie van Edmund Harriss’ visualisatie getoond wordt
De regels van zijn visualisatie zijn eenvoudig. Als de huidige stap twee keer zo groot is als de volgende stap, draai een bepaalde hoeveelheid met de klok mee, anders draai de helft van die hoeveelheid tegen de klok in (totdat je natuurlijk de waarde 1 bereikt). Het resultaat is een organische bundel van draden – rommelig en ogenschijnlijk willekeurig, binnen bepaalde grenzen, net als in de natuur.
We schreven een JavaScript-applet waarmee we deze manier van weergeven probeerden te benaderen. We gebruikten het om er de grote afbeelding bovenaan deze pagina mee te maken. Je kunt het hier zelf proberen.
Als je al deze verschillende visualisaties bekijkt en de ogenschijnlijk wanordelijke voortgang van de sequenties in ogenschouw neemt, is het misschien niet verwonderlijk dat het geheim tot nu toe nog niet gekraakt is.
[1] Guy, Richard K. (2004). “E17: Permutation Sequences”. Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. pp. 336–7. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001.
Tegenwoordig weten we dat alle dingen om ons heen – de stoel waar we op zitten, het scherm waar we naar staren – uit allerlei verschillende soorten moleculen bestaan die op hun beurt weer bestaan uit verschillende soorten atomen. De oude Griekse wijsgeren zoals Democritus dachten al dat materie uit kleine, fysiek ondeelbare dingetjes bestaat – die noemden ze dan atomen.
De Grieken hadden het echter niet helemaal bij het rechte eind: ook het atoom bestaat weer uit elektronen, protonen en neutronen. En die laatste twee bestaan dan weer uit nóg kleinere dingen: quarks en gluonen.
Wat niet veel mensen weten echter is dat dit klassieke plaatje:
absoluut geen atoom is!
Oude ideeën
Als je je ophield in de verkeerde vriendenkring kan het zijn dat je werd wijsgemaakt dat elektronen als kleine planeetjes om de atoomkern heen cirkelden. Alsof het mini-zonnestelseltjes zijn. Dat klopt dus niet.
Andere foute vrienden konden je op de mouw hebben gespeld dat kwantummechanica iets magisch, iets spiritueels is, de toegangspoort tot een dieper inzicht in de liefde, het menselijk bewustzijn en ‘healing’. Telepathie zelfs! Ook dat zijn fantasierijke verzinsels.
Toegegeven, de beroemde fysicus Richard Feynman wordt nog vaak geciteerd. Hij zei dat niemand kwantummechanica begrijpt. In zekere zin is dat waar. Elementaire deeltjes gedragen zich niet als onze alledaagse objecten en dat is best vreemd. Bovendien vertellen de wiskundige vergelijkingen ons wel wat ze doen maar niet wat ze zijn. We kennen alle formules maar we weten niet per se wat ze betekenen – in tegenstelling tot bijvoorbeeld de simpele woorden ‘microscopisch kleine balletjes’.
Dat betekent echter niet dat we geen moeite hoeven te doen om elementaire deeltjes toch nuttig en voorspelbaar te maken voor onze beperkte hersenen. En daarmee meteen minder mysterieus en esoterisch. Het betekent geenszins dat we niet in staat zouden zijn om een verbluffende theorie van kwantumgedrag te benutten.
En dat is precies wat we hebben gedaan sinds kwantummechanica voor het eerst in de jaren twintig van de vorige eeuw werd geformuleerd. Vandaar dat we tegenwoordig beschikken over mobiele telefoons, computers, camera’s en zelfscankassa’s in de supermarkt.
Laten we er niet langer om heendraaien; tijd om tot de kern door te dringen.
Klassieke mechanica versus kwantummechanica
Op de middelbare school kregen we Newtoniaanse mechanica. We leerden dat de wereld geregeerd wordt door de drie wetten van Newton. De krachtigste was de tweede: kracht is massa maal versnelling,
$F=ma.$
We leerden dat als een object beweegt, het zich verplaatst volgens Newtons tweede wet. Het mooie van deze mechanica was dat fysici en ingenieurs hiermee in staat zijn om de toekomst te voorspellen (en het verleden te reconstrueren) van bijvoorbeeld een glijdend blok, gebaseerd op slechts een handjevol bekende startcondities.
Sommetjes met glijdende blokken op hellingen waren dagelijkse kost in de bovenbouw van de middelbare school
Algemener uitgedrukt – en ietwat natuurkundiger – stellen we dat Newtoniaanse mechanica in staat is om de toestand van een systeem in de tijd met wiskundige, oneindige precisie te beschrijven, gebaseerd op een voldoende bekende set van initiële condities. We noemen dit een deterministische theorie aangezien het mogelijk is om het verleden en de toekomst van de toestand van een systeem te beschrijven. Dankzij deze eigenschap hebben zelfs ruimtevaartuigen zoals de Apollo Lunar Module en de Mars Rover Curiosity hun buitenaardse bestemmingen met succes weten te bereiken.
In de kwantummechanica bestuderen we het gedrag van subatomair spul, zoals elektronen en quarks. Na vele plotwendingen door de geschiedenis heen blijkt dat we hier eigenlijk niet zo goed in staat zijn om het verleden en de toekomst van, zeg, een elektron te voorspellen – althans niet zoals bij blokjes en balletjes in Newtoniaanse mechanica. Waarom niet? Omdat het simpelweg niet hetzelfde is als een blokje of een balletje. Het is in die zin niet eens een deeltje (aangenomen dat met deeltje een ‘kogeltje’ of ‘balletje’ wordt verstaan). Het is een golffunctie (wave function in het Engels), een wiskundige expressie dat alle mogelijke toestanden van een ‘deeltje’ beschrijft. Dat is zowaar een heel ander beestje.
Mogelijke toestanden? Ja, want in de kwantummechanica zijn de dingen niet zo deterministisch. Blijkt namelijk dat om de toestand van bijvoorbeeld een elektron te beschrijven Newtons tweede wet niet van toepassing is. Het is fundamenteel onmogelijk om te voorspellen (of te reconstrueren) waar een elektron zich bevindt op willekeurig welk tijdstip ook. Of hoe snel het zich voortbeweegt op een bepaald tijdstip. Het beste dat we kunnen doen is berekenen wat de waarschijnlijkheid is dat het zich hier of daar bevindt of die of deze snelheid heeft. Met andere woorden, de toestand van een elektron kan alleen worden uitgedrukt in waarschijnlijkheden.
Ook blijkt dat deze waarschijnlijkheden van de set van mogelijke toestanden in de tijd veranderen. Gelukkig is hier dan wél een vergelijking voor, net zoals in de Newtoniaanse mechanica. In de kwantummechanica hebben we de Schrödingervergelijking. Het vertelt ons hoe de golffunctie, de set van alle mogelijke toestanden van een deeltje, in de tijd verandert. In zijn meest compacte vorm(beginfootnote)Hoewel, technisch gezien, als je Newtons notatie gebruikt in plaats van die van Leibniz, een nog compactere vorm $i \hbar \dot{\Psi} = \hat{H} \Psi$ is.(endfootnote) luidt die:
Het is niet nodig om alle symbolen al te begrijpen, maar nu zie je dat er ook in de kwantummechanica een prachtige vergelijking centraal staat zoals bij Newtoniaanse mechanica(beginfootnote)Er zijn andere manieren om de tijdsontwikkeling van een golffunctie te berekenen, zoals de matrixmechanica van Heisenberg, Feynmans padintegralen of Diracs combinatie van matrixmechanica en de Schrödingerverglijking. Echter wordt de hier vermelde wijze zonder uitzondering gedoceerd aan bachelorstudenten.(endfootnote). Het geeft je de tijdsevolutie van $\Psi$, het symbool voor de golffunctie.
Deterministische theorieën zoals Newtoniaanse mechanica worden ‘klassiek’ genoemd waar kwantummechanica met probabilistische golffuncties te maken heeft(beginfootnote)Merk op dat de Schrödingervergelijking zelf deterministisch is. De golffunctie herbergt daarentegen de waarschijnlijkheden. Of, als je een Pietje Precies bent, zoals ik, geeft de normkwadraat van de golffunctie de waarschijnlijkheidsdichtheid (door deze te integreren over een volume, een oppervlak of een afstand).(endfootnote).
Golffunctie
Zoals we leerden in de vorige paragraaf is een deeltje geen deeltje. Toegegeven, we spreken nog steeds van een ‘deeltje’ maar dat is alleen maar bij gebrek aan een betere term. Het is een overblijfsel van de beperkte kennis van het universum die wij mensen vroeger hadden. Het concept van een deeltje past ook beter tussen de dingen die we al wel kennen. We kunnen ons een balletje voor de geest halen omdat we vroeger met balletjes speelden. Of knikkers. Toegegeven, soms lijken deeltjes op deeltjes, maar dat bespreken we in de laatste paragraaf.
Desalniettemin bewezen vroeg-twintigste eeuwse experimenten dat balletjes absoluut niet de juiste beeldvorming opleverden. Tegenwoordig vormen golffuncties onze beste beschrijving van ‘deeltjes’, wiskundige expressies. De fundamentele vraag is of de golffunctie het deeltje is of slechts een mathematische representatie ervan. Deze vraag is nog onbeantwoord, hoewel de mening van de auteur van deze post is dat na ongeveer een eeuw van de ongelooflijk succesvolle theorie van de kwantumwereld het misschien tijd wordt om de golffunctie te zien als dat wat een deeltje is.
Kijk, om het verschil tussen een deeltje en een golf te illustreren, eens naar dit puntachtige deeltje. De horizontale as is de x-coördinaat in de ruimte en de verticale as is de y-coördinaat in de ruimte.
Vertel eens, waar in de ruimte bevindt zich het deeltje? Je had het hoogstwaarschijnlijk meteen goed. Het bevindt zich op coördinaat (2,3). Goed.
Kijk nu eens naar deze (tweedimensionale) golf:
Vertel nu eens, waar in de ruimte houdt de golf zich precies op? Je vindt het hier misschien iets moeilijker om een specifieke set coördinaten op te hoesten. Dat komt omdat het zich op verschillende plekken tegelijkertijd ophoudt. Het heeft niet een specifieke positie. In natuurkundejargon spreken we van een superpositie.
Ditzelfde speelt een rol bij een elektron (of ieder ander ‘deeltje’). Het bevindt zich in een superpositie. En niet alleen in termen van zijn positie: het verkeert ook in een superpositie in termen van energie, impuls en nog een paar eigenschappen. Met andere woorden, het is op allerlei plekken tegelijkertijd op verschillende energieniveau’s tegelijkertijd, zich voortbewegend op allerlei snelheden tegelijkertijd.
Het is belangrijk om te weten dat de golffunctie absoluut niet hetzelfde is als een simpele sinusgolf in de normale ruimte zoals die hier puur ter illustratie is vertoond(beginfootnote)En, inderdaad, als je een voorgaande post over lichtbreking in glas had gelezen, weet je dat ‘deeltjes’ oscillaties zijn van hun respectievelijk, driedimensionaal kwantumveld in de kwantumveldentheorie. De golffunctie speelt een centrale rol in deze ongelooflijk succesvolle theorie. Ten tweede is de golffunctie een zogenaamde complexe functie en bestaat daarmee in de zogenaamde complexe ruimte $\mathbb{C}$ en niet in de ‘gewone’ getalsruimte $\mathbb{R}$ waar we allemaal mee opgroeiden. Ten slotte – en dit is de avant-garde van moderne, theoretische natuurkunde – is er eigenlijk slechts één golffunctie, de golffunctie van het universum. Ieder veld en deeltje vormen slechts kleine stukjes van die golffunctie, die niettemin als kleine, individuele golffuncties gezien kunnen worden om het hanteerbaar te houden.(endfootnote).
Je begrijpt nu misschien hoe revolutionair kwantummechanica is vergeleken met de simpele mechanica van de balletjes en blokjes in ons alledaagse leven.
Plaatje van een atoom
Eindelijk zijn we dan gearriveerd bij het plaatje van het atoom. We weten dus inmiddels dat het elektron geen puntachtig deeltje is, het is een golffunctie. Hoe zien golffuncties er dan uit? Welnu, ze zijn wolkachtig, maar geen wolken, uitgesmeerd in de ruimte, maar ze hebben geen duidelijke omvang noch locatie. Ze hebben geen specifieke snelheid noch specifieke energieniveau’s. Ze bevinden zich in een superpositie van al deze toestanden. De waarschijnlijkheden van die toestanden kunnen in de tijd oscilleren zoals voorgeschreven door de Schrödingervergelijking.
Dat schiet zo niet heel veel op, nietwaar?
Vrees niet. Dillon Berger, een PhD-student in de theoretische deeltjesfysica aan de Universiteit van Californië, Irvine, heeft met gebruikmaking van de Schrödingervergelijking een prachtige animatie gemaakt van een dwarsdoorsnede van een waterstofatoom. De contouren representeren de golffunctie van een elektron. De kleuren geven de waarschijnlijkheid aan waarmee het elektron zich in die toestand bevindt als een functie van de tijd. Een waterstofatoom heeft overigens maar één elektron, dus wat je ziet is slechts één elektron. (De tijd in in de animatie is duizend biljoen keer vertraagd. De kern, een proton, is te klein, dus die zie je niet.)
Time Evolution of Hydrogen in Superposition of Energy Eigenstates (3,2,0 & 4,1,0 states) •The probability density of the electron's position oscillates in time when in a superposition of states of definite energy pic.twitter.com/Yx8oFPaKb5
Dus die hele kleine-balletjes-of-planeten-om-de-kern-draaiend-analogie? Vergeet het voorgoed.
Tenzij we kijken
Ho eens even, zou je kunnen zeggen. Hoe komt het dan eigenlijk dat professionele natuurkundigen het nog steeds over deeltjes hebben? En als je zegt, ‘geen specifieke omvang’, hoe verklaar je dan in de wetenschappelijke tabellenboekjes van de middelbare school we prima konden aflezen hoe groot de verschillende deeltjes zijn? En hoe verklaar je onderstaand klassiek geworden afdruk van een nevelvat die het bestaan van een nieuw subatomair deeltje aantoonde? Die kromme baan lijkt absoluut als iets dat een puntachtig deeltje zou maken en totaal niet wat een golf zou achterlaten.
Source: Anderson, Carl D. (1933). “The Positive Electron”. Physical Review 43 (6): 491–494
Het is zeer begrijpelijk dat je, in het licht van deze empirisch verkregen gegevens, dat hele verhaal over golffuncties in twijfel trekt. Je bent hiermee gestuit op een mysterie in het hart van de kwantummechanica, een Nobelprijs waardig. Het heeft natuurlijk ook een naam: het meetprobleem.
Gebleken is dat deeltjes inderdaad golffuncties zijn maar alleen als we niet kijken. Zodra we metingen verrichten, waarbij we bijvoorbeeld de positie proberen te bepalen, zullen we ze niet op allerlei plekken vinden, zoals een golf. In plaats daarvan zullen we ze op een specifieke plek aantreffen – precies zoals we zouden verwachten van een puntachtig deeltje!
Dit is wat het beroemde tweespletenexperiment aantoonde. In een andere post gaan we hier nader op in.
Dit is de reden dat je heden ten dage misschien hebt gehoord van ‘golfdeeltjedualiteit’ van de subatomaire wereld. De golffunctie is de meest complete beschrijving van een deeltje. Zodra we metingen verrichten zien we enkele een minuscuul segment van de oorspronkelijke golffunctie, niet meer dan een scherf van de set van alle mogelijke toestanden.
Om die reden toont Dillon Bergers animatie dan ook een waterstofatoom dat volstrekt met rust gelaten wordt. Het is zijn fundamentele bestaanstoestand: een elektrongolffunctie in superpositie, oscillerend in de tijd volgens de Schrödingervergelijking. Maar zodra er sprake is van interactie met zijn omgeving zal er slechts een metaforische snede uit zijn volledige existentie zichtbaar worden (een snede die correspondeert met het uiterlijk vertoon van een puntachtig deeltje).
Hoe dit gebeurt of wat er eigenlijk gebeurt als we een meting verrichten is nog onduidelijk. Hier zullen we in een andere post nader op in gaan, waarbij we verschillende interpretaties de revue zullen laten passeren. Verwacht een post over de Kopenhaagse interpratie, de Vele-wereldeninterpratie en andere pogingen.
Nu heb je in ieder geval een beter beeld van een atoom. Waarschijnlijk.
Hoewel het een van de bekendste bewijzen is onder de bewijzen, kan de irrationaliteit van $\sqrt{2}$ eigenlijk niet ontbreken op een blog over wiskunde en natuurkunde. Dus, bij deze.
Wat is irrationaal?
In het geval men niet geheel bekend is met wiskundig jargon lichten we eerst toe wat het betekent om irrationaal te zijn. Uiteraard doelen we niet op de psychologische attributie ‘irrationeel’. Je schrijft het net iets anders. We spreken over het wiskundige begrip irrationaal.
Misschien dat je je nog de breuken van de lagere of basisschool kunt herinneren:
Een voorbeeld van de toepassing van een breuk is bij een lekker recept waar een zekere verhouding van water en rijst in voorkomt. Mogelijk ben je je er niet altijd van bewust, maar die verhouding kan worden opgeschreven als een breuk: het is de ratio tussen water en rijst. In feite is een breuk een verhouding, een ratio. Daarom wordt een getal dat óók kan worden weergegeven als een breuk, een rationaal getal genoemd (dus, nogmaals, niet rationeel, maar rationaal).
Om de perfecte, luchtige rijst te verkrijgen zonder af te hoeven gieten na afloop, moet men bijvoorbeeld een verhouding van 1 kop rijst en 1,5 kop water aanhouden(beginfootnote)Spoel de rijst eerst goed af om het zetmeel en het stof te verwijderen. Hiermee bevorder je de luchtigheid van de gekookte rijst. Voeg 1.5 keer de hoeveelheid rijst aan water toe. Voeg zout toe als je vindt dat het moet. Breng het water zo snel mogelijk aan de kook. Draai het vuur laag tot het kokende water zachtjes pruttelt. Roer de rijst nog een keer goed om en doe het deksel erop. Laat het acht minuten zo staan. Verwijder het deksel niet van de pan, ook niet om even te kijken. Al het water moet in de pan blijven. Draai na acht minuten het vuur uit en laat het nu rusten voor weer acht minuten. Laat nog steeds het deksel erop zitten. Laat de rijst zoveel mogelijk al het water opnemen, ook nog in dampvorm. Dat is het.(endfootnote). Dus, de breuk is $\frac{1}{1.5}$.
Uiteraard is het gebruikelijk om een breuk op te schrijven met gehele getallen in de noemers en delers. Dus, $\frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$. Vermenigvuldig de noemer en de deler met twee. Met andere woorden, voeg voor iedere twee koppen rijst, drie koppen water toe.
Op de rekenmachine zien we dat $\frac{2}{3} = 0.666\dots$ Er komt geen eind aan dat getal, maar het getal is niettemin prima op te schrijven als een breuk, een verhouding, een ratio: $\frac{2}{3}$.
Uiteraard is $\frac{2}{3}$ hetzelfde als $\frac{4}{6}$, $\frac{10}{15}$ of $\frac{200}{300}$, aangezien deze allen – en dit is van cruciaal belang – veelvouden zijn van de originele breuk: ze kunnen allemaal vereenvoudigd worden tot hun meest simpele vorm, $\frac{2}{3}$. Iets technischer uitgedrukt: als een breuk niet verder vereenvoudigd kan worden, is de grootste gemene deler van de teller en de noemer gelijk aan 1. De breuk $\frac{2}{3}$ is de meest vereenvoudigde breuk, want je kunt de teller en de noemer niet verder delen door hetzelfde gehele getal, afgezien van het getal 1. Goed onthouden.
Nu kunnen we aangeven wat irrationaliteit betekent.
Premisse 1. Een getal is irrationaal als het niet geschreven kan worden als breuk, een ratio, die zo ver mogelijk vereenvoudigd is.
Twee bekende voorbeelden van irrationale getallen zijn $\pi$ en $\sqrt{2}$. Op de rekenmachine zien we dat er geen numerieke herhaling in deze getallen lijkt voor te komen. Dit is een eigenschap van irrationale getallen.
Babylonisch kleitablet met wortel 2. (Credits beneden.)
Bewijs uit het ongerijmde
Hoe bewijzen we nu dat $\sqrt{2}$ irrationaal is, oftewel, hoe tonen we aan dat het niet als een verhoudingsgetal, een breuk, kan worden geschreven? Dat doen we via het zogenaamde bewijs uit het ongerijmde: als het tegenovergestelde van een stelling aantoonbaar onwaar is (en er zijn ook werkelijk maar twee mogelijkheden), dan moet de oorspronkelijke stelling waar zijn. In een vorig artikel gebruikten we dezelfde strategie om te bewijzen dat min min plus is.
Dat doen we hier nu ook.
Even en oneven
Premisse 2
We maken ook gebruik van het feit dat een getal vermenigvuldigd met 2 gelijk is aan een even getal. Neem ieder getal, even of oneven, vermenigvuldig dat met 2 en je krijgt een even getal. Dit is verder geen hogere wiskunde: karakteristiek van een even getal is immers precies dat het deelbaar is door 2. In ons bewijs zullen het symbool $k$ voor ‘een getal, ieder getal, even of oneven’ gebruiken, dat vermenigvuldigd zal worden met 2.
Premisse 3
Als je het kwadraat neemt van een oneven getal, is het resultaat altijd een oneven getal. Als je het kwadraat neemt van een even getal, is het resultaat altijd een even getal. Andersom, als je de vierkantswortel van een oneven kwadraat neemt, is het resultaat altijd oneven. Bij even kwadraten krijg je een even wortel. Check in het hoofd even dat het klopt (het klopt). We zullen in een andere post bewijs hiervoor leveren.
Oké? Let’s go.
Bewijs dat wortel 2 irrationaal is
Anti-premisse 1. Stel het tegenovergestelde: $\sqrt{2}$ kan wel worden geschreven als een zoveel mogelijk vereenvoudigde verhouding: enig (geheel) getal $a$ gedeeld door enig (geheel) getal $b$.
Nu zien we dus dat $a^2$ een even getal is aangezien $b^2$ – eender welk getal dit moge zijn – vermenigvuldigd wordt met 2. Dit betekent ook dat $a$ geen oneven getal kan zijn, het is een even getal – zie premisse 3.
Conclusie 1: $a$ kan niet oneven zijn, het is een even getal.
We kunnen ook stellen dat $a = 2k$, waarbij $k$ enig getal is, eender welk getal, even of oneven. Als we dit substitueren in vergelijking (4), verkrijgen we
Dit betekent dat, onafhankelijk van wat de waarde van $k^2$ is, het is een even getal omdat het wordt vermenigvuldigd met 2. Met andere woorden, $b^2$ is ook een even getal. En dat betekent weer dat $b$ ook een even getal is.
Conclusie 2. $b$ kan geen even getal zijn – het is ook een even getal.
Kijkend naar Conclusies 1 en 2, verkrijgen we
Conclusie 3: $\frac{a}{b}$ is niet de meest vereenvoudigde breuk aangezien $a$ en $b$ nog steeds door 2 gedeeld kunnen worden.
Dit is een contradictie. De breuk $\frac{a}{b}$ kan niet zowel de meest vereenvoudigde breuk zijn en tegelijkertijd niet de meest vereenvoudigde breuk. Conclusie 3 rijmt niet met Anti-premisse 1: ze zijn zelfs in tegenspraak. Met andere woorden, er bestaat geen breuk $\frac{a}{b}$ in de meest vereenvoudigde vorm die gelijk is aan $\sqrt{2}$. En dus, de oorspronkelijke stelling Premisse 1 is waar.
Credentials of the Babylonian tablet clay tablet showing the root of 2: Photograph by Bill Casselman under CC BY-SA 3.0, and the Yale Babylonian Collection as the original holder of the tablet. A black and white rendition of Casselman’s own photograph of the Yale Babylonian Collection’s Tablet YBC 7289 (c. 1800–1600 BCE), showing a Babylonian approximation to the square root of 2 (1 24 51 10 w: sexagesimal) in the context of Pythagoras’ Theorem for an isosceles triangle. The tablet also gives an example where one side of the square is 30, and the resulting diagonal is 42 25 35 or 42.4263888…(30 x square root of 2).
Het is waarschijnlijk de beroemdste vergelijking op deze planeet: $E = mc^2$. Energie is massa keer de lichtsnelheid in het kwadraat(beginfootnote)In de wiskunde laten we meestal het teken voor vermenigvuldiging, $\times$, achterwege.(endfootnote). Deze relatie, deze vergelijking tussen energie, massa en de lichtsnelheid, heeft een naam: de massa-energierelatie. Misschien heb je ooit ergens gelezen of heb je iemand horen uitleggen dat ‘Einstein bewees’ dat massa een vorm van energie is, dat massa bevroren energie is, dat massa omgezet kan worden in energie en dat, uiteindelijk, alle materie in essentie pure energie is.
Dit alles is echter helemaal niet wat de vergelijking inhoudt. Niet in dit universum, in elk geval. Laten we hier de werkelijke betekenis ervan bespreken. We denken dat het tijd is om ons te ontdoen van het onnodig obscurantisme dat gepaard gaat met de vele populaire verklaringen. Alle wis- en natuurkundigen die vroeger hebben bijgedragen aan ons huidige begrip van massa en energie verdienen namelijk beter.
Albert Einstein (rechts) met de Nederlandse natuurkundige Paul Ehrenfest (links) en Ehrenfests zoon in Ehrenfests huis in Leiden.
Standing on the shoulders of giants
Einstein was niet de eerste om de relatie tussen massa en energie te beschrijven. Er waren best nog wat mensen voor hem die, op een of andere manier de connectie tussen massa, energie en snelheid verkenden. Niettemin hielden de meesten er de hypothese op na dat er sprake was van een toename van mechanische massa uitsluitend als gevolg van interacties met elektromagnetische velden. Men sprak van zogenaamde elektromagnetische zelf-energie dat een vorm van elektromagnetische massa veroorzaakte (Miller, 1981; Okun 1989). Einstein toonde vervolgens aan dat een dergelijk concept niet nodig was en kwam als eerste met een correcte afleiding van de beroemde relatie. Desalniettemin publiceerde hij gedurende een aantal jaren daarna nog meer afleidingen van de vergelijking.
Overigens bevatten geen van zijn publicaties de letterlijke vorm $E = mc^2$. Je zou ze mogelijk niet herkennen als je ze zag. Bovendien is de vergelijking niet universeel waar.
Ten slotte is de beroemde formule niet de volledige versie. Meestal zijn mensen enkel bekend met de hippe editie die op een honkbalpetje past. De complete vergelijking is echter universeler en wordt ook wel door hedendaagse natuurkundigen de correcte versie genoemd(beginfootnote)cf. https://youtu.be/mkiCPMjpysc(endfootnote). Deze is echter niet als eerste door Einstein opgesteld, maar door Paul Dirac (Eisberg & Resnick, 1974; Miller 1981). Daar komen we nog op terug.
Onder andere deze indrukwekkende geesten hebben allen een versie van de beroemde vergelijking afgeleid voordat Einstein dat deed.
Energie is een mathematisch concept
We herinneren ons eraan dat energie niet een ‘ding’ is. Zoals we al benoemden in een vorig artikel is het niet een of ander onzichtbare, immateriële, vloeistofachtige ‘essentie’ waar alles van gemaakt is, schuilgaand achter de façade van de tastbare wereld. Fork, no.
Het is altijd slechts een getal geweest, een boekhoudkundig hulpmiddel, een belangrijk en heel praktisch mathematisch concept. Het werd voor het eerst voorgesteld door de zeventiende eeuwse, Duitse geleerde Gottfried Wilhelm von Leibniz. Wat het mathematisch concept is? Het is het getal dat je verkrijgt als je de massa van een object vermenigvuldigt met zijn snelheid in het kwadraat(beginfootnote)Later werd dit herijkt op 1/2 keer de massa keer de snelheid in het kwadraat.(endfootnote). Het is een pragmatische manier om de balans tussen deze twee eigenschappen op te maken.
Stel je een biljarttafel voor met drie biljartballen. We negeren iedere vorm van wrijving. Dit geïsoleerde systeem ondergaat een constante, interne verandering: de ballen ketsen voortdurend tegen elkaar en stuiteren tegen de rand. Leibniz veronderstelde dat de massa van de ballen niet veranderde. Wat wel veranderde was de snelheid van de ballen (en de bewegingsrichting). Hij merkte op dat als je van iedere bal het product berekent van zijn massa met zijn snelheid en alle producten dan bij elkaar optelt, dat deze som altijd constant blijft, op welk tijdstip ook, ongeacht de veranderende snelheid en richting van de ballen. (Totdat je iets veranderde aan het systeem door een stoot van de keu bijvoorbeeld.)
Dit was de vroege formulering van wat we tegenwoordig de wet van behoud van energie noemen(beginfootnote)Hij noemde het resultaat van het product vis viva. Het woord energie had hier zijn intrede dus nog niet gedaan. Wellicht had hij een poëtische bui. Hij ondervond stevige competitie van zijn rivaal Newton die het begrip impuls had geïntroduceerd. Dit was een andere manier van de balans bijhouden. Dit was het product van massa keer de snelheid – gewoon, snelheid, dus niet het kwadraat ervan. Ook de totale impuls bleek constant. Dit is de wet van impulsbehoud. Later zou men begrijpen dat de twee kwantiteiten elkaar aanvullen en ten onrechte als twee met elkaar competerende concepten werden gezien.(endfootnote). Deze wet is geldig in een relatief klein gebied van het universum, zoals de aarde of ons zonnestelsel. Echter, op de schaal van het gehele, waarneembare universum blijft energie niet behouden. Dus hoewel de wet van energiebehoud fundamenteel lijkt voor ons aardlingen en onze experimenten, op de schaal van het waarneembaar universum is het dat niet(beginfootnote)Met dank aan een combinatie van het werk van de geniale Emmy Noether (Stelling van Noether) en Albert Einstein (algemene relativiteit).(endfootnote).
Voor ons is dit voorlopig even irrelevant. Belangrijk is dat sindsdien de mensen, met hun natuurlijke neiging om complexe categoriesystemen te bedenken, onderscheid maakten tussen verschillende vormen van energie. Denk aan potentiële energie (iets bevindt zich op grote hoogte en kan naar beneden vallen of is iets is opgewonden en kan spontaan afwinden), warmte-energie (iets is heet), chemische energie (iets is ‘opgeladen’) en kinetische energie (iets beweegt). Deze begrippen, inclusief het moederbegrip energie, zijn menselijke constructen. Deze zelfstandige naamwoorden beschouwen als verwijzend naar fysieke, op zichzelf staande, tastbare dingen is, ironisch genoeg, een categoriefout.
Af en toe interpreteerde men Albert Einstein verkeerd. In de oude tijd brachten mensen onderscheid aan in dingen, zoals ze altijd doen. Er waren nu verschillende vormen van ‘massa’: rustmassa en relativistische massa. Rustmassa is de massa van een object dat niet beweegt. Relativistische massa is de massa van een object dat wel beweegt. Als hij steeds sneller gaat bewegen dan zou zijn massa groeien, alsmaar groter en groter, want dat is wat hij zei.
Maar nee. Hij publiceerde in zijn derde artikel van 1905 (1905a, p. 920), Zur Elektrodynamik bewegter Körper, een vergelijking voor de energie van een elektron, dat luidde als volgt:
Het lijkt er misschien niet op, maar je zou kunnen zeggen dat dit zijn eerste wiskundige expressie was van de relatie tussen (kinetische) energie, massa en de lichtsnelheid in de kwadraat(beginfootnote)Overigens had Max Abraham net daarvoor het werk van Walter Kaufman gepubliceerd die dezelfde vergelijking voor kinetische energie had opgesteld. Einstein was hier waarschijnlijk niet van op de hoogte (Miller, 1981).(endfootnote). Het vraagt om een beetje vertaling, maar het is niet echt moeilijk. Negeer het middelste gedeelte en concentreer je alleen op de letter $W$ en het deel achter het laatste isgelijkteken. Je moet dan alleen even weten dat Einsteins notatie zich als volgt laat vertalen: de kinetische energie $W = E_k$, rustmassa $mu = m_0$ en de lichtsnelheid $V = c$. Dus, in moderne notatie staat er eigenlijk:
Dit begint al aardig te lijken op de bekende $E=mc^2$. Het stelt echter niet dat massa toeneemt. Het stelt alleen dat als de snelheid van een object, $v$, de lichtsnelheid $c$ nadert, het resultaat van deze hele vergelijking oneindig groot wordt – een oneindige hoeveelheid energie.
Gezien de massa-energierelatie concludeerden mensen (van de oude garde) niettemin dat als de energie van een bewegend object oneindig wordt bij de snelheid van het licht, de massa van het object ook oneindig wordt, de relativistische massa, om precies te zijn.
Dit is echter iets van het verleden – technisch gesproken. Al in 1940 negeerden de grote Lev Landau en Evgeny Lifshitz het onderscheid tussen rustmassa en relativistische massa in hun boek The Classical Theory of Fields. De legendarische John A. Wheeler en Edwin F. Taylor brachten een dito geüpdatete Spacetime Physics naar een ieders leestafel. Niettemin zijn er helaas nog talloze studieboeken die archaïsche begrippen, verlopen jargon en notatie hanteren.
Hedendaagse natuurkundigen spreken echter niet langer van relativistische massa. Met speciale relativiteit toonde Einstein dat waarnemingen en metingen afhangen van het referentiekader. Per definitie zijn er ook een paar dingen zijn die daar niet van afhangen. Naast de ruimtetijdinterval, natuurwetten en de lichtsnelheid blijkt dat rustmassa te zijn.
De rustmassa van een object is invariant, oftewel, het varieert of verandert niet door de beweging van de waarnemer in relatie tot het object (Taylor & Wheeler, 1992, p. 211). Zoals ook in Einsteins vergelijking voor kinetische energie te zien is, speelt alleen rustmassa een rol. Relativistische massa komt er niet in voor. Het is zelfs zo dat Einstein schreef (zoals geciteerd in Okun, 1989, p. 32):
‘Het is niet goed om een concept van massa $M = m/(\sqrt{1-v^2/c^2})$ van een lichaam te introduceren waarvoor geen heldere definitie gegeven kan worden. Het is beter om geen ander massaconcept te introduceren dan de ‘rustmassa’ $m$. In plaats van de introductie van $M$ is het beter om de uitdrukking voor impuls en energie van een bewegend lichaam te noemen.’(beginfootnote)Vertaling door @kjrunia.(endfootnote)
Uiteraard, $M$ is wat de mensen later relativistische massa zouden noemen, wat betekent dat ze het toch gewoon deden, tegen Einsteins voorkeur in.
Heden ten dage – nou ja, in elk geval sinds 1940 – spreken natuurkundigen enkel van massa. We ontdeden ons van relativistische massa. Bovendien is het bijvoeglijk deel ‘rust’ in rustmassa overbodig. Massa betreft sowieso een object in rust. Als het beweegt, spreken we van het product van massa en snelheid in een bepaalde verhouding: als impuls of als energie. De massa van een object groeit niet als gevolg van zijn beweging.
Resistance is crucial
Wat is massa dan? Voor de zekerheid, massa is niet hetzelfde als gewicht: dezelfde hoeveelheid massa heeft verschillend gewicht op verschillende planeten. Dit is ons op de middelbare school al geleerd. Een weegschaal meet gewicht, geen massa. Een ouderwetse balans met geijkte contragewichten – *kuch* contramassa’s – is de beste optie voor de interplanetaire reizen. Deze massa’s moeten uiteraard geijkt zijn aan de definitie van een kilogram volgens de International Bureau of Weights and Measures.
Massa is ook niet hetzelfde als materie. Massa en materie behoren tot verschillende categorieën. De eerste is een eigenschap, de tweede is een ‘ding’. Elementaire ‘deeltjes’, dingen(beginfootnote)We gebruiken aanhalingstekens bij ‘deeltjes’ want hoewel de term makkelijk is in gebruik, erkennen we dat het eigenlijk kwantumveldoscillatoren zijn, of, mooier nog, golffuncties.(endfootnote), zoals elektronen, bezitten een zekere hoeveelheid massa. Een elektron verkrijgt massa door interactie met het Higgsveld, waarvan het bestaan bewezen werd in 2012 bij het CERN. De hoeveelheid elementaire deeltjes correleert met de hoeveelheid massa, echter, de massa van een object bestaat niet alleen hieruit: het betreft ook de beweging van gluonen (in de protonen), de beweging van de elektronen, atomen en moleculen – de kinetische, thermische en chemische energie in het object (in rust).
Einstein schreef in zijn vierde artikel van 1905, Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig? (1905b, p. 641):
‘Als een lichaam energie afgeeft in de vorm van straling neemt de massa af met $L/V^2$’,(beginfootnote)Vertaling door @kjrunia.(endfootnote)
waarbij, in moderne notatie, $L=E$, and $V=c$. De energie die hij noemt is niet de kinetische energie (van een lichaam in beweging) maar de interne energie (van een lichaam in rust), zoals warmte-energie. En inderdaad, dit betekent dat massa toeneemt of afneemt, afhankelijk van de interne energie van een object.
Twee structureel identieke ballen van staal hebben verschillende massa als een bal heter is (meer massa) dan de ander; hun interne warmte-energie verschilt. Twee structureel identieke mobiele telefoons hebben verschillende massa als een opgeladen is (meer massa) en de ander is leeg; hun interne elektrochemische energie verschilt. Nota bene, we hebben het hier dus over objecten in rust.
