A bit of maths and physics

Categorie: Wiskunde

Ruimten en dimensies

Zoals vaker met wetenschappelijke kreten in het dagelijks spraakgebruik, in boeken, in de bios, op tv en op internet – zoals energie – is het zelden dat het woord dimensie hetzelfde betekent als wat wis- en natuurkundigen menen dat het betekent. Het is zeer waarschijnlijk dat je wel eens de woorden ‘hogere’ of ‘andere dimensies’ hebt gezien of gehoord. Het is zelfs niet ondenkbaar dat je zelf die woorden wel eens gebezigd hebt. In deze aflevering verkennen we wat wis- en natuurkundigen bedoelen als ze het over ruimten en dimensies hebben.

Dimensies zijn geen universums

In sciencefiction en in het alledaagse spraakgebruik is het woord ‘dimensie’ vaak synoniem aan complete werelden, een (konink)rijk of pocket universes. Zo zijn buitenaardse wezens afkomstig van een andere dimensie. En zielen en/of ‘essenties’ bestaan op een ‘hoger bestaansniveau’ in een ‘andere dimensie van de realiteit’.

Regelmatig worden poorten naar andere dimensies geopend via welke exotische materie en energie worden getransporteerd waar de held of de slechterik van het verhaal gebruik of misbruik van maakt.

Het is ook een favoriete manier om grote afstanden binnen onze realiteit mee af te leggen. Je springt door een dimensionale poort en je springt duizend kilometer verderop door een andere poort. Soms kun je ook tijdreizen via andere dimensies.

En, uiteraard, kunnen dimensies ook binnen onze eigen realiteit worden opgeroepen. En soms zijn die dimensies eigenlijk al aanwezig, maar dan moeten ze alleen nog even zichtbaar gemaakt worden door een krachtige geest. Dit verwijst wederom naar dimensies als een complete wereld die verborgen is binnen onze wereld.

Figuur 1. Doctor Stephen Strange (Benedict Cumberbatch) staat op het punt om in de Mirror Dimension te stappen die was opgeroepen in (of naast) onze realiteit door zijn mentor, de Ancient One (Tilda Swinton) in de film Doctor Strange (2016) van de immens populaire Marvel Cinematic Universe (MCU). Licentie-noot. (Klik om uit te vergroten.)

Deze hele paragraaf was enkel bedoeld om je te laten weten dat wat met dimensies wordt bedoeld in de meeste sciencefiction niet hetzelfde is als wat er in de wiskunde en de natuurkunde mee wordt bedoeld. Het zijn geen rijken, realiteiten, werelden of pocket universes. Als rijken, realiteiten, werelden en pocket universes bedoeld worden, dan zijn dat precies de juiste woorden ervoor.

Normale ruimten en dimensies

Wat bedoelen wis- en natuurkundigen dan als ze het hebben over dimensies?

Vaak verwijzen ze naar echte richtingen waarin je kunt reizen in de normale ruimte. Vooral vogels en vissen zijn prachtige voorbeelden van wezens die zich van nature in alle richtingen van de ruimte kunnen voortbewegen.

Ze kunnen van links naar rechts en omgekeerd (eerste richting). Ze kunnen recht op je af komen en hun reis voortzetten achter je en omgekeerd (tweede richting). En natuurlijk kunnen ze ook van onderen aan komen zetten en doorgaan tot ver boven je schedel en vice versa (derde richting).

Vaak zijn de drie genoemde richtingen haaks op elkaar georiënteerd. Het zijn zogeheten orthogonale richtingen. Alle beweging kan beschreven worden als een combinatie van bewegingen in deze drie orthogonale richtingen, oftewel orthogonale dimensies.

Op de middelbare school hebben we uitbreid kennisgemaakt met deze drie dimensies. We werden geplaagd met het vinden van afstanden tussen hoekpunten van een kubus langs de randen, de zijvlakken of dwars door het blok. Moderne gadgets en bioscopen gebruiken in dit verband natuurlijk ook de term 3D, driedimensionaal. Zij gebruiken of simuleren de drie orthogonale dimensies op een virtuele of fysieke manier voor ons entertainment.

In wiskundig opzicht levert de mogelijkheid van reizen (of ‘transporteren’) langs deze drie orthogonale richtingen automatisch een ruimte op, een topologie, in een of andere vorm.

Dus, hoewel dimensies ruimten met zich meebrengt, zijn ze niet identiek. En hoewel uit één dimensie technisch gezien een topologie, een ruimte, voortkomt, is het nog steeds een ééndimensionale ruimte waar driedimensionale lichamen niet kunnen leven zonder uit elkaar getrokken te worden.

Figuur 2. In onze normale ruimte hebben we drie dimensies in de $x$-richting, de $y$-richting en de $z$-richting. Op de middelbare school moesten we bijvoorbeeld de afstand tussen de punten $O$ en $F$ berekenen.

