Hoewel de bekende Archimedes al lang voor wij geboren werden de formule voor de inhoud van een bol had afgeleid, komt zo’n afleiding met gebruikmaking van bolcöordinaten en een volume-integraal niet vaak voor in studieboeken.
In dit artikel zullen we de volgende formule voor de inhoud van een bol gaan afleiden:
\begin{equation}
V = \frac{4}{3}\pi r^3,
\end{equation}
waarbij $r$ de straal is.
Dit artikel is mogelijk op het niveau van tweedejaars natuurkundestudenten.
Bolcoördinaten
Het volume van een rechthoekig blok $\delta V$ met lengte $a$, breedte $b$ en hoogte $c$ is gegeven door $\delta V = a \times b \times c$.
In Figuur 1 zie je een stuk van een bol. Hoewel de randen gekromd zijn kunnen we hier ook
\begin{equation}
\delta V \approx a \times b \times c
\end{equation}
toepassen, ook al is het een benadering.
Om bolcoördinaten te gebruiken definiëren we $a$, $b$ en $c$ als volgt:
\begin{align}
a &= PQ\delta\phi = r\sin\theta \, \delta\phi, \\
b &= r\delta\theta, \\
c &= \delta r.
\end{align}
Daarmee verwordt vergelijking (2)
\begin{align}
\delta V &\approx r\sin\theta \, \delta\phi \times r\delta\theta \times \delta r, \nonumber \\
&\approx r^2\sin\theta \, \delta\phi \, \delta\theta \, \delta r.
\end{align}
Volume-integraal
Merk op dat deze relatie nauwkeuriger wordt als $\delta\phi$, $\delta\theta$ en $\delta r$ de nulwaarde naderen. Voor het volume-integraal van een bol $B$ kunnen we daarom schrijven:
\begin{equation}
V_B = \int_B dV_B = \int_\phi \int_\theta \int_r r^2\sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi.
\end{equation}
Om de grenzen van de intervallen te bepalen merken we op dat een bol een rotatiesymmetrie heeft om de $z$-as (afgezien van de oneindige hoeveelheid andere assen door het middelpunt). Dit zullen we gebruiken. We verwijzen hier naar Figuur 2.
Ten eerste, om over een oneindige hoeveelheid punten tussen $0$ en $r$ te integreren schrijven we simpelweg dat dit het interval is:
\begin{equation*}
V_B = \int_B dV_B = \int_\phi \int_\theta \int_{r=0}^r r^2\sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi.
\end{equation*}
Ten tweede, om over een oneindige hoeveelheid punten in het vlak van hoek $\theta$ te integreren hoeven we enkel de hoeken tussen $0$ en $\pi$ in beschouwing te nemen,
\begin{equation*}
V_B = \int_B dV_B = \int_\phi \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \int_{r=0}^r r^2\sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi,
\end{equation*}
aangezien we, ten derde, overgaan op het roteren van dit vlak, zogezegd, om de $z$-as om te integreren over de oneindige hoeveelheid vlakken om deze as, die de vorm van de bol completeren. En dus, $\phi$ varieert tussen $0$ en $2\pi$.
En dus, berekenen we
\begin{align}
V_B = \int_B dV_B &= \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \int_{r=0}^r r^2\sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi, \\
&= \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \left(\frac{1}{3} r^3\sin\theta \Big|_0^r\right) d\theta \, d\phi, \nonumber \\
&= \frac{1}{3} \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} r^3\sin\theta \, d\theta \, d\phi, \nonumber \\
&= -\frac{1}{3} \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \left( r^3\cos\theta \Big|_0^{\pi} \right) \, d\phi, \nonumber \\
&= \frac{2}{3} \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} r^3 \, d\phi, \nonumber \\
&= \frac{2}{3} \left( \phi r^3 \Big|_0^{2\pi} \right), \nonumber \\
&= \frac{4}{3}\pi r^3,
\end{align}
wat het gewenste resultaat is, gelijk aan vergelijking (1).