Bovendien, zodra een van de objecten licht of warmte uitstraalt, verliezen ze massa. De breuk $E/c^2$ is echter heel klein omdat de lichtsnelheid zo groot is. Daarom is de extra massatoename of -afname zo klein dat dit wellicht de reden is dat mensen massa met de hoeveelheid materie verwarren. Het is bijna hetzelfde. Het is de hoeveelheid materie plus iets meer, de interne energie.
Massa zou beschreven kunnen worden als de weerstand tegen versnelling – een verhouding tussen de kracht benodigd om de versnelling te veroorzaken die het dan heeft. Massa is inerte massa, de inertie van een object (zoals Einstein het ook noemde in de titel van zijn artikel (1905a) uit 1905).
De volledige vergelijking
Als je geen vergelijkingen meer kunt zien, sla deze paragraaf dan maar over. Als je de echte, volledige versie wil zien: let’s go.
Einstein publiceerde verschillende afleidingen. Een van de meest bekende was de volgende voor de totale energie van een object:
Als je toevallig vloeiend algebra spreekt, kun je zien hoe we $E=mc^2$ verkrijgen. Zo niet, geen probleem. Als een object in rust is, heeft het geen snelheid, dus $v=0$. Als je dit getal in de vergelijking invult, wordt de noemer van de grote breuk gelijk aan 1. En alles dat je deelt door 1 blijft zichzelf, dus dat betekent dat je $E=mc_0c^2$ overhoudt.
Uiteraard zouden we dat subscript 0 in $m_0$ gewoon weg kunnen laten. Het duidt ‘rustmassa’ aan, maar ‘rust’ is eigenlijk overbodig.
Dit betekent ook dat de beroemde vergelijking $E=mc^2$ eigenlijk alleen toepasbaar is als het object niet beweegt. Bovendien is het niet toepasbaar op massaloze deeltjes, zoals het foton.
$E=mc^2$ is niet universeel toepasbaar. Alleen in een inertiaalstelsel, waar het object niet beweegt, en alleen in het geval van ‘deeltjes’ met massa, is deze vergelijking geldig. Dus niet in het geval van fotonen en gluonen.
De volgende vergelijking is echter wel geldig bij zowel massa-houdende en massaloze deeltjes. Hoewel Einstein het fundament legde was het de geniale Paul Dirac die deze uitdrukking voor het eerst optekende in 1928 (Eisberg & Resnick, 194; Miller, 1981), zij het op een enigszins meer technische manier dan hieronder weergegeven. De volgende vergelijking betreft alle objecten, inclusief licht:
De letter $p$ is de impuls. Stel, we willen de energie van een foton berekenen. Aangezien het foton geen massa heeft ($m=0$), verwordt deze vergelijking tot $E = pc$, wat inderdaad het correcte verband is tussen energie en een foton. Als je zou proberen om $E = mc^2$ te gebruiken om de energie van een foton te berekenen, zou je maar een mal antwoord krijgen.
Dus, $E = mc^2$ is geen universele vergelijking aangezien het niet opgaat voor massaloze ‘deeltjes’. De vergelijking zoals eerst opgetekend door Paul Dirac echter wel en het past zelfs op een t-shirt.
wat het mogelijk nog cooler maakt aangezien het een prachtige, pythagorische driehoeksverhouding blootlegt.
Paul Dirac
De betekenis van E = mc²
Alles goed en wel, maar los van alle technische mitsen en maren, wat betekent het nou eigenlijk?
Het betekent dat energie massa is, geproportioneerd door een factor $c^2$.
Het betekent ook dat de massa van een object een maat is voor zijn totale intrinsieke energie (potentiële, thermische, chemische, elektrische, zelfs kinetische als delen aan de binnenkant van het object in beweging zijn), geproportioneerd door een factor van $1/c^2$.
$E = mc^2$ zou eigenlijk geschreven moeten worden als $E_0 = mc^2$ want het gaat over de energie van een object in rust. Het subscript 0 betekent meestal dat het iets in rust betreft.
Het is echter niet de volledige vergelijking.
Het betekent niet dat energie materie is en materie energie. Massa is niet hetzelfde als materie. Dat is een categoriefout.
Het betekent niet dat massa geconverteerd kan worden in energie en vice versa. Ten eerste, massa kan niet geconverteerd worden want het is een eigenschap, een meetbare eigenschap. Energie is een ook een eigenschap, een berekenbare eigenschap, wat gedaan kan worden door massa te meten.
Stel je een object voor dat de volgende eigenschappen heeft: omvang, kleur, hardheid en energie. Stel, de vergelijking zou als volgt hebben geluid: $E =$ hardheid $\times c^2$. Wellicht wordt het zo duidelijk dat dit niet betekent dat hardheid geconverteerd wordt in energie. Wat het betekent, is dat je hiermee een mathematische manier hebt om een maat in termen van een andere maat te berekenen. Het enige dat hier wordt geconverteerd, is een getal, een kwantiteit.
Materie is een ander beestje. Het is een klomp van dingen: ‘deeltjes’. Een object is een klomp materie en interacties. Zoals CERN dagelijks aantoont, kan materie in beweging geconverteerd worden in duizenden andere dingen in beweging. Als mensen erop staan om te spreken over dingen die geconverteerd worden, zouden ze kunnen spreken over de conversie van deeltje A met beweging $a$ en deeltje B met beweging $b$ naar deeltjes C, D, E, F, G, $\dots$ met beweging $c,d,e,f,g,\dots$
Dus, de volgende keer dat iemand meent aan jou te moeten uitleggen dat $E = mc^2$ betekent dat massa geconverteerd kan worden naar energie en dat dingen nimmer de snelheid van het licht kunnen bereiken omdat anders de massa oneindig groot wordt, kun je volstaan met de volgende reactie: ‘Neh, man. Massa is een invariante eigenschap van een lichaam, calculeerbaar met de volledige vergelijking, $E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2$, weet je. Hoewel je het dan nog wel even moet oplossen voor $m$ en je niet vergeten moet om alleen de pseudo-euclidische norm van de impuls te nemen en niet de hele viervector, maar dat moet geen probleem zijn verder – het maakt het er alleen maar makkelijker op.’ Pauzeer even en voeg dan toe: ‘In de Minkowski-ruimte, uiteraard.’(beginfootnote)De Minkowsi-ruimte is als euclidische ruimte, maar dan in vier dimensies. Dit is misschien ook een goed moment om de voetnoot te plaatsen dat er nog zelfs een fundamentelere vergelijking is, namelijk Einsteins veldvergelijking van zijn algemene relativiteitstheorie (Carroll, 2014), maar dat is iets voor later.(endfootnote)
Ten slotte, pure energie = puur nonsens. Als Leibniz het kon horen, zou hij schaterlachen en zich in zijn graf omdraaien – als hij er de energie voor kon vinden. Eerlijkheidshalve moet gezegd dat natuurkundigen het woord energie altijd en overal gebruiken. Het is kort en simpel, maar bijzonder krachtig als term. En dat is prima, zolang we het er allemaal over eens zijn wat we bedoelen.
Energie ligt niet ten grondslag aan beweging, maar beweging(beginfootnote)Van kwantumvelden, beschreven door golffuncties.(endfootnote) en interacties liggen ten grondslag aan het construct energie.
Hoe dan ook, mocht je toch ooit tegen een half-doorzichtige, zwevende kwak pure energie aanlopen aan het eind van de lange gang in dat duistere landhuis van je rijke tante, dan, ja, dat is dan iets vreemds.
Referentielijst
Carroll, S. (2014) Spacetime and Geometry: Pearson New International Edition : an Introduction to General Relativity. 1st. Pearson.
Einstein, A. (1905a) ‘Zur Elektrodynamik bewegter Körper’, Annalen der Physik, 322(10), pp. 891-921.
Einstein, A. (1905b) ‘Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?’, Annalen der Physik, 323(13), pp. 639-641.
Eisberg, R. M. and Resnick, R. (1974) Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei, and particles. New York: Wiley.
Miller, A. I. (1981) Albert Einstein’s special theory of relativity : emergence (1905) and early interpretation (1905-1911). Reading, Mass ;: Addison-Wesley.
Okun, L. B. (1989) ‘The Concept of Mass’, Physics Today, 42(6), pp. 31-36.
Taylor, E. F. and Wheeler, J. A. (1992) Spacetime physics : introduction to special relativity. 2nd ed. edn. New York: W.H. Freeman.
Featured image: NASA’s Solar Dynamics Observatory captured this image of an X2.0-class solar flare bursting off the lower right side of the sun on Oct. 27, 2014. The image shows a blend of extreme ultraviolet light with wavelengths of 131 and 171 Angstroms. Credit: NASA/SDO. Retrieved 30 Aug 2019, from https://www.nasa.gov/content/goddard/sun-release-x20-class-flare-on-oct-27-2014
Einstein and Ehrenfest. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 21 Aug 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1510430/1/132_1510430/cite
Oliver Heaviside (1850-1925) – Science and Society Museum/ Universal Images Group. Oliver Heaviside, English physicist, c 1900.. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/102_541915/1/102_541915/cite
Hendrik Lorentz (1853-1928) – Science and Society Museum/ Universal Images Group. Hendrik Antoon Lorentz, Dutch physicist, c 1920.. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/102_523268/1/102_523268/cite
Henri Poincaré (1954-1912) – akg-images / Universal Images Group. Henri Poincare / Photo c. 1890. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 3 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/109_171035/1/109_171035/cite
Joseph J. Thomson (1856-1940) – Science and Society Museum/ Universal Images Group. Sir Joseph J. Thomson, English physicist, late 19th century/early 20th century.. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/102_547694/1/102_547694/cite. Cropped by @kjrunia.
George Frederick Charles Searl FRS(1864-1954) – Royal Society. As printed in Thomson, G. (1955) ‘George Frederick Charles Searle. 1864-1954’, Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society,1, p. 247. Cropped by @kjrunia.
Wilhelm Wien (1864-1928) – NATIONAL LIBRARY OF CONGRESS / SCIENCE PHOTO LIBRARY / Universal Images Group. Wilhelm Wien, German physicist. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 1 Sep 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1255736/1/132_1255736/cite
Max Abraham (1875-1922) – Niedersächsische Staats- und Universitätsbibliothek, Göttingen. Max Abraham around 1905. Public domain. Slightly cropped by @kjrunia.
Albert Einstein, Swiss-German physicist. [Photograph]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 22 Aug 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1510416/1/132_1510416/cite
Paul Dirac. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Retrieved 24 Aug 2019, from https://quest.eb.com/search/132_1254852/1/132_1254852/cite
In 1905 publiceerde Albert Einstein een artikel over bewegende lichamen en elektrodynamica. Hij merkte op dat Newtons mechanica der bewegende lichamen niet verenigbaar was met de wetten van Maxwell over het elektromagnetisme. In dit artikel zullen we enkele belangrijke aspecten bespreken. We beginnen met twee fundamentele stellingen. En voor de geeks eindigen we met te beantwoorden waarom speciale relativiteit speciaal is.
Einsteins postulaten
Zijn eerste stelling komt erop neer dat of je je nu bevindt in of op een bewegend object, zoals een schip, een trein of je auto, of dat je stilstaat aan de kade, langs het spoor of de weg, de natuurwetten blijven hetzelfde. Als je op het perron staat en je gooit een bal in de lucht zorgen de natuurwetten ervoor dat de bal weer naar beneden komt. Als je in een rijdende trein staat, komt de bal ook weer naar beneden omdat in de trein dezelfde natuurwetten gelden. Het feit dat je in beweging bent, heeft geen gevolgen voor de wetten van het universum.
In het verlengde daarvan komt Einsteins tweede stelling erop neer dat de snelheid van het licht dezelfde is voor iedereen. Hij erkende dat Maxwell en collega’s een correcte beschrijving gaven van licht als een elektromagnetische verstoring die zich voortplant volgens de elektromagnetische wetten der natuurkunde. Hij zag ook in dat de snelheid van de lichtbron geen rol speelt in de wetten van Maxwell. Als het eerste postulaat waar is, dan plant licht zich altijd voort met de snelheid $c$ ($c$ is ongeveer 300 000 000 m/s), onafhankelijk van de beweging van de waarnemer. En niets kan sneller gaan.
Of je nu op het perron staat of dat je je in een rijdende trein bevindt, de natuurwetten zijn dezelfde. De voortplanting van het licht is een wet van de elektrodynamica waarbij de snelheid van de lichtbron geen rol speelt. Daarmee is de lichtsnelheid zoals gezien aan boord van de trein dezelfde zoals gezien vanaf het perron, onafhankelijk van de snelheid van de trein.
Intuïtie klopt veelal, maar eigenlijk niet
Stel, je staat op het perron. Een trein passeert met een snelheid van 30 meter per seconde. Vanaf de trein gooit een vriend een tennisbal het raam uit met een snelheid van 2 meter per seconde, in de bewegingsrichting van de trein. Je vangt de bal. Met welke snelheid raakt de bal je hand?
Intuïtief zou je wellicht zeggen dat het antwoord 30 + 2 = 32 meter per seconde is. Deze manier van berekenen is in heel veel gevallen bruikbaar. Instinctief zou je de snelheid van de trein simpelweg optellen bij de werpsnelheid van de bal. Dit is hoe Isaac Newton(beginfootnote)En eerder al Galileo Galilei, aangezien dit de zogenaamde Galileitransformatie wordt genoemd.(endfootnote) gewild zou hebben dat je het zou berekenen. En in de meeste gevallen heeft hij gelijk. Maar eigenlijk niet.
Laten we ons afvragen wat er zou gebeuren als onze vriend geen bal wierp maar een zaklamp inschakelde. De trein rijdt nog steeds met 30 m/s. Licht verlaat de zaklamp echter met een snelheid van ongeveer 300 000 000 m/s. Je heft je hand op. Het ‘vangt’ het licht. Met welke snelheid raakt het je hand?
Je zou ook hier kunnen zeggen dat dit 30 + 300 000 000 = 300 000 030 m/s is. Maar nee. Dat is fout. Herinner je je Einsteins tweede postulaat nog? Onafhankelijk van de beweging van de waarnemer is de lichtsnelheid altijd 300 000 000 m/s en niets gaat sneller, punt. Dat betekent dat een simpele optelling zou bewijzen dat we een manier hebben gevonden om te zorgen dat licht sneller dan de lichtsnelheid gaat. We zouden zonder meer Nobelprijswinnaars worden. Behalve dan dat dit niet klopt en dat we dat niet worden.
Op de schop
Als de lichtsnelheid even groot is voor onze vriend op de bewegende trein als voor ons op het perron (lees dit nog eens en besef hoe krankzinnig dit is), hoe in Walhalla’s naam krijgt het universum dit dan voor elkaar? Nadat hij wat relatief simpele wiskunde ter hand nam – die een middelbare scholier kan nadoen – realiseerde Einstein zich dat er iets aan de hand was met meters en seconden. Hij bewees dat een meter voor ons niet hetzelfde is als een meter voor onze vriend en vice versa. Bovendien is een seconde voor ons eveneens niet hetzelfde als een seconde voor onze vriend.
Met andere woorden, aangezien wij, op het perron, meten dat het licht zich voortplant met 300 000 000 meter per seconde, en dat onze vriend in de trein precies dezelfde waarde meet, betekent dit dat ons begrip van wat meters en seconden zijn onjuist is.
Het punt
Dit is wat er gebeurt. Als twee ‘dingen’, ‘mensen’, ‘objecten’, of referentiekaders zoals natuurkundigen het noemen, ten opzichte van elkaar bewegen, gebeuren er vreemde dingen met ruimte en tijd. Ja, met ruimte en tijd zelve. Het zijn maffe dingen. We dachten altijd dat ze er gewoon zijn. Statisch. Onbewegelijk. Overal en altijd hetzelfde. Twee onveranderlijke entiteiten. Welnu, dat zijn ze niet.
In Leiden heeft het project Leidse Muurformules natuurkundige vergelijkingen verspreid over het centrum van de stad. Dit is de Lorentzcontractie, toepasselijk naast het spoor geplaatst. Het beschrijft hoe ruimte (in dit geval, een een-dimensionale lengte) krimpt volgens Einsteins speciale relativiteit. Klik hier voor Google Street View.
Stel, nu zijn wij in de trein. We bewegen ons ten opzichte van onze vriend op het perron. Die neemt vervolgens waar dat ruimte in onze bewegingsrichting kleiner wordt – het krimpt. Onze vriend zal feitelijk waarnemen dat onze trein korter wordt in vergelijking met toen de trein stilstond ten opzichte van onze vriend. Die zal ook waarnemen dat onze tijd wordt opgerekt – onze klok vertraagt. Als een seconde verloopt op de klok van onze vriend, ziet die dat er op onze klok in diezelfde tijd slechts 0.9999999995… seconden zijn verstreken(beginfootnote)Dit getal is metaforisch bedoeld. Het echte tijdsverschil is te klein voor mijn calculator om te tonen.(endfootnote).
Vanuit ons perspectief, bezien vanaf de trein, beweegt onze vriend zich voort ten opzichte van ons (achterwaarts). Wat dat betreft beweegt de rest van de hele wereld zich voort ten opzichte van ons, achterwaarts. Dus, inderdaad, zouden wij de wereld zien krimpen in de tegenovergestelde richting. We zouden ook zien dat de tijd van de rest van de wereld langzamer loopt dan onze tijd.
Twin paradox
Nu zou je terecht kunnen opmerken dat als wij en onze vriend elkaars klokken zien vertragen, dan is er toch geen verschil tussen onze klokken? Niettemin, als we terugrijden naar onze vriend, stoppen op het perron en onze klok vergelijken met die van onze vriend, zien we dat onze klok achterloopt. Dit is de zogenaamde tweelingparadox. Als beiden hetzelfde kunnen beweren, hoe kunnen de klokken dan verschillen aan het eind, waarbij, in het geval van een tweeling, de ene helft jonger is (van de trein) dan de andere helft die achterbleef (op het perron)?
Dit komt door het wisselen van referentiekaders: we bevonden ons in een bewegend referentiekader (de trein), wisselden naar een kader dat bewoog in de tegenovergestelde richting (terugkerende naar onze vriend), en, ten slotte, wisselden naar het kader van het perron, om naast onze vriend te staan zodat we onze klokken kunnen vergelijken. Onze vriend heeft nooit van referentiekader gewisseld – hij bleef op het perron staan(beginfootnote)In tegenstelling tot wat veel populaire en zelfs introductieteksten in de natuurkunde beweren, heeft het minder te maken met acceleratie, hoewel het wel een rol speelt – in de echte wereld is het niet mogelijk om zonder acceleratie (en deceleratie) van referentiekader te wisselen. Niettemin is acceleratie in wiskundig opzicht niet nodig – het wisselen van referentiekaders wel.(endfootnote). De situatie is dus niet symmetrisch.
Lengte-contractie en tijddilatatie. Ze zijn niet illusoir, ze zijn echt. Vele experimenten toonden aan dat ruimte krimpt en tijd uitrekt voor dingen die bewegen ten opzichte van dingen die anders bewegen.
Deze $\gamma$ (Griekse letter gamma) is cruciaal. Het is een benodigde factor om te bewerkstelligen dat de lichtsnelheid niet groter wordt dan de lichtsnelheid, zelfs aan boord van een rijdende trein. Deze factor wordt de Lorentz factor(beginfootnote)Vernoemd naar Hendrik Lorentz. De expressie voor de Lorentz factor is: \[ \gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}, \] waarbij $v$ de snelheid van de ander is ten opzichte van ons en $c$ is de lichtsnelheid.(endfootnote) genoemd.
We merken er echter bijna nooit iets van. Normaal gesproken zijn onze snelheden veel te laag voor het opmerken van de effecten van speciale relativiteit. Behalve als dingen heel snel gaan. Zonder Einsteins speciale relativiteit zouden gps-satellieten niet werken(beginfootnote)Uiteraard hebben we daarvoor ook nog Einsteins algemene relativiteitstheorie voor nodig, maar dat is iets voor een ander artikel.(endfootnote). Onderzoeksinstituten als CERN en Fermilab zijn ook genoodzaakt om rekening te houden met speciale relativiteit met de hoog-energetische, voortrazende deeltjes.
Dus, onze intuïtie (Newton) is veelal voldoende maar niet precies correct.
Wat er zo speciaal is aan speciale relativiteit
Dit is een enigszins technische vraag waar een ietwat technisch antwoord bij hoort, waarvoor onze excuses. In tegenstelling tot wat vaak wordt beweerd in populair-wetenschappelijke teksten gaat het in speciale relativiteit niet echt om constante snelheden tegenover algemene relativiteit met acceleratie. Speciale relativiteit biedt wel degelijk een wiskundig raamwerk om met versnellingen om te gaan. Het punt is meer dat het prima werkt als je aanneemt dat de dingen zich bevinden in zogenaamde Euclidische ruimte, voldoend aan Euclidische geometrie(beginfootnote)Vernoemd naar Euclides.(endfootnote). Echter, na ampel beraad, concludeerde Einstein via zijn algemene relativiteitstheorie dat we helemaal niet in een Euclidisch-geometrische realiteit leven. We bestaan in een Riemann-variëteit(beginfootnote)Vernoemd naar Bernhard Riemann.(endfootnote). Kort gezegd, Euclidische ruimte is een speciaal geval van de meer algemene Riemann-variëteit(beginfootnote)Als we preciezer willen zijn heeft Hermann Minkowski een gewijzigde versie van Euclidische ruimte ontwikkeld, die we nu Minkowski-ruimte noemen, terwijl Riemann-variëteit eigenlijk pseudo-Riemann-variëteit zou moeten heten, maar natuurkundigen noemen het simpelweg Riemann-variëteit – wellicht omdat ze geen wiskundigen zijn.(endfootnote). Vandaar dat we van speciale relativiteit spreken tegenover algemene relativiteit.
Uitgelichte foto door StockSnap van Pixabay, aangepast door @kjrunia (vergelijkingen toegevoegd).
Misschien dat het je nog niet was opgevallen, maar de volgende keer zul je het vast wel zien: het heldere verschil tussen de binnenkant en de buitenkant van een primaire regenboog. Bovendien weet je dan ook waarom je ziet wat je ziet. Hoewel niet altijd zichtbaar, maar zeker wel aanwezig als er genoeg waterdruppels en licht voorhanden is, is de secundaire regenboog. De donkere band tussen de primaire en de secundaire regenboog wordt Alexanders (donkere) band genoemd.1
Voor het geval je het nog niet wist: er zijn drie dingen benodigd voor een regenboog. Achter je – in je rug – moet de zon schijnen. Voor je moeten regendruppels aanwezig zijn, of het nu duizenden meters omhoog en van je vandaan is of slechts een paar meter (bijvoorbeeld de nevel van een tuinsproeier). Bovendien moeten tussen de zon, de regendruppels en je ogen er zich geen wolken of iets anders bevinden.
Zoals je misschien weet, worden lichtbundels afgebogen door al het transparant materiaal dat ze ontmoeten. Twee keer – aan de twee oppervlakken waar doorheen ze zich voortplanten. Dit komt omdat licht, een elektromagnetische verstoring, de elektrische eigenschappen van het materiaal veranderen. Die veranderen op hun beurt dan weer het elektromagnetische veld in het materiaal. Hierdoor wordt het licht vervolgens afgebogen. In een vorig artikel gingen we dieper in op de kwantumfysica van deze materie.
Figuur 2
Rood licht wordt onder een kleinere hoek afgebogen dan violet licht. Bovendien is de maximale hoek tussen de invallende lichtstraal en het uitvallende rode licht ongeveer 40º. Bij violet is dat maximaal 40º. Met andere woorden, je zult violet licht nooit een regendruppel zien verlaten onder een hoek van 42º – alles is daar rood. Tussen deze twee hoeken verschijnen de gele, groene en blauwe kleuren. Dit is weergegeven in Figuur 2. Dit vormt de oorzaak voor het fenomeen dat ‘wit’ licht van de zon – dat uiteraard een mix is van alle kleuren van de regenboog en helemaal niet ‘wit’ – in een specifieke kleurenvolgorde verstrooid wordt.
Figuur 3
Stel nu dat miljoenen kleine regendruppels in de lucht hangen. Of je het daarvandaan gereflecteerde licht kan zien, hangt mede af van de hoogte van die druppel. Sommige zitten precies op de juiste hoogte zodat je alleen het rode licht kan zien, bij andere zie je alleen violet.
In Figuur 4 zie je de relatie tussen de (volgorde van) kleuren die je krijgt te zien, de verschillende hoeken waaronder verschillende kleuren licht uit de druppel ontsnappen en de hoogte van de druppel. Als een regendruppel laag genoeg hangt, worden alle kleuren weer gemixt. Rood, geel, groen, violet – ze kunnen allemaal de druppel verlaten onder een hoek die kleiner is dan 40º. Dit is waarom ‘wit’ licht ontstaat ‘binnen’ de primaire regenboog.
Figuur 4
De regendruppels reflecteren het licht niet altijd slechts eenmaal, zoals in Figuur 3. Soms wordt het licht twee keer gereflecteerd, zoals in de eerste waterdruppels in Figuur 5. Hier is te zien hoe de omgekeerde volgorde van de kleuren in de secundaire regenboog worden geconstrueerd. Soms verlaat het licht de druppel, maar bereikt het nimmer je ogen – ze zijn te hoog. Een deel van het licht raakt ‘verloren’. Dit is waarom de band tussen de primaire en secundaire regenboog altijd nets iets donkerder is dan de rest van de lucht.
Figuur 3, primaire en secundaire regenboog illustratie door CMG Lee onder CC BY-SA 4.0, aangepast door @kjrunia.
De eerste vermelding van dit fenomeen werd in 200 n.Chr. geleverd door de Griekse wijsgeer Alexander van Aphrodisias in een commentaar op een werk van Aristoteles over meteorologie.[↩]
Zoals we bespraken in een vorig artikel zijn microgolven niet in staat om atomen te vernietigen – deze straling is simpelweg niet ioniserend, terwijl precies de ioniserende variant slecht is voor je cellen, zoals gamma- en kosmische straling, die aan de hoog-energetische kant van het elektromagnetisch spectrum zitten. We noemden ook dat magnetronstraling niet hetzelfde is als de in Tsjernobyl aanwezige straling. Magnetrons zijn niet radioactief. Wanneer noemen we iets dan radioactief? Wat is radioactiviteit?
In de kern instabiel
We spreken van radioactief materiaal als de atoomkernen ervan instabiel zijn. Bij hun verval komt dan een of meerdere van de volgende ioniserende stralingsvormen vrij:
alfastraling, een bundel van klompjes van twee protonen en twee neutronen;
betastraling, een bundel van elektronen of positronen;
gammastraling, de hoog-energetische vorm van elektromagnetische straling voorbij röntgenstraling;
Twee bekende voorbeelden van radioactief materiaal zijn plutonium en uranium. We associëren die waarschijnlijk vooral met kernenergie en atoomwapens. Misschien minder bekende radioactieve voorbeelden zijn radon-222, lood-210, polonium-210 en kalium-40. We zullen deze getallen toelichten in de volgende paragraaf.
Enfin, nog eenmaal voor de duidelijkheid: magnetrons storten geen van deze deeltjes over je voedsel uit. Er wordt niets ‘ge-nuked’. In het apparaat vindt er niets plaats dat met radioactiviteit te maken heeft. Je maaltijd is daarentegen mogelijk wél radioactief aangezien het waarschijnlijk kalium-40 bevat.
Een prent van een atoom
Atomen bestaan uit drie onderdelen: elektronen, protonen en neutronen. Alleen aan het waterstofatoom ontbreken neutronen, maar de rest is een samenstelling van deze drie elementen. Figuur 1 toont een schematische weergave van een atoom. De kern is uitvergroot zodat de protonen en neutronen zichtbaar zijn.
Figuur 1
Waar het ene atoom zich in onderscheidt van de ander – zeg, calcium van kalium – is het aantal elektronen, protonen en neutronen. Deze laatsten noemen we nucleonen. Het aantal protonen is het belangrijkst: het bepaalt met welk element uit het fameuze periodiek systeem der elementen (met welke type atomen) we te maken hebben. Kalium heeft 19 protonen. Dit gegeven is cruciaal – zodra het een andere hoeveelheid protonen verwerft, houdt het op kalium te zijn. Calcium heeft 20 protonen, bijvoorbeeld. Het getal 40 in ‘kalium-40’ betekent dat zijn kern 40 nucleonen bevat. Met andere woorden, het heeft 40 nucleonen – 19 protonen = 21 neutronen. Nota bene, kalium-39 (19 protonen, 20 neutronen) en kalium-41 (19 protonen, 22 neutronen) bestaan ook.
Al deze kaliumversies – hetzelfde aantal protonen, een verschillend aantal neutronen – worden isotopen genoemd. Dus, hoewel een element (een type atoom) een heel specifiek aantal protonen heeft, kan het aantal neutronen verschillen. Kalium-40 is een voorbeeld van een isotoop van kalium. Deze en de andere, eerder genoemde kaliumisotopen komen van nature voor op aarde. Niettemin zijn mensen in staat om nog 22 andere isotopen te vervaardigen.
Radioactief verval
De atoomkern van kalium-40 is instabiel. Het vervalt, zoals dat heet, vooral in calcium-40 – een stabielere vorm. Tijdens dat verval verwerft het kaliumatoom een proton en wordt het dus een calciumatoom. In het proces worden een betadeeltje, i.e. een elektron, en een antineutrino de wijde wereld in geslingerd. Dit is waarom het verval radioactief wordt genoemd: het zendt actief spul uit. Het elektron vliegt met grote snelheden naar andere oorden en is potentieel ioniserend, oftewel, het is in staat om een ander elektron uit z’n atoom te slaan, waarmee het in potentie dingen als dna-moleculen kan vernietigen.
Ongeveer 0.01% van alle kalium in onze lijven dat we via voedsel binnenkrijgen is van de kalium-40-variant. Ongeveer 5000 van deze atoomkernen vervallen per seconde in een gemiddeld mensenlichaam. Met andere woorden, mensen bezitten een radioactiviteit van 5000 Bq (becquerel, vernoemd ter ere van Henri Becquerel die de Nobelprijs met Pierre en Marie Curie deelde voor hun ontdekkingen in de radioactiviteit).
Bananen zijn ook radioactief aangezien ze van nature kalium-40 bevatten. Het verval ligt op 14 Bq, i.e. 14 vervallende atoomkernen per seconde. Dit is te weinig voor een geigerteller om te registreren. Bij een vrachtwagen vol zou ’t waarschijnlijk gaan klikken.
Ioniserende straling en het menselijk lichaam
Om de grootte van de impact van de blootstelling van ons lichaam aan ioniserende straling te bepalen, waar het mogelijk medische consequenties zal krijgen, gebruiken we de ‘sievert’-eenheid (het symbool is Sv), een maat voor de effectieve dosis van ioniserende straling bij mensen.
De International Commission on Radiological Protection, een onafhankelijk, niet-gouvernementele organisatie die aanbevelingen en advies uitbrengt met betrekking tot ioniserende straling, beraamde dat 1 Sv een kans van 5% op het ontwikkelen van kanker representeert.
Gelukkig zijn we geëvolueerd tot een soort dat in staat is om veilige, kleine hoeveelheden ioniserende straling te verwerken. De getalenteerde en knappe Randall Munroe, beroemd vanwege zijn xkcd.com-cartoons, maakte een prachtige kaart ‘met Ellen, een senior-reactoroperateur aan de Reed Research Reactor’. We hebben hun briljante concept schaamteloos gekopieerd in Figuur 2 om je op beknopte wijze gevoel te geven voor de variërende hoeveelheden ioniserende straling (klik om te vergroten). Desalniettemin bevelen we het ook zeker van harte aan om hun originele kaart te bestuderen. Nota bene, al deze diagrammen zijn bovenal bedoeld om orders van grootte aan te geven – geen precieze waarden aangezien sieverts enigszins variëren per menselijk lichaam, bronnen en genoemde locaties. Niettemin zou het je een aardig goed beeld moeten geven van het stralingsmaximum waar professionals in de radioactieve industrie per jaar aan blootgesteld mogen worden.
Figuur 2
Smoking hot
Eerder noemden we al de radioactieve elementen radon-222, polonium-210 en lood-210. Deze komen van nature voor in de grond en de lucht. Ze zijn ook aanwezig in en op tabaksbladeren en blijven daar zitten, zelfs na verwerking. Eenmaal geïnhaleerd blijven de radioactieve elementen in de smalle luchtwegen en longen hangen door het relatief plakkerige teer. Bovendien vervallen radon-222 atoomkernen in voornoemde polonium- en loodisotopen, dus de concentratie van die laatste twee neemt alleen nog maar toe. Dit geldt overigens ook voor tweedehands rook. In combinatie met toxische stoffen als teer, arseen, nicotine en cyanide vergroot de ioniserende straling van het radioactieve verval van de atoomkernen radon-222, polonium-210 en lood-210 de kansen van het ontwikkelen van longkanker aanzienlijk.
Volgens Little en collega’s (1965, 1967) vindt er een opeenhoping van polonium-210 in bepaalde ‘hotspots’ van de longen plaats. Karagueuzian en collega’s (2012) rapporteerden een geschatte longdosis van 165 mSv per jaar. Om gevoel te krijgen voor hoeveel ioniserende straling je longen (vooral de hotspots) jaarlijks te verstouwen krijgen in vergelijking met professionals in de radioactieve industrie, zie Figuur 3. Nota bene, we hebben het hier alleen over radioactief verval in de longen. We hebben het nog niet eens over de andere toxische stoffen. En zo, terwijl iemand zich misschien zorgen maakt over Wi-Fi, mobiele telefonie en magnetrons, wat met wat natuurkundige kennis niet nodig is, weet dan dat in dit universum, diezelfde natuurkundige kennis ons leert dat hun rookgewoonte echt slecht is. Maar echt.
Figuur 3
Referenties
Little, J. B., Radford, E. P., Mccombs, H. L. and Hunt, V. R. (1965) ‘Distribution of polonium-210 in pulmonary tissues of cigarette smokers’, The New England journal of medicine, vol. 273, no. 25, p. 1343 [Online]. DOI: 10.1056/NEJM196512162732501 (Accessed 9 August 2019).
Little, J. B., Radford, E. P. and Holtzman, R. B. (1967) ‘Polonium-210 in Bronchial Epithelium of Cigarette Smokers’, Science, vol. 155, no. 3762, pp. 606–607 [Online]. DOI: 10.1126/science.155.3762.606 (Accessed 9 August 2019).
Karagueuzian, H. S., White, C., Sayre, J. and Norman, A. (2012) ‘Cigarette Smoke Radioactivity and Lung Cancer Risk’, Nicotine & Tobacco Research, vol. 14, no. 1, pp. 79–90 [Online]. DOI: 10.1093/ntr/ntr145 (Accessed 9 August 2019).
Volgens de beste theorie die we tot nu toe hebben, is het universum gevuld met een alomtegenwoordig elektromagnetisch veld. Bepaalde trillingen in dit veld corresponderen met wat we (elektromagnetische) straling noemen. Het zichtbare deel daarvan noemen we licht of lichtdeeltjes, of fotonen. Deze verstoringen kunnen specifieke frequenties hebben die we, indien zichtbaar, vervolgens waarnemen als rood, geel, groen, blauw of violet. Ieder foton heeft een frequentie: er gaat een waarde omhoog en omlaag over de tijd. Wat er precies omhoog en omlaag gaat blijkt ten grondslag te liggen aan hoe een polaroid zonnebril werkt.
Het is nuttig om het elektromagnetische veld mathematisch te scheiden in twee componenten: het magnetische en het elektrische subveld. Voor een iets diepgaandere bespreking van dit onderwerp, zie Waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking? Geometrisch zijn deze subvelden haaks op elkaar georiënteerd. Zie Figuur 1.
Figuur 1. Een cartoon van het elektromagnetisch veld.
Deel a. Een driedimensionaal elektromagnetisch veld (EM-veld) vult het waarneembare universum. Het is hier afgebeeld als een eindige kubus maar dat is slechts een cartooneske metafoor. In werkelijkheid heeft het de vorm van het universum en is het schijnbaar oneindig, of, om precies te zijn, is het overal waar je in staat bent om te kijken.
Deel b. Zoals eerder vermeld is het heel nuttig om het EM-veld mathematisch te scheiden in twee componenten: de magnetische en elektrische subvelden, hier weergegeven als twee vlakken die haaks op elkaar staan.
Deel c. Als een foton door de ruimte schiet, is dit waar het EM-veld verstoord is. Het is een lokale op en neer gaande verandering van elektrische en magnetische waarden. Nota bene, er is niets dat in ruimtelijke zin op en neer gaat, noch naar links of rechts. Het is slechts een cartoon dat de veranderende waarden van de subvelden weergeeft. Het enige dat echt ruimtelijk is, is de baan van het foton, zoals afgebeeld met een oranje pijl.
Deel d. Voor de werking van de polaroid is alleen het elektrische subveld relevant, dus hebben we de magnetische pijlen hier weggelaten. Alleen de elektrische pijlen worden getoond.
Deel e. Uiteraard bestaat een lichtbundel niet slechts uit één foton. In werkelijkheid worden miljarden fotonen door de ruimte geslingerd. De oriëntatie van hun EM-componenten zal onder iedere denkbare hoek bestaan.
Figure 2. Een cartoon van atomen in het polarisatiefilter van een zonnebril. Gemiddeld liggen ze aaneengeschakeld in een ketting op een manier die zorgt dat de elektronenwolk vooral omhoog en omlaag kan bewegen, maar niet naar links of rechts. Hiervan zeggen we dat de glazen verticaal gepolariseerd zijn.
De atomen van gepolariseerde zonnebrilglazen liggen in een ketting waardoor de elektronenwolken alleen in verticale richting kunnen wiebelen, zoals weergegeven in Figuur 2. Binnenvallende fotonen dragen hun energie over via het EM-veld, waardoor de elektronenwolk nog meer begint te wiebelen, maar enkel in de verticale richting. Op zijn beurt activeert deze het EM-veld weer maar enkel met een verticale, elektrische component waarmee ook alleen de elektrisch verticaal georiënteerde delen van de lichtbundel worden voortgeplant.