Euclides en Descartes

Een informele definitie van dimensies is het aantal coördinaten dat nodig om een object te lokaliseren (in een of andere ruimte). Dus op een plat oppervlak (een vlak) zoals een plafond heb je twee coördinaten nodig om een vlieg te lokaliseren. Een vlieg kan 2 meter van de linkermuur verwijderd zijn (de eerste richting) en 3 meter van de muur tegenover je (de tweede richting, haaks op de eerste richting). De coördinaten van de vlieg zijn dus (2,3). En dus is een vlak tweedimensionaal.

In de normale, driedimensionale ruimte hebben we drie coördinaten nodig om een vlieg in een kamer te lokaliseren. Een vlieg kan 2 meter van de linkermuur verwijderd zijn, 3 meter van de muur tegenover je en 1,5 meter van de vloer. Zijn coördinaten zijn daarom (2;3;1,5). We gebruiken nu de puntkomma om de coördinaten van elkaar te scheiden omdat we de komma al voor decimalen gebruiken.

Dit was een van de grote inzichten van René Descartes terwijl hij nog tot laat in de middag in bed lag, zo gaat het verhaal althans. Daarom worden deze coördinaten Cartesische of Cartesiaanse coördinaten genoemd. Descartes speelde een sleutelrol in de ontwikkeling van wat we nu het Cartesisch coördinatenstelsel noemen.

De ruimte waar dit type coördinaten bij horen wordt Euclidische ruimte genoemd; de grote Griekse wiskundige Euclides is de vader van de Euclidische meetkunde.

Ik denk dat gesteld kan worden dat Euclides en Descartes er schuldig aan zijn dat wiskundeleraren in staat zijn gesteld om ons te plagen met honderden wiskundesommen waarmee we de Euclidische ruimte met twee- en driedimensionale Cartesische coördinatenstelsels moesten leren kennen.

Figuur 3. Het huis van Descartes in Utrecht, waar hij delen van zijn beroemde Discours de la Méthode schreef. Het huis staat er niet meer. Tegenwoordig ziet het er heel anders uit. (Klik op het plaatje voor de link naar de originele Instagrampost waar je ook naar de foto kan swipen van hoe het er tegenwoordig uitziet. Opent een nieuw tabblad.)

Ruimte en tijd

In de echte wereld, naast een locatie in de normale ruimte, is het ook nodig dat je aangeeft wanneer. Alleen de mededeling dat je ergens in een kantoor op de kruising van twee straten moet zijn, op de vierentwintigste verdieping (dat zijn de drie dimensies in de normale ruimte in een klap), is eigenlijk niet genoeg. Je mist nog een tijdcoördinaat. Wanneer moet je daar zijn?

Een van mijn favoriete boeken is Slaughterhouse-Five, or The Children’s Crusade: A Duty-Dance with Death van Kurt Vonnegut. Het meldt het bestaan van de Tralfamadorians die ‘vriendelijke waren’ en ‘in vier dimensies konden zien’. Tevens voelden ze ‘medelijden voor de aardlingen die er slechts drie kunnen zien’. Zij waren in staat om alle gebeurtenissen tegelijk te aanschouwen.

Einstein noemde het feit dat je op een bepaald tijdstip op een bepaalde plek moest zijn een gebeurtenis. Met andere woorden, waar we in de normale ruimte met Cartesische coördinaten over een positie spraken, gaf Einstein het inzicht dat er nu enkel over gebeurtenissen gesproken moet worden in termen van ruimte en tijd, de ruimte-tijd, met gebruikmaking van ruimte-tijdcoördinaten.

Toen Einstein de speciale relativiteitstheorie introduceerde, realiseerde de Duitse wiskundige Hermann Minkowski dat de theorie geometrisch ook begrepen kan worden in de vierdimensionale ruimte-tijd, waarin tijd de vierde dimensie vormt. We noemen deze ruimte de Minkowski-ruimte. Merk op dat we het woord ‘ruimte’ nu breder zien: het omspant niet alleen de normale ruimtelijke dimensies maar ook een tijd-dimensie (en is, om technische redenen, niet langer Euclidisch).

Overigens, een ander woord dat wis- en natuurkundigen vaker gebruiken is variëteit in het Nederlands en manifold in het Engels. Een variëteit is een topologisch object dat verschillende vormen kan aannemen, zoals een tweedimensionaal vlak, een driedimensionale, Euclidische ruimte, een vierdimensionale Minkowski-ruimte of ieder andere wiskundige ruimte.

In Einsteins algemene relativiteitstheorie (zwaartekracht) gebruiken we nog steeds een vierdimensionale ruimte-tijd behalve dan dat de vorm niet langer Minkowskiaans is. Deze ruimte is vervormd, gekromd, geplooid en uitgerekt. Binnen de beste theorie van de zwaartekracht die we tot nu toe hebben, werken we met de zogenaamde pseudo-riemann-variëteit, vernoemd naar de grote Duitse wiskundige Bernhard Riemann. De dimensies zijn nog steeds alle richtingen die je op kan gaan, oftewel het minimum aantal coördinaten benodigd om een gebeurtenis te lokaliseren. Echter hier zijn de dimensies niet noodzakelijkerwijs orthogonaal georiënteerd ten opzichte van elkaar.

Figuur 4. In de film Interstellar (2014) toonde de regisseur Christopher Nolan een object dat iets met ruimte en tijd van doen had. Als je de film nog niet gezien hebt en je wilt dat nog steeds doen, lees dan deze voetnoot niet: (beginfootnote)Astronaut Jospeh Cooper (Matthew McConaughey) bevindt zich in deze ruimtelijke representatie van ruimte-tijd. Alle vier dimensies van specifieke gebeurtenissen in een specifieke kamer in het verleden, het heden en de toekomst – opgedeeld in hanteerbare brokken tijd – zijn als het ware uitgespreid, geprojecteerd, over een object (een Tesseract genaamd) dat zich in het binnenste van een zwart gat bevindt (waar de rollen van ruimte en tijd zijn omgedraaid). Cooper kan zich vrijelijk door dit object voortbewegen. Dit stelt hem in staat om informatie door te sijpelen in de gebeurtenis naar keuze, in de kamer op een bepaald tijdstip. In het filmbeeld hierboven zie je vele instantiaties van dezelfde kamer van zijn huis met daarin zijn dochter, op verschillende momenten van de tijd.(endfootnote). Licentie-noot.

Vier normale, ruimtelijke dimensies

Stel je een Pac-Man voor die op het oppervlak van een bol leeft. Voor hen is de wereld plat. Als die alsmaar rechtdoor zou blijven gaan zou die behoorlijk verrast kunnen zijn als zou blijken dat die is teruggekeerd op de plek waar die begon.

Figuur 5. Stel dat je zo plat was als een Pac-Man, reizende over wat een plat vlak lijkt. Je zou waarschijnlijk verrast zijn te ontdekken dat je uiteindelijk zou eindigen waar je begon. Als je geen kennis had van de driedimensionale idee van een bol – of een cirkel, wat dat betreft – zou je niet beter weten dan dat je traject plat en recht is. Stel je voor als we iets soortgelijks in ons universum zouden doen. Wat zou er gebeuren als we miljarden jaren rechtuit zouden vliegen in ons ruimteschip? Zouden we dan ook eindigen waar je begonnen? Zou het universum dan een soort hypersfeer(beginfootnote)Technisch is het een 3-sfeer, of een n-sfeer, waarbij $n=3$ en de ruimte waarin het leeft is dan $n+1.$(endfootnote) kunnen zijn?

Wij, driedimensionale wezens die de meesten van ons zijn, zien de Pac-Mans als kleine vormpjes met kleine oppervlakjes omdat we hen ‘van boven’ zien, vanuit de derde dimensie. We kunnen tevens zien hoe ze reizen rond het oppervlak van de bol. Ze weten niet wat een sfeer is (een sfeer is enkel het oppervlak van een bol, niet de binnenkant ervan). Ze denken alleen aan platte oppervlakken. Voor ons is het vanzelfsprekend dat ze terugkeren naar de plek waar ze de reis begonnen.

Terug naar onze 3D-wereld. Stel je voor dat we met een ruimteschip door het heelal zouden reizen. In een rechte lijn. Alsmaar rechtdoor. Stel je voor dat we na miljarden jaren weer precies uitkwamen waar we ooit startten: aarde. Wat zou er gebeurd zijn? Zou ons universum misschien zoals een sfeer zijn, maar dan vierdimensionaal?

Ik kan The Fourth Dimension: Toward a Geometry of Higher Reality van harte aanbevelen. Het was een van mijn favorieten in de jaren ’90 (hoewel het al in 1984 was uitgegeven). En dan is er natuurlijk deze die door velen, zoals Carl Sagan en Stephen Hawking, werd aangehaald in het verleden.

Hoewel nog geen enkel experiment het bestaan van een vierde ruimtelijke dimensie heeft aangetoond (laat staan een vijfde of een zesde etc.), is zeer vermakelijk om je in een vierdimensionale wereld te verdiepen en er wat langer over na te denken.

Voor alle duidelijkheid: tijd is hier niet de vierde dimensie. Hier hebben we het louter over ruimtelijke dimensies. Het komt vaak voor dat deze twee verward worden: vierdimensionale ruimte-tijd is drie ruimtelijke dimensies plus een tijd-dimensie, terwijl een vierdimensionale ruimte uit vier ruimtelijke dimensies bestaat, zonder tijd.