Fotonen met een horizontale elektrische polarisatie, waarvan dus het elektrisch subveld horizontaal trilt, brengen de gehele atoomketens van de zonnebrilglazen in de horizontale richting in beweging. Hun energie wordt dientengevolge over miljarden atomen verspreid en slechts verstrooid als warmte: te weinig voor de voortplanting van licht. We zeggen ook wel dat deze fotonen simpelweg worden ‘geblokkeerd’. Ze verdwijnen en warmen de zonnebril een heel klein beetje op.
Ten slotte worden fotonen met een elektrischsubveldverstoring onder een hoek, tussen de horizontaal en de verticaal in, soms doorgelaten, soms verstrooid als warmte.
Waarom zijn polaroid zonnebrillen verticaal gepolariseerd?
Als licht een oppervlak raakt, is het gereflecteerde deel ook gepolariseerd. De meeste fotonen hebben dan dezelfde elektrische oriëntatie als de hoek van het oppervlak. Wegen en water reflecteren dus bovenal horizontaal gepolariseerd licht. Als je een voertuig bestuurt, zou je dus willen voorkomen dat je verblind wordt door weg- en waterreflecties.
Piloten
Beeldschermen geven ook gepolariseerd licht af. Als je een polaroid zonnebril voor een scherm houdt en het draait zal het licht van het scherm op een gegeven moment geblokkeerd worden.
Dit is tevens de reden waarom piloten geen polaroid zonnebrillen dragen: een lichte draaiing van het hoofd zou het onmogelijk maken om de informatie van hun instrumenten snel en betrouwbaar af te lezen. Dus wat dure merken je ook willen laten geloven, een zonnebril met polarisatiefilters die zoiets als ‘aviator sunglasses’ worden genoemd, zijn nutteloos in de echte wereld van de luchtvaart.
Om te controleren je zonnebril een echte polaroid is, houd je die voor een in werking zijnd scherm. Op die manier weet je of je die thuis kunt laten voor je een luchtvaartuig bij de knuppel pakt.
Bioscoop
Een 3D-film in de bioscoop vereist een ander type polaroid. In tegenstelling tot wat velen je mogelijk hebben proberen wijs te maken: deze 3D-brillen hebben niet een combinatie van een verticaal en horizontaal gepolariseerd linker- en rechterfilter. Het klopt dat je linkeroog iets andere informatie moet krijgen dan je rechteroog, maar dat wordt op een veel ingenieuzere manier bewerkstelligd.
Aangezien het publiek in staat moet zijn om de film te blijven zien ondanks hun (veelal onbewuste) hoofdbewegingen, maken de filmprojector en de 3D-glazen slim gebruik van circulaire polarisatie. Anders zou, op het moment dat je je hoofd richting de schouder van je gezelschap overhelt, door een simplistische links-rechtscombinatie van horizontale en verticale polarisatie, iedere filmster op het grote, witte doek veranderen in een vaag en plat karakter.
Sommigen zeggen dat de straling van een magnetron slecht is voor de gezondheid. En dat het slecht is voor het voedsel. Het is onbekend waar deze opvattingen precies vandaan komen. Hoewel de introductie van de magnetron bij de mensen thuis al in de jaren zestig plaatsvond, hebben ze hun reputatie dat ze schadelijk zouden zijn voor de gezondheid nooit van zich af kunnen schudden. Laten we bekijken wat magnetronstraling precies is en hoe het voedsel en vitaminen beïnvloedt. En we geven antwoord op de vraag: ‘Is straling van magnetrons schadelijk voor de gezondheid?’
Het woord ‘straling’
Pripjat, nabij Tsjernobyl, Oekraïne. Als we ‘straling’ horen, associëren we dat misschien met de kernramp van Tsjernobyl. Dit is volstrekt niet wat magnetronstraling is.
In de natuurkunde is ‘straling’ de emissie of transmissie van energie in de vorm van golven of ‘deeltjes’. Niet alle straling is schadelijk voor ons mensen. Straling afkomstig van kernreactoren is gevaarlijk, maar straling van een waxinelichtje is dat niet. Niet voor onze soort, althans. Het zou je niet hoeven verbazen dat we geëvolueerd zijn tot wezens die bestand zijn tegen de straling van waxinelichtjes.
Hoewel men zich in het algemeen niet bekommert over wat natuurkunde stelt wat ‘straling’ betekent, is dit niettemin wat we hier zullen bespreken.
Straling is niet altijd gevaarlijk. Meer alledaagse dingen dan je misschien verwacht zijn voorbeelden van straling.
Bananen, ook die in het wild groeien, zijn van nature radioactief. Onze soort is immuun voor deze straling. Het is veel gevaarlijker om een heel andere reden. Stop het zwerfafval!
Enkele voorbeelden van stralingsbronnen: bananen (die zijn van nature radioactief), magneten, kaarsen, centrale verwarming, club- en podiumverlichting, iedere lichtbron wat dat betreft, inclusief de toiletverlichting, menselijke lichamen, magnetrons, de zon, uranium- en plutoniumstaven van een kerncentrale, eigenlijk alles dat je kunt zien met het blote oog zendt straling uit of reflecteert het, op dit moment, waar je nu bent.
Stel je kijkt recht in de ogen van je partner, of je vriend met voordelen, die de volgende ochtend naast je ligt: of je wilt of niet, ze hebben hun straling letterlijk over jouw hele lichaam geplensd, op dit moment nog en de hele tijd daarvoor, in je bed. En niet eens in de spirituele of zinnelijke zin, nee, nee, je bent de hele tijd blootgesteld aan de golvende erupties van elektromagnetische straling die hun lijven over je heen loslieten(beginfootnote)Vooral infrarode straling. N.B.: Het menselijk lichaam geeft zelfs radioactieve straling af (‘deeltjes’). Gemiddeld ongeveer 5000 atoomkernen in ons lichaam per seconde (5000 Bq) vervallen en zenden radioactieve straling uit.(endfootnote) – uitbarstingen die qua energieniveau letterlijk honderdduizenden keren hoger waren dan het energieniveau van de straling van een magnetron.
Alle voorbeelden hierboven zijn dezelfde soort straling als de straling van een magnetron: elektromagnetische straling. Het verschil is dat de genoemde voorbeelden qua energie meer dan honderdduizend keer hoger zijn dan magnetrons. Afgezien van een groot gedeelte van straling van de zon en de uranium- en plutoniumstaven dan. Dat zijn voorbeelden van de werkelijk gevaarlijke ioniserende straling. Bovendien betreft het hier meer dan enkel elektromagnetische straling.
Ioniserende straling
De gevaarlijke vorm van straling wordt ioniserende straling genoemd. Dit is het type straling waar veel mensen aan denken als ze het woord ‘straling’ horen. Magnetrons geven echter geen ioniserende straling af.
Als invallende straling zoveel energie heeft dat het atomen van een of meer elektronen ontdoet, noemen we dit ioniserende straling. Een atoom dat een of meer elektronen heeft verloren, is geïoniseerd en noemen we een ion.
Waarom is dit gevaarlijk? Welnu, onze lichamen bestaan uit lange ketens en klompen van vervlechtingen van atomen. Onze huid, organen, cellen, dna – het is allemaal gemaakt van triljoenen atomen. Die dingen zijn in staat om deze ketens en klompen te vormen dankzij hun elektronen – de lijm tussen de atomen, zo je wil.
Dus stel dat ioniserende straling deze elektronen van onze atomen verwijdert: onze moleculen, cellen, dna – alles gaat dan kapot. En vooral dna-schade is gevaarlijk aangezien die zich kan ontwikkelen tot tumorgroei. Gelukkig is ons lichaam zodanig geëvolueerd dat het bepaalde superkrachten bezit, zo je wil, wat het in staat stelt beschadigde cellen en zelfs dna te herstellen op verbluffende schaal.
Helaas zitten er grenzen aan. Een flinke dosis ioniserende straling kan een hoeveelheid schade toebrengen die groter is dan het herstelvermogen van ons lichaam aankan, waardoor toch kanker kan ontstaan.
Ioniserende straling breekt atomen af en daarmee moleculen en daarmee cellen. Als het herstelmechanisme van ons lichaam overspoeld wordt door de hoeveelheid stralingsschade kan dit uiteindelijk leiden tot kanker en falende organen. Straling van een magnetron is echter niet ioniserend. Verre van. Het bevat simpelweg niet genoeg energie. Nog niet eens een beetje.
Voorbeelden van ioniserende straling zijn:
subatomaire deeltjesstraling: zoals protonen, neutronen, los of gecombineerd tot een atoomkern(beginfootnote)Ook bekend als alfadeeltjes of alfastraling.(endfootnote), evenals losvliegende elektronen en positronen(beginfootnote)Ook bekend als bètadeeltjes of bètastraling.(endfootnote).
hoog-energetische elektromagnetische straling: kosmische straling, gammastraling(beginfootnote)Dit is waar dr. Bruce Banner aan werd blootgesteld, wat hem deed veranderen in wat we een Hulk noemen. Alstublieft, probeer dit zelf nooit. Hoogstwaarschijnlijk ga je dood. In het beste scenario zie je er uit zoals de voormalige KGB-agent Emil Blonsky of generaal Thaddeus Ross. Als je niet bekend bent met hun tragische lot: Universal Misery.(endfootnote), röntgenstraling, het hoger-energetische uv-licht.
Elektromagnetische straling
Dus, de straling van de magnetron is elektromagnetische straling. Wat is die laatste dan? In de natuurkunde hebben we een van de succesvolste theorieën tot onze beschikking: kwantumelektrodynamica (QED), die in de jaren dertig vorm begon te krijgen. Bekijk vooral deze heerlijke, zeer toegankelijke serie video’s van het genie en de Nobelprijswinnaar Richard Feynman, die enorme bijdragen leverde aan QED. Het is de eerste theorie binnen een natuurkundig raamwerk dat kwantumveldentheorie (QFT) wordt genoemd. In het kort, zonder QED zouden we geen elektromagnetische technologieën als microprocessoren hebben gehad – oftewel, geen tv, geen internet, geen computers, geen mobiele telefoons. Om de theorie te begrijpen moeten er enkele mentale stappen worden gemaakt. In Waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking? hebben we QFT al kort besproken. Hieronder noemen we enkele essentiële punten daarvan.
De ruimte zelf van het gehele waarneembare universum is gevuld met driedimensionale velden. Sterker nog, velden zijn een eigenschap van ruimte. Ruimte zonder velden bestaat niet. Met ruimte komen velden.
Er zijn vele velden. Twee daarvan zijn het elektromagnetisch veld en het elektronenveld.
We nemen oscillaties met specifieke frequenties in het elektromagnetisch veld waar als fotonen, licht-‘deeltjes’, zo je wil. Soms is het zichtbaar licht, maar meestal is het onzichtbaar licht.
We nemen oscillaties met specifieke frequenties in het elektronenveld waar als elektronen. Als we ze meten – waarbij we ze moeten manipuleren met elektrisch meetapparaat in het lab – ontwaren we ze als ‘deeltjes’. Meestal spreken we van ‘deeltjes’ ook al zijn ze dat technisch gezien niet.
Elektronen beïnvloeden het elektromagnetisch veld. Die laatste beïnvloedt op zijn beurt elektronen weer. Fotonen zijn oscillerende stukjes van het elektromagnetische veld en dus: elektronen beïnvloeden fotonen, terwijl fotonen elektronen beïnvloeden. Niettemin worden elektronen alleen beïnvloed door fotonen met specifieke energieniveaus, niet slechts ieder energieniveau.
Fotonen, of verstoringen in het elektromagnetisch veld, zo je wil, die worden veroorzaakt door een magnetron, wat we ook wel straling noemen, hebben niet het juiste energieniveau om de atomen in ons lichaam te ioniseren.
Gelukkig hebben de fotonen van de mensen die naast je liggen dat ook niet, noch de normale verlichting in je huis, terwijl ze honderdduizenden keren meer energie hebben dan die van een magnetron.
Dit alles is berekenbaar, dankzij wiskunde en natuurkunde.
Een schematische weergave van twee velden die het gehele waarneembaar universum vullen. Hier lijken ze op tweedimensionale vlakken die boven elkaar zweven op enige afstand, maar in werkelijkheid zijn het driedimensionale velden. Ze zijn als het ware vervlochten met elkaar, ze gaan in elkaar op. Elektronen zijn specifieke oscillaties in het elektronenveld en worden hier afgebeeld als donkergele vlekken in het geel gekleurde elektronenveld. Fotonen, licht of elektronische straling (het is allemaal hetzelfde) zijn evenzo afgebeeld als donkergroene vlekken in het groen gekleurde elektromagnetische veld. De lichtgroene vlekken representeren de invloeden in het elektromagnetische veld die elektronen teweegbrengen.
Hoe weten we dit allemaal?
Max Planck, een Duitse theoretische natuurkundige (1858-1947), vond een manier om de energiewaarden van fotonen te berekenen. Einstein gebruikte Plancks formule vervolgens om een andere formule te construeren waarmee het mogelijk werd te berekenen bij welke energieniveaus atomen zouden worden geïoniseerd. In De formule die Albert Einstein de Nobelprijs bezorgde en ons ervan zou moeten weerhouden de huid te verbranden bespreken we Einsteins baanbrekende werk in de kwantummechanica dat zich later zou ontwikkelen tot de kwantumelektrodynamica (QED). Waarschuwing: er komen wiskundige vergelijkingen in dat artikel voor.
Dit vrolijk ogend heerschap was een natuurkundige, een genie en een Nobelprijswinnaar. Hij was een van de grondleggers van de kwantummechanica. Zijn naam was Max Planck. Dit is een foto uit 1933.
Na vele achtereenvolgende bijdragen van zeer pientere mensen kreeg deze fascinerende tak van de wetenschap zijn vorm waarmee we nu in staat zijn om de mogelijkheden van elektromagnetische straling te benutten, inclusief die van een magnetron, radio, tv, Wi-Fi en mobiele telefonie.
Als je preciezer wilt weten waar in het ‘spectrum van gevaar’ de straling van magnetrons zit, bekijk dan dit diagram. Hint: als de straling van magnetrons gevaarlijk is, dan zal het licht in je toilet je ogenblikkelijk doen omsmelten tot warme, natte, klevende, sneakersbedekkende pulp van gepureerde darmen, longpudding en hersenrestjes. Bovendien zullen Planck, Einstein en anderen zich in hun graf omdraaien.
Hitte
Met al die kennis is het voor de hand liggend om je vervolgens af te vragen, hoe zit het dan met die hitte? Als de straling van een magnetron werkelijk zo laag-energetisch is, hoe kan het dan dat mijn voedsel kokend heet wordt? Het antwoord is frictie.
Kun je het je nog herinneren dat als je een stuk staaldraad een tijdje heel snel heen weer buigt, dat het gebogen stukje op een gegeven moment heel erg heet werd? Dat kwam omdat je vele moleculen heen en weer deed bewegen, snel genoeg om verhitting door frictie teweeg te brengen. Je hebt geen levensgevaarlijke hoeveelheden energie nodig – slechts de energie van je armen – om iets heel heet te krijgen. De straling van magnetrons doet dit met vooral de watermoleculen in voedsel.
Onder invloed van het elektromagnetische veld aan de binnenkant van een magnetron draaien de van zichzelf enigszins gepolariseerde watermoleculen heen en weer met een frequentie van ongeveer 2 400 000 000 keren per seconde. De wrijving met de rest van het voedsel zorgt voor opwarming.
Het is als het wrijven van je handen met dit aantal keren per seconde. Dit is ook de reden waarom het opwarmen van vast voedsel in de magnetron makkelijker is dan vloeistoffen, zoals een kopje water: in die laatste ervaren de watermoleculen amper wrijving ten opzichte van vast voedsel.
De straling doet verder niets met de samenstelling van de atomen. Het brengt enkel beweging van moleculen teweeg. Net als een gasvlam. Of een conventionele oven. Breng de moleculen in beweging en presto!
Dit betekent ook dat je je hand niet in een werkende magnetron moet steken. Jouw moleculen zullen dan ook bewegen, net als wanneer je je handen in een oven of in een gasvlam zou steken. Toegegeven, in een magnetron zouden vooral enkel je watermoleculen gaan bewegen, terwijl in een oven of boven een gaspit al je moleculen slachtoffer worden.
Vitaminen
Vernietigt de straling van een magnetron de vitaminen in je voedsel? Zoals hiervoor besproken, is de straling niet ioniserend, dus nee, het vernietigt geen vitaminen. Hitte wel, overigens. Glasvlammen en ovens verhitten voedsel en via die hitte worden vitaminen vernietigd, dus ook in het geval van verhitting via een magnetron. Niet door de straling dus, maar door simpele verhitting.
Als straling van een magnetron vitaminen zou vernietigen, zou de lamp boven de eettafel je hele gerecht, inclusief bord, ogenblikkelijk verpulveren.
Er zit een positieve kant aan. Hoe langer voedsel wordt verhit, des te meer vitaminen worden vernietigd. Dus, als er een manier is om voedsel zo snel mogelijk te verhitten, gaan er minder vitaminen verloren. Het zou zo maar kunnen dat, afhankelijk van allerlei instellingen en omstandigheden, bij de ongelooflijk efficiënte opwarming van voedsel in een magnetron minder vitaminen kapot gaan dan bij de relatief gestage opwarming op een gaspit.
Vitaminen worden vernietigd door hitte, niet door de straling van een magnetron. Voorbij een bepaalde temperatuur worden een aantal vitaminen per seconde vernietigd. Dus hoe langer het duurt om het voedsel op te warmen, des te meer vitaminen gaan er verloren.
Bovendien vindt het koken in een pan op het vuur vaak in vocht plaats dat na afloop dan wordt weggegooid. Vitaminen die daarin waren opgelost, worden daarmee ook verwijderd. In een magnetron blijft alles op hetzelfde bord. Dus, zelfs als vitaminen in het vocht oplossen, blijven ze aanwezig.
Ten slotte, hoewel magnetrons geen carcinogene straling uitzenden, kan het voedsel zelf wel kankerverwekkend zijn, vooral als het is aangebrand. Dus let goed op bij het koken op een gaspit of in een oven: laat het niet aanbranden en als het wel gebeurd is, eet het niet op.
Toevallig is het zeer onwaarschijnlijk dat je voedsel zal aanbranden in een magnetron(beginfootnote)Wat tegelijkertijd de reden is dat mensen het niet zo lekker vinden aangezien een heel lichtbruine korst na opbakken in een pan op het vuur juist de smaak biedt die een magnetron niet kan bieden.(endfootnote).
Is straling van magnetrons schadelijk voor de gezondheid?
Met dank aan kwantumfysica is de straling van magnetrons niet schadelijk voor de gezondheid en vernietigt het an sich geen vitaminen (verhitting wel). Er is ook geen sprake van achterblijvend stralingseffect dat gevaarlijk zou kunnen zijn: het is als het in- en uitschakelen van de gewone verlichting, maar dan honderdduizenden keren minder energetisch. Men verwart het mogelijk met het langdurige stralingseffect van een kernbom of een kernramp. Dit komt omdat er miljarden zware atoomkernen in de omgeving rondgeslingerd werden die op hun beurt gedurende duizenden jaren lang alsnog weer ioniserende straling afgeven. Magnetrons slingeren geen atoomkernen in je voedsel. Dat zou dodelijk zijn, inderdaad.
Iedere online tekst, of in een boek, in bladen, die het tegenovergestelde beweert, voert eigenlijk een strijd met de kwantummechanische feiten van dit universum. En een grumpy Einstein. In dat geval kunnen andere belangen en motieven een rol hebben gespeeld om deze ongeïnformeerde posities in te nemen.
Dus, als iemand je vertelt dat magnetrons schadelijk zijn voor je gezondheid, vraag hen om de exacte kwantummechanische vergelijkingen die hun beweringen zullen moeten ondersteunen. Het is wat het is en het is nu eenmaal dit universum. Als de kwantummechanica niet klopte, hadden ze hun ongeïnformeerde online bron nooit kunnen raadplegen. Computers hadden niet gefunctioneerd. Hun mobiele telefoon was als een dure baksteen. Internet zou niet hebben bestaan. Ze zouden de nep-berichten nooit hebben kunnen verspreiden via sociale media als de natuurkunde niet klopte. Wat dat betreft zouden ze zelf niet eens hebben bestaan.
Doe dit niet zonder zonnebrandcrème. Dit is gevaarlijk, niet de straling van je magnetron.
Met diezelfde wetenschap, overigens: pas op met het uv-licht van de zon deze zomer. En vermijd te allen tijde: kosmische straling, gammastraling en deeltjesstraling(beginfootnote)Tenzij blootstelling heel kort plaatsvindt onder de fantastische, deskundige en levensreddende begeleiding van onze medische professionals.(endfootnote), dus, wat je ook doet, haal nooit een frisse neus in de ruimte zonder beschermend ruimtepak. En eet geen yellowcake. Nooit. Kook in plaats daarvan wat sperziebonen in een magnetron. En eet een radioactieve banaan. Is veel gezonder.
De zomer is er. Je gaat van een aantrekkelijk ogende cocktail genieten. De condensatiedruppels aan de buitenkant van het glas verraden de aanwezigheid van een koele, verfrissende drank. Maar precies op het moment dat je lippen de rand van de kleurige kelk der gelukzalige voldoening bereiken, vraagt je schokkend intelligente kind je waarom het rietje gebroken lijkt te zijn in je glas. En als het niet deze vraag is, dan in elk geval waarom het hoofd van deze beer op de verkeerde plek drijft. Natuurlijk is het antwoord lichtbreking, maar waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking?
We zullen je voorzien van het antwoord. Maar voor we beginnen, vragen we toch even voor de zekerheid: te lang, geen tijd, geen zin in formules? Scroll dan door naar de laatste paragraaf, de snelle samenvatting. Toch nieuwsgierig? In dat geval, lees gerust door. Ik beloof je, er zal geen enkele berekening worden uitgevoerd. En als je toch even doorzet, zul je echte natuurkundige kennis hebben verkregen. Meer dan de meesten.
Wat zou je antwoorden? Hier zijn enkele voorbeelden van incorrecte verklaringen die mensen (maar niet jij) hun kinderen zouden kunnen voorschotelen.
Licht neemt de snelste route. Aangezien zijn snelheid per medium verschilt, zal het van richting moeten veranderen. Of: licht neemt de route met de kleinste werking. Verder dezelfde redenering.
Als licht door het glas of vloeistoffen valt, stuitert het heen en weer tussen de moleculen en atomen van het materiaal. Door de kristalstructuur of de schuivende moleculaire schikkingen van een vloeistof wordt de richting van het licht als geheel een bepaalde kant op gestuurd. En zo ontstaat lichtbreking.
Licht bestaat uit deeltjes, zogenaamde fotonen, die worden geabsorbeerd door de atomen van het materiaal, waardoor de elektronen tijdelijk in een baan verder van de atoomkern af ronddraaien. Op het moment dat ze weer terugvallen stoten ze een foton af in een specifieke richting die afhankelijk is van het type atoom, i.e. het materiaal in kwestie. Het algehele resultaat is dat de lichtstraal van richting veranderd is. En zo ontstaat lichtbreking.
Het beginsel van Huygens. Licht is een golf. Ieder punt op de golffront kan een bron zijn van cirkelvormige golfjes. Teken ze, verbind de punten en lichtbreking ontstaat.
Waarom zijn ze incorrect?
Oké, dit is niet incorrect, maar hoewel het licht dat doet, geeft het geen informatie over wat er precies gebeurt. Het is eigenlijk een antwoord op een ander type vraag. Dus, kniesoorderig, qua antwoord-op-de-gestelde-vraag, dan toch incorrect.
Met dezelfde logica zou licht meer uitgespreid moeten worden door de probabilistische aard van het veronderstelde heen-en-weer stuiteren van de chaotisch bewegende of trillende moleculen en atomen. Een specifieke richting van stuiterend licht is hier niet gegarandeerd en daarmee niet zo consistent als we niettemin in de realiteit wel waarnemen. We zouden een veel waziger rietje moeten zien. Een soort gloed. De contouren zouden verdwenen zijn.
Hier zou het licht zich ook meer moeten gaan uitspreiden. De richting van een opnieuw uitgezonden foton is niet gegarandeerd in de richting zoals we die in de realiteit waarnemen. Een foton zou opnieuw uitgezonden kunnen worden in elke richting, onafhankelijk van het type atoom. De frequentie van een door een terugvallende elektron ‘uitgezonden’ foton correleert met de atomaire configuratie, maar niet zijn richting. Bovendien zijn ‘uitgezonden’ en ‘geabsorbeerd worden’ niet goed gedefinieerd. Wat betekent dat dan precies?
Dit is een verfijnde kwestie. Op het eerste gezicht produceert het beginsel de juiste, nieuwe hoek voor de lichtstraal. Echter, het beginsel van Huygens komt alleen overeen met de waarnemingen als je heel selectief bent, terwijl er meerdere, geldige mogelijkheden aanwezig zijn. Zie Figuur 1 voor een samenvatting.
(a) De verticale lijnen stellen de pieken van de lichtgolf voor. Het blauwe gebied is het glas of de vloeistof. Aangezien lichtbreking alleen plaatsvindt als het onder een hoek valt, benadert de lichtbundel het oppervlak ook hier onder een hoek. Huygens stelde voor dat ‘cirkelvormige golfjes’ kunnen worden getekend (hier weergegeven als delen van cirkels met stippellijnen) op iedere plek vanaf de golffront, die groeien met de tijd. Verbinding van de golffronten van die kleinere, cirkelvormige golfjes leveren een voorspelling op voor de loop en richting van de volgende golf (piek). Aangezien de onderstelde delen van de golven het oppervlak eerst raken, hebben de cirkelvormige golfjes tijd om te groeien voordat de bovenste golven het oppervlak raken. (b) Over de tijd zullen meerdere cirkelvormige golfjes zich hebben ontwikkeld. (c) Waar de golfjes elkaar snijden kunnen andere golfpieken worden getekend. Het resultaat lijkt op de voorspelde nieuwe voortplantingsrichting van de lichtstraal in (of uit) het materiaal. (d) Echter, na verloop van tijd zullen meerdere snijpunten zijn gaan ontstaan. Met Huygens’ logica zouden hiermee ook andere golffronten getekend kunnen worden. Het zou resulteren in diffuus licht in plaats van een scherp gedefinieerde lichtbaan. Stellen dat een situatie als getekend in (c) zal plaatsvinden, houdt simpelweg in dat er sprake is van een voorkeurscenario, terwijl (d) erop wijst dat meerdere scenario’s mogelijk zijn. Het beginsel van Huygens lijkt correct op het eerste gezicht, maar uiteindelijk faalt het.
Stap 1. Geen deeltjes, geen golven: het zijn allemaal velden
Dus waardoor vindt er dan lichtbreking plaats? We zullen een aantal denkstappen moeten verrichten. Hier is de eerste, waarover we kunnen stellen dat het gewoon een kwestie is van even wennen.
De ruimte zelf van het gehele waarneembare universum is gevuld met velden. Sterker nog, velden zijn een eigenschap van ruimte. Ruimte zonder velden bestaat niet. Met ruimte komen velden. In de meeste velden heeft ieder punt niet alleen een waarde maar ook een richting. Deze velden worden vectorvelden genoemd. Sommige worden scalaire velden genoemd; de punten hiervan hebben geen richting, enkel waarden. Er zijn nog meer veldtypes, zoals tensorvelden en fermionische velden. Dit is de kwantumveldentheorie, de succesvolste en accuraatste theorie tot nu toe. Dat is het al sinds meer dan negentig jaar geleden (inclusief een herleving in de jaren 1970).
De volgende vraag is, over welke concrete velden hebben we het? Waarschijnlijk heb je wel eens gehoord of gelezen over het Higgsveld(beginfootnote)Toevallig is dit geen vectorveld; de punten hiervan hebben geen richting, enkel waarden, en dus is het een scalair veld.(endfootnote). In 2012 produceerde de Large Hadron Collider van het CERN een oscillatie in het Higgsveld. Die oscillatie is wat we het Higgsdeeltje noemen. De energie die in de LHC werd bereikt was meer dan genoeg om een oscillatie in het Higgsveld te veroorzaken die we vervolgens waarnemen als een deeltje(beginfootnote)Het Higssdeeltje werd indirect geobserveerd aangezien het te snel vervalt om gedetecteerd te kunnen worden door de sensoren. De vervalproducten – oscillaties in andere velden – werden niettemin direct als deeltje waargenomen.(endfootnote). Het bestaan van het veld was een bewezen feit. Twee Nobelprijzen werden uitgereikt aan François Englert en Peter Higgs, die, achtenveertig jaar eerder, onafhankelijk van elkaar de theoretische basis legden voor het bestaan ervan. Het was een indrukwekkend vertoon van hoe mensen met hun schokkend minuscule hersenen in staat bleken om de diepten van de subatomaire wereld, duizend keer kleiner dan de atoomkern, te onderzoeken en daarmee tegelijkertijd cruciale aspecten van het gehele waarneembare universum beschreven. Met behulp van wiskunde en, achtenveertig jaar later, ingenieuze experimenten.
Er zijn meer velden. Er is een elektronenveld. Meestal heeft het veld de waarde nul. Maar als de waarden in een klein deel van dat veld oscilleren met een specifieke frequentie, noemen we dat een electron.
Er is ook een elektromagnetisch veld. Een bundel van miljarden lokale oscillaties binnen een bepaald frequentiegebied is wat we zichtbaar licht noemen. Het is zowel handig om te spreken van lichtdeeltjes (fotonen) alsook van lichtgolven (elektromagnetische straling). Het hangt ervan af wat je wil berekenen.
Je zou kunnen zeggen dat er ook een protonenveld is, al zijn er eigenlijk fundamentelere velden, namelijk de quark- en gluonenvelden (protonen zijn geen elementaire deeltjes, ze bestaan uit quarks en gluonen). Niettemin, voor dit artikel houden we de eenvoudige notie aan van een protonenveld. Een relatief lokale oscillatie is een proton, die we waarnemen als een deeltje.
Er zijn nog meer velden maar om die allemaal te bespreken zou een artikel op zichzelf zijn. Of een aantal boeken. En een paar jaren studie.
Dus, wat is licht, wat zijn elektronen, wat zijn protonen of quarks en gluonen? Zijn het zowel deeltjes alsook golven? Nee, dat is een oude en misleidende vraag. Zijn ze af en toe een deeltje, af en toe een golf? Nee, ook dat niet.
‘Deeltjes’ zijn niet echt deeltjes, zoals de kleine zilveren kogeltjes in een kogellager of iets dergelijks. Ze worden het best beschreven als een wiskundige functie die we de golffunctie noemen (aangeduid met het symbool Ψ). Als ze gemeten worden zijn het relatief lokale oscillaties of verstoringen met specifieke frequenties in de universum vullende velden en gedragen ze zich hoofdzakelijk als deeltjes. Wiskundig gesproken is het soms praktisch om ze te modelleren als deeltjes of golven, afhankelijk van de situatie. Het is echter betekenisloos om te stellen dat ze één van de twee zijn of allebei. Het is accurater om ze te behandelen als mathematische golffuncties dan als iets andersEen persoonlijke overtuiging is momenteel dat de golffunctie alles is dat er is. Elementaire ‘deeltjes’ zijn golffuncties. Niets meer, niets minder. Voorkeur geven aan ’tastbare objecten’, zoals deeltjes, boven ‘slechts mathematische beschrijvingen’, zoals golffuncties, die overigens onvoorstelbaar accuraat bleken na ettelijke miljarden tests, geeft eigenlijk blijk van ons beperkt begrip van kwantumfysica, begrip dat zich stiekem vooral kenmerkt door alledaagse, macroscopische ervaringen als spelen met tennis-, hockey- en voetballen. Er is echter geen enkele reden om aan te nemen dat deze laatsten representatief zijn voor de benadering en interpretatie van het subatomaire fundament van ons universum. In mijn optiek zou dat de golffunctie moeten zijn. — KJ.
Figuur 2. Drie velden in de ruimte zijn boven elkaar afgebeeld. Ze zijn hier tweedimensionaal maar in werkelijkheid zijn ze driedimensionaal en vullen ze dezelfde driedimensionale ruimte, volstrekt met elkaar vervlochten en vermengd. Het probleem is dat het tekenen van vervlochten en vermengde driedimensionale dingen moeilijk is op een tweedimensionaal scherm. In dit diagram zijn er geen ‘deeltjes’ aanwezig. Er zijn geen specifieke oscillaties in de velden. Met andere woorden, de velden hebben een nulwaarde, er zijn geen deeltjes, maar de velden zijn er niettemin. (Om helemaal precies te zijn, in werkelijkheid oscilleren velden altijd een klein beetje vanwege de onzekerheidsrelatie van Heisenberg.)
Step 2. Maxwellvergelijkingen
James Clerk Maxwell was, naast Schots, een wetenschapper in de mathematische fysica. Na bestudering van eerder werk van Faraday, Gauss en Ampère, toonde hij aan dat een elektrisch veld en een magnetisch veld hetzelfde ding waren, slechts verschillende aspecten ervan. Dat ding noemen we het eerder vermelde, ruimtevullende elektromagnetische veld. Hij toonde ook aan dat licht een elektromagnetisch fenomeen is. Een verstoring in het veld.
Gravure van James Clerk Maxwell door G.J. Stodart van een foto door Fergus of Greenock. Titelplaat in James Maxwell, The Scientific Papers of James Clerk Maxwell. Ed: W.D. Niven. New York: Dover, 1890. Public domain.
Hij formuleerde een set van vier vergelijkingen. Die set draagt zijn naam. We zullen er hier slechts twee ‘gebruiken’:
Ik zeg, ‘gebruiken’, maar maak je niet ongerust, we gaan geen moeilijke berekeningen uitvoeren.
Vergelijking (1) wordt de wet van Gauss genoemd en toont hoe het elektrisch veld (dat dus een aspect is van het elektromagnetische veld), aangeduid met E, beïnvloed wordt door een lading $\rho$, zoals de negatieve lading van een elektron of de positieve lading van een proton. Het symbool $\varepsilon_0$ duidt een constante aan, die verschilt per materiaal. Het subscript 0 wijst erop dat het de constante is van het vacuüm. Deze natuurkundige constante $\varepsilon_0$ staat bekend als de elektrische (veld)constante, maar vroeger werd het de diëlektrische constante van het vacuüm genoemd. In dit artikel gebruiken we verschillende waarden voor deze constante, voor verschillende materialen. Namelijk:
\[ \varepsilon_\text{air} \text{ and } \varepsilon_\text{mat}. \]
‘Mat’ is ‘materiaal’, zoals glas of een vloeistof. ‘Air’ is lucht, uiteraard. De exacte numerieke waarden zullen we niet gebruiken want het is niet van belang om lichtbreking te begrijpen. Deze twee epsilons an sich zullen er niettemin een essentiële rol bij spelen. Lees vooral door, zou ik zeggen.
In Figuur 3 zijn de drie velden wederom afgebeeld. Deze keer kun je oscillaties zien: afgebeeld als vlekken in het protonenveld. Dit zijn de protonen. Ze worden omgeven door elektronenvlekken die zijn afgebeeld in het elektronenveld. Beide ‘deeltjes’ beïnvloeden het elektromagnetische veld, of, preciezer, het elektrische subveld daarvan. Let op: de vlekken in die laatste zijn geen ‘deeltjes’ maar invloeden in het elektrisch veld.
Figuur 3. Een schematische weergave van protonen en elektronen, tezamen atomen vormend, beïnvloeden het het elektrische subveld van het elektromagnetisch veld.
Stap 3. Teken de vectoren
Zie Figuur 4. De oranje pijl of vector duidt de richting van het licht aan in het materiaal. Maxwell toonde aan dat licht, zijnde een oscillatie in het elektromagnetisch veld, een oscillerend component in het elektrische subveld van het elektromagnetisch veld heeft. Dat elektrisch veld is haaks georiënteerd op de richting van het licht. Dit wordt aangeduid met de groene vector.
Figuur 4. Licht in het materiaal valt onder hoek op het oppervlak van het materiaal. Het heeft een oscillatie in het elektrische veld haaks op de voortplantingsrichting van het licht.
Het is belangrijk om in te zien dat de vector van het elektrische veld twee fundamentele componenten heeft, namelijk de component-vector parallel aan het oppervlak, dat we aanduiden met het symbool $\parallel$, en een component-vector die loodrecht staat op het oppervlak, die we aanduiden met het symbool $\perp$. Dit is weergegeven in Figuur 5.
Figuur 5. Het elektrische veld in het materiaal, veroorzaakt door het licht, heeft twee component-vectoren: parallel aan en loodrecht op het oppervlak.
Precies aan het oppervlak, de overgang van het materiaal naar de lucht, moet het elektrische veld in het materiaal en het elektrische veld van de lucht naar dezelfde waarde ‘glijden’ (anders hebben we te maken met een scheur in ons universum). Dit betekent dat
Dus de component-vectoren van zowel lucht alsook het materiaal die parallel zijn aan het oppervlak, zijn gelijk. Echter, de component-vectoren loodrecht op het oppervlak zijn ongelijk. Dit is de crux:
Dit betekent dat de loodrechte component-vector van lucht groter moet zijn dan dat van het materiaal om te voldoen aan vergelijking (6). Dit is weergegeven in Figuur 6.
Figuur 6. Omdat de epsilon (elektrische constante) van het materiaal groter is dan dat van lucht, moet de loodrechte component-vector van lucht groter zijn om aan de vergelijking te voldoen. Hier is een nieuwe resultante van het elektrische veld in de lucht getekend over de oude vector heen om het verschil te benadrukken.