Abstracte ruimten

Er is nog een manier waarop dimensies en ruimten worden gebruikt door wis- en natuurkundigen. Stel je een object voor dat verschillende eigenschappen tegelijk heeft: een positie (in de normale ruimte), beweging, bewegingsrichting, temperatuur, kleur. Om de toestand van dit object te beschrijven heb je meer dan alleen de vier ruimte-tijdcoördinaten nodig. Stel dat die (0,1,1,1) zijn. Oftewel, het bestaat op tijd $t = 0$ op positie $(x = 1; y = 1; z = 1).$

Hebben we nu de toestand van het hele object beschreven? Nee, we missen nog wat kengetallen. Het is in beweging, dus het heeft een snelheid, zeg 10 m/s. Die snelheid heeft ook een richting. Laat dit naar links zijn. Dan schrijven we op dat de snelheid dus -10 m/s is (links is meestal negatief, rechts meestal positief).

Stel dat de temperatuur 273,15 Kelvin is. Dat is 0 ℃. En de kleur is wit. Hoeveel getallen hebben we dan nodig om de volledige toestand van het object te beschrijven? Zeven (we tellen ‘wit’ even als een getal).

De coördinaten (0;1;1;1;-10;273,15;wit) horen bij wat we een faseruimte noemen, een abstracte ruimte waar de eigenschappen van een object de dimensies vormen van een ruimte. In dit voorbeeld is de faseruimte zevendimensionaal. Natuurlijk is het onmogelijk je zoiets voor te stellen, maar in wiskundig opzicht kun je er prima mee werken.

We hebben een wat ongebruikelijk voorbeeld genomen om te benadrukken dat dimensies niet altijd gerelateerd hoeven te zijn aan ruimtelijke en tijd-dimensies. Niettemin is het vrij gebruikelijk dat faseruimten in de context van positie en impuls worden gebruikt.

Figuur 6. Een van de mogelijke trajecten door de faseruimte rondom een zogenaamde Lorenz-aantrekker, een oplossing van een Lorenz-oscillator die Edward Lorenz ontwikkelde om atmosferische convectie te modelleren. De kleur van de oplossing wisselt van zwart naar blauw over de tijd. Het zwarte puntje toont een deeltje dat langs de oplossing beweegt over de tijd. Het driedimensionale pad in de faseruimte wordt geroteerd om de structuur van de oplossing te tonen.

Een ander voorbeeld van een abstracte ruimte is een zogenaamde vectorruimte waar iedere coördinaat niet slechts een punt is in die ruimte maar ook een richting in zich draagt. Een voorbeeld van zo’n ruimte is de snelheid van de wind. Ieder punt in die ruimte heeft niet alleen een waarde met betrekking tot de luchtsnelheid maar ook met betrekking tot de richting ervan in de normale ruimte.

In een vorige post, Complexe getallen: een inleiding, werd een geheel nieuwe getallenlijn geïntroduceerd. Alle ruimten die we zojuist noemden zouden net zo goed complexe dimensies kunnen bevatten. En dat is meestal het geval zoals in de quantummechanica bijvoorbeeld. Complexe, abstracte vectorruimten met complexe getallen waar golffuncties feesten. De Hilbertruimte is dan meestal de place to be!

Het Standaardmodel van de deeltjesfysica is gebaseerd op de symmetrische transformatiegroepen in de complexe ruimte, genaamd SU(3) $\times$ SU(2) $\times$ U(1). De S staat voor special en verwijst naar alle mogelijke transformaties in de complexe ruimte met uitzondering van een enkele soort. U(1) refereert aan een eendimensionale, eenheidscirkelgroep in het complexe vlak. De getallen geven het aantal dimensies aan waarin de transformaties plaatsvinden. De dimensionaliteit van de abstracte, complexe ruimte die volgt uit een symmetriegroep zoals SU(3) is $3^2 -1 = 8.$ Zoals je kunt zien, zijn dimensies vergeleken met het alledaagse spraakgebruik heel andere dingen in wetenschappelijke context.

Algemeen gesteld is iedere variëteit een ruimte. Dit hoeft niet per se ruimtelijke ruimte te betreffen. Het minimum aantal benodigde dimensies om een pad naar een punt op deze variëteit te construeren is de dimensionaliteit van deze ruimte.

Er zijn zoveel meer typen wiskundige ruimten dat het er te veel zijn om op te noemen. Laten we volstaan met te stellen dat hoewel ze niets van doen hebben met normale ruimte, onze alledaagse leefruimte, waar we met z’n allen in rondzwerven, deze ingenieuze vondsten wiskundige gereedschappen vormen om voorspellende berekeningen mee uit te voeren die wél weer betrekking hebben op fenomenen in onze wereld.