Het enige dat nog rest is de nieuwe richting van het licht in lucht te tekenen. Zoals we weten staat de richting van het elektrische veld haaks op de voortplantingsrichting van het licht, met dank aan Maxwell en collega’s. We kunnen dus de nieuwe richting van licht in lucht met gemak construeren, zoals weergegeven in Figuur 7.
Figuur 7. De nieuwe voortplantingsrichting van licht in lucht is afgebogen ten opzichte van de oorspronkelijke hoek waaronder licht zich voortbewoog in het materiaal volgens de voorspelling van onze vectorrekening, precies zoals waargenomen in de realiteit.
Stap 4. Het elektrisch veld in materialen
Dan nu de hamvraag: hoe komt het nu dat de elektrische veldconstante van materiaal zo anders is?
Figuur 8 toont een schematische weergave van wat licht, verstoringen veroorzakend in het elektrisch veld, met elektrisch geladen ‘deeltjes’ doet in materialen in termen van kwantumveldenverstoringen. Merk op hoe de schikking van de ladingen en daarmee de oscillaties in het elektromagnetische veld op dusdanige wijze veranderd zijn dat het elektrische subveld als geheel, in het materiaal, in waarde veranderd moet zijn. Deze veranderingen zijn vervat in de elektrische constante, $\varepsilon_\text{mat}$.
Licht verandert de elektromagnetische configuratie binnen een materiaal wat vervolgens de voortplantingsrichting van datzelfde licht beïnvloedt.
Figuur 8. Licht verandert de elektromagnetische configuratie binnen een materiaal wat vervolgens de voortplantingsrichting van datzelfde licht beïnvloedt. Merk op hoe de invloeden veroorzaakt door de door licht veroorzaakte herschikking van elektronen en protonen een verandering teweegbrengen in het elektrische veld.
Snelle samenvatting: waarom veroorzaken glas en vloeistoffen lichtbreking
Het universum, i.e. de ruimte zelve(beginfootnote)Met ‘ruimte’ bedoelen we niet per se de plek buiten de aarde waar ruimtevaart plaatsvindt, maar het ding zelf, het onzichtbare volume, de driedimensionale bewegingsvrijheid waarmee we ons voor-achter, links-rechts, op-neer kunnen verplaatsen.(endfootnote), bevat een alomtegenwoordig elektromagnetisch veld. Wiskundig kunnen we dat opdelen in twee componenten: het elektrische (sub)veld en het magnetische (sub)veld.
Zowel elektronen in glas en vloeistoffen alsook licht worden beïnvloed door oscillaties in het elektrische veld van het materiaal. Tegelijkertijd veroorzaken ze verstoringen in hetzelfde elektrische veld. Als licht het materiaal binnenvalt, wijzigt het elektrisch veld en wijzigt daarmee de schikking van de elektronen. Deze herschikking maakt dat elektronen op hun beurt ook wijzingen veroorzaken in het elektrische veld van het materiaal. Het netto elektrische veld verandert vervolgens de voortplantingsrichting van licht op eenvoudig te voorspellen wijze. Met dank aan vector calculus.
Of, als je dat meer aanspreekt:
Licht duwt elektronen via het elektrische veld. Elektronen duwen terug via datzelfde elektrische veld. Licht zegt, ‘Oké, oké, relax!’, en neemt een iets andere route.
In dit artikel leiden we een vergelijking af voor de normaalkracht op een massa in een versnelde rotatiebeweging in een vlak met gebruikmaking van polaire coördinaten. Zo’n vergelijking is zeer nuttig om de omstandigheden te berekenen waaronder de massa uit zijn circulaire baan zal vliegen. Uiteraard zijn er talloze situaties waarbij we de normaalkracht zouden moeten kunnen vinden. Hier zullen we echter een systeem zoals weergegeven in Figuur 1 beschouwen. Soms is het verkrijgen van een vergelijking in termen van de gegeven variabelen niet eenvoudig. In stap 7 tref je daartoe een handig truc aan waarmee je tot een vergelijking komt in termen van een simpele $\theta$ in plaats van de initieel verkregen tweedegraads afgeleide $\ddot\theta$.
Dit artikel is mogelijk op het niveau van bachelorstudenten natuurkunde.Download dit artikel
Notatie
We passen Newtons notatie toe waar mogelijk aangezien het de meest compacte vorm is. Als $\mathbf{x}$ bijvoorbeeld een vector is dan worden hiervan de eerste- en tweedegraads afgeleiden ten opzichte van tijd $t$ respectievelijk genoteerd als
\[ \dot{\mathbf{x}}\text{ en }\ddot{\mathbf{x}}. \]
In andere gevallen waarbij het handig is om te expliciteren dat we te maken hebben met tijdsafhankelijke afgeleiden – bijvoorbeeld om een tijdsintegraal te berekenen – zullen we de notatie van Leibniz toepassen, dat wil zeggen
\[ \frac{\text{d}\mathbf{x}}{\text{d}t}\text{ en }\frac{\text{d}^2\mathbf{x}}{\text{d}t^2}. \]
De opdracht
Bestudeer het systeem van Figuur 1. Stel dat we voor het systeem staan. Massa $m$ is bevestigd aan een modeldraad. Op $t=0$ rust het ter hoogte van het centrum van de cilinder met radius $R$ met het draad langs de bovenkant. Een constante kracht $\mathbf{P}$ trekt de draad naar beneden. Op een later tijdstip $t$ zal massa $m$ via de bovenkant glijden met een wrijvingscoëfficiënt $\mu$. De hoek $\theta$ is de hoek tussen de initiële positie van $m$ en zijn huidige positie zoals weergegeven in de figuur. Bereken de normaalkracht op $m$ en bewijs daarmee dat de straal van de cilinder hier irrelevant is.
Figuur 1. Het systeem
Stap 1. Krachtendiagram en eenheidsvectoren
Het is van essentieel belang om een schets te maken van de krachten, parameters en de eenheidsvectoren. We kiezen hier de radiale eenheidsvector en de tangente eenheidsvector. Dit maakt de berekening een stuk eenvoudiger. Zie Figuur 2.
Figuur 2. Krachtendiagram en de eenheidsvectoren op tijdstip $t>0$
We onderscheiden de volgende krachten op $m$:
$\mathbf{P}$ is de vector die de constante trekkracht op de modeldraad representeert,
$\mathbf{N}$ is de vector die de normaalkracht op $m$ door de cilinder representeert,
$\mathbf{F}$ is de vector voor de wrijvingskracht,
$\mathbf{W}$ is de vector voor het gewicht van $m$ als gevolg van het zwaartekrachtveld van de planeet waar het systeem zich bevindt,
$\mathbf{e}_r$ is de radiale eenheidsvector,
$\mathbf{e}_\theta$ is de tangente eenheidsvector.
Stap 2. Toepassing van Newtons tweede wet
Aangezien het een dynamisch systeem betreft, waarbij $m$ zich in een versnelde cirkelvormige beweging bevindt, passen we Newtons tweede wet toe. Om precies te zijn, deze vorm:
waarbij $\ddot{\mathbf{r}}$ de snelheidsverandering in de tijd is, oftewel, het tweedegraads tijdsderivaat van de verplaatsingsvector $\mathbf{r}$ van massa $m$. We kunnen nu de componenten van de som der vectoren onderscheiden zoals we al eerder deden in stap 1. En dus, vergelijking (1) wordt
Stap 3. Herschrijf de krachten in termen van hun grootte en eenheidsvectoren
Aangezien trekkracht $\mathbf{P}$ met grootte $|\mathbf{P}|$ in de richting van de tangente eenheidsvector $\mathbf{e}_\theta$ acteert, kunnen we voor $\mathbf{P}$ schrijven:
Wrijving $\mathbf{F}$ opereert in de tegenovergestelde richting van de tangente eenheidsvector $\mathbf{e}_\theta$, dus plaatsen we een min-teken in de uitdrukking. Bovendien, aangezien een (droge) wrijvingskracht normaal gesproken gemodelleerd wordt door het product van de wrijvingscoëfficiënt en de normaalkracht, kunnen we schrijven:
Ten slotte is gewicht de kracht als gevolg van de zwaartekracht: $|\mathbf{W}|=mg$, waarbij $g$ de gravitatieconstante is. Niettemin moeten we ook deze kracht in termen van zijn componenten langs de radiale en parallel met de tangente eenheidsvectoren opschrijven. Aangezien deze laatsten omhoog wijzen terwijl de eerste omlaag wijst, weten we al dat beide componenten een min-teken verkrijgen, namelijk $(-\mathbf{e}_r)$ en $(-\mathbf{e}_\theta)$. Wat overblijft is de correcte vergelijking voor de grootte van het gewicht in termen van de eenheidsvectoren.
Om duidelijk aan tonen hoe we een uitdrukking voor $\mathbf{W}$ in termen van zijn componenten parallel aan $\mathbf{e}_r$ en $\mathbf{e}_\theta$ verkrijgen, zie Figure 3.
Figuur 3. De componenten van $\mathbf{W}$
Wat je ziet is de gewichtsvector $\mathbf{W}$ van het krachtendiagram in Figuur 2, inclusief de radiale en tangentiële eenheidsvectoren $\mathbf{e}_r$ and $\mathbf{e}_\theta$. Voor de duidelijkheid hebben we deze op de plek van massa $m$ afgebeeld. Tevens zijn er de twee componentvectoren in de tegenovergestelde richting van de eenheidsvectoren waarvoor we de expressies moeten vinden.
Stel, componentvector $\mathbf{v}_r = a(-\mathbf{e}_r)$ en componentvector $\mathbf{v}_\theta = b(-\mathbf{e}_\theta)$, waar $a$ en $b$ twee waarden zijn zodanig dat de vectorsom van $\mathbf{v}_r$ en $\mathbf{v}_\theta$ gelijk is aan $\mathbf{W}$. Met andere woorden,
Om waarden te vinden voor de grootte van $a$ en $b$ gebruiken het feit dat de magnitude $|\mathbf{W}| = mg$. Dus, gebruikmakende van middelbareschooltrigonometrie concluderen we
\begin{align} a &= mg\sin\theta, \\ b &= mg\cos\theta. \end{align}
Nu kunnen we $\mathbf{W}$ in termen van zijn componenten opstellen, gebruikmakende van de in vergelijking (6) te substitueren situaties van vergelijking (7) en (8):
We kunnen nu vergelijking (12) in zijn radiale en tangentiële componenten ontbinden:
\begin{align} \mathbf{e}_r &: -mR\dot{\theta}^2 = N – mg\sin\theta, \\ \mathbf{e}_\theta &: mR\ddot{\theta} = P – \mu N – mg\cos\theta. \end{align}
Stap 6. Construeer de bewegingsvergelijking in polaire coördinaten
Herschikking van vergelijking (14) leidt tot de volgende tweedegraads differentiaalvergelijking van beweging:
\begin{equation} \ddot{\theta} = \frac{P – \mu N – mg\cos\theta}{mR}. \end{equation}
Hoewel we nu al vergelijking (14) hadden kunnen oplossen voor $N$ zou dit niettemin de opname van het tweedegraads tijdsderivaat betekenen van $\theta$. In plaats daarvan willen we een expressie voor $N$ in termen van een simpele $\theta$. Dit betekent dat we ons op een of andere wijze moeten ontdoen van $\ddot{\theta}$. Het is niet direct duidelijk hoe vergelijking (14) of (15) moet worden bewerkt om dit te bereiken. Er is echter een mooie truc.
Stap 7. De truc
Kijk naar de volgende vergelijking waar we de kettingregel toepassen:
Om het probleem van initiële conditie op te lossen om de waarde van $C$ te vinden, gebruiken we het feit dat op tijdstip $t=0$, hoek $\theta = 0$, en dus $\dot{\theta} = \ddot{\theta} = 0$. Dit levert op $C = 0$ in vergelijking (18), en dus verkrijgen we
Let wel, we hebben nu een vergelijking voor $\dot{\theta}^2$, die al verscheen in vergelijking (13). We kunnen daarom vergelijking (19) in (13) substitueren:
En dus hebben we nu een uitdrukking voor $N$ in termen van de gravitatieconstante $g$, de variabelen $m$, $\mu$ en $P$, en de veel handzamere $\theta$ in plaats van $\dot\theta^2$.
Als we willen berekenen wanneer een massa uit de bocht zal vliegen schrijven we $N = 0$, aangezien hier de massa fysiek niet langer op de cilinder rust (er wordt immers niet langer een normaalkracht op de massa uitgeoefend). Met andere woorden, vind de nulpunten van vergelijking (21) om de onbekende variabele te vinden. Merk op dat $R$ geen rol meer speelt. Houd daarbij uiteraard in het achterhoofd dat $m$ als puntmassa is gemodelleerd.
De zomer is gearriveerd op het noordelijk halfrond. De tijd is aangebroken om mensen op straat te achtervolgen met waterpistolen, door de stralen van de tuinsproeiers van de buurman te springen en voor ofwel het voorzichtig plaatsen van een natte, zompige zeekomkommer op de buik van een pittende badgast(beginfootnote)De auteur keurt dit gedrag af. Zeekomkommers moeten met rust worden gelaten.(endfootnote) of het dumpen ervan (de badgast) in het eigenlijk nog veel te koude zeewater, vooral als die je geliefde is. Na alle natte avonturen gaat niets boven een zacht briesje van frisse alpenlucht waarin je je kleren vervolgens te drogen hangt.
Enkele jaren geleden vroeg een vriend wat nu precies het opdrogen van natte kleding veroorzaakt. Ik vond het een prachtige vraag. Het lijkt een simpel probleem maar het antwoord legt een van de fundamentele aspecten van ons universum bloot. Het is ook een van de belangrijkste oorzaken van hoofdpijn onder bachelorstudenten: de tweede hoofdwet van de thermodynamica.
Te lang, geen tijd? Geen behoefte aan wat wiskunde (middelbare school) en liever de ‘managementversie’? Spring door naar beneden. Voor alle anderen: lees gerust verder!
Een doos met een gas
Laten we eerst de werkelijkheid waarin we net als iedereen de laatste catwalkzomerstrandmode dragen, vereenvoudigen tot een hanteerbare situatie. We negeren de zon, de wind en de luchtvochtigheid.
Stel je je kleurrijke zwembroek voor als een simpele doos met honderd gasmoleculen. De deeltjes stuiteren chaotisch tegen elkaar en tegen de wanden van de doos.
Stel dat er een gat in een van de wanden zit. Per toeval ontsnapt er een molecuul door het gat naar de andere doos van exact dezelfde omvang. Hierdoor blijven er uiteraard nog 99 gasmoleculen over in de oorspronkelijke doos.
Figuur 1. Twee paar dozen met gasmoleculen. In (a) is er een molecuul ontsnapt via het gat naar de rechter doos, 99 blijven over in de linker. Bij (b) zijn er twee moleculen ontsnapt naar de rechterdoos, 98 blijven over in de linker.
Zie Figuur 1a. Aangenomen dat alle gasmoleculen er precies hetzelfde uitzien, hoeveel manieren zijn er om ze zodanig te schikken dat je hetzelfde resultaat verkrijgt? In plaats van dat ene specifieke molecuul in (a) had het natuurlijk ieder ander van de honderd moleculen kunnen zijn die naar de rechterdoos vloog met exact hetzelfde eindresultaat (i.e. 1 ontsnapt, 99 over). Met andere woorden, precies 100 verschillende schikkingen, of microtoestanden leiden tot hetzelfde resultaat waarbij er 1 ontsnapt is en er 99 overgebleven zijn. Laten we dit aantal microtoestanden aanduiden met de letter $W$. En dus, het aantal microtoestanden $W$ waarbij er 1 ontsnapt is, is $W(1) = 100$.
Stel je nu voor dat niet een maar twee deeltjes eruit vlogen, zoals te zien is in Figuur 1b. Dit betekent dat er een ander aantal microtoestanden zullen leiden tot het resultaat waarbij 2 deeltjes ontsnapten en 98 overblijven. Voor het eerste deeltje zijn er, zoals hierboven beschreven, precies 100 verschillende schikkingen mogelijk. Voor het tweede deeltje zijn er echter nog slechts 99 mogelijkheden over (er ontbreekt immers al een deeltje). Aangezien voor ieder van de 100 mogelijkheden voor het eerste deeltje, 99 mogelijkheden bestaan voor het tweede deeltje, kunnen we berekenen dat er een totaal aantal mogelijkheden en combinaties bestaan van $100 \times 99 = 9900$ voor het resultaat ‘2 deeltjes ontsnapt en 98 overgebleven’. Echter, omdat het geen verschil maakt welke van de twee deeltjes de eerste is en welke de tweede, aangezien ze er exact hetzelfde uitzien, kunnen we dit getal door twee delen, wat nog slechts een totaal van 4950 mogelijkheden oplevert. Met andere woorden, $W(2) = 4950$.
Om iets preciezer te zijn kunnen we een algemene formule gebruiken om het aantal mogelijke combinaties in onderhavige situatie te berekenen:
waarbij $n$ het initiële aantal moleculen is, namelijk 100, en $k$ is het aantal moleculen dat via het gat uit de linkerdoos ontsnapt. $W$ is dus de letter die we voortaan gebruiken om het aantal microtoestanden van de combinaties van moleculen mee aan te duiden pereindsituatie (zoals 0 ontsnapt & 100 blijven achter, $W(0)$, of 4 ontsnapt & 96 blijven achter, $W(4)$, et cetera).
Hieronder zie je een tabel met een aantal berekeningen. We hebben de situatie waarbij er geen enkele molecuul is ontsnapt, aan de tabel toegevoegd. Uiteraard is het aantal microtoestanden voor deze omstandigheid precies 1. Er is immers maar een schikking van de moleculen mogelijk om deze eindtoestand te bereiken. Merk op hoe snel het aantal mogelijke schikkingen, of microtoestanden, toeneemt.
[table id=4 /]
Waarschijnlijkheden
Hoe ver kunnen we dit doorvoeren? In dit simplistische model kunnen we het aantal ontsnapte moleculen opvoeren naar 50, precies de helft. We kunnen het nog verder doorvoeren door meer moleculen te laten ontsnappen dan er achterblijven. Laten we kijken wat er dan gebeurt:
[table id=5 /]
Zoals je kunt zien neemt het aantal mogelijke schikkingen weer af na de situatie 50-50. Dit is eigenlijk vrij logisch aangezien het systeem als het ware wordt gespiegeld.
Stel nu dat we de kans van een eindsituatie willen berekenen, hoe doen we dat? Laten we de makkelijkste doen: precies nul moleculen zijn ontsnapt.
We moeten dan het aantal mogelijke schikkingen voor de situatie ‘0 ontsnapt, 100 overgebleven’ nemen (dat is 1, oftewel $W(0) = 1$) en delen door het totale aantal mogelijke schikkingen van alle situaties (de som van alle $W$’s). Met andere woorden, we berekenen de kans $P$ waarbij 0 moleculen zijn ontsnapt, oftewel, voor $P(0)$ schrijven we:
\begin{equation} P(0) = \frac{W(0)}{\text{totaal van alle }W} = \frac{1}{\text{totaal van alle }W}. \end{equation}
Uiteraard, het totaal van alle $W$ moeten we nog berekenen. Om dat te doen, gebruiken we vergelijking (1) voor een vergelijking van de som van alle $W$ in de tabel hierboven:
\begin{align} \text{totaal van alle }W &= \text{de som van }W(0)\text{ to }W(100), \\ &= \sum_{n=0}^{100} \frac{100!}{n!(100-n)!}. \end{align}
Het antwoord op vergelijking (4) is 1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376.
Dat is een groot getal: het zijn alle mogelijke schikkingen (of microtoestanden) voor iedere mogelijke eindsituatie. Je kunt het je voorstellen dat de kans $P(0)$ dat er 0 ontsnapte moleculen zullen zijn als eindsituatie onvoorstelbaar klein is: vergelijking (2) levert een waarde op van $8 \times 10^{-29}$%. Dit is een kans van bijna 0%.
Evenzo kunnen we de kans op een situatie van 50 ontsnapte moleculen berekenen, oftewel $P(50)$. Blijkt dat dit op 8% uitkomt (afgerond op gehele percentages). In de volgende grafiek staan kansen voor iedere eindsituatie weergegeven en kun je aflezen welke eindsituatie de grootste kans heeft om zich te manifesteren.
Met andere woorden, als er maar voldoende tijd is, zullen de schikkingen der moleculen convergeren naar de eindsituatie met de grootste waarschijnlijkheid. Hier is dat de situatie waarbij er 50 ontsnappen en 50 overblijven. Dit is, voor dit systeem, de zogenaamde evenwichtstoestand, hoewel het om dit punt kan fluctueren met een paar moleculen meer of minder. Daarnaast is het zeer gerechtvaardigd te stellen dat de kans dat er nul moleculen ontsnappen, $P(0)$, of juist alle moleculen ontsnappen, $P(100)$, praktisch nihil is. Intuïtief is dat wat je zou verwachten: hoewel theoretisch mogelijk, is het in de praktijk zeer onwaarschijnlijk dat je ooit in je leven ervan getuige zal zijn dat alle moleculen zich op volstrekt willekeurige en spontane wijze verzamelen in slechts een van de twee dozen.
Terug naar onze natte kleding
In werkelijkheid zijn onze zwembroeken natuurlijk geen doos en is er geen sprake van slechts honderd watermoleculen. Er zijn miljarden moleculen die zich als een vloeistof in de stof van het kledingstuk ophouden. Bovendien is er zonlicht, staat er mogelijk een lekker windje en is een gemiddelde zwembroek niet middels een gat in de wand verbonden met een tweede doos.
Echter, als de doos een metafoor is voor onze natte kleding dan is die tweede doos een metafoor voor de omgeving, de open lucht. En nu wordt het interessant.
In ons voorbeeld van de twee dozen spelen externe krachten en invloeden geen rol(beginfootnote)In vakjargon heten systemen die thermisch geïsoleerd zijn van hun omgeving adiabatische systemen.(endfootnote). Er was geen wind, geen zonlicht, geen luchtvochtigheidsgraad om rekening mee te houden. In werkelijkheid moeten we dat natuurlijk wel. Dit is wat ze doen: zonlicht warmt het water in de zwembroek op waardoor de moleculen energie verkrijgen, wat hun ontsnapping aan de stof bevordert. Wind voert overtollige waterdamp rond de zwembroek af en stimuleert de ontsnapping eveneens. En zolang de relatieve luchtvochtigheid niet te hoog is, werkt droge lucht verdamping in de hand.
Dus waar zorgen deze omstandigheden nu precies voor? Zij verschuiven de evenwichtstoestand in de grafiek naar rechts: eindsituaties waarbij meer moleculen ontsnappen dan er achterblijven verkrijgen een grotere waarschijnlijkheid.
Met andere woorden, als ons systeem van twee dozen blootgesteld zouden worden aan de elementen zou het een verschuiving van de evenwichtstoestand veroorzaken van 50 ontsnapt, naar bijvoorbeeld 95 ontsnapt.
Ludwig Boltzmann (1844-1906)
Bovendien, aangezien de open lucht praktisch oneindig groter is dan een zwembroek – en in niets lijkt op de ruimtelijk beperkte tweede doos in onze metafoor – leunt het aantal manieren waarop watermoleculen gerangschikt kunnen worden door willekeurige bewegingen significant richting de eindsituatie waar de meeste watermoleculen aan de zwembroek ontsnappen, zelfs zonder wind en zonlicht. Ook al duurt het zonder die elementen dan wat langer, deze eindsituatie is door de omvang van de open lucht onvermijdelijk.
Het was de Oostenrijkse natuurkundige Ludwig Boltzmann die de statistische aard van microtoestanden en eindtoestanden van een systeem aan de dag legde en beschreef.
Entropie en de tweede hoofdwet van de thermodynamica
Graf van Ludwig Boltzmann op het Zentralfriedhof in Wenen.
Omdat het aantal mogelijke schikkingen $W(k)$ heel snel heel groot wordt, berekende Boltzmann hiervan het natuurlijke logaritme. Dit is een hele fijne functie waarmee enorme getallen en exponentiële groei hanteerbaar worden. Op iedere goede rekenmachine op de middelbare school kun je dit berekenen met behulp van de ‘ln’-toets.
Boltzmann vermenigvuldigde deze uitkomst vervolgens met een constante $k$(beginfootnote)Dit is een andere $k$ dan die hierboven. De waarde van deze $k = 1.380649 \times 10^{-23}\text{JK}^{-1}$.(endfootnote) om de link te leggen tussen het mechanisch mengen van deeltjes (de diverse mogelijke moleculaire rangschikkingen) en het thermodynamische fenomeen genaamd entropie. Tegenwoordig noemen we de constante $k$ de boltzmannconstante. Ten slotte stelde hij hiermee de fameuze entropievergelijking op die gegraveerd is op zijn grafsteen op de centrale begraafplaats in Wenen:
\begin{equation} S = k\log_e W. \end{equation}
Nu verkrijgen we dus een nieuwe tabel met entropie $S$:
[table id=6 /]
Zoals je kunt zien neemt entropie $S$ toe richting de evenwichtstoestand. Vervolgens neemt $S$ voorbij dat punt weer af, totdat het weer nul is. Merk op dat de hoogste entropiewaarde ook de hoogste waarschijnlijkheid heeft. Dit betekent dat het systeem zal neigen richting maximum entropie. Dit betekent ook dat een evenwichtstoestand maximale entropie inhoudt.
Terugkerende naar de natte kleding in de omgeving (open lucht) betekent dit dat, ook hier, het systeem neigt naar maximale entropie. Dit punt zal overeenkomen met een evenwichtstoestand waarbij de meeste watermoleculen de kleding verlaten zal hebben.
Dit is de tweede hoofdwet van de thermodynamica: de entropie van het universum groeit naar een maximum.
Waarom droogt natte kleding?
Hoewel externe factoren zoals zonlicht, wind en relatief lage luchtvochtigheid de kansverdeling meer richting de eindsituatie doet leunen waarbij de meeste watermoleculen de kleding verlaten, waarborgen de willekeurige moleculaire bewegingen op zichzelf deze eindsituatie al, statistisch gezien (ook al duurt het dan heel wat langer ten opzichte van aanwezigheid van zonlicht, wind, et cetera).
Dit komt simpelweg doordat het aantal manieren waarop watermoleculen zich in kleding kunnen rangschikken praktisch oneindig klein is ten opzichte van het aantal manieren waarop diezelfde watermoleculen zich kunnen rangschikken in de open lucht. Het is daarmee een statistisch feit dat de waarschijnlijkheid dat watermoleculen in de kleding blijven in het niet valt bij de waarschijnlijkheid dat de watermoleculen niet in de kleding zitten.
Er zijn voor watermoleculen simpelweg meer plekken in de open lucht om zich op te houden dan in de beperkte ruimte van iemands strakke, natte zwembroek.
Uiteindelijk drogen natte kleren omdat de entropie van het universum naar een maximum groeit.
Hoewel de bekende Archimedes al lang voor wij geboren werden de formule voor de inhoud van een bol had afgeleid, komt zo’n afleiding met gebruikmaking van bolcöordinaten en een volume-integraal niet vaak voor in studieboeken.
In dit artikel zullen we de volgende formule voor de inhoud van een bol gaan afleiden:
\begin{equation} V = \frac{4}{3}\pi r^3, \end{equation}
waarbij $r$ de straal is.
Dit artikel is mogelijk op het niveau van tweedejaars natuurkundestudenten.
Bolcoördinaten
Het volume van een rechthoekig blok $\delta V$ met lengte $a$, breedte $b$ en hoogte $c$ is gegeven door $\delta V = a \times b \times c$.
Figuur 1: Een stuk van een bol
In Figuur 1 zie je een stuk van een bol. Hoewel de randen gekromd zijn kunnen we hier ook
\begin{equation} \delta V \approx a \times b \times c \end{equation}
toepassen, ook al is het een benadering.
Om bolcoördinaten te gebruiken definiëren we $a$, $b$ en $c$ als volgt:
\begin{align} a &= PQ\delta\phi = r\sin\theta \, \delta\phi, \\ b &= r\delta\theta, \\ c &= \delta r. \end{align}
Merk op dat deze relatie nauwkeuriger wordt als $\delta\phi$, $\delta\theta$ en $\delta r$ de nulwaarde naderen. Voor het volume-integraal van een bol $B$ kunnen we daarom schrijven:
Figuur 2: Om te integreren over een oneindige hoeveelheid punten in en op een bal varieert één hoek van $0$ tot en met $2\pi$, en hier is dat hoek $\phi$. Hoek $\theta$ hoeft slechts de helft daarvan te variëren aangezien een bol rotatiesymmetrie bevat. Uiteraard, de straal is $r$.
Om de grenzen van de intervallen te bepalen merken we op dat een bol een rotatiesymmetrie heeft om de $z$-as (afgezien van de oneindige hoeveelheid andere assen door het middelpunt). Dit zullen we gebruiken. We verwijzen hier naar Figuur 2.
Ten eerste, om over een oneindige hoeveelheid punten tussen $0$ en $r$ te integreren schrijven we simpelweg dat dit het interval is:
Ten tweede, om over een oneindige hoeveelheid punten in het vlak van hoek $\theta$ te integreren hoeven we enkel de hoeken tussen $0$ en $\pi$ in beschouwing te nemen,
aangezien we, ten derde, overgaan op het roteren van dit vlak, zogezegd, om de $z$-as om te integreren over de oneindige hoeveelheid vlakken om deze as, die de vorm van de bol completeren. En dus, $\phi$ varieert tussen $0$ en $2\pi$.
We richten ons op een paar eenvoudige probleemstellingen waarbij we de vergelijkingen voor relativistische energie en impuls zullen manipuleren.
Dit artikel is mogelijk op het niveau van tweedejaars natuurkundestudenten.
Einstein had laten zien dat de lorentztransformaties de correcte wijze vormden om te wisselen van coördinatenstelsels van verschillende referentiekaders [1]. Hij leerde ons tevens dat Newtons wetten volstrekt geen relativistische natuurwetten waren. Newtoniaanse impuls, bijvoorbeeld, $ \mathbf{p} = m\mathbf{v} $, en energie, $ E = mv^2/2, $ waren in het geheel niet accuraat bij hoge snelheden.
In plaats daarvan hebben we geleerd dat de relativistische impuls geschreven wordt als
Bewijs, voor een deeltje dat zich voortbeweegt met snelheid $ c $, dat de grootte van de relativistische energie gegeven wordt door $ E = pc $.
Toon aan dat de relatie tussen energie en impuls voor een deeltje met iedere massa $ m $ met iedere snelheid $ v $ correct is en let op dat hier niet verwezen wordt naar de fameuze $ E=mc^2 $. De juiste alstublieft.
Gegeven dat $ m_p $ de massa van een proton is, bereken zijn exacte snelheid als de relativistische translationele kinetische energie (dat is de relativistische, totale energie minus zijn relativistische massa energie) vier keer zo groot is als zijn relativistische massa energie.
Probleem I
Aangezien $ E $ wordt uitgedrukt in $ p $, herschrijven we $ \eqref{eq:relativistic momentum} $ door op te lossen voor $ m $:
\[ m = \frac{p\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}}{v}. \]
Merk op dat we geen vectoren gebruiken, enkel de grootte. We vervolgen door dit in $ \eqref{eq:relativistic energy} $ te substitueren:
Aangezien we te maken hebben met een deeltje dat zich voortbeweegt met snelheid $ c $, weten we dat $ v = c $, waardoor $ \eqref{eq:E = pc^2/v} $ verwordt tot
wat ongeveer gelijk is aan $ 0,98c $, afgerond op twee decimalen, hetgeen betekent dat het zich met 98% van de lichtsnelheid voortbeweegt door het weefsel van de kosmos.
Afbeelding Waterstofbellenvat Fermilab: een proton met 300 GeV energie produceert 26 geladen deeltjes in the 30 inch waterstofbellenvat bij Fermilab. Bron: Wikimedia Commons
[1] Einstein, A. (1905) ‘Zur Elektrodynamik bewegter Körper’, Annalen der Physik, 322(10), pp. 891–921. doi: 10.1002/andp.19053221004.
Dit is een opnieuw geplaatst artikel. Het oorspronkelijke van 28 december 2018 bevatte enkele foutjes in de verwerking van LaTeX.
Mocht een kind je vragen hoe groot het universum precies is, dan zul je het misschien wel fijn vinden om te weten wat het eerlijkste antwoord daarop is. Hoewel er vooralsnog geen echte manier bestaat om het met zekerheid te weten, hebben we niettemin gave dingen als telescopen en wiskunde tot onze beschikking. Als het gaat om het maken van een schatting van wat we zien als we omhoog kijken, komen ze enorm van pas.
Waarneembaar heelal
Stel je voor dat je in het pikkedonker zweeft. Je hebt geen idee van waar je je bevindt. Gelukkig heb je een verrekijker in de linkerzak van je ruimtepak. Terwijl je ogen zich aanpassen aan de lenzen begin je langzaamaan een zwak lichtpuntje te onderscheiden. En dan herinner je je weer dat je nog een uitschuifbare telescoop in je andere zak hebt zitten. Als een piraat in de nacht staar je door de kijker. Je komt tot de ontdekking dat het geen lichtpuntje was maar een hele zwerm lichtpunten.
Je besluit in alle richtingen om je heen te te kijken en, aangezien je in het midden van, nou ja, niks zweeft, kun je zelfs onder je voeten kijken. Al scannende ontdek je dat er zich een schier ontelbare hoeveelheid groepen van lichtpunten om je heen bevinden, als een bolvormige schil om je heen met jou in het middelpunt.
De waardevolle natuurkundelessen leerden je dat het licht een bepaalde maximumsnelheid heeft, dus je beseft dat er misschien nog veel meer gegroepeerde lichtpunten zich om je heen bevinden, nog verder dan die je nu ziet, maar dat het licht daarvan je nog niet heeft kunnen bereiken.
Het gebied van het universum dat je in principe kunt zien — slechts beperkt door de snelheid van het licht en niet of we al dan niet over de technologie beschikken — is wat we het waarneembare heelal noemen. In feite is dit het type werk dat we de Hubble Telescoop laten doen.
Nu komt het lastige: het universum zou veel groter kunnen zijn dan het waarneembare deel, maar we kunnen niet weten hoeveel groter precies omdat het hoogst onwaarschijnlijk is dat dit licht, afkomstig van voorbij wat we nu kunnen waarnemen, ons ooit zal kunnen bereiken. Dat komt omdat het heelal rap uitdijt in een steeds hoger tempo. Per seconde komt er meer ruimte bij dan het licht kan afleggen.
De gele bol stelt het waarneembaar heelal voor met de aarde als middelpunt. Alles wat zich buiten die straal bevindt, is puur hypothetisch. Welke positie je ook kiest voor de aarde – bijvoorbeeld meer naar onderen, iets meer naar links – de aarde blijft in het middelpunt van zijn eigen waarneembaar stukje heelal.
Wat betreft het middelpunt zijn in de bolvormige schil van je waarneming, denk nog even terug aan de lege ruimte waar je in zweeft. Als je om je heen kijkt, is die schil overal even ver van jou vandaan. En als je een eindje zou bewegen naar een andere plek, verschuift die waarnemingsschil met je mee. Je bent dus altijd het middelpunt van je eigen observatiebubbel.
Datzelfde principe geldt ook voor onze plek, Aarde, in het waarneembare universum. En dan doel ik niet op de sociaal-psychologische informatiebubbels van het internet, ik bedoel het letterlijk, fysiek, feitelijk. Dit is overigens niet hetzelfde als zeggen dat we ons in het centrum van het universum bevinden, want er is geen centrum van het universum. Je bevindt je wel altijd in het centrum van het waarneembare universum. Daar ligt het verschil.
Versnelde uitdijing
Licht afkomstig van voorbij het waarneembare deel kan ons niet bereiken omdat het universum uitdijt – cosmologen spreken ook wel van expansie. Bovendien neemt de snelheid waarmee dat gebeurt alsmaar toe. Per seconde komt er meer ruimte bij dan het licht kan afleggen.
Stel je voor dat je je in een droom bevindt. Je staat in de smalle gang van een hotel. Je besluit om naar de deur aan het uiteinde van de gang te lopen. Stel je nu voor dat de gang plotseling langer wordt. De muren aan weerszijden worden niet alleen optisch uitgerekt, maar het materiaal waar ze uit bestaan ondergaat een naadloze vermenigvuldiging. Ondertussen beweeg je je voort, maar je verplaatst je niet veel. Het tempo waarmee de gang langer wordt is groter dan het tempo waarmee jij vooruit komt.
Deze gang is een metafoor voor het uitdijende heelal. In werkelijkheid produceren de cameramensen van de film Poltergeist (1982) het fameuze vertigo effect, een illusie waarbij de muren van de gang in de lengterichting worden opgerekt. In onze metafoor wordt het materiaal van de muur naadloos vermenigvuldigd.
Dit is wat een eenzaam foton – een lichtdeeltje – moet ervaren, uitgezonden door een verre ster, onderweg naar ons, maar ons nooit bereikend omdat de ruimte waar het doorheen reist uitdijt. Merk op dat de deur in de GIF hierboven niet zelf beweegt, het is de ruimte – de structuur van het hotel – die uitdijt! De deur is een metafoor voor afgelegen sterrenstelsels. Sterrenstelsels bewegen zich niet in de ruimte van ons af, het is de ruimte zelf die groter wordt.
Geschatte omvang
Met het huidige expansietempo en gegeven de leeftijd van het universum wordt de diameter van het waarneembaar heelal geschat op 93 miljard lichtjaar. Dat is ongeveer 880 000 000 000 000 000 000 000 kilometer.
Dit betekent dat het volume ongeveer gelijk is aan 400 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 liter ($ 4 \times 10^{83} $ l).