Snaartheorieën

Een interessante eend in de bijt is de snaartheorie, of liever, snaartheorieën. Als je de premisse accepteert dat een elementair deeltje zoals een elektron eigenlijk een eendimensionale snaar is, die op specifieke wijze trilt, corresponderend met een hele collectie eigenschappen (van het elektron bijvoorbeeld), dan zijn er automatisch meer dan drie ruimtelijke dimensies nodig om alle verschillende soorten deeltjes op deze manier te kunnen beschrijven. Snaren hebben een voldoende hoeveelheid vrijheidsgraden nodig om te kunnen bewegen op unieke manieren opdat de hele dierentuin aan deeltjes en hun eigenschappen bestreken kunnen worden.

Figuur 7. De fundamentele bouwstenen van het hele universum volgens de snaartheorie. Hoewel de theorie wiskundig consistent is, kan het (nog) niet bewezen worden.

In verschillende versies van de snaartheorieën zijn verschillende aantallen dimensies benodigd. Deze zijn ruimtelijk en onzichtbaar. Aangezien we ze niet ervaren, wordt gedacht dat ze ontzettend klein en opgerold zijn. Ze zijn althans niet zo uitgestrekt als onze normale drie dimensies.

Of dat ze zo groot zijn dat ze ons simpelweg niet merkbaar in de weg zitten. Net als hoe de kromming van de aarde ons ook totaal niet opviel toen we nog zo klein waren en de aarde zo groot, vergeleken met onze actieradius van toen.

Helaas kan de theorie nog niet getest worden. Tot nu toe is het een puur wiskundige exercitie. Hoewel veel ontdekkingen gedaan zijn in pure wiskunde, geen experiment heeft de snaartheorie bewezen (in al zijn hoedanigheden en ik reken nu de supersnaartheorieën en M-theorie hier ook onder, ook al ligt de hiërarchie andersom). Geen extra dimensies zijn gevonden.

Een eervolle vermelding verdient de Calabi-Yau-variëteit of de Calabi-Yau-ruimte. In de supersnaartheorie wordt het verondersteld de voor de theorie benodigde zes onzichtbare, extra dimensies te bevatten. De variëteit is drie-complex-dimensionaal of zes-reëel-dimensionaal. Ik vind het een cool ding.

Niets van dit alles is bewezen; het lijkt erop dat we nu eenmaal vastzitten aan de driedimensionale ruimte met slechts een tijd-dimensie. En, als je het mij vraagt, is het waarschijnlijk dat de driedimensionale ruimte een bijproduct is van iets quantumachtigs.

Figuur 8. Een Calabi-Yau-variëteit, vernoemd naar Eugenio Calabi en Shing-Tung Yau. Het is een complexe ruimte met complexe dimensies. Het brengt toepassingen in de theoretische natuurkunde met zich mee – vooral in de supersnaartheorie, waar de variëteit zes dimensies heeft. Hoewel geen experiment het bestaan ervan heeft bewezen, brengt het fascinerende, wiskundige mogelijkheden en puzzels met zich mee.

Ruimten en dimensies

Er zijn zoveel verschillende ruimten met een variëteit aan dimensies (see what I did there?) dat we hier niet genoeg papier hebben om ze op te sommen en te bespreken.

Maar wat kunnen we van dit alles meenemen? Dimensies zijn geen werelden. In de normale ruimte zijn ze de richtingen waarin objecten getransporteerd kunnen worden. Dat zijn er drie in ons geval.

Als je tijd modelleert als een dimensie, dan leven we in een vierdimensionale ruimte-tijdwereld. Behalve dan dat je niet vrijelijk kan bewegen in de tijd want is eenrichtingsverkeer(beginfootnote)Tijd is absoluut een compleet andere post waardig. Kan niet wachten.(endfootnote).

Hoewel velen hadden gehoopt op het vinden van extra ruimtelijke dimensies heeft het allergrootste experiment dat de mensheid tot nu toe heeft ondernomen, de Large Hadron Collider van het CERN, geen spoortje bewijs hiervoor kunnen vinden. In plaats daarvan heeft het overtuigend bewijs opgeleverd dat het huidige Standaardmodel van de deeltjesfysica zonder extra dimensies nog steeds klopt.

Om fenomenen ons universum te beschrijven en te voorspellen is het niettemin bijna altijd handig om hun eigenschappen als extra dimensies te modelleren. Dit heeft niets van doen met dat er werkelijk extra dimensies zijn – dit is waarschijnlijk waar de pop- en esoterische deelverzamelingen van de menselijke cultuur graag aan appelleren – maar heeft van alles te maken met het in staat stellen van het uitvoeren van calculaties in de abstracte wiskunde.

In een vorige post maakten we bijvoorbeeld gebruik van imaginaire tijd als extra dimensie om er een set vergelijkingen in de speciale relativiteitstheorie mee af te leiden. Het betekent niet dat imaginaire tijd werkelijk een extra dimensie is waarin je je ledematen of je bewustzijn kunt steken.

In snaartheorieën zijn werkelijk bestaande, ruimtelijke dimensies vereist om de theorieën werkend te krijgen. Geen van die hen kan echter worden getest (en geen van hen is getest noch bewezen). Het blijft een prachtig, wiskundig bouwwerk, maar dan ook puur wiskundig.