De aarde heeft een volume van ongeveer 108 300 000 000 000 000 000 000 liter. Daarmee neemt het ongeveer 0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 003% van het waarneembaar universum in beslag.
De omvang van het universum is daarentegen onbekend. Het zou eindig kunnen zijn, het zou oneindig kunnen zijn. Op dit moment is er geen reden om welke van deze twee ook als correct te beschouwen.
ESO-animatie
De European Southern Observation (ESO) en anderen hebben een mooie animatie gemaakt. We vliegen achteruit vanaf het ESO Supernova Planetarium & Bezoekerscentrum bij het ESO-hoofdkwartier in Garching bei München tot naar een plek in het universum waar we schier ontelbare sterrenstelsels kunnen zien. Realiseer je hierbij dat, zodra je in de video ons sterrenstelsel verlaat, waarbij het zelf begint te lijken op een ster, iedere ‘ster’ eigenlijk een compleet ander sterrenstelsel is. Uiteraard eindigt de clip met een fade-out omdat we niet weten of het heelal een grens heeft of dat het oneindig lang zo doorgaat.
Screenshot van ESO’s animatie. Klik op de afbeelding om de YouTube-video te openen.
Epiloog
De scherpe lezer zal hebben opgemerkt dat we wel hebben beschreven hoe groot het waarneembaar heelal is, maar nog niet wat we precies zien als we naar het uiterste randje daarvan kijken – voorzover de huidige technologie ons toestaat.
Omdat het zo’n lange tijd duurt voordat dit licht ons bereikt heeft, is wat we zien al oud. We kijken naar het verleden, naar de geschiedenis van het heelal. Een blik in het heelal is als een tijdreis terug naar het verleden.
Dat verdient een artikel op zich. Daar hebben we nu helaas de ruimte noch de tijd voor.
Illustratie Waarneembaar heelal aangepast op basis van het werk van Strogoff dat gepubliceerd werd onder CC BY-SA 3.0.
‘Nobel Prize for Einstein’, maar liefst een volzin werd toegewijd in The Times van 10 november 1922.
Albert Einstein won de Nobelprijs “voor zijn verdienste in de theoretische natuurkunde en in het bijzonder zijn ontdekking van de wet van het foto-elektrisch effect”. Geen woord over relativiteit. Dus, nee, hij won de prijs niet met $ E = mc^2 $. Hoewel het zijn bekendste vergelijking is – die overigens niet de volledige versie ervan is – is het niet zijn Nobelprijswinnende formule. We zullen die vermelden, maar eerst beschrijven we wat dit foto-elektrische effect is.
Verschillend spul bestaat uit verschillende moleculen. Verschillende moleculen bestaan uit verschillende atomen. Verschillende atomen bestaan uit verschillende atoomkernsamenstellingen en een verschillend aantal elektronen. Tot zover misschien niets nieuws onder de zon, maar nu komt het: als elektronen aan specifieke hoeveelheden energie wordt blootgesteld, kunnen ze uit het atoom gelanceerd worden.
Een atoom waarvan een of meer elektronen is weggeblazen wordt een ion genoemd. Het process heet ionisatie. Of dit plaatsvindt, hangt af van een aantal dingen zoals het soort spul (het type atomen en hoe ze met elkaar verbonden zijn) en de specifieke energie waar het aan wordt blootgesteld.
Als ionisatie aan het oppervlak van een materiaal plaatsvindt door middel van normaal licht, noemen we dit het foto-elektrisch effect: licht (waar ‘foto’ naar verwijst) verwijdert elektronen uit het atoom (waar ‘elektrisch’ naar verwijst).
Een diagram van de ionisatie van een atoom (niet op schaal). (1) De gele wolk stelt het gebied voor waar een elektron zich (waarschijnlijk) ophoudt. De kleine roze kern stelt de atoomkern voor. (2) Fotonen van een specifieke kleur stralen richting het atoom. (3) Het elektron is ervandoor gegaan. De atoomkern blijft over. Het atoom is nu een ion.
Niet vanwege de intensiteit
Er is een bijzonderheid de moeite waard om te vermelden. Het is in feite deze centrale puzzel die Albert naar zijn vergelijking leidde. Het geval wilde namelijk dat elektronen niet uit de atomen werden gelanceerd door een hogere intensiteit van de lichtstraal. Intensiteit is het geleverde vermogen per vierkante meter, uitgedrukt in watt per vierkante meter, of Joule per seconde per vierkante meter. De sleutel lag daarentegen in de frequentie, de kleur van het licht.
Stel dat, in het diagram hierboven, een miljard gele fotonen, lichtdeeltjes, richting het atoom zouden worden gestraald en er gebeurde niets; het elektron bij dit type atoom bleef waar het was. Stel je vervolgens voor dat er een miljard miljard miljard miljard gele fotonen naar het atoom zouden stralen. De intensiteit is drastisch omhoog geschroefd, oftewel het vermogen staat op stand elf, zogezegd. Welnu, er zou nog steeds niets gebeuren, want het draait niet om de intensiteit.
Geel licht is minder energetisch dan blauw licht, dus als je de lichtbron zou vervangen door iets dat één blauw foton zou uitzenden, zou het elektron zo maar weg kunnen vliegen (met één foton moet je wel onmogelijk goed mikken dus is het handiger om heel veel uit te zenden). Vele natuurkundigen braken hier het hoofd over, maar Albert loste het op en won de Nobelprijs.
Kwantumfysica kreeg een belangrijke impuls door zijn ontdekking. Hij en andere briljante tijdgenoten toonden aan dat elektromagnetische straling, of licht, gezien kon worden als kleine energiepakketjes die wetenschappers fotonen begonnen te noemen. Een lichtbundel was nu een stroom van fotonen. De intensiteit, de hoeveelheid fotonen per seconde per vierkante meter, doet er niet toe: het draait om de frequentie van een foton, en daarmee de energie per foton.
DNA
Hoewel dit allemaal gaaf en nuttig is voor allerlei wetenschappelijke doeleinden, willen we absoluut niet dat er elektronen van DNA-moleculen van onze huid losraken. Atoombindingen zouden daarmee vernietigd worden en ons DNA zou worden gemuteerd. Ondanks dat verbluffende moleculair-biologische processen in ons lichaam deze fouten in een onthutsend groot aantal gevallen corrigeert of elimineert, sommige foutjes zouden er tussen kunnen glippen en het begin van tumorgroei kunnen vormen. Daarom is het belangrijk om te weten welke energiedomeinen onze geliefde lichaamselektronen doen verwijderen opdat de mensheid leert deze omstandigheden te vermijden.
Het probleem ontstaat als we terecht komen in het midden- en hoog-energetische regime van elektromagnetische straling, of licht, of fotonen, zo je wil. We hebben het over de gevaarlijke soort van ultraviolet licht, het type UV dat DNA-mutaties kan teweegbrengen: UVB, om precies te zijn. Een UVB-foton heeft ongeveer 1,8 keer meer energie dan de fotonen van het gelige licht in je huis en ongeveer een miljoen keer meer dan een foton van en naar de mobieletelefoonantenne. Thuis niets te vrezen dus. Maar wees extra voorzichtig zodra je het lichtend pad volgt – het zonverlichte pad, welteverstaan. Ioniserend UVB-licht wordt namelijk uitgezonden door de zon.
Een diagram (niet op schaal) van elektromagnetische straling, of fotonen, zo je wilt. De genoemde waarden zijn de frequenties van de fotonen uitgedrukt in gigahertz (GHz). Hoe hoger de frequentie, des te hoger de energie van het foton.
Gelukkig, zoals we eerder opmerkten, zijn onze lichamen zodanig geëvolueerd dat ze schade repareren waar nodig. Dit is de reden dat röntgenfoto’s prima gemaakt kunnen worden en ziekenhuizen en tandartsen waken ervoor je niet bloot te stellen aan doseringen die je niet zou overleven. Toezicht op het gebruik en de effecten zijn vereiste.
Het is echter gedeeltelijk ook een kwestie van de wet van de grote getallen. Als het aantal vrijelijk rondvliegende elektronen groot genoeg is, worden ze zelf oorzaak van een groeiend aantal DNA-beschadigingen. De kans neemt toe dat herstelacties falen of zelfs geheel niet meer plaatsvinden. Dus hoewel niet ogenblikkelijk gevaarlijk, raden we aan om het een en ander te lezen over zonnebaden. Gebruik UV-bescherming. Voorkom dat je huid verbrandt. Geef je lichaam de kans om te herstellen van de meedogenloze, ioniserende UV-straling. Vergeet magnetrons, op de huid gebakken zijn is gevaarlijk.
De formule
Eindelijk zijn we dan aanbeland bij Alberts Nobelprijswinnende formule. Hier is het dan
\[ \frac{1}{2}m_ev^2_\text{max} = h\nu – \phi. \]
Het ziet er niet zo modieus uit als die andere, nietwaar? En toch, het is de formule die ons in staat stelt om bijvoorbeeld te berekenen of de elektronen van onze koolstofatomen weg worden geblazen door de fotonen van de toiletverlichting (dat doen ze niet). Of dat de laserpen enkele elektronen eruit slaat (dat doet hij niet), die we niettemin nodig hebben om enkele punten aan te wijzen op onze PowerPointpresentatie omdat die wellicht duidelijker en met minder tekst gemaakt had kunnen worden (dat had ’ie).
Welnu, $ \frac{1}{2}m_ev^2_\text{max} $ betekent maximum kinetische energie, oftewel simpelweg de bewegingsenergie waarmee een elektron van de atoomkern weg zoeft. Als de waarde kleiner dan of gelijk is aan nul, dan blijft het elektron ongemoeid. Het blijft rondhangen om zijn atoomkern. Als het groter is dan nul, vertrekt het. Het symbool $ h $ is een constante waar we ons verder niet druk om hoeven te maken. Het is een getal en het heet de constante van Planck. De Griekse letter $ \nu $ is de frequentie van het foton. In het diagram hierboven worden een aantal frequenties genoemd. Let wel, $ h\nu $ betekent $ h \times \nu $ en is de energie van een foton. Wiskundigen, natuurkundigen, ingenieurs en andere lieden laten het liefst het $ \times $-teken achterwege. De Griekse letter $ \phi $ is de zogenaamde uittreearbeid. Het is de minimale hoeveelheid energie die benodigd is om het foto-elektrisch effect teweeg te brengen. Deze waarde hangt af van het type atoom, het molecuul, het materiaal en het oppervlak waarvan je het foto-elektrische effect wil berekenen.
Tot besluit
Merk op dat Einsteins formule geen term bevat voor de hoeveelheid op het atoom afgevuurde fotonen per seconde per vierkante meter, oftewel de intensiteit. Alleen de frequentie is belangrijk. Dit betekent dus dat atomen – zoals die in je lichaam – ongemoeid gelaten worden ongeacht het vermogen van de straling waar ze aan blootgesteld worden. Er is misschien sprake van warmte, maar geen ionisatie. Het eventuele gevaar schuilt in frequentie ($ \nu $), zoals die van UV-licht en hoger. Hier begint dosering en de mogelijkheid om te herstellen een cruciale rol te spelen.
Young Albert Einstein
De waarde van de constante van Planck is $ h = 6,626070 \times 10^{-34} $ Js (Jouleseconde). De waarde van de uittreearbeid van het koolstofatoom, waar ons lichaam van gemaakt is, bedraagt $ \phi = 1,8041 \times 10^{-18} $ J. Als een wifi-foton een frequentie heeft van 2,5 GHz, kun je zelf berekenen of wifi elektronen uit een koolstofatoom slaat. Je moet dan 2,5 GHz even converteren naar $2,5 \times 10^9 $ / s (per seconde). Dankzij Albert kan een kind tegenwoordig de was doen. Je kunt het op de achterkant van een envelop uitrekenen. Als alle termen aan de rechterkant van het is-gelijk-teken een waarde opleveren die groter is dan nul, verkoop dan onmiddellijk je router en, gezien de diagram hierboven, laat sowieso het licht uit op het toilet als je dan echt moet. Succes met uitrekenen! (Of check de uitwerking.)
Uitgelicht portret: een 14-jarige Albert Einstein gefotografeerd in 1893. Credits EMILIO SEGRE VISUAL ARCHIVES / AMERICAN INSTITUTE OF PHYSICS / SCIENCE PHOTO LIBRARY / Universal Images Group. Bron: Young Albert Einstein, physicist. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Opgehaald 9 maart 2019, van https://quest.eb.com/search/132_1258083/1/132_1258083/cite
Kleinere afbeelding van een nog jongere Albert Einstein: Credits EMILIO SEGRE VISUAL ARCHIVES / AMERICAN INSTITUTE OF PHYSICS / SCIENCE PHOTO LIBRARY / Universal Images Group. Bron: Young Albert Einstein, physicist. [Photography]. Encyclopædia Britannica ImageQuest. Opgehaald 9 maart 2019, van https://quest.eb.com/search/132_1255429/1/132_1255429/cite
Tenzij door een vergissing, zinken schepen niet in het water. Zelfs de zware, grote types niet. Af en toe stellen leerboeken dat het komt door een verschil in dichtheid. Hoewel niet onjuist, is het niet de fundamentele oorzaak. Schepen mogen dan soms naar de bodem verdwijnen door de zwaartekracht, ze drijven ook dankzij de zwaartekracht.
Als een vaartuig te water wordt gelaten, zinkt het altijd een beetje onder het oppervlak totdat het stopt, bij voorkeur op een veilige afstand van waar mensen doorgaans uithangen. Omdat het, in dit universum, onmogelijk is voor water om op hetzelfde moment dezelfde plek in de ruimte in beslag te nemen als het ondergedompelde deel van een scheepsromp, is het volume van dit gedeelte even groot als het volume van het door de romp weggedrukte water. Dit heeft als gevolg dat het wateroppervlak een beetje stijgt. Omdat de meeste wateren enorm groot zijn, is die stijging niettemin onmerkbaar.
Ondanks deze normaal gesproken onbeduidende toename, ’trekt’ de zwaartekracht nog steeds ieder kubiek stukje van het gestegen water aan, wat vervolgens een drukkracht uitoefent op het schip. De kracht uitgeoefend door het gewicht van het verplaatste water is gelijk aan de opwaartse drukkracht op de bodem van het schip. Dit wordt de Wet van Archimedes genoemd.
Met andere woorden, terwijl het gewicht van het schip een kracht op het water uitoefent als gevolg van de zwaartekracht, oefent het water om het schip heen op zijn beurt een drukkracht uit op het schip, ook als gevolg van de zwaartekracht. Die laatste is aan het handje drukken tegen zichzelf, als het ware.
Zolang de opwaartse drukkracht even groot is als de kracht van het gewicht van het schip, is er niets aan de hand. Overigens, is het zeker zo dat de druk ook krachten uitoefent op de zijkanten van het schip, maar die vallen tegen elkaar weg omdat ze met gelijke sterkte in elkaars tegenovergestelde richting werken, dus die strepen we weg uit de vergelijking.
De truc is uiteraard om de vorm van de scheepsromp zodanig te ontwerpen dat zijn ondergedompelde volume een hoeveelheid water verplaatst dat net zoveel weegt als het schip. Deze ontwerpkeuzes beïnvloeden de verhouding tussen zijn massa en zijn volume. En dit is waarom regelmatig wordt verwezen naar dichtheid, vaak gepaard gaand met wat slimme algebra. Hoewel niet fundamenteel, is dichtheid een nuttig en hanteerbaar kenmerk voor fenomenen op aarde, zoals het leveren van een verklaring voor waarom olie op water drijft en niet andersom.
Totdat je niet langer op aarde bent, maar bijvoorbeeld op het internationale ruimtestation ISS. Kijk maar eens wat er gebeurt als je olie en water bij elkaar doet, zonder zwaartekracht.
Figuur (1) toont een massa dat op het punt staat te water te worden gelaten. De hoogte van het wateroppervlak is aangegeven met een streepjeslijn. In Figuur 2 is de massa gedeeltelijk ondergedompeld, waardoor er een bepaald volume aan water omhoog wordt verplaatst aan weerszijden van de massa. De grijze pijl symboliseert (de kracht van) het gewicht van de massa. De twee blauwe, neerwaartse pijlen staan voor (de kracht van) het gewicht van het verplaatste watervolume. Deze laatsten veroorzaken een opwaartse druk op de bodem van de massa, zoals weergegeven door de twee blauwe, opwaartse pijlen op onderkant van de massa. Merk op hoe de som van de lengte van de opwaartse pijlen gelijk is aan de lengte van de grijze pijl: de massa drijft.
Uiteraard oefent de luchtdruk ook een extra kracht uit op het schip, maar dat doet het ook op het wateroppervlak. Om het bovendien simpel te houden, hebben we die daarom verder buiten beschouwing gelaten.
Ooit afgevraagd waarom letters, woorden en zinnen in een spiegel bijna uitsluitend van rechts naar links in spiegelschrift staan en niet ook op de kop? Er vinden processen plaats die wellicht niet voor de hand liggen. Om te beginnen, spiegels wisselen links en rechts niet om.
We zijn intelligente types met (soms iets te veel) zelfbewustzijn. We kijken in de spiegel en we weten dat het onze reflectie is. Het is niet iemand anders die ons recht in de ogen staart. Maar mocht het zo zijn dat je in de veronderstelling verkeert dat bijvoorbeeld de linker- en rechterzijde van je gezicht verwisseld zijn door de spiegel, dan is het wellicht toch nodig om nog eens bij jezelf na te gaan of je niet stiekem alsnog denkt dat het iemand anders is. Hoewel de situaties op elkaar lijken, zijn ze niet dezelfde – niet alleen in de metafysische zin, maar, relevanter, in de wiskundige zin. Dit hangt samen met waarom bij letters, woorden en zinnen, links en rechts verwisseld lijken te zijn en ze bijna nooit ondersteboven worden gereflecteerd. Maar daar komen we later op terug.
Laten we onderstaande foto eens bestuderen. De man, die voor de spiegel zijn vlinderstrik strikt voor een etentje in rokkostuum, kijkt naar zichzelf. O, wonder. Ik weet dat het een open deur is, maar houd vol, het wordt zo duidelijk. Het is, gek genoeg, van cruciaal belang om vast te stellen dat hijzelf het spiegelbeeld is en niet iemand anders.
Laten we nu een gedachte-experiment uitvoeren. Stel je voor dat de man een grote L in de palm van zijn linkerhand en een grote R in die van zijn rechter tekent.
De man heeft een L op zijn linkerhandpalm en een R op zijn rechter;
het spiegelbeeld is niet iemand anders: het spiegelbeeld is de man;
de man drukt zijn linkerhandpalm met de L tegen de spiegel;
als een spiegel links en rechts omwisselt, zou het spiegelbeeld de hand met de R moeten gebruiken, want dat is de andere hand van de man;
dat doet het spiegelbeeld niet, het gebruikt de linkerhand met de L;
de linkerhand met de L van het spiegelbeeld is de linkerhand met de L van de man;
dus een spiegel verwisselt links en rechts niet.
Punt 6 is misschien moeilijk te accepteren. Vaststaat echter dat zowel de man als het spiegelbeeld de handpalm met de L tegen de spiegel houdt. Niettemin volharden we in de zienswijze dat een spiegel links en rechts verwisselt. De cognitieve horde is wellicht dat, uiteraard beseffend dat wijzelf ons spiegelbeeld zijn, het er bij ons desondanks is ingesleten dat we het voor de rest toch mentaal benaderen als ware het een ander persoon.
Waarschijnlijk hebben we meer interacties met mensen die tegenover ons staan of zitten dan met ons spiegelbeeld. We zijn aan de mentale verwisseling van links en rechts gewend geraakt, wat duidelijk zijn nut heeft bewezen in contacten met de alledaagse stervelingen. Al jong werd ons geleerd, ‘jouw links is haar rechts’ of ‘haar links is jouw rechts’. Evenzo weet een hoogleraar in de mathematische fysica, zich eenmaal te hebben omgedraaid richting de collegebanken, dat de vergelijkingen op het bord aan haar linkerzijde voor haar studenten op het bord aan de rechterkant staan.
De ironie wil dat verwisseling van links en rechts vooral in de echte wereld plaatsvindt en niet in de wereld van de spiegel. Onze linkerhand is simpelweg de linkerhand van ons spiegelbeeld – zo werkt het Spiegeluniversum nu eenmaal.
Transformaties
Met opzet schreef ik ‘omgedraaid’ cursief: het was een hint. Rotaties, reflecties en symmetrieën zijn lastig, daarom volgt hier een belangrijk onderscheid.
Iemand die met haar gezicht naar het jouwe gekeerd staat – of je kloon staat tegenover je – is wiskundig 180º geroteerd ten opzichte van jouw positie en kijkrichting, terwijl je spiegelbeeld dat niet is. In plaats daarvan is jouw spiegelbeeld… nou ja, een reflectie. (Verrassing.) De crux is dat rotatie en reflectie twee verschillende geometrische transformaties zijn. Stellen dat een spiegel links en rechts omgooit, komt overeen met het verwarren van rotatie met reflectie.
Rotatie is niet hetzelfde als reflectie
Dus na een rotatie van 180º moeten we het antoniem van ‘links’ of ‘rechts’ gaan gebruiken, terwijl we dat bij een reflectie niet hoeven te doen. Nu komt het niet vaak voor dat je met gereflecteerde mensen te maken krijgt. We hebben meestal met geroteerde tweevoeters van doen. Maar in het geval van je spiegelbeeld moet je dus meer dan je zou vermoeden ervan doordrongen zijn dat het hier niet iemand anders betreft.
Grappig genoeg is het makkelijker te accepteren dat een spiegel onder en boven niet omwisselt. Stel je voor dat de man met de vlinderstrik zijn hoofd tegen de spiegel zou bonken. Zijn spiegelbeeld schopt vervolgens natuurlijk niet met zijn voeten tegen de spiegel. Enfin, een spiegel wisselt dus onder en boven alsook links en rechts niet om.
Waarom spiegelschrift er gek uitziet
Maar hoe zit het dan met dat spiegelschrift? Er gebeurt natuurlijk wel iets met letters, woorden en complete werken, zoals Leonardo da Vinci zou beamen. Ja, er is inderdaad iets aan de hand, maar het is misschien niet wat je denkt. Wat dat betreft, de spiegel heeft er eigenlijk weinig mee te maken. Ik geef de relatieve ondoorschijnendheid van het meeste materiaal waarop wij letters schrijven er de schuld van dat we niet onmiddellijk inzien wat er precies gebeurt bij spiegelschrift.
Kijk eens naar Figuur 1. We hebben een min of meer symmetrisch mens vervangen door een asymmetrisch object dat nog het meeste weg heeft van de Griekse hoofdletter gamma ($\Gamma$) om het iets inzichtelijker te maken.
Figuur 1. Een asymmetrisch voorwerp voor een spiegel. Merk op dat de punten A en B niet omgewisseld zijn in het spiegelbeeld.
Zoals je onmiddellijk kan zien, zijn de punten A en B niet omgewisseld in het spiegelbeeld. Stel je nu voor dat je achter het object staat met je gezicht richting de spiegel. Punt A zou zich aan je linkerhand bevinden en punt B aan je rechterhand. Hetzelfde geldt voor het spiegelbeeld. Zoals we inmiddels begrijpen, hebben we dat te danken aan de geometrische transformatie genaamd reflectie – kenmerk van een goede spiegel.
Stel je nu voor dat we het voorwerp op een groot stuk papier zouden plakken, zoals weergegeven in Figuur 2. Dit representeert een enorme letter afgedrukt op een groot stuk papier.
Figuur 2. Ons lettervoorwerp is vastgelijmd op een groot stuk papier, daarmee een geprinte letter representerend
Nu hebben we als het ware een geprinte letter op een grote pagina. Het probleem is dat we in de spiegel nu niets anders zien dan de achterkant van het enorme vel. Wat doen we hieraan? Omdraaien? Zei je omdraaien? Oké, prima. Zoals je kunt zien in Figuur 3 hebben we het papier geroteerd. En kijk nu eens naar de punten A en B. Inderdaad, A en B zijn van positie gewisseld! En waarom? Omdat wij een rotatie hebben uitgevoerd om de verticale as.
Figuur 3. Het vel papier is geroteerd om de verticale as. De letter staat nu aan de andere zijde, maar is om agogische redenen nog lichtjes zichtbaar.
Hoe staat het met de spiegel? Welnu, zie Figuur 4. De spiegel toont precies wat je hem presenteert: de reflectie van een geroteerde letter, waarvan punt A zich nu rechts bevindt en punt B links.
Figuur 4. De spiegel toont exact wat je hem presenteert: een geroteerde letter.
Conclusie
En dus, spiegelschrift ontstaat doordat je een rotatie hebt uitgevoerd, niet omdat een spiegel reflecteert. Die rotatie veroorzaakt dat links en rechts worden verwisseld en letters en er zo gek uitzien.
Aangezien je papier met tekst meestal om de verticale as roteert voor je het voor de spiegel houdt, lijkt het alsof die laatste de letters, woorden en zinnen uitsluitend in de links-rechts-richting omwisselt. Dit is niet het geval zodra je een andere rotatieas kiest.
Ten slotte, drie mogelijk interessante bespiegelingen. [1] De term spiegelschrift is misleidend, al klinkt het iets preciezere ‘rotatieschrift’ dan ook weer niet echt lekker. [2] Zoals je jezelf in de spiegel ziet (reflectie), zien anderen jou niet (rotatie). [3] Om letters in spiegelschrift te verkrijgen, heb je eigenlijk geen spiegel nodig; schrijf op een goeie ouwe transparant, draai het 180º om de verticale as en houd het voor je neus.
Dus je begrijpt, er is geen spiegel, want het is niet wat de omwisseling van letters veroorzaakt: er is alleen maar jezelf.
Volledigheidshalve vermelden we hier dat hoewel spiegels links en rechts en onder en boven niet omwisselen, ze wel voor en achter omdraaien – de derde optie in een 3D-ruimte. Maar omdat letters symmetrisch zijn in die richting (wat dat betreft zijn ze immers plat), is dit doorgaans niet wat het spiegelschrift verklaart. Daarom bespraken we het verder niet. In plaats daarvan benadrukten we het verschil tussen reflectie (verwisselen van voor en achter) en de rotatie van een voorwerp.
Min en min is plus. En min keer min is ook plus. Deze uitspraken zul je misschien een paar keer hebben gehoord of zelf hebben geuit. Hoewel je het vast al wist, hier vind je een algebraïsch bewijs om er nog eens op na te slaan. Benodigd: algebra van de tweede klas van de middelbare school.
We zouden allemaal geleerd moeten hebben op de middelbare school dat het aftrekken van een negatief getal hetzelfde is als het optellen van de positieve variant van dat getal. Bijvoorbeeld:
\[ 1-(-2) = 1+2 = 3. \]
In de menselijke, Nederlandse taal klinkt het ongeveer als: ‘Eén min min twee is gelijk aan één plus twee is gelijk aan drie’.
Als we variabelen gebruiken in plaats van getallen kunnen we dit opschrijven als
Nou, laten we dat gaan bewijzen. Of toch niet…? Nee, nog niet. Laten we eerst doen alsof het tegenovergestelde waar is. Stel,
\[ a-(-b) = a-b. \]
Als we $a$ van beide zijden aftrekken, houden we over:
\[ -(-b) = -b. \]
Puur om het wat duidelijker te maken, zetten we ook wat haakjes om de $-b$ aan de rechterkant:
\[ -(-b) = (-b). \]
Nu zie je duidelijk: de vergelijking is in tegenspraak met zichzelf. Voor het geval het nog niet duidelijk is: stel, $(-b) = c$, dus als we $(-b)$ vervangen door $c$, krijgen we
\[ -c = c. \]
En dat is, overduidelijk, in dit universum, uiterst belachelijk. Immers, $-1=1$? Dacht het dus niet. Dus, onze oorspronkelijke bewering moet kloppen. Chin-chin, pour the glasses.
Min keer min is plus
We leerden ook op de middelbare school dat het vermenigvuldigen van een negatief getal met een ander negatief getal een of ander positive getal is. Dus we zullen bewijzen dat
\[ (-a) \times (-b) = a \times b, \]
waarbij $a$ en $b$ reële getallen zijn. (Ik plaatste haakjes om de negatieve getallen $-a$ en $-b$ om de leesbaarheid te vergroten, niet omdat ze andere, extra informatie representeren of omdat ze een later invallende, literair-narratieve gedachte zijn, zoals deze zin.)
Wiskundigen zijn ware meesters der vermenigvuldiging van bijna alles bijna altijd en er daarbij zelfs in slagen voor betaald te worden. Ze kunnen bij tijd en wijle behoorlijk productief zijn. Dus vanzelfsprekend, opdat de werkgever waar krijgt voor haar geld, zullen ze bijna nooit de moeite nemen om het ‘$\times$’-teken fatsoenlijk op te schrijven. Vandaar dat we bovenstaande vergelijking hieronder als een professional opschrijven:
\[ (-a)(-b) = ab. \]
Het volgende kan voor de hand liggend lijken, maar heb geduld, het is slechts de eerste stap. Laten we kijken naar de volgende tautologie:
\[ (-a)(-b) = (-a)(-b). \]
Okay, tot zover de tocht via deze open deur. Laten we een term toevoegen zonder de essentie van de vergelijking te verstoren:
\[ (-a)(-b) = (-a)(-b) + 0. \]
Nog steeds een waarheid als een koe. Wat ook als een koe is: alles dat vermenigvuldigd wordt met nul is gelijk aan nul. Dus, we kunnen de vergelijking herschrijven als
\[ (-a)(-b) = (-a)(-b) + a\times0, \]
wat we, om fijn pedant over de notatie te doen, op een compactere manier kunnen schrijven als
\[ (-a)(-b) = (-a)(-b) + a(0). \]
Laten we het getal 0 vervangen door variabelen — om precies te zijn, alleen de variabelen die we hier gebruiken. Dus, zeg…
Laten we nu de haakjes van de laatste expressie na het ‘+’-teken wegwerken.
\[ (-a)(-b) = (-a)(-b) + ab + a(-b). \]
Laten we nu de volgorde van de laatste twee termen omdraaien. Dat maakt de volgende stap iets makkelijker. Dus, de termen omdraaiend, krijgen we
\[ (-a)(-b) = (-a)(-b) + a(-b) + ab. \]
Nu kunnen op ons gemak naar de eerste twee termen kijken:
\[ (-a)(-b) = \underbrace{(-a)(-b) + a(-b)}_{\text{kijk hier naar, op ons gemak}} +\ ab. \]
Weet je nog hoe je moet ontbinden in factoren, ook wel ‘buiten haakjes halen’ genoemd? Zoiets als $pq + pr$ wordt na ontbinding in factoren zoiets als $p(q+r)$, bijvoorbeeld. Welnu, dat kunnen we natuurlijk ook voor onze twee termen hierboven doen, alleen halen we hier $(-b)$ buiten haakjes:
\[ (-a)(-b) = (-b)\Big((-a) + a\Big) + ab. \]
Mooi. Kijk nou toch eens naar die mooie expressie tussen de grotere haakjes. Ik vind het superaantrekkelijk, want, inderdaad, het is gelijk aan 0. En alles dat wordt vermenigvuldigd met 0 is 0. Dus, wat we overhouden, is:
De maan draait om de aarde en zijn zwaartekracht veroorzaakt eb en vloed. Maar waarom heeft een zwembad geen eb en vloed? En een kop koffie? Het menselijk lichaam bestaat voor het grootste gedeelte uit water. Staat dat niet ook onder invloed van de maan? Zolang je al deze mooie vragen stelt, kun je er bijna zeker van uitgaan dat wat je dacht dat eb en vloed veroorzaakt, niet juist is.
Herinner je je nog, op de middelbare school, dat de natuurkundeleraar alle lucht uit een grote, doorzichtige koker liet zuigen en dat er in die koker verder niets anders dan een veertje en een stalen kogel of iets dergelijks zat? En dat ze vervolgens vroeg of jullie konden voorspellen welke het eerste de bodem zou raken als ze de koker zou omdraaien?
Uiteraard bleken beide objecten met exact dezelfde snelheid op de bodem te vallen. We leerden dat het niet uitmaakt dat de stalen kogel meer massa heeft dan de veer. De zwaartekracht van de aarde heeft dezelfde uitwerking op beide dingen. Alles, eigenlijk, dat door de zwaartekracht van onze planeet naar beneden wordt ‘getrokken’, valt met dezelfde snelheid, ongeacht hoe groot de massa van de dingen is (als we iedere vorm van frictie even buiten beschouwing laten).
Zwaartekracht van de maan
Hoewel de zwaartekracht van de maan kleiner is dan die van de aarde is het principe hetzelfde. Ongeacht de massa van een object valt het recht naar het maanoppervlak met precies dezelfde snelheid als ieder ander ding. Op 2 augustus 1971 toonde NASA-commandant David Scott aan dat een hamer en een veer tegelijk op de maanbodem vallen.
De zwaartekracht van de maan is sterk genoeg voor een merkbaar effect op aarde, zoals we weten. Het is inderdaad de reden waarom onze oceanen eb en vloed kennen. Maar als de zwaartekracht van de aarde of de maan op dezelfde manier objecten beïnvloedt, ongeacht hun massa, hoe komt het dan dat bijvoorbeeld een badkuip geen getijden heeft? Ja, het heeft minder massa, maar commandant David Scotts experiment toonde aan dat dit niet uitmaakt. En als de zwaartekracht van de maan in staat is om immense massa’s water, zoals complete oceanen, letterlijk meters omhoog te trekken, hoe komt het dan dat onze badeend niet in de lucht begint te zweven zodra de maan even boven onze huizen zwiept?
Het antwoord is zowel voor de hand liggend alsook enigszins tegenstrijdig: omdat de zwaartekracht van de maan verwaarloosbaar klein is, behalve wanneer het dat niet is.
Verkeerd beeld
Laten we naar de vereenvoudigde situatie van Figuur 1 kijken. Om het allemaal iets simpeler te maken, stellen we onze planeet voor als een grote waterbal. Er zijn voorlopig geen continenten.
Figuur 1. De getijden van de aarde en de maan. (Niet op schaal!)
De eerste misconceptie. Hoewel het intuïtief het geval lijkt, wordt de uitstulping bij punt A niet veroorzaakt doordat de zwaartekracht van de maan aan dat punt trekt, in tegenstelling tot wat regelmatig geschreven wordt.
Bovendien zou je in veel stukjes de volgende onjuiste verklaring voor de uitstulping bij punt B kunnen aantreffen. ‘De aantrekkingskracht van de maan is kleiner bij punt B dan bij punt A, dus punt B blijft waar het is, terwijl punt A verder richting de maan wordt aangetrokken. Alles tussen A en B wordt als een soort kauwgom uitgerekt. Dus, vanuit het perspectief van iemand die (op ’t vaste land) bij punt B staat, stijgt ook daar het water.’
Dit is dus ook grotendeels onjuist. Het klopt dat de zwaartekracht van de maan bij B kleiner is dan bij A, maar dat is niet wat de uitstulping veroorzaakt bij punt B. Niet rechtstreeks, zoals hier beschreven, althans.
Vele kleintjes maken één grote
Laten we de punten C en D bekijken op twee verschillende stukjes water in Figuur 2. De zwaartekracht van de maan werkt op die twee punten onder een hoek, zoals is weergegeven door de blauwe pijlen of vectoren. Tegelijkertijd wordt de gehele aarde door diezelfde zwaartekracht lichtelijk richting de maan verplaatst zoals gemodelleerd is door de rode vector.
Figuur 2. De zwaartekracht van de maan grijpt aan op punten C en D en de gehele aardbol
Dus, punten C en D ondergaan twee gelijktijdige krachten zoals expliciet weergegeven in Figuur 3. Merk op dat de blauwe en rode vectoren verschillende hoeken hebben. Onze natuur- en/of wiskundeleraar op de middelbare school leerde ons vervolgens dat twee of meer krachten uitgeoefend op hetzelfde punt gemodelleerd kunnen worden als één nettokracht, de resultante.
Nu volgen twee belangrijke stappen: 1. Newton leerde ons dat een kracht een versnelling is, dus de pijlen in Figuur 3 zien we vanaf nu als een versnelling. 2. Om de versnelling van het stukje water van de punten C en D ten opzichte van het aardoppervlak te bepalen, trekken we de rode vector af van de blauwe vector. Wat we overhouden is de groene vector, de resultante.
Figuur 3. De resultante krachten, de nettokrachten, worden weergegeven als groene vectoren
In Figuur 3 wordt vertoond hoe de combinatie van de twee rode en blauwe brutokrachten een nettokracht opleveren, hier gerepresenteerd door de groene vectoren. Let op: de nettokrachten zijn wat we schijnkrachten noemen. Denk aan een auto die plotseling optrekt. Ten opzichte van de grond beweegt je hoofd nog even niet, maar gezien vanuit de auto lijkt het alsof je hoofd door een onzichtbare kracht naar achteren wordt geduwd. Een getijde wordt dus veroorzaakt door wat in het Engels een ’tidal force’ wordt genoemd, een schijnkracht.
Welnu, als we het bovenstaande uitvoeren voor heel veel punten, verkrijg je de groene vectoren zoals weergegeven in Figuur 4. En warempel, alle groene (hier zwarte) pijlen blijken zich te hebben gerangschikt als waren het de uitstulpingen van de getijden.
Figuur 4. Het differentiaalveld van nettokrachten weergegeven als een hele rij nettokrachten (de groene pijlen zijn hier de zwarte pijlen)
Dit laat zien wat er eigenlijk plaatsvindt: ieder minuscuul stukje water wordt beïnvloed door een heel klein beetje nettokracht in de richting van waar de uitstulpingen zullen ontstaan, daarbij ieder ander stukje water voor zich uit duwende, richting de uitstulpingen, daarmee überhaupt de uitstulpingen veroorzakend.
In de tekening zijn alle pijlen veel te groot weergegeven, zodat we ze kunnen zien. In werkelijkheid zijn de nettokrachten miniem. Microscopisch miniem.
En dit is de sleutel om de paradox op te lossen. Hoewel een nettokracht, als gevolg van de zwaartekrachtsinvloeden van de maan, volkomen insignificant is op een enkel stukje water, is de hoeveelheid oceaan op aarde bepaald het tegenovergestelde van verwaarloosbaar. De immense optelsom van alle nettokrachten op ieder kubiek stukje in de oceanische vloeistof is kortom zéér significant en in sommige gevallen, afhankelijk van de vorm van het vaste land, levensgevaarlijk significant.
Conclusie
De invloed van de maan op kleine dingen is minuscuul. Het heeft volstrekt geen merkbare invloed op je koffie, je lichaam, je badkuip, vijvers en meren. Ieder getij in een kop koffie zal kleiner zijn dan een bacterie dik is — een effect dat onmiddellijk teniet gedaan wordt door de aanwezigheid van een bacterie in je koffie die z’n rugcrawl oefent. Als je koffie toch getijden begint te vertonen, bereid je voor op de Apocalypse en/of ontsnapte dinosauriërs. Hoe dan ook, er is dan iets goed mis.
Zelfs een meer ter grootte van Lake Michigan zal enkel een paar centimeter omhoog komen — met gemak tenietgedaan door het kabbelende wateroppervlak op een zonnige lentedag. Dus je kunt het je voorstellen dat je lichaam er totaal niets van merkt. Alleen al de bloeddruk benodigd om zuurstof naar je hersenen te vervoeren verpulvert iedere getijde-invloed van de maan — die sowieso kleiner zou zijn geweest dan de dikte van een haar. Als je het gevoel hebt minder in staat te zijn tot rationele gedachten, weet je nu dat het niet de maan is. Maar check je bloeddruk.
In het geval van een oceaan, een vloeibaar lichaam met heel, heel, heel erg veel kleine, waterdeeltjes die vrijelijk over elkaar kunnen rollen en schuiven, zullen er echter inderdaad uitstulpingen verschijnen, daar waar de maan even langs wipt. Het opkomen van de uitstulping geschiedt daarbij door een duwen en niet een trekken.
Kortom, er zijn octiljoen minuscuul kleine nettokrachten op ieder kubiek stukje oceaanwater die een opwaartse stuwing veroorzaken waardoor de twee uitstulpingen ontstaan. Meren, vijvers, badkuipen, menselijke lijven en koffiemokken komen niet eens een beetje in de buurt van die hoeveelheid.
EDIT: het oorspronkelijke artikel verzuimde te vermelden dat de getijden het resultaat zijn van een schijnkracht, wat leidde tot een fundamenteel misverstand omtrent Figuur 3 en 4. Dit is gecorrigeerd.
Figuur 4 is een bewerkte weergave (uitsnede) van het origineel vervaardigd door Krishnavedala onder CC BY-SA 3.0.
We hebben de draaiing van de aarde, het Coriolis-effect, de aanwezigheid van de zon en land, etc. niet in beschouwing genomen om het simpel te houden. Dit verandert de situatie enigszins, maar verder niet de essentie van het verhaal.
Af en toe hoor je wel eens iemand zeggen dat ‘alles uiteindelijk energie is’. ‘Einstein zei immers dat massa energie is, wij zelf zijn energie, licht is energie en alles in het universum is energie.’ Het wordt vaak gepresenteerd als de fundamentele substantie waar alles van gemaakt is. En energie blijft behouden. Beide uitspraken zijn incorrect.
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Om maar met de deur in huis te vallen: energie is een mathematisch concept. Het is geen substantie en het is geen mysterieus ‘ongrijpbaar iets’. Er vloeit niets van het ene object naar het andere object. Het is uitsluitend een getal, uiterst nuttig en vernuftig om berekeningen mee uit te voeren en voorspelling mee te doen over de toestand van een systeem. Het is slimme mathematische boekhouding afkomstig van de veelzijdige, zeventiende eeuwse geleerde Gottfried Wilhelm von Leibniz.
Hier moeten we het verschil maken tussen fysieke objecten (niet energie dus) en eigenschappen van die fysieke objecten. Bij eigenschappen kun je denken aan positie, volume, massa, snelheid en energie. Deze vijf eigenschappen zijn getallen. Wiskundige kwantiteiten. Op de middelbare school leerden we ze grootheden noemen. Grootheden die we uitdrukken als getallen met eenheden, die verwijzen naar fysieke fenomenen van fysieke objecten, zoals, respectievelijk, locatie, ruimtelijke omvang, inertie, beweging en… waar energie naar verwijst, lees je hieronder.
Laten we een voortrollende kanonskogel A als voorbeeld nemen. Deze fysieke kogel heeft twee meetbare eigenschappen: een massa A en een snelheid A. Stel nu dat er nog een kanonskogel B aan komt rollen: massa B, snelheid B, maar dan wel in de tegenovergestelde richting. Het zal uitlopen op een botsing. Je mag ervan uitgaan dat de snelheden en richtingen van die snelheden na de botsing veranderd zullen zijn.
Leibniz viel het op dat, als je van iedere kogel afzonderlijk de massa vermenigvuldigt met het kwadraat van zijn snelheid en alle zo verkregen waarden van alle kogels bij elkaar optelt, die hele totaalsom vóór de botsing gelijk is aan de totaalsom ná de botsing.
Zowel het product als de som zijn niet meer dan een getal. Het wiskundige resultaat van de vermenigvuldiging van massa en snelheid(-kwadraat) noemen we energie. Leibniz noemde het echter niet energie, maar heel poëtisch vis viva, Latijn voor ‘levende kracht’.
Er volgden nog vele jaren van verfijning en uitbreiding van het wiskundige concept. Zo bleek de formulering van Leibniz hierboven nog een factor van een half te missen, de uitbreiding van het vis viva-concept naar hitte benodigd te zijn en de concurrentie van het impulsmoment van rivaal Newton te duchten te hebben.
Uiteindelijk, begin 19e eeuw, gebruikte de veelzijdige geleerde Thomas Young in zijn boek A Course of Lectures on Natural Philosophy and the Mechanical Arts: In Two Volumes als eerste de term energie in geschrift en dat is zo gebleven — hoewel het nog de nodige ontwikkelingen zou ondergaan. Uiteindelijk bleek het concept namelijk niet alleen handig in mechanische en thermische berekeningen, maar ook in bijvoorbeeld elektrische, magnetische, chemische en nucleaire interacties.
Wet van behoud van energie
Emmy Noether
Emmy Noether, een wiskundig genie, legde honderd jaar later het mathematisch fundament voor onder andere de wet van behoud van energie, die al een paar decennia daarvoor was geformuleerd. Dankzij het theorema van Noether weten we waarom energie behouden blijft in een geïsoleerd systeem: de natuurwetten zijn tijdsinvariant, zoals dat heet. Met andere woorden, het maakt voor een natuurwet niet uit of het om tien uur ’s ochtends of twee uur daarvoor wordt toegepast. Kanonskogels botsen er om stipt vier uur ’s nachts niet anders om dan een kwartiertje later. Hun werking is invariant. Als een geïsoleerd systeem, zoals onze kanonskogels, in de tijd verplaatst precies zo werkt als vóórdat het in de tijd verplaatst werd, spreken we van een symmetrische situatie. En als natuurwetten tijdsymmetrisch zijn, kunnen we dankzij Noethers theorema de wet van behoud van energie wiskundig afleiden.
Einstein en uitdijing
Wat helaas niet veel mensen weten, is dat de wet van behoud van energie sinds Einsteins algemene relativiteitstheorie — iets meer dan honderd jaar geleden, praktisch op hetzelfde moment als Noethers bewijs voor haar theorema — toch niet blijkt te gelden voor het waarneembare universum waarin wij leven.
Dat wil zeggen, de wet werkt prima op de schaal waarop wij mensen ons dagelijks leven leiden. De middelbareschoolopgaven zijn nog steeds geldig. Architecten en ingenieurs kunnen er nog steeds van op aan. Echter, op de schaal van het zichtbare universum, waar kosmologen mee werken, gaat de wet niet meer op. De ruimtetijd zelve is dynamisch: het verandert over de tijd. In 1998 bleek uit Nobelprijswinnend onderzoek dat het waarneembare universum bovendien versneld uitdijt. Ook hieruit blijkt dus dat de ruimte zelve niet symmetrisch is met het verstrijken van de tijd.
De wet is dus niet houdbaar voor het hele universum. Echter, als je een stukje ruimte en een stukje tijd neemt die klein genoeg zijn, werkt de wet nog prima. Systemen lijken op die schaal genoeg geïsoleerd te zijn van de rest van het universum. Noethers theorema is hier van kracht en daarmee ook de op haar theorema berustende wet van energiebehoud.
Niet fundamenteel, maar wel belangrijk
Om twee redenen kan ‘energie’ dus geen fundamenteel onderdeel zijn van een theorie over ons universum: het begrip is een wiskundig hulpmiddel om meetbare eigenschappen als massa en snelheid te kwantificeren waarvan het behoud rust op een ander theorema, terwijl het sinds ongeveer honderd jaar geleden bovendien niet langer behouden is gebleken.
Hoewel dus geen onzichtbare, vloeiende substantie of anderszins mysterieuze, fundamentele grootheid, is het niettemin een uiterst nuttige kwantiteit in uiteenlopende gebieden zoals vloeistofdynamica, statistische mechanica, astrofysica, kernfysica en kwantumfysica. Al was het maar omdat je een ingewikkelde formulering zoals
$\frac{mc^2}{\sqrt{1-\dfrac{v^2}{c^2}}},$
kunt vervangen door de
$E$
van energie. Ehm, ‘energie’.
Foto: ESA/Hubble/NASA. Een Hubble Space Telescope foto van sterrenstelselcluster Abell 2537. De omvang van de zwaartekracht, dat wil zeggen, de ruimtetijdkromming, veroorzaakt door dit sterrenstelsel is zichtbaar via de afbuiging van het licht van sterren en sterrenstelsels gelegen achter Abell. Het stelsel werkt als een lens. Dit is allemaal voorspeld door Einsteins algemene relativiteit.
Kansen zijn soms moeilijk te vatten. Wat is bijvoorbeeld de kans dat er onder de genodigden van een verjaardagsfeestje zich twee of meer mensen bevinden die op dezelfde dag jarig zijn? Misschien groter dan je denkt.
Mijn moeder is sinds haar geboorte jaarlijks op 1 januari jarig. Dit jaar vierde ze haar twaalfde kroonjaar in een gezellig zaaltje met een groepje van ongeveer vijftig mensen.
Feestnummer die ik ben, legde ik tijdens mijn praatje de genodigden voor dat de kans dat mijn moeder op 1 januari geboren werd gelijk was aan 1/365. Aangezien de meeste jaren bestaan uit 365 dagen, liet ik de schrikkeljaren geheel buiten beschouwing. Ik ging ook uit van een gelijkmatige verdeling der verjaardagen over een jaar, omdat het makkelijker rekenen is.
Vervolgens vroeg ik hen wat de kans was dat mijn vader op 8 juli geboren zou worden (dat is hij), als er dus 365 dagen waren om uit te kiezen. Het antwoord was wederom, 1 van de 365, oftewel 1/365. Zo beschouwd is een specifieke dag natuurlijk niet specialer dan een andere specifieke dag, afgezien van de culturele betekenis die we sommige dagen geven.
Toen kwam de vraag: wat is de kans dat er twee of meer mensen in deze zaal op dezelfde dag jarig zijn? Uiteraard los van het jaartal. Het ging puur om de dag van het jaar.
Met andere woorden, er zitten 365 dagen in een jaar en we hebben 50 mensen wiens verjaardagen verspreid zijn over die 365 dagen. Hoe groot is de kans dat er toch twee (of meer) verjaardagen op dezelfde dag vallen?
Hier verhoog ik de feestvreugde door tijdens mijn praatje een wiskunderaadsel ter tafel te brengen.
Soms denkt men daarbij aan het voorbeeld met de dobbelstenen. Stel, je hebt twee dobbelstenen. De kans dat je een zes gooit, is 1/6. De kans dat je met de andere dobbelsteen een zes gooit is ook 1/6. De kans dat je met beide dobbelstenen zessen gooit, is dus 1/6 $\times$ 1/6 = 1/36. Die kans is logischerwijs kleiner dan wanneer je met één dobbelsteen een zes gooit. (Lees ook Wanneer en waarom vermenigvuldig je kansen met elkaar?) Veel mensen redeneren dat de kans dat twee mensen op bijvoorbeeld 8 juli jarig zijn daarom gelijk is aan 1/365 $\times$ 1/365 = 1/133225; dat is een heel kleine kans dus. En dat zou dan kunnen kloppen met veler intuïtie: het zou toch wel heel toevallig zijn als er twee mensen op dezelfde dag jarig zijn in een groepje van vijftig. Toch?
Anderen denken aan 50 knikkers in een pot met 365 knikkers. Je trekt een knikker uit de pot en legt hem weer terug. Je schudt de pot. Je trek weer een knikker uit de pot; wat is de kans dat je dezelfde knikker trekt? Zo komt men op het antwoord van 50/365.
Maar nee, beide strategieën zijn onjuist. In werkelijkheid is de kans 97%, afgerond op de nabije gehele procent. Ik zou er dus een goede fles wijn om willen wedden.
De berekening
Zoals heel vaak in de wiskunde is het makkelijker om de tegenovergestelde situatie te bestuderen. Laten we dat hier ook doen. De tegenovergestelde situatie is dat van de groep niemand op dezelfde dag jarig is. Hoe groot is die kans?
We hebben 365 dagen. We hebben 50 mensen. Wat is de kans dat mens nummer 1 in de groep op een dag in het jaar jarig is? Let op de vraagstelling. Een dag, niet een specifieke dag. We vragen ons dus niet af wat de kans is om op bijvoorbeeld 8 juli jarig te zijn. We vragen ons af wat de kans is dat zij op één van de 365 dagen jarig is. Die kans is 365 van de 365 dagen, oftewel 365/365, oftewel 365 : 365 = 1, oftewel 100%.
Wat is nu de kans dat mens nummer 2 van die groep op een dag in het jaar jarig is, maar niet dezelfde als die van mens nummer 1? Dat betekent dus dat mens nummer 2 op één dag minder jarig kan zijn. Mens nummer 2 kan dus maar op 364 van de 365 dagen jarig zijn — anders zouden beiden op dezelfde dag jarig kunnen zijn. Dus de kans dat mens nummer 2 op een andere dag jarig is, is 364 van de 365, oftewel 364/365, oftewel 364 : 365 = 0,997 $\dots$, oftewel 99,7%.
Wat is dus de kans dat beiden op een andere dag jarig zijn? Dat is
oftewel 100% als we afronden naar boven. Anders gezegd, de kans is praktisch nihil dat ze op dezelfde dag jarig zijn.
Maar wat als we een derde mens erbij betrekken? Wat is de kans dat mens nummer 3 op een andere dag dan die van mensen nummer 1 en 2 jarig is? Dat is 363 van de 365, oftewel 363/365, oftewel 363 : 365 = 0,994 $\dots$, oftewel 99,4%. En wat is dus de kans dat mensen nummer 1, 2 en 3 ieder op een andere dag jarig zijn? Dat is dan
Laten we voor de duidelijkheid nog een mens erbij betrekken, een vierde. De kans dat mens nummer 4 op een andere dag dan die van mensen nummers 1, 2 en 3 jarig is, is 362/365, oftewel 362 : 365 = 0,991 $\dots$. En wat is dus de kans dat mensen nummers 1, 2, 3 en 4 ieder op een andere dag jarig zijn? Dat is dan
oftewel 98%, afgerond. We zien dus dat de kans dat alle mensen op een andere dag jarig zijn met toevoeging van telkens wat extra mensen afneemt.
Stel nu dat we dit tot en met mens nummer 50 zouden blijven doen. De kans dat mens nummer 50 op geen van de dagen van haar voorgangers jarig is, wordt dan 316/365. Dus de kans dat alle vijftig mensen op een andere dag jarig zijn, berekenen we dan als volgt:
Dan hebben we nu ons antwoord. De omgekeerde situatie, de kans dat niet alle vijftig mensen op een andere dag jarig zijn, is dan het omgekeerde van 2,9% en dat is 97,1%. Oftewel, 97% afgerond.
Onder de vijftig verjaardagsgangers bleken trouwens maar liefst zes mensen een verjaardag met iemand te delen. Met andere woorden, we vonden drie ‘koppels’ met dezelfde verjaardag.
Trouwens, bij een groep van 23 mensen is de kans al 0,504 (dus iets meer dan 50%) dat er twee mensen tussen zitten die op dezelfde dag jarig zijn. De kansen groeien rap.
Mocht je er meer over willen weten, dit fenomeen berust op het zogenaamde duiventilprincipe of het ladenprincipe van Dirichlet — het werd waarschijnlijk voor het eerst formeel geformuleerd door deze negentiende eeuwse, Duitse wiskundige. Happy Googling! (Al bevelen we DuckDuckGo.com van harte aan.)
Je kunt met onze calculator zelf een groepsgrootte invoeren en laten berekenen hoe groot de kans is.
Eerst wat over de notatie van kansen. Als je met een ideale dobbelsteen gooit, is de gebeurtenis dat je een zes gooit 1 van de 6 mogelijkheden. Dat schrijven we op als een breuk, 1/6, of
\[
\frac{1}{6}.
\]
We zeggen dan dat je een kans van 1 op 6 hebt om bijvoorbeeld een 6 te gooien. De kans is 1/6, een zesde.
Dat betekent dus ook dat de kans dat je een getal gooit — dat kan dus ieder getal zijn: 1, 2, 3, 4, 5 of 6 — gelijk is aan
\[
\frac{6}{6} = 1.
\]
Als je met een dobbelsteen gooit, is de kans dus 1 dat je een getal gooit, oftewel 100%. Kortom, als iets 100% zeker gaat gebeuren, is de kans 1. En als iets met een zekerheid van minder dan 100% gaat gebeuren, dan is de kans een zoveelste deel van 1.
Ten slotte nog een belangrijke mededeling over het vermenigvuldigen met een breuk: als je een zoveelste deel, bijvoorbeeld 1/2, van iets berekent, bijvoorbeeld 16, dan kun je dat op twee manieren opschrijven. Je deelt 16 door 2 of je vermenigvuldigt 16 met 1/2. Het is hetzelfde. Oftewel:
\[
\frac{16}{2} = 16\times\frac{1}{2} = 8.
\]
Twee munten
Stel, je gooit euro #1 in de lucht. Het wordt kop of munt. In Figuur 1 is dat schematisch weergegeven. De kans dat je kop gooit, is 1/2. De kans dat je munt gooit, is 1/2.
Figuur 1
Stel, je gooit euro #1 en euro #2 in de lucht. In Figuur 2 is die situatie schematisch weergegeven.
Stel jezelf nu de vraag: van alle keren dat ik met euro #1 kop gooide, hoe vaak zou je met euro #2 kop hebben gegooid? Het antwoord is dat je in de helft van alle keren dat je de euro’s omhoog gooide, euro #1 kop werd. Weer de helft daarvan gooide je kop met euro 2.
Wat is de helft van een helft? Dat is \[ \underbrace{\frac{1/2}{2}}_\text{de helft van de helft} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}. \]
Figuur 2
Een deel van een deel
Zie Figuur 3. Stel, we gooien in totaal 16 keer twee munten. Stel nu dat daarvan munt nummer 1 voor de helft kop blijkt; we kleuren de helft blauw. De vraag is, van de hoeveel keren dat munt nummer 1 kop is, gooien we kop met de tweede munt? Dat is wéér de helft. De helft van de helft. Die kleuren we groen.
Van het totaal, het hoeveelste deel is groen? De helft (4) van de helft (8) van het totaal (16), dus 4 van 16, oftewel 1 van 4. Wat is dus de kans dat je groen gooit (munt nr. 2 is kop) als je voor de helft van het totaal blauw gooit (munt nr.1 is kop)?
\[
\frac{1/2}{2} = \frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{4}.
\]
Figuur 3
Een euro en een dobbelsteen
Nog een voorbeeld. Stel, je gooit een euro en een dobbelsteen in de lucht. De kansverdeling van kop of munt is 1/2, zoals we inmiddels weten. Voor de dobbelsteen ligt dat iets anders. Het kan 1, 2, 3, 4, 5 of 6 worden. Dus de kans dat je 6 gooit, is 1/6.
Van alle keren dat je met de euro kop gooide — en dat is de helft van het totale aantal pogingen — hoe vaak zou je een 6 hebben geworpen met de dobbelsteen? Dat is dus 1/6e deel van de helft van het totale aantal pogingen. Oftewel,
\[
\frac{1/2}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}.
\]
Conclusie
Stel dus dat de kans 2/3 is dat gebeurtenis $A$ plaatsvindt en de kans is 1/6 dat gebeurtenis $B$ plaatsvindt en 4/5 dat gebeurtenis $C$ plaatsvindt, dan is de kans dat een combinatie van de gebeurtenissen $A$, $B$ en $C$ optreedt gelijk aan
\[
\underbrace{\frac{2}{3}}_A \times \underbrace{\frac{1}{6}}_B \times \underbrace{\frac{4}{5}}_C = \frac{8}{90} = \frac{4}{45} \approx 0.088\dots,
\]
en dat is 8,9% afgerond op één decimaal.
Om te weten wat de kans op een combinatie van gebeurtenissen is, berekenen we dus in feite de zoveelste keer van een zoveelste keer. En een zoveelste keer van een zoveelste keer (van een zoveelste keer, etc…) is hetzelfde als het vermenigvuldigen van de twee (of meer) breuken.
Einstein en collega’s leerden ons dat ruimte en tijd geen gefixeerde entiteiten zijn. Ze kunnen worden uitgerekt en ingekort. Ze variëren. Er is echter een ding dat dit niet doet: de invariantie van de ruimtetijdinterval.
Stel, er wordt een foton afgevuurd van de oorsprong $O$ en het verplaatst zich naar punt $F$, zoals afgebeeld in Figuur 1. Laten we de gekwadrateerde afstand die het foton aflegt, $d(O,F)^2$, relateren aan de andere afstanden met gebruikmaking van die goeie, ouwe stelling van Pythagoras:
$ d(O,F)^2 = d(O,A)^2 + d(A,B)^2 + d(B,F)^2. $
We kunnen de vorige uitdrukking ook explicieter opschrijven in termen van de afstanden van de punten tot de oorsprong $O$:
Omdat de assen van de ruimte in Figuur 1 ruimtelijk en Euclidisch zijn, wordt $d(O,F)^2$ een ruimtelijke of Euclidische interval genoemd. Het interval kan overigens ook gezien worden als een balk (een recht prisma op een vierhoekig grondvlak) waarvan zijn ruimtelijke diagonaal gelijk is aan $d(O,F)$, hiermee een gebied in een 3D-ruimte afbakenend.
In de echte wereld zouden we, om ons ervan te verzekeren dat we elkaar zullen ontmoeten op de juiste plek, de volgende coördinaten kunnen geven: 1 Einstein Drive, eerste verdieping. Zie Einstein Drive als een plek op de $x$-as (naast andere $x$-asplekken als Battle Road, Mercer Road), nummer 1 als een plek op de $y$-as en de eerste verdieping als een plek op de $z$-as.
Wat we nu nog nodig hebben is een beetje extra informatie: wanneer ontmoeten we elkaar?
Tijdsinterval
Stel, Figuur 2 toont een tijdsserie van een foton op weg naar punt $F$ en verder. Het toont aan dat we in een wereld leven waar we niet alleen drie ruimte coördinaten, maar ook een tijdcoördinaat nodig hebben. Het is logisch de mensen die je zou moeten treffen niet alleen te vertellen waar in de ruimte je zal zijn, maar ook wanneer in de tijd je daar zal zijn.
Ons foton $P$ vliegt door $F$ op $t=3$. Dit betekent dat de tijdcoördinaat van de gebeurtenis dat het foton $F$ heeft bereikt, gelijk is aan:
$ t_{F}=3. $
Aannemende dat op $t=0$ foton $P$ zich bij de oorsprong bevindt,
$ t_{O}=0, $
kunnen we schrijven voor een temporeel interval tussen wanneer het foton $O$ verlaat en $F$ bereikt:
$ \Delta t_{OF} = t_{F} – t_{O} = 3 – 0 = 3. $
Figuur 2 Een foton reist van O naar F in een driedimensionale ruimte in een bepaalde periode
Eenheidsconversie van tijd naar afstand
Zoals de vorige twee hoofdstukken hopelijk duidelijk maakten, hebben we vier coördinaten nodig om een gebeurtenis te beschrijven, zoals bijvoorbeeld de gebeurtenis waarbij foton $P$ punt $F$ bereikt. De drie ruimtelijke afstanden worden uitgedrukt in een afstandseenheid, meestal de meter. De enkele tijdsafsand is geen afstand in de traditionele zin van het woord en wordt meestal uitgedrukt in seconde. Dit maakt het wel lastig om ze op een zinvolle manier met elkaar te vergelijken.
Om tijdseenheden te converteren naar afstandseenheden vermenigvuldigen we met een natuurconstante, de lichtsnelheid $c$, die, bij Einsteins tweede postulaat [1], nota bene invariant is: onafhankelijk van welk referentiekader je verkiest, de lichtsnelheid is altijd constant. Voor een uitgebreidere beschrijving van deze conversie, lees hoofdstuk 4.3 van Deriving the Lorentz transformations from a rotation of frames of reference about their origin with real time Wick-rotated to imaginary time. We concluderen hier dat onze tijdinterval een temporele afstand wordt:
$ \Delta t \mapsto c\Delta t.$
Ruimtetijdinterval
In Figuur 3 hebben we de ruimtelijke $z$-as laten vervallen en in de plaats daarvan de temporele $ct$-as (dat is dus tijd uitgedrukt in afstandseenheden) gebruikt zodat we een begrijpelijke tekening in het platte vlak kunnen maken. In werkelijkheid beweegt het foton uiteraard nog steeds in de $z$-richting. (We zijn tot dusverre niet in staat gebleken een vierdimensionaal object op een plat vlak te tekenen.) Let ook op de eenheidsvectoraanduiding rechtsboven en de afstandspunten die zijn aangegeven met $\Delta x$, $\Delta y$ en $c\Delta t$. Denk er vervolgens heel hard een toegevoegde vierde ruimtelijke afstandspunt $\Delta z$ bij, ergens.
Om de ruimtelijke afstand $d(O,F)$ van ons foton te berekenen, laten we vergelijking \eqref{eq:distance O-F} nog eens bekijken:
Aangezien we weten dat snelheid, in het algemeen, wordt berekend met $v = \Delta x / \Delta t$, waarbij $x$ de afgelegde afstand is in een richting, en $v = c$ in het geval van ons foton, kunnen we voor de afgelegde afstand van $O$ naar $F$ door ons foton schrijven:
Dit wordt interessant, aangezien $(c\Delta t)^2$ ook (het kwadraat van) de temporele afstand is. Als we vergelijking \eqref{eq:distance O-F} in de vergelijking hierboven substitueren, verkrijgen we
Hoewel dit leuk en aardig is, is de hamvraag nu wat is nul hier? Als we het antwoord hierop weten, weten wat alle termen aan de linkerzijde van het is-gelijkteken zijn.
Als iets gelijk is aan nul is er in de natuur- en wiskunde iets bijzonders aan de hand: het kan betekenen dat je te maken hebt met een systeem in een bepaalde stabiele configuratie, misschien zelfs statisch, het kan wijzen op een constante beweging, een energetisch equilibrium met de laagste waarde, een attractor, de nulwaarde van een functie als oplossing van een specifieke set parameters, een behoudswet, homogeniteit of een minimum of maximum van het een of ander.
In het algemeen betekent het dat er sprake is van een bepaalde symmetrie, wat op zijn beurt inhoudt dat er iets is dat behouden blijft. Hier zijn diepe inzichten aan te boren, zoals Emmy Noether ons leerde [2], en haar genialiteit verdient niets minder dan een hele serie artikelen op zich.
Niettemin, voor nu concluderen we dat, onafhankelijk van welk coördinatenstelsel men hanteert, waarmee verschillende waarden voor $\Delta x$, $\Delta y$, $\Delta z$, en zelfs $\Delta t$ worden gegenereerd, zoals de lorentztransformaties ons leerden, de som van al deze variabelen blijft invariant. De nul wijst op het feit dat ongeacht zijn vier bewegende delen—los van welk referentiekader je verkiest—de resultante is een constante, oftewel, invariant.
De kwantiteit aan de linkerzijde heeft een naam; het heet de ruimtetijdinterval en wordt aangeduid met $(\Delta s)^2$. De $s$ staat voor het Engelse ‘separation’, wat we hier zouden kunnen vertalen met ‘scheiding’. Het gaat om de scheiding tussen gebeurtenissen. Als we het woord afstand hadden gebruikt (dat wil zeggen, $d$ voor ‘distance’), had het misschien onbedoeld meer verwezen naar een ruimtelijke afstand dan iets anders, vandaar dat we scheiding gebruiken, $(\Delta s)^2$. Dus de ruimtetijdinterval wordt vaak als volgt opgeschreven:
De plus- en mintekens voor de termen kunnen omgedraaid worden in sommige boeken en artikelen, maar het is in elk geval belangrijk om op te merken dat, hoewel tijd vergelijkbaar gemaakt is met ruimte qua eenheden door vermenigvuldiging met $c$, nog steeds te zien is hoe tijd een speciale rol inneemt in het interval van het weefsel van de kosmos.
Figuur 3 Een ruimtetijddiagram met twee ruimtelijke dimensies en een temporele dimensie
E. Noether, Invariante Variationsprobleme, Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse1918(1918), 235—257.
De lorentztransformaties, bekend om hun centrale rol in Einsteins speciale relativiteitstheorie, worden afgeleid uit de rotatie van twee referentiekaders in standaard configuratie, waarbij de tijd gezien wordt als imaginaire eenheid van ruimtetijd. Deze afleiding zie je niet vaak. Er zijn weinig boeken voor bachelorstudenten of online artikelen die de details van de uitwerking bieden. Vandaar, dit artikel.
One might think this means that imaginary numbers are just a mathematical game having nothing to do with the real world. (…) It turns out that a mathematical model involving imaginary time predicts not only effects we have already observed but also effects we have not been able to measure yet nevertheless believe in for other reasons. So what is real and what is imaginary? Is the distinction just in our minds?
S. Hawking[1]
Hoewel er vele afleidingen van de lorentztransformaties zijn te vinden in studieboeken, syllabi en online, de versie waar Henri Poincaré naar hintte[2] en Hermann Minkowski vervolgens verder mee speelde – onredelijkerwijs op z’n zachtst uitgedrukt – in wat we nu minkowski-ruimte noemen, blijft wat mij betreft een van de elegantste, doch is zelden uiteengezet op een van de voornoemde plekken.
Henri Poincaré merkte op dat als de tijdas van de twee coördinatenstelsels imaginair is gemaakt, d.i. de imaginaire as in het complexe vlak, de transformaties zoals beschreven door Hendrik Lorentz automatisch tevoorschijn komen na rotatie van de twee referentiekaders in dit complexe vlak.
In dit document beschrijven we hoe dit wordt uitgevoerd. We nemen aan dat de lezer bekend is met complexe getallen.
Het doel is om de volgende set lorentztransformaties af te leiden:
\begin{align}
t’ &= \frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\label{eq:Lorentz t-prime} \\
x’ &= \frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},\label{eq:Lorentz x-prime} \\
y’ &= y, \\
z’ &= z,
\end{align}
waarbij $(t,x,y,z)$ en $(t’,x’,y’,z’)$ de coördinaten zijn van een gebeurtenis in twee referentiekaders. Het geaccentueerde ($’$) referentiekader, gezien vanuit het nietgeaccentueerde kader, beweegt zich met snelheid $v$ voort in de $x$-richting. De snelheid van het licht in vacuüm wordt aangeduid met $c$. Zijdelings merken we op dat de terugkerende term $(\sqrt{1-v^2/c^2})^{-1}$ de lorentzfactor wordt genoemd en doorgaans wordt aangeduid met de letter $\gamma$.
2. Standaard configuratieEen tweedimensionale weergave van Hermann Minkowski’s referentiekader M en Albert Einsteins kader E in een standaard configuratie: het laatste beweegt met snelheid v ten opzichte van het eerste in de richting van x. Er is geen beweging in de y- of z-richting. Merk op dat enige tijd is verlopen in dit diagram. Op tijd t=0, waren niettemin de oorsprongen gelijk. Met andere woorden, op de temporele coördinaten t=t’=0, waren de ruimtelijke coördinaten gelijk, x=x’=0.
Stel, Hermann staat stil op de grond. Albert rijdt met zijn auto weg van Hermann met snelheid $v$. We hebben dan te maken met twee referentiekaders. Er is het kader van Hermann, $\mathcal{M}$ (de grond), met de oorsprong $O$ aan Hermanns voeten op de grond. En er is het kader van Albert $\mathcal{E}$ (de auto), met de oorsprong $O’$ ter hoogte van Alberts achterwerk op zijn stoel. Hun referentiekaders zijn in een zogenaamde standaard configuratie zoals weergegeven in Figuur 2. Dit betekent dat op tijdstip $t=0$ in kader $\mathcal{M}$, waarvoor ook geldt $x=0$, het tijdstip $t’=0$ en positie $x’=0$ geldig is in kader $\mathcal{E}$, en dat het ene kader zich eenparig rechtlijnig (constant) beweegt ten opzichte van het andere. Met andere woorden, $\mathcal{M}$ en $\mathcal{E}$ zijn, zogezegd, gesynchroniseerd als voor de ruimtetijdcoördinaten geldt:
\[ (t,x) = (t’,x’) = (0,0). \]
Uiteraard, in de echte wereld zijn er vier ruimtetijdcoördinaten in ieder kader, namelijk $(t,x,y,z)$ en $(t’,x’,y’,z’)$, maar om onze berekeningen een klein beetje makkelijker te maken, houden we het enkel op de tijdscoördinaat $t$ (en $t’$) en ruimtelijke coördinaat $x$ (en $x’$).
Aldus, kijkend naar Figuur 2, zien we vanuit Hermanns perspectief—zich ophoudend in de oorsprong $O$ van $\mathcal{M}$—dat $\mathcal{E}$’s oorsprong $O’$ zich voortbeweegt met snelheid $v$ ten opzichte van de $x$-as van $\mathcal{M}$. Snelheid $v$, betekent uiteraard alleen maar dat $\mathcal{E}$ zich voortbeweegt met een bepaalde hoeveelheid eenheden van $x$ (bijv. meters) per een bepaalde hoeveelheid eenheden van $t$ (bijv. seconden). Dit is niets nieuws, maar het is voor onze afleiding van de lorentztransformaties van belang om ons secundair onderwijs een beetje te herhalen:
\[ v = \frac{\Delta x}{\Delta t}, \]
in Hermanns referentiekader $\mathcal{M}$. Enigszins omgedraaid, als we willen berekenen hoeveel ruimtelijke eenheden $\mathcal{E}$’s oorsprong zich heeft verplaatst van $\mathcal{M}$’s oorsprong, vandaan, herschrijven we de laatste vergelijking in de mogelijk bekendere wet van eenparig rechtlijnige beweging:
\begin{equation}
\Delta x = v\Delta t,
\label{eq:x=vt}
\end{equation}
in Hermanns referentiekader $\mathcal{M}$.
Zijdelings zij opgemerkt dat de auto wat Albert betreft niet beweegt; hij zit in de auto. (Eerder is het de rest van de wereld die zich voortbeweegt ten opzichte van zijn auto en zichzelf.) Als de auto ten opzichte van Albert in beweging zou zijn, dan hebben we te maken met de dreiging van een ongeluk met potentieel serieuze consequenties. Dus, omwille van Alberts welbevinden, stellen we dat zijn eigen snelheid binnen zijn eigen kader $\mathcal{E}$ (de auto) wordt uitgedrukt met $v’=0$, zolang hij op z’n plaats blijft zitten met de gordel om. Dus, de wet van eenparig rechtlijnige beweging door Albert, binnen zijn kader $\mathcal{E}$, wordt:
\[ \Delta x’ = v’\Delta t’ = 0\Delta t’=0. \]
3. Invarianties
Als $\mathcal{E}$ zich eenparig rechtlijnig voortbeweegt ten opzichte van $\mathcal{M}$, in een dimensie, de $x$-richting, zoals beschreven in vergelijking \eqref{eq:x=vt}, dan noemen we dit, meetkundig, een translatie in de $x$-richting. Natuurkundig is het een translatiebeweging in de $x$-richting.
Op tijdstip t=t’=0, vuurt Albert een foton P in de x-richting. Zowel het foton alsook Einsteins kader E bewegen in deze zelfde x-richting.
Veronderstel dat, op tijdstip $t=t’=0$, Albert, aan boord van zijn auto, zijn speciale, foto-elektrische kanon activeert, waardoor hij precies een foton $P$ in de $x$-richting afvuurt. Figuur 3 toont hoe het foton door de ruimte van beide referentiekaders vliegt.
Uit het diagram valt af te lezen dat de ruimtelijke coördinaten in de $y$-richting onveranderd blijven, $y=y’=0$, dus om het simpel te houden laten we deze verder buiten beschouwing in onze vergelijkingen. Niettemin, vanwege het feit dat $\mathcal{E}$ zich voortbeweegt ten opzichte van $\mathcal{M}$ in de $x$-richting, weten we dat $xneq x’$ bij $t>0$. En omdat we niet zeker weten dat $t=t’$ bij $t>0$, alleen dat $t=t’=0$, moeten we concluderen dat de locatie van $P$ verschilt:
\begin{equation}
\begin{aligned}
\text{in Alberts }\mathcal{E}\text{: }P &= (t’,x’), \\
\text{in Hermanns }\mathcal{M}\text{: }P &= (t,x).