In toekomstige posts zullen we geometrie, de pseudo-riemann-variëteit, symmetriegroepen en de Hilbertruimte verder gaan verkennen met behulp van een beetje wis- en natuurkunde.

Licenties

De titelafbeelding en Figuren 1 zijn filmbeelden van Doctor Strange (2014) en Figuur 4 van Interstellar (2014), beiden films met auteursrechten. Verondersteld wordt dat deze stilstaande beelden getoond mogen worden onder de fair-use-bepaling van het Amerikaanse auteursrecht.

Figuur 6. Lorenz-aantrekker-animatie door Dan Quinn onder CC BY-SA 3.0

Figuur 8. Calabi-Yau-variëteit door Lunch onder CC BY-SA 2.5, vervaardigd in Mathematica

2020-07-18
Complexe getallen: een inleiding

Complexe getallen fascineren sinds de middelbare school. Het is de plek waar we van alles leren over natuurlijke, gehele, rationale, irrationale en reële getallen, echter zelden over complexe getallen. Op allerlei plekken worden ze toegepast. Zo hadden elektronische apparaten zoals die waarmee je deze post leest niet bestaan als natuurkundigen, elektrotechnici en computerwetenschappers niet op de hoogte waren geweest van het geschenk van complexe getallen van zestiende-eeuwse wiskundigen. Deze post is voor wie geïnteresseerd is in een zachte inleiding in het domein van de complexe getallen.

Verbijsterd

‘Er bestaan dingen als negatieve getallen’, lichtte mijn vader toe toen ik zes of zeven jaar moest zijn geweest, want ik zat in de tweede klas van de lagere school. Hij legde het concept uit van negatief bezit als je iemand een aantal knikkers schuldig bent terwijl je minder dan dat aantal aan knikkers daadwerkelijk in je bezit hebt. Dit was een van die ik-weet-nog-waar-ik-was-toen-momenten. Als de dag van gisteren zie ik mezelf nog zitten, op de vloer, voor de lage salontafel in de woonkamer van ons rijtjeshuis in Emmeloord.

Ik herinner me dat ik precies hetzelfde gevoel had toen mijn vader me eerder vertelde dat de aarde niet plat was en mijn moeder me daar weer voor had verteld dat we op dat moment met de auto op de zeebodem reden. Mijn schedeldak vloog eraf. Het duurde wederom lang voordat ik er eindelijk slaagde om het kwartje in die kleverige, trage hersenen van mij te laten dalen – het negatieve kwartje, welteverstaan. Wat het lastig maakte, was het feit dat je negatieve getallen niet kon ‘zien’ zoals de andere getallen, zoals bij lengtes of het aantal knikkers(beginfootnote)Op een of andere manier had ik er niet aan gedacht dat temperatuur natuurlijk kon dalen onder nul – iets dat toentertijd nog regelmatig flink gebeurde, toen we iedere winter nog op bevroren meren, vijvers, rivieren en slootjes konden schaatsten.(endfootnote).

Vol enthousiasme vertelde ik de juffrouw van mijn lagere school over negatieve getallen. Ze knikte slechts en gebood me toen om m’n taken af te maken – de saaie vorm van rekenkunde. Ze had een punt aangezien ik er niet goed in was.

Toen ik vijftien of zestien was, kwam ik het begrip complexe getallen tegen in een populair-wetenschappelijk boekje over kwantummechanica. Het feit dat ze ‘complex’ werden genoemd, wekte mijn nieuwsgierigheid op; ik nam foutief aan dat het betrekking had op de moeilijkheidsgraad van de soort getallen. Maar wat het meest fascineerde was dat er kennelijk zogenaamde imaginaire getallen bestaan! Ik had weer precies datzelfde gevoel. Mijn schedeldak smolt. Alles hieraan straalde een soort magische kracht uit. Wat was dit voor hekserij? Zou dit een poort kunnen vormen naar andere dimensies?

De volgende dag vertelde ik vol enthousiasme mijn leraar wiskunde op de middelbare school hierover, meneer Es – Es is niet zijn werkelijke naam maar het was zijn tweeletterige code in ons rooster. Ik vond het zowel terecht als toepasselijk dat Es ook het symbool is voor het element Einsteinium in het periodieke systeem. Omdat zijn voornaam ook nog overeenkwam, grapten mijn vrienden en ik wel eens dat we, desgevraagd, op weg waren naar de les van Albert Einstein.

Meneer Es deed wat iedere goede leraar doet als een scholier geënthousiasmeerd raakt over iets in hun vakgebied: hij moedigde het aan – in zijn geval door zijn oude leerboek van toen hij een eerstejaarsstudent wiskunde was in Amsterdam aan mij uit te lenen. Het was een inleiding over complexe getallen op wat we tegenwoordig undergraduate-niveau noemen.