\end{aligned} \label{eq:coordinates of P}
\end{equation}
Einsteins Voraussetzungen[3] accepterende, weten we gelukkig dat de snelheid van het licht, $c$, gelijk is in ieder referentiekader. Gebruikmakend van vergelijking \eqref{eq:x=vt}, $x=vt$, en het feit dat, in dit geval, $v=c$, kunnen we voor de afstand die foton $P$ aflegt – de gele lijn in het diagram – in de coördinaten van de respectievelijke referentiekaders schrijven::
\begin{align}
\text{in Alberts }\mathcal{E}\text{: }\Delta x’ &= c\Delta t’, \\
\text{in Hermanns }\mathcal{M}\text{: }\Delta x &= c\Delta t.
\end{align}
Aangezien het voor ieder coördinatenstelsel mogelijk is dat het punten bevat die aan de negatieve zijde van de oorsprong van een ruimtelijke dimensie liggen, zoals $x$ in ons geval, en dat licht zich dus ook kan verplaatsen in de negatieve $x$-richting, kwadrateren we beide vergelijkingen om altijd een positieve waarde te verkrijgen.
\begin{align}
(\Delta x’)^2 &= (c\Delta t’)^2, \\
(\Delta x)^2 &= (c\Delta t)^2.
\end{align}
Als we dit herschikken,
\begin{align}
(\Delta x’)^2 – (c\Delta t’)^2 &= 0, \\
(\Delta x)^2 – (c\Delta t)^2 &= 0,
\end{align}
zien we dat beide gelijk zijn aan nul, wat ons toestaat om te schrijven
\begin{equation}
(\Delta x’)^2 – (c\Delta t’)^2 = (\Delta x)^2 – (c\Delta t)^2.
\label{eq:interval}
\end{equation}
Dit is een prachtig resultaat aangezien het aantoont dat onafhankelijk van welk referentiekader je je in bevindt, afgezien van $c$, Albert en Hermann ook in overeenstemming zijn met de kwantiteit $(\Delta x)^2 – (c\Delta t)^2$, ondanks het feit dat de coördinaten van $P$ niet noodzakelijkerwijs dezelfde zijn in ieder referentiekader, zoals we zagen in \eqref{eq:coordinates of P}. Met andere woorden, zowel $c$ als $(\Delta x)^2 – (c\Delta t)^2$ worden invariant genoemd.
Zou kunnen dat je je afvraagt, wat is die invariante kwantiteit $(\Delta x)^2 – (c\Delta t)^2$, precies? Welnu, dit wordt behandeld in een andere post, genaamd Wat is een ruimtetijdinterval? En nu hebben we waarschijnlijk al verteld wat het is. Hoe dan ook, laten we doorgaan met de afleiding van lorentztransformaties en voorlopig in het achterhoofd houden dat $(\Delta x)^2 – (c\Delta t)^2$ een heel mooie invariantie is, onveranderd en gelijk in beide referentiekaders. Laten we nu overgaan op imaginaire tijd.
4. Wick-rotatie en imaginaire tijd4.1. GetallenverzamelingenEen segment van de reële getallenlijn, de verzameling R van alle reële getallen, die oneindig is aan beide zijden.
Zoals velen van ons zouden moeten weten, toont Figuur ref{fig:real number line} een (segment van een) reële getallenlijn die de verzameling $\mathbb{R}$ is van alle reële getallen. Het is de culminatie van van alle voorgaande uitbreidingen van de toentertijd bekende getallenverzamelingen. Beginnend met de natuurlijke getallen, een verzameling die normaal gesproken wordt aangeduid met $\mathbb{N}$, alle positieve, gehele getallen bevattend en zijn oorsprong vindend in de natuurlijke act van tellen, werd het numerieke repertoire uitgebreid met de notie van negatieve, gehele getallen. In plaats van slechts 1, 2 ,3, konden we nu ook tot -1, -2, -3 etc. tellen. Deze uitbreiding wordt aangeduid met $\mathbb{Z}$. Onnodig te zeggen dat $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$, maar we deden het zojuist toch.
Uiteraard waren er behoorlijke slimme mensen die erkenden dat er een andere uitbreiding nodig was: breuken die verhoudingen of ratio’s weergaven, beter bekend als de rationele getallen, zoals 1/2, 1/-3, 1/4, -1/100, met andere woorden, quotiënten van twee gehele getallen. Deze getallen bevinden zich tussen de gehele getallen van $\mathbb{Z}$. Het symbool is $\mathbb{Q}$ en dat $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$ is een overbodige toevoeging.
Hoewel ingekerfd op een stenen plaat, gevonden in Susa (Irak) in 1936, gedateerd rond 2000 BCE en gebruikt door Babyloniërs, namelijk dat
\[
\frac{3}{\pi}=\frac{57}{60}+\frac{36}{(60)^2}, \therefore
\pi = \frac{25}{8}=3.125,
\]
duurde het tot 1761 voordat het bewijs dat $\pi$ irrationaal is geleverd werd door Johann Heinrich Lambert[4] wat betekende dat het niet geconstrueerd kan worden door welke verhouding van gehele getallen ook, evenals vele andere getallen, zoals $\sqrt{2}$. En dus was wederom een uitbreiding van de bestaande getallenlijn benodigd. Dit was de voornoemde lijn die de verzameling $\mathbb{R}$, representeerde, of, om precies te zijn, $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.
En toen, in de zestiende eeuw, ontdekten mensen als de rivalen Tartaglia en Cardano, onafhankelijk van elkaar, dat oplossingen van kwadratische vergelijkingen soms het hanteren van de wortels van negatieve getallen vereiste, zoals $\sqrt{-1}$. Later ontwikkelde Bombelli fatsoenlijke operaties zoals optellen en aftrekken. Een groot aantal wiskundigen ontwikkelden over verschillende decennia wat nu bekend is als het complexe vlak of het gaussiaanse vlak[5] van de verzameling $\mathbb{C}$, de reële getallenlijn uitbreidend met een imaginaire as met meervouden van de imaginaire eenheid $i=\sqrt{-1}$. (Dit is, uiteraard, de oplossing van de kwadratische vergelijking $x^2+1=0$.) We realiseren ons dat het vermelden van het feit dat $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ inmiddels uitermate redundant is.
4.2. TranslatieIedere opeenvolgende getallenverzameling is een uitbreiding van de voorgaande. We kunnen van een simpele naar een complexere verzameling bewegen door bijvoorbeeld simpelweg onze huidige positie te vermenigvuldigen met een getal dat alleen aanwezig is in de complexere verzameling. Hoewel het lijkt alsof we van de ene naar de andere verzameling buitelen, zijn we eigenlijk enkel naar links of naar rechts aan het ‘glijden’, in een dimensie, op de getallenlijn van die complexere verzameling. Deze glijdende beweging wordt translatie genoemd. Nota bene: het aantal deelstreepjes in Q is veel groter, maar om voor de hand liggende redenen zoals leesbaarheid hebben we alleen iedere 1/2-ratio aangeduid.
Laten we opnieuw kijken naar de natuurlijke getallenlijn van $\mathbb{N}$. Als we het getal 1 zouden willen converteren naar een getal dat niet bestaat in $\mathbb{N}$ maar wel zou kunnen bestaan op de lijn der gehele getallen van $\mathbb{Z}$, dan kunnen we het natuurlijke getal 1 simpelweg vermenigvuldigen met een getal uit $\mathbb{Z}$, namelijk het negatieve, gehele getal $-1$. Aangezien $1\times-1=-1$, zijn we overgestapt van $\mathbb{N}$ op $\mathbb{Z}$. We ‘gleden’ van 1 naar $-1$, hoewel in een andere getallenverzameling, hetgeen wiskundig hetzelfde is als een emph{translatie} van $-2$. Dit is makkelijk uitgedrukt zijnde startende van positie 1, optelling van $-2$ en eindigend op positie $-1$ op de getallenlijn van, minstens, $\mathbb{Z}$ (maar niet $\mathbb{N}$): $1+-2=-1$. Figuur 4.2a poogt dit te tonen.
We kunnen hetzelfde uitvoeren vanaf positie $-1$ in $\mathbb{Z}$ naar een getal dat geen element is van $\mathbb{N}$, noch van $\mathbb{Z}$, maar minstens van $\mathbb{Q}$ door simpelweg te vermenigvuldigen met een breuk, zoals $-1/2$, die zelf ook geen element is van $\mathbb{N}$ of $\mathbb{N}$. Dit is, wederom, eigenlijk een translatie, maar nu door er $3/2$ bij op te tellen: $-1+3/2=1/2$. Figuur 4.2b poogt dit te tonen.
Op dezelfde wijze transformeren we positie 1 in $\mathbb{Q}$ naar $\mathbb{R}$ door bijvoorbeeld te vermenigvuldigen met $\sqrt{2}$, dat wel in $\mathbb{R}$ bestaat maar niet in $\mathbb{Q}$, en dus is het resultaat $1\times\sqrt{2}=\sqrt{2}$ element van minstens $\mathbb{R}$ doch niet $\mathbb{Q}$, noch $\mathbb{Z}$, noch $\mathbb{N}$. Het resultaat is tevens een translatie van $1+(\sqrt{2}-1)=\sqrt(2)$ in $\mathbb{R}$. Figuur 4.2c poogt dit te tonen.
4.3. RotatieVergeleken met de toenemende complexiteit van de getallenlijnen in Figuur 5, dit is de meest complexe tot nu toe. Twee Wick-rotaties in het complexe vlak C, waar (a) de Re-as de reële getallenlijn van R is en de Im-as de imaginaire eenheidslijn is van de verzameling C. Merk op dat een complex getal uit beide bestaat: a reëel deel en een imaginair deel. Bijvoorbeeld, het complexe getal z wordt geschreven in de vorm z = a + bi, met i = √-1. Het reële deel z is Re(z) = a en het imaginaire deel Im(z) = b. Dus z = 1 + i, z =1/2 + 3i, z = 3 zijn allemaal complexe getallen, waar de laatste een imaginair deel heeft waarvoor geldt Im(z) = 0, hetgeen we dan gewoon weglaten, aangezien 0i = 0. Een complex getal is dus tweedimensionaal, ingebed in een vlak met een reële as en een imaginaire as. (b) Wick-rotatie van alle reële getallen op de tijd-as naar de imaginaire as, waarmee reële tijd wordt getransformeerd tot imaginaire tijd.
Merk op dat, tot nu toe, de transformaties van het getal 1 of een ander getal het ‘glijden’ op de getallenlijnen inhield, eendimensionaal. Telkens als een nieuw type getal werd geïntroduceerd – de negatieve, gehele getallen, breuken en, ten slotte, reëele getallen – werd er een nieuwe getallenverzameling gecreëerd, als het ware, en de getallenlijn evolueerde van discrete vorm ($\mathbb{N}$) tot een lijncontinuüm ($\mathbb{R}$). De vraag is, wat zal de volgende uitbreiding zijn en hoe zou dat er uit zien?
Zoals eerder beschreven werd het in de zestiende eeuw duidelijk dat een nieuw type getal benodigd was om een groot aantal kwadratische vergelijkingen[5] op te lossen. Met dank aan mensen als Wallis, Wessel, Argand, Buée, Mourey, Warren, Français, Bellavitis, Gauss en Euler[5][6], werd het idee om de reële getallenlijn van $\mathbb{R}$ uit te breiden met een imaginaire, loodrechte getallenlijn. Dit creëerde het zogenaamde complexe vlak, soms noemt men het ’t $z$-vlak, gaussvlak of argandvlak. Het is belangrijk om vast te stellen dat de transformatie van een reëel getal in $\mathbb{R}$ naar een complex getal in $\mathbb{C}$ geen translatie maar een rotatie inhoudt. Het vermenigvuldigen van een reëel getal in $\mathbb{R}$, bijvoorbeeld 1, met een getal dat alleen in $\mathbb{C}$ bestaat, bijvoorbeeld $i$, is hetzelfde als de geometrische rotatie van onze positie 1 op de reële as ter grootte van $\pi/2$ naar de positie $i$ op de imaginaire as, zoals weergegeven in Figuur 4.3a.
Wat nu als we dit zouden doen met de gehele reële tijdas in een ruimtetijddiagram zoals getoond in Figuur 4.3b? Ieder element van de reële tijdas $t$ wordt vermenigvuldigd met $i$. Met andere woorden, ieder deel wordt geroteerd in het complexe vlak tot een volledig imaginaire tijdas $it$. Deze procedure wordt Wick-rotatie genoemd, naar de theoretisch-natuurkundige Gian Carlo Wick, die de procedure beschreef om vraagstukken in de kwantum- en statistische mechanica op te lossen[7].
Dit lijkt veelbelovend en is wat Henri Poincaré naar hintte vijftig jaren daarvoor. Voordat we verder gaan, moeten we nog een klein ding doen. Het heeft te maken met meeteenheden.
4.4. Minkowski-diagrammenDe afstand-tijd-diagram waar we allemaal mee op zijn gegroeid. De onafhankelijke variabele tijd t als de x-as en afhankelijke variabele afstand, x, als de y-as. Vier deeltjes verplaatsen zich door tijd en (eendimensionale) ruimte, ieder met z’n eigen tijdsafhankelijke afstandsfunctie, dat wil zeggen, ieder met z’n eigen snelheid. Merk op dat P de grootste afstand aflegt over dezelfde periode, met andere woorden, het is de snelste. Merk ook op dat S exact nul afstand aflegt in diezelfde periode.
We groeiden allen op te leren om het type diagram van Figuur 4.4 af te lezen tijdens onze natuurkundelessen. Tijd is geprojecteerd op de $x$-as en afstand $x$ is geprojecteerd op de $y$-as. Ietwat verwarrend, in eerste aanleg, aangezien men gewend kon zijn geraakt aan het gebruiken van $x$-waarden op de $x$-as tijdens wiskundelessen. Uiteraard leert men vervolgens dat het minder te doen is om de namen van variabelen en assen, maar eerder om wat de onafhankelijke en wat de afhankelijke variabele is. De onafhankelijke variabele, in dit geval, tijd $t$ (tijd vliegt, of we dit willen of niet) wordt dan over de as genaamd $x$ (die niet veel te maken heeft met de variabele genaamd $x$) geprojecteerd en de afhankelijke variabele, toevallig genaamd $x$, over de $y$-as.
In dit diagram zien we vier deeltjes. De snelste, $P$, verplaatst zich in de $x$-richting (en dat is omhoog, maar niet noodzakelijkerwijs de lucht in, realiseert dat!) meer eenheden van $x$ afleggend dan de andere drie nadat dezelfde hoeveelheid tijd $t$ is gepasseerd. Dit is de reden waarom het een steilere helling heeft. De langzaamste is degene die volstrekt niet beweegt, het stationaire deeltje $S$. Het verplaatst zich in de tijd, wat de reden is voor zijn bestaan op tijdstip $t_1$, terwijl het ruimtelijk niet bestaat op een bepaalde eenheden van $x$ van de oorsprong vandaan. De facto bestaat het in exact dezelfde plek, de oorsprong.
4.5. OmgedraaidEen diagram van een natuurkundige, waar ruimtelijke afstand, x, geprojecteerd is op de x-as en temporele afstand t geprojecteerd is op de y-axis. Merk op dat hoe sneller een deeltje zich voortbeweegt, des te kleiner de hoek van zijn ‘lijn’ door ruimte en tijd met de x-as. Als het deeltje stationair is, ‘reist’ het alleen door tijd en de hoek met de x-as is gemaximaliseerd op π/2. Met andere woorden, het gaat gewoon recht omhoog.
Welnu, ontwen er maar aan: blijkt dat professionele natuurkundigen de assen graag omdraaien wat de tijd aangaat. Met andere woorden, ze projecteren de afstandsvariabele $x$ op de $x$-as, terwijl de tijdvariabele $t$ bijna zonder uitzondering wordt geprojecteerd op de $y$-as. Ja, je hoorde het goed. Tijd gaat omhoog in het diagram van een natuurkundige. De zeer gewaardeerde professor Leonard Susskind, een theoretisch-natuurkundige van Stanford University, postuleerde zelfs, half-grappend, tijdens een college over het principe van de kleinste werking, dat natuurkundigen het enige type mens is die dit doet(beginfootnote)Zie https://youtu.be/3apIZCpmdls?t=1447(endfootnote). Dus, draaien we onze diagram om zoals te zien is in Figuur 4.5.
Over eenheden gesproken, normaal gesproken wordt tijd gemeten in seconden en afstand in meters. Normaliter. Hoewel, herinner je je nog dat je met je ouders die nieuwe vrienden van hen bezocht en dat een van de eerste dingen die ze na aankomst zeiden was dat hun woonplaats eigenlijk niet zo ver verwijderd was dat het slechts een uurtje of twee rijden was? Afstand, hoewel tussen twee woonplaatsen normaliter gemeten in kilometer, wordt nu uitgedrukt in tijdseenheden. Aangenomen dat mensen legaal – van deur tot deur – met een gemiddelde snelheid van $100\text{ km/h}$ rijden, zal de afstand ongeveer 200 km zijn.
Waarom drukken mensen afstand soms uit in tijd? Soms zijn mensen niet geïnteresseerd in het exacte aantal kilometer, maar richten ze hun aandacht eerder op hoeveel van de kostbare tijd iets in beslag neemt, waardoor een antwoord in termen van tijd meer zin heeft.
Astrofysici doen een andere interessante afstand-als-tijd conversie als het om afstanden tussen sterrenstelsels gaat, bijvoorbeeld. Ze werken met lichtbaar licht dat in hun telescopen valt, en andere soorten straling. Bovendien werken ze met belachelijke grote afstanden, helemaal als ze zouden worden uitgedrukt in kilometer. En dus werken ze met emph{lichtjaren}, wat een als een tijdseenheid klinkt, maar een zekere afstand aanduidt. Een lichtjaar is de afstand die licht aflegt in een Juliaans jaar, dat is $365.25$ dagen. Licht plant zich voort met een snelheid van $c=299792458\text{ ms}^{-1}$ in vacuüm. Om het aantal seconden in een Juliaans jaar te berekenen vermenigvuldigen we het aantal seconden in een minuut maal het aantal minuten in een uur maal het aantal uren per dag maal het aantal dagen in een Juliaans jaar:
\begin{align}
60\text{ s} &\times 60\text{ minuten} \times \times 24\text{ uren} \times 365.25\text{ dagen} \\
&= 31557600\text{ s}.
\end{align}
Gebruikmakende van vergelijking \eqref{eq:x=vt} om de afstand $x$ te berekenen die licht aflegt in een Juliaans jaar, verkrijgen we
\begin{align}
x &= vt \text{, en omdat }v=c\text{, schrijven we:} \\
x &= ct,\label{eq:x=ct} \\
&= 299792458\text{ ms}^{-1} \times 31557600\text{ s} \\
&= 9460730472580800\text{ m}, \\
&= 9460730472580.800\text{ km}.
\end{align}
Omdat licht deze belachelijke grote hoeveelheden kilometers bestrijkt, is het heel logisch dat astrofysici bovenstaand feit gebruiken om de afstanden van sterren en sterrenstelsels te beschrijven. Hierdoor is het dichtstbijzijnde sterrenstelsel Andromeda slechts $2.5$ lichtjaren van ons vandaan. Dit is duidelijk veel praktischer dan $23651826181452\text{ km}$.
Dus, met betrekking tot het uitdrukken van afstanden in tijdseenheden hebben we geleerd dat
in het geval van ‘normaal geschaalde’ afstanden zoals tussen twee woonplaatsen, het uitdrukken van ruimtelijke afstand in tijdseenheden het gemakkelijker maakt om te vergelijken met de hoeveelheid tijd die men wenst te spenderen aan reizen – het verwordt tot het vergelijken van tijd met tijd;
in het geval van veel groter geschaalde afstanden als tussen twee sterrenstelsels, het uitdrukken van een ruimtelijke afstand in licht-eenheden van tijd het gemakkelijker maakt om de onpraktische grote getallen van de originele eenheden toch te kunnen hanteren.
Als we weer terugkeren naar ons diagram van Figuur 4.5, zien we dat de eenheden van beide assen niet gelijk zijn. De $x$-as is de afstand, uitgedrukt in ruimtelijke eenheden, zoals meters. De $y$-as is de tijd, uitgedrukt in tijdseenheden zoals seconden. Het is lastig om de twee te vergelijken. Bovendien zijn deeltjesfysici gewend om met extreem snelle deeltjes te rekenen, nabij de lichtsnelheid, en is het onpraktisch om standaard tijdseenheden te gebruiken. Dus natuurkundigen hebben een oplossing bedacht voor beide problemen. Nummer een: wat als we de tijdseenheden in afstandseenheden zouden uitdrukken? Dus, dat is de omgekeerde situatie: niet afstand in tijdseenheden, maar tijd in afstandseenheden.
Om dat voor elkaar te krijgen, gebruiken we simpelweg de formule die gegeven is in vergelijking \eqref{eq:x=ct}: $x=ct$. Met andere woorden, als we tijd $t$ vermenigvuldigen met de lichtsnelheid $c$, verkrijgen we een afstand. Een kleine analyse van de eenheden toont aan dat dit klopt. Als we de eenheden van de lichtsnelheid vermenigvuldigen met de tijdseenheid, verkrijgen we een afstandseenheid:
\begin{equation}
\text{m,s}^{-1} \times \text{s} = \text{m,s}^{-1}\text{s} = \text{m}\frac{\text{s}}{\text{s}} = \text{m}.
\end{equation}
4.6. Tijd maal lichtsnelheid(a) De tijd-as is vermenigvuldigd met c, dus het is makkelijker om te vergelijken met ruimte, d.i. tijd is uitgedrukt in afstandseenheden. (b) We stellen c = 1 opdat de zogenaamde wereldlijn van ieder deeltje dat zich met exact de lichtsnelheid verplaatst altijd een hoek maakt van π/4 met de x-as. Of 45°, als je dat leuker vindt.
Dit houdt niet in dat we op magische wijze, kwalitatief of zelfs slechts hypothetisch de tijddimensie in een ruimtedimensie hebben getransformeerd, hoewel dit een mooi concept zou zijn voor coole science-fictionfictie, maar het betekent wel dat we nu tijd uitdrukken in afstand. En dus labelen we de $y$-as met $ct$, zoals getoond wordt in Figuur 4.6(a).
Welnu, om het tweede probleem bij de horens te vatten, waarbij natuurkundigen met deeltjes werken waarvan de botsende bewegingen de lichtsnelheid naderen op afstandsschalen kleiner dan een elektron in de buurt van zwarte gaten met krachten groter dan je ooit zal tegenkomen, blijft het onpraktisch om te werken met normale afstands- en tijdeenheden. Sterker nog, hun voorkeur gaat uit naar eenheden van $ct$ en $x$ die maken dat een ‘lijn’ van een foton, dat wil zeggen, licht, zich voortplantend door ruimte en tijd, altijd weergegeven wordt met een hoek van $\pi/4$ of $45^\circ$ met de $x$-as. Om dit te bewerkstelligen, stellen ze de snelheid van het licht op 1. Dus, $c=1$. Wat je hiermee verkrijgt, is een diagram zoals weergegeven in Figuur 4.6(b). Deeltje $P$ is een foton, die zich dus voortbeweegt met de lichtsnelheid. Hierdoor maakt zijn ‘lijn’ dus een hoek van exact $\pi/4$ radialen met zowel de $x$- als de $y$-as, oftewel respectievelijk $x$ en $ct$. Alle andere deeltjes bewegen zich dus voort met een bepaalde fractie van de snelheid van $c$, een bepaalde fractie van 1.
Dit alles zou voldoende moeten zijn om uit te vogelen hoe snel een deeltje moet zijn als zijn ‘lijn’ onder die van $P$ getekend zou worden, oftewel onder een hoek kleiner dan $\pi/4$. En hoewel je in staat zou zijn om te concluderen of dit überhaupt mogelijk is, vertellen we je nu al dat dit niet zo is.
Overigens, de term ‘lijn’, die we gebruikten om het pad van een deeltje door ruimte en tijd in onze diagrammen mee aan te duiden, wordt eigenlijk ‘wereldlijn’ genoemd, zoals Hermann Minkowski dat gewild zou hebben. En de diagrammen in de Figuren 4.5 en 4.6 worden, ter ere van hem, minkowski-diagrammen genoemd. Ze worden overigens ook wel eens ruimtetijddiagrammen genoemd, maar er is een subtiel verschil: minkowski-diagrammen zijn de subset van tweedimensionale diagrammen binnen de grotere set ruimtetijddiagrammen, die 3D- en zelfs 4D-versies bevat.
4.7. Opnieuw Wick-rotatie(a) De Wick-rotatie van de reële tijd-as ct naar de imaginaire tijd-as ict. We projecteerden het coördinatenstelsel van Figuur 4.6 ‘op de vloer’ om vervolgens de ct-as te draaien naar de imaginaire ict-as door middel van vermenigvuldiging met de imaginaire eenheid i. (b) Het gevolg is dat de wereldlijn van P ook geroteerd wordt naar het complexe vlak.
We zijn bijna klaar om de lorentztransformaties af te leiden. Het enige dat we nog moeten doen, is de reële tijdas te Wick-roteren naar de imaginaire tijdas, oftewel, we roteren de $ct$-as in Figuur 4.6. Dus, we doen zoals we deden in de paragraaf Getallenverzamelingen: we vermenigvuldigen met de imaginaire eenheid $i$ van de getallenverzameling $\mathbb{C}$, waardoor we de tijdas van $\mathbb{R}$ in het complexe vlak $\mathbb{C}$ roteren waarmee het een imaginaire tijdas wordt.
Figuur 4.7 biedt een geometrische representatie van de hele operatie. We projecteerden ons originele coördinatenstelsel van Figuur 4.6 ‘op de vloer’, zogezegd. We hebben deeltjes $Q$, $R$, en $S$ weggelaten om het leesbaar te houden. De Wick-rotatie van de reële tijdas $ct$ door vermenigvuldiging met de imaginaire eenheid $i$ levert de imaginaire tijdas $ict$ op. De wereldlijn $P$ wordt automatisch meegeroteerd naar het complexe vlak. Merk op dat de ruimtetijdcoördinaten van $P$ een aantal keer veranderd zijn in dit hoofdstuk. Ze begonnen als $(x_P,t_1)$, werden toen $(x_P,ct_1)$ en eindigden als $(x_P,ict_1)$. Dat laatste precies zoals de bedoeling is.
5. Afleiding van de lorentztransformaties5.1. Invariante wereldlijn in het complexe vlakHermanns M en Alberts E referentiekaders zijn ten opzichte van elkaar om hun oorsprong geroteerd onder hoek θ in het complexe vlak. We hebben een hulpvierkantje ingevoegd met zijden I en II om ons te assisteren bij de trigonometrische berekeningen.
Om aan het eind de lorentztransformaties te verkrijgen zoals geformuleerd in vergelijkingen \eqref{eq:Lorentz t-prime} en \eqref{eq:Lorentz x-prime} door twee referentiekaders ten opzichte van elkaar te roteren in het complexe vlak – met een imaginaire tijdas – refereren we aan Figuur 5.1.
Door beide kaders, die van Hermann en Albert, beweegt een foton zich voort met snelheid $c$. Door het tweede postulaat van Einsteins speciale relativiteitstheorie[2] weten we dat, op een of andere manier, de waarde van $c$, dat hier is gesteld op 1, dezelfde is in beide referentiekaders, hoewel de een ten opzichte van de ander beweegt, waardoor de coördinaten van de twee kaders ongelijk zijn. In Figuur 3 wordt dit gerepresenteerd door $v$. In Figuur 5.1 is dit weergegeven als een hoek $\theta$.
We zien dat de coördinaten van $P$ in $\mathcal{M}$ zijn: $(\Delta x, ic\Delta t)$. In $\mathcal{E}$ zijn ze echter $(\Delta x’, ic\Delta t’)$. Deze zijn verbonden met elkaar via een bepaalde proportie van hoek $\theta$. Voordat we deze relatie deduceren, herhalen we onze bevinding betreffende vergelijking \eqref{eq:interval}: de kwantiteit $(\Delta x)^2 – (c\Delta t)^2$ is invariant. In ons geval is het $OP$ die invariant is, ondanks dat $P$ verschillende coördinaten heeft. Met andere woorden, geometrisch, zowel $\mathcal{M}$ en $\mathcal{E}$ zijn in overeenstemming over de lengte van de gele wereldlijn zoals te zien is in Figuur 5.1. We zullen we moeten aantonen.
Laten we eerst de formulering voor de invariante gele wereldlijn $OP$ opschrijven in beide referentiekaders:
\begin{align}
\text{Hermann, staand in }\mathcal{M}\text{, zegt: }(OP)^2 &= (\Delta x)^2 + (ic\Delta t)^2, \\
\text{Albert, staand in }\mathcal{E}\text{, zegt: }(OP)^2 &= (\Delta x’)^2 + (ic\Delta t’)^2.
\end{align}
En omdat beide formuleringen uiteraard dezelfde invariante kwantiteit betreft, kunnen we schrijven:
\begin{equation}
(\Delta x)^2 + (ic\Delta t)^2 = (\Delta x’)^2 + (ic\Delta t’)^2,
\end{equation}
wat we simplificeren tot
\begin{equation}
\Delta x^2 – c^2\Delta t^2 = (\Delta x’)^2 – c^2(\Delta t’)^2.\label{eq:interval in the complex plane}
\end{equation}
Dit is het gewenste resultaat. Of je nu met imaginaire tijd of met reële tijd werkt, de kwantiteit $\Delta x^2 – c^2\Delta t^2$ blijft invariant. (Niet vergeten: $i^2=(sqrt{-1})^2=-1$.) Zelfs in het complexe vlak blijven $\mathcal{M}$ en $\mathcal{E}$ in overeenstemming over de grootte.
5.2. Coördinaten uitgedrukt met andere coördinaten
Laten we nu de coördinaten van $P$ in $\mathcal{E}$, oftewel $(\Delta x’,ic\Delta t’)$, uitdrukken in de hoek $\theta$ en de coördinaten van $P$ in $\mathcal{M}$, oftewel $(\Delta x,ic\Delta t)$. Ten eerste deduceren we een formulering voor $\Delta x’$ met hulp van Figuur 5.1:
\begin{align}
\Delta x’ &= \Delta x\cos\theta + \text{I}, \\
\text{I} &= ic\Delta t\sin\theta, \\
\therefore \Delta x’ &= \Delta x\cos\theta + ic\Delta t\sin\theta.\label{eq:delta x prime}
\end{align}
Ten tweede deduceren we een uitdrukking voor $ic\Delta t’$:
\begin{align}
ic\Delta t’ &= ic\Delta t\cos\theta – \text{II}, \\
\text{II} &= \Delta x\sin\theta, \\
\therefore ic\Delta t’ &= ic\Delta t\cos\theta – \Delta x\sin\theta.\label{eq:icdelta t prime}
\end{align}
Ten slotte, als we de relatie tussen $\theta$ in het complexe vlak en $v$ in de reële ruimtetijd willen vinden, vergeten we $P$ voor dit moment en schrijven we nu een uitdrukking op voor Albert Einstein zelve, zittend in $O’$ van zijn referentiekader $\mathcal{E}$ (de auto), uitgedrukt in de coördinaten van Hermanns referentiekader $\mathcal{M}$. Met andere woorden, hoe ziet Hermann Albert bewegen? Aangezien Albert zich niet beweegt ten opzichte van zijn eigen referentiekader $\mathcal{E}$, zoals we eerder zeiden, zal, na een zekere hoeveelheid tijd $ic\Delta t$, zijn $\Delta x’=0$. Dus, met vergelijking \eqref{eq:delta x prime}, schrijven we
\begin{equation}
\Delta x’ = \Delta x\cos\theta + ic\Delta t\sin\theta = 0.
\end{equation}
Verder uitgewerkt, levert
\begin{align}
ic\Delta t\sin\theta &= -\Delta x\cos\theta, \\
\frac{\sin\theta}{\cos\theta} &= -\frac{\Delta x}{ic\Delta t}, \\
\tan\theta &= -\frac{1}{ic}\frac{\Delta x}{\Delta t}, \\
\tan\theta &= -\frac{1}{ic}v, \\
\tan\theta &= -\frac{v}{ic}.
\end{align}
Om de imaginaire eenheid – die een onmeetbare wortel is – uit de noemer te verwijderen, vermenigvuldigen we de uitdrukking rechts van het is-gelijk-teken met $i/i$, wat oplevert:
\begin{align}
\tan\theta &= -\frac{i}{i}\frac{v}{ic}, \\
\tan\theta &= -i\frac{v}{-c}, \\
\therefore \tan\theta &= \frac{iv}{c}.\label{eq:tan theta}
\end{align}
Samengevat hebben we nu de vergelijkingen \eqref{eq:delta x prime}, \eqref{eq:icdelta t prime} verkregen, die de coördinaten van $P$ in $\mathcal{E}$ uitdrukken in de hoek $\theta$ en de coördinaten van $\mathcal{M}$. Ten slotte, we hebben de relatie \eqref{eq:tan theta} tussen hoek $\theta$ en snelheid $v$ van Alberts kader $\mathcal{E}$ verkregen, zoals gezien door Hermann in zijn kader $\mathcal{M}$. Dus, herhalend, hebben we de volgende transformaties:
\begin{aligned}
\Delta x’ &= \Delta x\cos\theta + ic\Delta t\sin\theta,&\quad\eqref{eq:delta x prime} \\
ic\Delta t’ &= ic\Delta t\cos\theta – \Delta x\sin\theta,&\quad\eqref{eq:icdelta t prime} \\
\tan\theta &= \frac{iv}{c}.&\quad\eqref{eq:tan theta}
\end{aligned}
5.3. De lorentztransformatiesDe geometrische representatie van vergelijking 42: een imaginaire driehoek met een imaginaire helling tan θ, waarbij Γ de hypotenusa is. Merk op dat sin θ = (iv/c)/Γ en cos θ = 1/Γ.
Merk op dat het algebraïsch mogelijk is om vergelijking \eqref{eq:tan theta} als
\begin{equation}
\tan\theta = \frac{iv/c}{1},
\end{equation}
te schrijven, wat geometrisch hetzelfde is als Figuur 5.3. Merk op dat $\sin\theta=(mathrm{iv/c})/\Gamma$ en $\cos\theta=1/\Gamma$, dus alles dat we nu nog hoeven te doen, is te deduceren wat $\Gamma$ is. Gebruikmakend van wederom de stelling van Pythagoras:
\begin{align}
\Gamma^2 &= 1^2 + \left(\frac{iv}{c}\right)^2, \\
&= 1 + \frac{-v^2}{c^2}, \\
\therefore \Gamma &= \sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}.
\end{align}
We kunnen nu schrijven:
\begin{align}
\sin\theta &= \frac{iv/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \\
\cos\theta &= \frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
\end{align}
Dit begint erop te lijken. We substitueren nu $\sin\theta$ en $\cos\theta$ in vergelijking \eqref{eq:delta x prime}, wat oplevert:
\begin{align}
\Delta x’ &= \Delta x \left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right) + ic\Delta t\left(\frac{iv/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right), \\
&= \frac{\Delta x}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + \frac{-v\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \\
\therefore \Delta x’ &= \frac{\Delta x-v\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.
\end{align}
Aangezien onze configuratie de afstandsverschillen worden berekend met de oorsprong, kunnen we het $\Delta$-teken weglaten, waardoor we slechts de coördinaten gebruiken en dus verkrijgen we
\begin{equation}
x’ = \frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2/c^2}},
\end{equation}
wat inderdaad vergelijking \eqref{eq:Lorentz x-prime} is.
Substitutie van $\sin\theta$ en $\cos\theta$ in vergelijking \eqref{eq:icdelta t prime} levert:
\begin{align}
ic\Delta t’ &= ic\Delta t\left(\frac{1}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right) – \Delta x\left(\frac{iv/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}\right), \\
ic\Delta t’ &= \frac{ic\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} – \frac{iv\Delta x/c}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \\
\Delta t’ &= \frac{\Delta t}{\sqrt{1-v^2/c^2}} – \frac{v\Delta x/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}, \\
\therefore \Delta t’ &= \frac{\Delta t-v\Delta x/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}.\end{align}
En dus, het $\Delta$-teken weglatend, gebruikmakend van enkel de coördinaten, verkrijgen we
\begin{equation}
t’ = \frac{t-vx/c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}},
\end{equation}
wat, inderdaad, vergelijking \eqref{eq:Lorentz t-prime} is.
Het is wel belangrijk nog op te merken dat, hoewel het niet ongebruikelijk is het $\Delta$-teken weg te laten voor het gemak, het formeel incorrect is: er is in de speciale relativiteitstheorie geen voorkeur voor een (vaste) oorsprong, dus het blijft eigenlijk altijd gaan om verschillen.
Ten slotte, het is het opmerken waard dat de term $1/\sqrt{1-v^2/c^2}$ vaak wordt aangeduid met $\gamma$ en de lorentzfactor wordt genoemd. In sommige boeken en artikelen wordt de term $v/c$ vervangen door het symbool $\beta$, wat de volgende vorm geeft aan de lorentztransformaties:
\begin{align}
ct’ &= \gamma(ct-\beta x), \\
x’ &= \gamma(x-\beta ct), \\
y’ &= y, \\
z’ &= z.
\end{align}
Dankzij de verbeelding van vele wiskundigen en natuurkundigen voor ons, is ons vermogen om te onderzoeken, te analyseren en te berekenen niet slechts denkbeeldig, en net zo soepel en kneedbaar als, inderdaad, het weefsel van de kosmos.
[1] Hawking, S. (2001) The universe in a nutshell. New York: Bantam Books. [2] Walter, S. (2014) Poincaré on clocks in motion. Amsterdam, Ne. [3] Einstein, A. (1905) “Zur Elektrodynamik Bewegter Körper,” Annalen der Physik, 322(10), pp. 891–921. doi: 10.1002/andp.19053221004. [4] Bailey, D. H. and Borwein, J. M. (2016) Pi : the next generation : a sourcebook on the recent history of pi and its computation. Switzerland: Springer. doi: 10.1007/978-3-319-32377-0. [5] Cooke, R. (2005) The history of mathematics : a brief course. 2nd edn. New York, N.Y.: Wiley. [6] Caparrini S. (2006) On the Common Origin of Some of the Works on the Geometrical Interpretation of Complex Numbers. In: Williams K. (eds) Two Cultures. Birkhäuser Basel, pp. 139-151. [7] Wick, G.C. (1954) Properties of Bethe-Salpeter Wave Functions. Physical Review, 96(4), pp. 1124-1134.
In deze serie voorbeelden hebben we te maken met matrices waarvan de eigenwaarden reële waarden blijken te zijn. Oftewel, de eigenwaarden en de eigenvectoren bevinden zich in $\mathbb{R}^n$.
Stel, de volgende matrix is gegeven:
\begin{equation*}
\mathbf{A}=
\begin{pmatrix}
\phantom{-}5 & 2 & 0 \\
\phantom{-}2 & 5 & 0 \\
-3 & 4 & 6
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
De opdracht is om de eigenwaarden en de bijbehorende eigenvectoren te berekenen.
1. Karakteristieke vergelijking
Stel eerst de karakteristieke vergelijking op en los deze vervolgens op. De gevonden oplossingen zijn de eigenwaarden van matrix $ \mathbf{A} $. Als $ \mathbf{I} $ de eenheidsmatrix (ook wel identiteitsmatrix) is van $ \mathbf{A} $ en $ \lambda $ de te vinden eigenwaarde(n), dan is de karakteristieke vergelijking:
\begin{equation*}
\det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0.
\end{equation*}
Als we die opschrijven in matrixvorm, verkrijgen we
\begin{equation} \label{eq:characteristic1}
\begin{vmatrix}
\phantom{-}5-\lambda & 2 & 0 \\
\phantom{-}2 & 5-\lambda & 0 \\
-3 & 4 & 6-\lambda
\end{vmatrix}
=0.
\end{equation}
Kies de makkelijkste rij of kolom om de determinant van de matrix van vergelijking \eqref{eq:characteristic1} te berekenen. Oftewel, hier gaan we langs de laatste kolom naar beneden. Deze kolom bevat namelijk de meeste nullen, wat de lengte van de karakteristieke vergelijking danig zal verkorten:
\begin{align*}
&0\begin{vmatrix}\phantom{-}2 & 5-\lambda \\ -3 & 4 \end{vmatrix} \\
&\quad – 0\begin{vmatrix}5-\lambda & 2 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} \\
&\qquad+ (6-\lambda)\begin{vmatrix}5-\lambda & 2 \\ 2 & 5-\lambda \end{vmatrix} = 0,
\end{align*}
en dus
\begin{equation}
(6-\lambda)\begin{vmatrix}5-\lambda & 2 \\ 2 & 5-\lambda \end{vmatrix} = 0.
\end{equation}
Als we dit verder uitwerken, verkrijgen we
\begin{align*}
(6-\lambda)[(5-\lambda)(5-\lambda)-2^2] &= 0, \\
(6-\lambda)[25-5\lambda-5\lambda+\lambda^2-4] &= 0, \\
(6-\lambda)[\lambda^2-10\lambda+21] &= 0,
\end{align*}
waardoor we een hanteerbaardere vorm van de karakteristieke vergelijking hebben gevonden:
\begin{equation}
(6-\lambda)[(\lambda-3)(\lambda-7)] = 0,
\end{equation}
waarvan de oplossingen van $ \lambda $ vervolgens makkelijk af te lezen zijn:
\begin{equation}
\therefore \lambda = 6 \vee \lambda = 3 \vee \lambda = 7.
\end{equation}
We kunnen ten slotte nog twee controles uitvoeren. De som van de gevonden waarden moet gelijk zijn aan de spoor, of trace, van $\mathbf{A}$, oftewel, de som van de hoofddiagonaal van $\mathbf{A}$:
\begin{equation*}
\text{tr } \mathbf{A}=5+5+6=16.
\end{equation*}
En inderdaad is ook de som van de gevonden waarden van $\lambda$ gelijk aan 16. Ten slotte kunnen we nog controleren of het product van de gevonden waarden gelijk is aan $\det\mathbf{A}$:
\begin{align*}
\det\mathbf{A} &= 0\begin{vmatrix}\phantom{-}2&5\\-3&4\end{vmatrix} \\
&\qquad -0\begin{vmatrix}\phantom{-}5&2\\-3&4\end{vmatrix} \\
&\qquad\quad +6\begin{vmatrix}5&2\\2&5\end{vmatrix} \\
&= 6\begin{vmatrix}5&2\\2&5\end{vmatrix} \\
&= 6(5^2-2^2) \\
&= 126.
\end{align*}
En inderdaad is ook het product van de gevonden waarden van $\lambda$ gelijk aan $6\cdot3\cdot7=126$.
2. Benoem de eigenwaarden
De eigenwaarden van matrix $ \mathbf{A} $ zijn dus $ \lambda = 6 $, $ \lambda = 3 $ en $ \lambda = 7$.
3. Eigenvectorvergelijkingen
We herschrijven nu de karakteristieke vergelijking in matrixvorm naar een stelsel van drie lineaire vergelijkingen. Omdat het de bedoeling is dat we een (of meer) eigenvector(en) $ \mathbf{v} $ gaan vinden, stel dan dat
\begin{equation} \label{eq:v01}
\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
\end{equation}
en dat
\begin{equation}
(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0}.
\end{equation}
In dat geval schrijven we
\begin{equation} \label{eq:A-lambda I times v = 0}
\begin{pmatrix}
\phantom{-}5-\lambda & 2 & 0 \\
\phantom{-}2 & 5-\lambda & 0 \\
-3 & 4 & 6-\lambda
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\mathbf{0},
\end{equation}
wat we vervolgens als een stelsel van drie lineaire vergelijkingen kunnen opstellen:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{matrix}[r]
(5-\lambda)x_1 + 2x_2 + 0x_3 = 0, \\
2x_1 + (5-\lambda)x_2 + 0x_3 = 0, \\
-3x_1 + 4x_2 + (6-\lambda)x_3 = 0.
\end{matrix}
\right.
\end{equation*}
Als we dit nog enigszins vereenvoudigen, hebben we de volgende eigenvectorvergelijkingen verkregen:
\begin{equation} \label{eq:eigenvectorvergelijkingen01}
\left\{
\begin{matrix}[r]
(5-\lambda)x_1 + 2x_2 &= 0, \\
2x_1 + (5-\lambda)x_2 &= 0, \\
3x_1 – 4x_2 – (6-\lambda)x_3 &= 0.
\end{matrix}
\right.
\end{equation}
4. Substitueer elke verkregen eigenwaarde $\boldsymbol{\lambda}$ in de eigenvectorvergelijkingen4.1. Eigenwaarde $\boldsymbol{\lambda = 3}$
Laten we beginnen met eigenwaarde $ \lambda = 3 $. Als we dit in eigenvectorvergelijkingen \eqref{eq:eigenvectorvergelijkingen01} substitueren, verkrijgen we
\begin{align*}
(5-3)x_1 + 2x_2 &= 0, \\
2x_1 + (5-3)x_2 &= 0, \\
3x_1 – 4x_2 – (6-3)x_3 &= 0.
\end{align*}
Dat kunnen we vereenvoudigen tot
\begin{align*}
2x_1 + 2x_2 &= 0, \\
2x_1 + 2x_2 &= 0, \\
3x_1 – 4x_2 – 3x_3 &= 0.
\end{align*}
Van de eerste en de tweede vergelijking blijft over: $ x_1 = -x_2 $. Laten we $x_1$ in de derde vergelijking substitueren.
\begin{align*}
3(-x_2) – 4x_2 – 3x_3 &= 0 \\
\therefore 7x_2 &= -3x_3.
\end{align*}
Met andere woorden, als $ x_2 = -3 $, dan is $ x_3 = 7 $ en $ x_1 = 3 $. We kunnen nu dus de waarden van $ \mathbf{v} $ in \eqref{eq:v01} invullen:
\begin{equation}
\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\phantom{-}3 \\
-3 \\
\phantom{-}7
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Met andere woorden, een eigenvector bij de eigenwaarde $ \lambda = 3 $ is $ \begin{pmatrix}3 & -3 & 7\end{pmatrix}^T $. (Noot: we schrijven hier met opzet een eigenvector, aangezien bijvoorbeeld de eigenvector $ \begin{pmatrix}54 & -54 & 126\end{pmatrix}^T $ ook een eigenvector is bij deze eigenwaarde. Zolang $ x_1 = -x_2 $ en $ 7x_2 = -3x_3 $, met andere woorden, zolang de verhoudingen tussen $ x_1$, $ x_2 $ en $ x_3 $ maar onveranderd blijven, is het een eigenvector die bij deze eigenwaarde hoort. De conventie is echter om de laagst mogelijke gehele waarden te hanteren.)
Dit kunnen we nog controleren door het inwendig product van $\mathbf{A}$ met de eigenvector te berekenen. Als het goed is, verkrijgen we het inwendige product met dezelfde eigenvector als resultaat, oftewel, $ \mathbf{Av}=\lambda \mathbf{v} $. Als we dit uitschrijven in matrixnotatie (waarbij we voor de duidelijkheid aangeven welk deel welke variabele is), verkrijgen we inderdaad
\begin{align*}
& \underbrace{\begin{pmatrix}
\phantom{-}5 & 2 & 0 \\
\phantom{-}2 & 5 & 0 \\
-3 & 4 & 6
\end{pmatrix}}_{\mathbf{A}}
\underbrace{\begin{pmatrix}
\phantom{-}3 \\
-3 \\
\phantom{-}7
\end{pmatrix}}_{\mathbf{v}} \\
&=
\begin{pmatrix}
5\cdot3 + 2\cdot-3 + 0\cdot7 \\
2\cdot3 + 5\cdot-3 + 0\cdot7 \\
-3\cdot3 + 4\cdot-3 + 6\cdot7 \\
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\phantom{-}9 \\
-9 \\
\phantom{-}21
\end{pmatrix}
=
\underbrace{3}_{\lambda}
\underbrace{
\begin{pmatrix}
\phantom{-}3 \\
-3 \\
\phantom{-}7
\end{pmatrix}}_{\mathbf{v}}.
\end{align*}
4.2. Eigenwaarde $ \boldsymbol{\lambda = 6} $
Op dezelfde manier vervangen we $ \lambda = 6 $ in de eigenvectorvergelijkingen van \eqref{eq:eigenvectorvergelijkingen01}. We schrijven dan de volgende drie lineaire vergelijkingen op:
\begin{align*}
(5-6)x_1 + 2x_2 &= 0, \\
2x_1 + (5-6)x_2 &= 0, \\
3x_1 – 4x_2 – (6-6)x_3 &= 0.
\end{align*}
Die kunnen we verder uitwerken:
\begin{align*}
x_1 &= 2x_2, \\
2x_1 &= x_2, \\
3x_1 &= 4x_2.
\end{align*}
We zien dat alleen $ x_1 = x_2 = 0 $ een oplossing kan vormen voor dit stelsel van gelijktijdige vergelijkingen. En omdat $ x_3 $ altijd wordt vermenigvuldigd met 0 (die komt dan ook niet langer voor in dit stelsel), kan $ x_3 $ iedere waarde aannemen. Een eigenvector die bij eigenwaarde $ \lambda = 6 $ hoort, is dan ook simpelweg $ \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\end{pmatrix}^T $. Als we dit checken met behulp van het inwendig product van matrix $\mathbf{A}$ met $ \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\end{pmatrix}^T $, verkrijgen we inderdaad $\lambda\mathbf{v}$:
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
\phantom{-}5 & 2 & 0 \\
\phantom{-}2 & 5 & 0 \\
-3 & 4 & 6
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\phantom{-}5\cdot0 + 2\cdot0 + 0\cdot1 \\
\phantom{-}2\cdot0 + 5\cdot0 + 0\cdot1 \\
-3\cdot0 + 4\cdot0 + 6\cdot1 \\
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
6
\end{pmatrix}
=
6
\begin{pmatrix}
0 \\
0 \\
1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
4.3. Eigenwaarde $ \boldsymbol{\lambda = 7} $
Vullen we $\lambda=7$ in, dan verkrijgen we
\begin{align*}
(5-7)x_1 + 2x_2 &= 0, \\
2x_1 + (5-7)x_2 &= 0, \\
3x_1 – 4x_2 – (6-7)x_3 &= 0.
\end{align*}
Dit kunnen we verder uitwerken:
\begin{align*}
x_1 &= x_2, \\
x_1 &= x_2, \\
3x_1 – 4x_2 + x_3 &= 0.
\end{align*}
Als we $ x_1 = x_2 $ substitueren in de derde vergelijking, krijgen we
\begin{align*}
3x_2 – 4x_2 &= -x_3, \\
x_2 &= x_3.
\end{align*}
En dus concluderen we dat
\begin{equation}
x_1 = x_2 = x_3.
\end{equation}
Een eigenvector die bij eigenwaarde $\lambda=7$ hoort, is dus $\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\end{pmatrix}^T$. Uiteraard kunnen we dit ook controleren:
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
\phantom{-}5 & 2 & 0 \\
\phantom{-}2 & 5 & 0 \\
-3 & 4 & 6
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
\phantom{-}5\cdot1 + 2\cdot1 + 0\cdot1 \\
\phantom{-}2\cdot1 + 5\cdot1 + 0\cdot1 \\
-3\cdot1 + 4\cdot1 + 6\cdot1 \\
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
7 \\
7 \\
7
\end{pmatrix}
=
7
\begin{pmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{pmatrix},
\end{align*}
dus dat klopt.
In deze serie voorbeelden hebben we te maken met matrices waarvan de eigenwaarden reële waarden blijken te zijn. Oftewel, de eigenwaarden en de eigenvectoren bevinden zich in $\mathbb{R}^n$.
Stel, de volgende matrix is gegeven:
\begin{equation*}
\mathbf{A}=
\begin{pmatrix}
8 & 0 & -5 \\
9 & 3 & -6 \\
10 & 0 & -7
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
De opdracht is om de eigenwaarden en de bijbehorende eigenvectoren te berekenen.
1. Karakteristieke vergelijking
Stel eerst de karakteristieke vergelijking op en los deze vervolgens op. De gevonden oplossingen zijn de eigenwaarden van matrix $ \mathbf{A} $. Als $ \mathbf{I} $ de eenheidsmatrix (ook wel identiteitsmatrix) is van $ \mathbf{A} $ en $ \lambda $ de te vinden eigenwaarde(n), dan is de karakteristieke vergelijking:
\begin{equation*}
\det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0.
\end{equation*}
Als we die opschrijven in matrixvorm, verkrijgen we
\begin{equation} \label{eq:characteristic1}
\begin{vmatrix}
8-\lambda & 0 & -5 \\
9 & 3-\lambda & -6 \\
10 & 0 & -7-\lambda
\end{vmatrix}
=0.
\end{equation}
Kies de makkelijkste rij of kolom om de determinant van de matrix van vergelijking \eqref{eq:characteristic1} te berekenen. Oftewel, hier gaan we langs de middelste kolom naar beneden. Deze kolom bevat namelijk de meeste nullen, wat de lengte van de karakteristieke vergelijking danig zal verkorten:
\begin{align*}
&-0\begin{vmatrix}9 & -6 \\ 10 & -7-\lambda \end{vmatrix} \\
&\quad + (3-\lambda)\begin{vmatrix}8-\lambda & -5 \\ 10 & -7-\lambda \end{vmatrix} \\
&\qquad- 0\begin{vmatrix}8-\lambda & -5 \\ 9 & -6 \end{vmatrix} = 0,
\end{align*}
en dus
\begin{equation}
(3-\lambda)\begin{vmatrix}8-\lambda & -5 \\ 10 & -7-\lambda \end{vmatrix} = 0.
\end{equation}
Als we dit verder uitwerken, verkrijgen we
\begin{align*}
(3-\lambda)[(8-\lambda)(-7-\lambda)-(-5)(10)] &= 0, \\
(3-\lambda)[-56-8\lambda+7\lambda+\lambda^2+50] &= 0, \\
(3-\lambda)[\lambda^2-\lambda-6] &= 0,
\end{align*}
waardoor we een hanteerbaardere vorm van de karakteristieke vergelijking hebben gevonden:
\begin{equation}
(3-\lambda)[(\lambda+2)(\lambda-3)] = 0,
\end{equation}
waarvan de oplossingen van $ \lambda $ vervolgens makkelijk af te lezen zijn:
\begin{equation}
\therefore \lambda = 3 \vee \lambda = -2 \vee \lambda = 3.
\end{equation}
We kunnen ten slotte nog twee controles uitvoeren. De som van de gevonden waarden moet gelijk zijn aan de spoor, of trace, van $\mathbf{A}$, oftewel, de som van de hoofddiagonaal van $\mathbf{A}$:
\begin{equation*}
\text{tr }\mathbf{A}=8+3-7=4.
\end{equation*}
En inderdaad is ook de som van de gevonden waarden van $\lambda$ gelijk aan 4. Ten slotte kunnen we nog controleren of het product van de gevonden waarden gelijk is aan $\det\mathbf{A}$:
\begin{align*}
\det\mathbf{A} &= -0\begin{vmatrix}9&-6\\10&-7\end{vmatrix} \\
&\qquad +3\begin{vmatrix}8&-5\\10&-7\end{vmatrix} \\
&\qquad\quad -0\begin{vmatrix}8&-5\\9&-6\end{vmatrix} \\
&= 3\begin{vmatrix}8&-5\\10&-7\end{vmatrix} \\
&= 31 \\
&= -18.
\end{align*}
En inderdaad is ook het product van de gevonden waarden van $\lambda$ gelijk aan $3\cdot-2\cdot3=-18$.
2. Benoem de eigenwaarden
De eigenwaarden van matrix $ \mathbf{A} $ zijn dus $ \lambda = -2 $ en $ \lambda = 3$.
3. Eigenvectorvergelijkingen
We herschrijven nu de karakteristieke vergelijking in matrixvorm naar een stelsel van drie lineaire vergelijkingen. Omdat het de bedoeling is dat we een (of meer) eigenvector(en) $ \mathbf{v} $ gaan vinden, stel dan dat
\begin{equation} \label{eq:v01}
\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
\end{equation}
en dat
\begin{equation}
(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0}.
\end{equation}
In dat geval schrijven we
\begin{equation} \label{eq:A-lambda I times v = 0}
\begin{pmatrix}
8-\lambda & 0 & -5 \\
9 & 3-\lambda & -6 \\
10 & 0 & -7-\lambda
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\mathbf{0},
\end{equation}
wat we vervolgens als een stelsel van drie lineaire vergelijkingen kunnen opstellen:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{matrix}[r]
(8-\lambda)x_1 + 0x_2 – 5x_3 = 0, \\
9x_1 + (3-\lambda)x_2 – 6x_3 = 0, \\
10x_1 + 0x_2 + (-7-\lambda)x_3 = 0.
\end{matrix}
\right.
\end{equation*}
Als we dit nog enigszins vereenvoudigen, hebben we de volgende eigenvectorvergelijkingen verkregen:
\begin{equation} \label{eq:eigenvectorvergelijkingen01}
\left\{
\begin{matrix}[r]
(8-\lambda)x_1 – 5x_3 &= 0, \\
9x_1 + (3-\lambda)x_2 – 6x_3 &= 0, \\
10x_1 + (-7-\lambda)x_3 &= 0.
\end{matrix}
\right.
\end{equation}
4. Substitueer elke verkregen eigenwaarde $\boldsymbol{\lambda}$ in de eigenvectorvergelijkingen4.1. Eigenwaarde $\boldsymbol{\lambda = -2}$
Laten we beginnen met eigenwaarde $ \lambda = -2 $. Als we dit in eigenvectorvergelijkingen \eqref{eq:eigenvectorvergelijkingen01} substitueren, verkrijgen we
\begin{align*}
(8-(-2))x_1 – 5x_3 &= 0, \\
9x_1 + (3-(-2))x_2 – 6x_3 &= 0, \\
10x_1 + (-7-(-2))x_3 &= 0.
\end{align*}
Dat kunnen we vereenvoudigen tot
\begin{align*}
10x_1 &= 5x_3, \\
9x_1 + 5x_2 – 6x_3 &= 0, \\
10x_1 &= 5x_3.
\end{align*}
Van de eerste en de derde vergelijking blijft over: $ 2x_1 = x_3 $. Laten we $x_3$ in de tweede vergelijking substitueren.
\begin{align*}
9x_1 + 5x_2 -6(2x_1) &= 0 \\
\therefore 3x_1 &= 5x_2.
\end{align*}
Met andere woorden, als $ x_1 = 5 $, dan is $ x_2 = 3 $ en $ x_3 = 10 $. We kunnen nu dus de waarden van $ \mathbf{v} $ in \eqref{eq:v01} invullen:
\begin{equation}
\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
10
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Met andere woorden, een eigenvector bij de eigenwaarde $ \lambda = -2 $ is $ \begin{pmatrix}5 & 3 & 10\end{pmatrix}^T $. (Noot: we schrijven hier met opzet een eigenvector, aangezien bijvoorbeeld de eigenvector $ \begin{pmatrix}30 & 18 & 60\end{pmatrix}^T $ ook een eigenvector is bij deze eigenwaarde. Zolang $ 2x_1 = x_3 $ en $ 3x_1 = 5x_2 $, met andere woorden, zolang de verhoudingen tussen $ x_1$, $ x_2 $ en $ x_3 $ maar onveranderd blijven, is het een eigenvector die bij deze eigenwaarde hoort. De conventie is echter om de laagst mogelijke gehele waarden te hanteren.)
Dit kunnen we nog controleren door het inwendig product van $\mathbf{A}$ met de eigenvector te berekenen. Als het goed is, verkrijgen we het inwendige product met dezelfde eigenvector als resultaat, oftewel, $ \mathbf{Av}=\lambda \mathbf{v} $. Als we dit uitschrijven in matrixnotatie (waarbij we voor de duidelijkheid aangeven welk deel welke variabele is), verkrijgen we inderdaad
\begin{align*}
& \underbrace{\begin{pmatrix}
8 & 0 & -5 \\
9 & 3 & -6 \\
10 & 0 & -7
\end{pmatrix}}_{\mathbf{A}}
\underbrace{\begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
10
\end{pmatrix}}_{\mathbf{v}} \\
&=
\begin{pmatrix}
8\cdot5 + 0\cdot3 + -5\cdot10 \\
9\cdot5 + 3\cdot3 + -6\cdot10 \\
10\cdot5 + 0\cdot3 + -7\cdot10 \\
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
-10 \\
-6 \\
-20
\end{pmatrix}
=
\underbrace{-2}_{\lambda}
\underbrace{
\begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
10
\end{pmatrix}}_{\mathbf{v}}.
\end{align*}
4.2. Eigenwaarde $ \boldsymbol{\lambda = 3} $
Op dezelfde manier vervangen we $ \lambda = 3 $ in de eigenvectorvergelijkingen van \eqref{eq:eigenvectorvergelijkingen01}. We schrijven dan de volgende drie lineaire vergelijkingen op:
\begin{align*}
(8-3)x_1 – 5x_3 &= 0, \\
9x_1 + (3-3)x_2 – 6x_3 &= 0, \\
10x_1 + (-7-3)x_3 &= 0.
\end{align*}
Die kunnen we verder uitwerken:
\begin{align*}
5x_1 &= 5x_3, \\
9x_1 &= 6x_3, \\
10x_1 &= 10x_3.
\end{align*}
We zien dat alleen $ x_1=x_3=0 $ een oplossing kan vormen voor dit stelsel van gelijktijdige vergelijkingen. En omdat $ x_2 $ altijd wordt vermenigvuldigd met 0 (die komt dan ook niet langer voor in dit stelsel), kan $ x_2 $ iedere waarde aannemen. Een eigenvector die bij eigenwaarde $ \lambda = 3 $ hoort, is dan ook simpelweg $ \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\end{pmatrix}^T $. Als we dit checken met behulp van het inwendig product van matrix $\mathbf{A}$ met $ \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\end{pmatrix}^T $, verkrijgen we inderdaad $\lambda\mathbf{v}$:
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
8 & 0 & -5 \\
9 & 3 & -6 \\
10 & 0 & -7
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
8\cdot0 + 0\cdot1 + -5\cdot0 \\
9\cdot0 + 3\cdot1 + -6\cdot0 \\
10\cdot0 + 0\cdot1 + -7\cdot0 \\
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
0 \\
3 \\
0
\end{pmatrix}
=
3
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
0
\end{pmatrix},
\end{align*}
dus dat klopt.
In deze serie voorbeelden hebben we te maken met matrices waarvan de eigenwaarden reële waarden blijken te zijn. Oftewel, de eigenwaarden en de eigenvectoren bevinden zich in $\mathbb{R}^n$.
Stel, de volgende matrix is gegeven:
\begin{equation*}
\mathbf{A}=
\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix}.
\end{equation*}
De opdracht is om de eigenwaarden en de bijbehorende eigenvectoren te berekenen.
1. Karakteristieke vergelijking
Stel eerst de karakteristieke vergelijking op en los deze vervolgens op. De gevonden oplossingen zijn de eigenwaarden van matrix $ \mathbf{A} $. Als $ \mathbf{I} $ de eenheidsmatrix (ook wel identiteitsmatrix) is van $ \mathbf{A} $ en $ \lambda $ de te vinden eigenwaarde(n), dan is de karakteristieke vergelijking:
\[
\det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0.
\]
Als we die opschrijven in matrixvorm, verkrijgen we
\begin{equation} \label{eq:characteristic1}
\begin{vmatrix}
5-\lambda & 0 & 0 \\
1 & 2-\lambda & 1 \\
1 & 1 & 2-\lambda
\end{vmatrix}
=0.
\end{equation}
Kies de makkelijkste rij of kolom om de determinant van de matrix van vergelijking \eqref{eq:characteristic1} te berekenen. Oftewel, begin hier met het eerste element van de eerste rij, $ 5-\lambda $. Deze rij bevat namelijk voor de rest nullen, wat de lengte van de karakteristieke vergelijking danig zal verkorten:
\begin{align*}
&(5-\lambda)\begin{vmatrix}2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} \\
&\quad – 0\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} \\
&\qquad+ 0\begin{vmatrix}1 & 2-\lambda \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0,
\end{align*}
en dus
\begin{equation}
(5-\lambda)\begin{vmatrix}2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0.
\end{equation}
Als we dit verder uitwerken, verkrijgen we
\begin{align*}
(5-\lambda)[(2-\lambda)(2-\lambda)-(1)(1)] &= 0, \\
(5-\lambda)[4-2\lambda-2\lambda+\lambda^2-1] &= 0, \\
(5-\lambda)[\lambda^2-4\lambda+3] &= 0,
\end{align*}
waardoor we een hanteerbaardere vorm van de karakteristieke vergelijking hebben gevonden:
\begin{equation}
(5-\lambda)[(\lambda-1)(\lambda-3)] = 0,
\end{equation}
waarvan de oplossingen van $ \lambda $ vervolgens makkelijk af te lezen zijn:
\begin{equation}
\therefore \lambda = 5 \vee \lambda = 1 \vee \lambda = 3.
\end{equation}
We kunnen ten slotte nog twee controles uitvoeren. De som van de gevonden waarden moet gelijk zijn aan de spoor, of trace, van $\mathbf{A}$, oftewel, de som van de hoofddiagonaal van $\mathbf{A}$:
\begin{equation*}
\text{tr }\mathbf{A}=5+2+2=9.
\end{equation*}
En inderdaad is ook de som van de gevonden waarden van $\lambda$ gelijk aan 9. Ten slotte kunnen we nog controleren of het product van de gevonden waarden gelijk is aan $\det\mathbf{A}$:
\begin{align*}
\det\mathbf{A} &= 5\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}-0\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix} \\
&= 5\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix} \\
&= 5(2\cdot2-1\cdot1) \\
&= 15.
\end{align*}
En inderdaad is ook het product van de gevonden waarden van $\lambda$ gelijk aan $5\cdot1\cdot3=15$.
2. Benoem de eigenwaarden
De eigenwaarden van matrix $ \mathbf{A} $ zijn dus $ \lambda = 1 $, $ \lambda = 3 $ en $ \lambda = 5 $.
3. Eigenvectorvergelijkingen
We herschrijven nu de karakteristieke vergelijking in matrixvorm naar een stelsel van drie lineaire vergelijkingen. Omdat het de bedoeling is dat we een (of meer) eigenvector(en) $ \mathbf{v} $ gaan vinden, stel dan dat
\begin{equation} \label{eq:v01}
\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
\end{equation}
en dat
\begin{equation}
(\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0}.
\end{equation}
In dat geval schrijven we
\begin{equation} \label{eq:A-lambda I times v = 0}
\begin{pmatrix}
5-\lambda & 0 & 0 \\
1 & 2-\lambda & 1 \\
1 & 1 & 2-\lambda
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\mathbf{0},
\end{equation}
wat we vervolgens als een stelsel van drie lineaire vergelijkingen kunnen opstellen:
\begin{equation*}
\left\{
\begin{aligned}
(5-\lambda)x_1 + 0x_2 + 0x_3 &= 0, \\
x_1 + (2-\lambda)x_2 + x_3 &= 0, \\
x_1 + x_2 + (2-\lambda)x_3 &= 0.
\end{aligned}
\right.
\end{equation*}
Als we dit nog enigszins vereenvoudigen, hebben we de volgende eigenvectorvergelijkingen verkregen:
\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
(5-\lambda)x_1 &= 0, \\
x_1 + (2-\lambda)x_2 + x_3 &= 0, \\
x_1 + x_2 + (2-\lambda)x_3 &= 0.
\end{aligned}
\right.
\label{eq:ev01}
\end{equation}
4. Substitueer elke verkregen eigenwaarde $\boldsymbol{\lambda}$ in de eigenvectorvergelijkingen4.1. Eigenwaarde $\boldsymbol{\lambda = 1}$
Laten we beginnen met eigenwaarde $ \lambda = 1 $. Als we dit in eigenvectorvergelijkingen \eqref{eq:ev01} substitueren, verkrijgen we
\begin{align*}
(5-1)x_1 &= 0, \\
x_1 + (2-1)x_2 + x_3 &= 0, \\
x_1 + x_2 + (2-1)x_3 &= 0.
\end{align*}
Dat kunnen we vereenvoudigen tot
\begin{align*}
4x_1 &= 0, \\
x_1 + x_2 + x_3 &= 0, \\
x_1 + x_2 + x_3 &= 0.
\end{align*}
Van de eerste vergelijking blijft weinig over: $ x_1 = 0 $ is de enige oplossing. De andere twee vergelijkingen zijn hetzelfde. En omdat $ x_1 = 0 $, reduceren die tot een enkele $ x_2 = -x_3 $, met andere woorden, als $ x_3 = 1 $, dan is $ x_2 = -1 $. We kunnen nu dus de waarden van $ \mathbf{v} $ in \eqref{eq:v01} invullen:
\begin{equation}
\mathbf{v} =
\begin{pmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}.
\end{equation}
Met andere woorden, een eigenvector bij de eigenwaarde $ \lambda = 1 $ is $ \begin{pmatrix}0 & -1 & 1\end{pmatrix}^T $. (Noot: we schrijven hier met opzet een eigenvector, aangezien bijvoorbeeld de eigenvector $ \begin{pmatrix}0 & -13 & 13\end{pmatrix}^T $ ook een eigenvector is bij deze eigenwaarde. Zolang $ x_2 = -x_3 $, met andere woorden, zolang de verhouding tussen $ x_2 $ en $ x_3 $ maar onveranderd blijft, is het een eigenvector die bij deze eigenwaarde hoort. De conventie is echter om de laagst mogelijke waarden te hanteren.)
Dit kunnen we nog controleren door het inwendig product van $\mathbf{A}$ met de eigenvector te berekenen. Als het goed is, verkrijgen we het inwendige product met dezelfde eigenvector als resultaat, oftewel, $ \mathbf{Av}=\lambda \mathbf{v} $. Als we dit uitschrijven in matrixnotatie (waarbij we voor de duidelijkheid aangeven welk deel welke variabele is), verkrijgen we inderdaad
\begin{align*}
& \underbrace{\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix}}_{\mathbf{A}}
\underbrace{\begin{pmatrix}
0 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}}_{\mathbf{v}} \\
&=
\begin{pmatrix}
5\cdot0 + 0\cdot-1 + 0\cdot1 \\
1\cdot0 + 2\cdot-1 + 1\cdot1 \\
1\cdot0 + 1\cdot-1 + 2\cdot1 \\
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
0 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}
=
\underbrace{1}_{\lambda}
\underbrace{
\begin{pmatrix}
0 \\
-1 \\
1
\end{pmatrix}}_{\mathbf{v}}.
\end{align*}
4.2. Eigenwaarde $ \boldsymbol{\lambda = 3} $
Op dezelfde manier vervangen we $ \lambda = 3 $ in de eigenvectorvergelijkingen van \eqref{eq:ev01}. We schrijven dan de volgende drie lineaire vergelijkingen op:
\begin{align*}
(5-3)x_1 &= 0, \\
x_1 + (2-3)x_2 + x_3 &= 0, \\
x_1 + x_2 + (2-3)x_3 &= 0.
\end{align*}
Die kunnen we verder uitwerken:
\begin{align*}
2x_1 &= 0, \\
x_1 – x_2 + x_3 &= 0, \\
x_1 + x_2 – x_3 &= 0.
\end{align*}
Ook hier levert de eerste vergelijking $ x_1 = 0 $ op. De tweede en de derde vergelijking zijn dan allebei te reduceren tot $ x_2 = x_3 $, oftewel, als $x_3 = 1 $, dan $ x_2 = 1 $. Een eigenvector die bij eigenwaarde $ \lambda = 3 $ hoort, is dan ook simpelweg $ \begin{pmatrix}0 & 1 & 1\end{pmatrix}^T $. Als we dit checken met behulp van het inwendig product van matrix $\mathbf{A}$ met $ \begin{pmatrix}0 & 1 & 1\end{pmatrix}^T $, verkrijgen we inderdaad $\lambda\mathbf{v}$:
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
5\cdot0 + 0\cdot-1 + 0\cdot1 \\
1\cdot0 + 2\cdot-1 + 1\cdot1 \\
1\cdot0 + 1\cdot-1 + 2\cdot1 \\
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
0 \\
3 \\
3
\end{pmatrix}
=
3
\begin{pmatrix}
0 \\
1 \\
1
\end{pmatrix}.
\end{align*}
4.3. Eigenwaarde $ \boldsymbol{\lambda = 5} $
Vullen we $\lambda=5$ in, dan verkrijgen we
\begin{align*}
(5-5)x_1 &= 0, \\
x_1 + (2-5)x_2 + x_3 &= 0, \\
x_1 + x_2 + (2-5)x_3 &= 0.
\end{align*}
Dit kunnen we verder uitwerken:
\begin{align*}
0x_1 &= 0, \\
x_1 – 3x_2 + x_3 &= 0, \\
x_1 + x_2 – 3x_3 &= 0.
\end{align*}
De eerste vergelijking reduceert tot $0=0$, dat is een andere manier om te zeggen dat $x_1$ logischerwijs elke waarde kan aannemen als oplossing voor die vergelijking. Als we ook de andere vergelijkingen verder uitwerken, krijgen we
\begin{align*}
0 &= 0, \\
x_3 &= 3x_2 – x_1, \\
x_2 &= 3x_3 – x_1. \\
\end{align*}
De laatste twee vergelijkingen vergen nog wat nadere uitwerking. Als we de tweede vergelijking in de derde substitueren, verkrijgen we
\begin{align*}
x_2 &= 3(3x_2 – x_1)-x_1, \\
x_2 &= 9x_2 – 3x_1-x_1, \\
8x_2 &= 4x_1, \\
x_2 &= \frac{x_1}{2}.
\end{align*}
Als we dit resultaat in de tweede vergelijking substitueren, verkrijgen we
\begin{align*}
x_3 &= 3\left(\frac{x_1}{2}\right)-x_1, \\
x_3 &= \frac{3x_1}{2}-x_1, \\
x_3 &= \frac{x_1}{2}.
\end{align*}
En dus concluderen we dat
\begin{equation}
\frac{1}{2}x_1=x_2 = x_3.
\end{equation}
Een eigenvector die bij eigenwaarde $\lambda=5$ hoort, is dus $\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\end{pmatrix}^T$. Uiteraard kunnen we dit ook controleren:
\begin{align*}
&\begin{pmatrix}
5 & 0 & 0 \\
1 & 2 & 1 \\
1 & 1 & 2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
1
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
5\cdot2 + 0\cdot1 + 0\cdot1 \\
1\cdot2 + 2\cdot1 + 1\cdot1 \\
1\cdot2 + 1\cdot1 + 2\cdot1 \\
\end{pmatrix} \\
&=
\begin{pmatrix}
10 \\
5 \\
5
\end{pmatrix}
=
5
\begin{pmatrix}
2 \\
1 \\
1
\end{pmatrix},
\end{align*}
dus dat klopt.
.jpg){kind=link}