Het bewuste leerboek. (Klik om uit te vergroten.)

Tot mijn schaamte moet ik bekennen dat ik het eigenlijk nooit terug heb gegeven. Dit was een van die gevallen waarbij ik, na de zoveelste verhuizing, dacht, omg, heb ik dit boekje nooit teruggegeven? Ik heb het altijd gekoesterd. Het heeft een speciale betekenis voor me. Het symboliseert die ene keer dat ik gezien werd, erkend werd in wat mij op dat moment inspireerde. Een ding dat ik niet echt kon delen met vrienden of andere mensen in mijn nabijheid, deelde ik plots met een heel intelligent persoon wiens naam werd aangeduid met het symbool voor Einsteinium.

Dankzij de wonderen van het internet geraakten we weer met elkaar in contact, ongeveer vijfentwintig jaar later. Ik biechtte op dat ik het boekje dus altijd had gehouden en bood mijn verontschuldigingen aan. Hij bleek zich inderdaad afgevraagd te hebben waar het was gebleven; hij had het aan iemand willen uitlenen. Maar ik kon het houden, aangezien hij toch de zolder verder aan het opruimen was. En hij was blij te zien dat wiskunde me ook in het latere leven blijvend geïnteresseerd had.

Ik voel me er nog steeds een beetje schuldig onder. Iemand anders had geïnspireerd kunnen raken zoals ik dat was. En nu ben ik er mogelijk schuldig aan dat dit in elk geval niet door zijn boekje zou komen. Dus wie je ook bent, mijn excuses!

Ik hoop op een dag dat ik op mijn beurt in staat zal zijn om een vonkje te doen overspringen voor de prachtige wiskunde van complexe analyse bij anderen. Ik hoop ook dat u, lezer, wellicht een fractie van de verwondering ervaart die ik voelde en dat het concept van ‘getallen’ er een zal blijken te zijn dat voorbij gaat aan uw imaginatie(beginfootnote)Ik had het niet gedacht, maar het is een correct Nederlands woord.(endfootnote).

Getallenverzamelingen

We zijn allemaal bekend met de natuurlijke getallen die we gebruiken om dingen mee te tellen. 1, 2, 3 etc. Sommige wiskundigen vinden dat 0 hierbij hoort, andere vinden van niet. Hoe dan ook betreft het hier de wiskundige verzameling die we dus de natuurlijke getallen noemen en we aanduiden met het symbool $\mathbb{N}$.

Mijn vader vertelde me vervolgens dat er dus zoiets bestaat als negatieve getallen, zoals -1, -2, -3, etc. Als je de natuurlijke getallen neemt en daaraan toevoegt deze verzameling negatieve getallen (inclusief de 0, voor zover dat nog niet gebeurd was), dan is het resultaat een geheel nieuwe getallenverzameling die we de gehele getallen noemen, aangeduid met het symbool $\mathbb{Z}$.

Om duidelijk te maken dat $\mathbb{N}$ een deelverzameling is van $\mathbb{Z}$, passen wiskundigen het symbool $\subset$ toe. Met andere woorden, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$, oftewel, de natuurlijke getallen vormen een deelverzameling binnen de gehele getallen.

En dan zijn er natuurlijk de verhoudingsgetallen, de quotiënten, de breuken. Tussen 1 en 2 heb je 1,5 bijvoorbeeld. Dus in breuknotatie is dat $\frac{3}{2}$. Uiteraard zijn dat geen gehele getallen. Het zijn zogenaamde rationale(beginfootnote)Regelmatig hoor en lees ik ‘rationale’ en ‘rationaal’ verward worden met ‘rationele’ en ‘rationeel’. Begrijpelijk, maar dat zijn dus verschillende zaken.(endfootnote) getallen, naar het Latijnse ratio, omdat ze kunnen worden opgeschreven als een quotiënt van gehele getallen, een verhouding, een breuk. Deze getallenverzameling wordt gesymboliseerd door $\mathbb{Q}$. We hebben nu $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q}$.

Het is goed om hier op te merken dat deze notie van deelverzameling-van-een-deelverzameling leidt tot de misschien onverwachte conclusie dat ook 9 dus een rationaal getal is. Aan de oppervlakte is het een natuurlijk getal, of een geheel getal. Maar onder de oppervlakte kan het uiteraard ook opgeschreven worden als een rationaal getal: $9 = \frac{9}{1} = \frac{18}{2} = \frac{36}{4}$, bijvoorbeeld (en oneindig veel meer).

We zijn er nog niet. Breuken als 1,5 en 3,2 zijn eindig. Maar wat als de decimalen achter de komma maar niet stoppen? Wat als je getallen hebt die je niet kan opschrijven als een breuk, zoals de getallen $\pi$ en $\sqrt{2}$? Deze getallen noemen we de irrationale(beginfootnote)En nee, het heeft niets met ‘irrationeel’ te maken!(endfootnote) getallen. Dit betreft dus alle getallen die niet rationaal zijn. Hier is niet echt een symbool voor(beginfootnote)Het is niet ongebruikelijk dat wiskundigen dan $\mathbb{R} \backslash \mathbb{Q}$ schrijven.(endfootnote).

Er is wel een symbool voor alle natuurlijke, gehele, rationale en irrationale getallen samen(beginfootnote)Het klopt, beste wiskundige, dat ik transcendentale getallen oversla (en ook de algebraïsche getallen, wat dat betreft). Aangezien alle transcendentale getallen irrationaal zijn, maar niet alle irrationale getallen transcendentaal, besloot ik dat het mijn schematische weergave onnodig zou compliceren in wat een inleidende tekst moet zijn over toch al voldoende complexe zaken.(endfootnote). Al deze deelverzamelingen samen vormen wat we de reële getallen noemen en worden aangeduid met $\mathbb{R}$. Dit is de verzameling waarmee we feitelijk allemaal bekend zijn en waar we voortdurend in rekenen. We hebben nu dus $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}.$$

De verzameling der reële getallen $\mathbb{R}$ bevat alle getallen. Of toch niet?

Het geheim van del Ferro, del Fiore, Tartaglia en Cardano

U raadt het al. Hier komen ze, de complexe getallen. Laten we eerst een heel klein beetje wiskunde doen. Herinnert u zich wat het kwadraat van een getal is? En vervolgens wat de wortel van een getal is? Wat is de wortel van 64, oftewel, $\sqrt{64}$? Ja, 8, heel goed. Want 8 keer 8, oftewel 8-kwadraat, oftewel $8^2$ is gelijk aan 64.

Mooi. Stel nu dat $x^2 = 64$, wat is $x$ dan? Hier doen we precies hetzelfde. We ont-kwadrateren $x$ door de wortel te trekken van $x^2$. En vanwege het =-teken, moeten we dat natuurlijk ook doen bij het getal achter het =-teken. Dus, $\sqrt{x^2} = \sqrt{64}$, en dus krijg je $x = 8$.

Dit soort sommetjes werden meestal gecombineerd met de praktische toepassing van het berekenen van de lengte van de zijden van het vierkante stuk land dat de boer bezit. Stel dat de oppervlakte van de vierkante akker is 64 vierkante kilometer. Hoe groot is dan een zijde van dat stuk land? Dat is dus 8 kilometer.

Al deze berekeningen vinden plaats in de wereld van $\mathbb{R}^+$, het positieve deel van alle reële getallen. Merk op dat geen oppervlak negatief kan zijn. Met andere woorden, een vierkant stuk land kan niet -64 vierkante kilometer groot zijn – dat is natuurlijk onzin. Tevens heeft de wortel uit -64 geen oplossing. Het is niet -8, want -8 keer -8, oftewel $(-8)^2$, is simpelweg weer gelijk aan 64 en niet -64, want een negatief getal vermenigvuldigd met een negatief getal is gelijk aan een positief getal zoals we bespraken in een eerdere post.

Tartaglia

Ergens in de zestiende eeuw, ergens in Italië, loste Scipione del Ferro, lesgevend aan de Universiteit van Bologna, een probleem op dat hiermee te maken had. Het betrof hier niet een kwadratische maar een derdegraadsvergelijking. Waar wij uit ons hoofd de oplossing voor de kwadratische of tweedegraadsvergelijking $x^2 = 64$ konden vinden, vond del Ferro oplossingen voor een derdegraadsvergelijking zoals $x^3 + x^2 + 6x + 3 =0$. Del Ferro stond erom bekend nooit iets van zijn oplossingen en bewijzen te willen publiceren. Hij hield een geheim notitieboekje bij en dat was het dan.

Cardano

Op zijn sterfbed deelde hij echter het geheim om de vergelijking op te lossen met zijn pupil Antonio Maria del Fiore. Die laatste daagde vervolgens de op dat moment in Venetië wonende Niccolò Fontana Tartaglia uit om het op te lossen. Tartaglia had het echter al even daarvoor zelf al opgelost. Hij vertrouwde Gerolamo Cardano, de op dat moment in Milaan gevestigde alleskunner en genie, vervolgens de oplossing toe in de vorm van niets minder dan een gedicht! Het was echter alleen de oplossing, maar niet het bewijs. Uiteraard was Cardano vervolgens zelf in staat om het bewijs te reconstrueren. Aangezien hij ontdekte dat de inmiddels overleden del Ferro de oplossing ook al had gevonden, besloot hij om zijn eigen versie te publiceren in zijn Ars Magna in 1545. Tartaglia nam hem dat niet in dank af.

En wat was nu het geheim waar al deze enorme hersens zo geheimzinnig over deden? Een nieuw getal.

imaginair

Laten we een iets simpeler voorbeeld nemen. Stel dat we de volgende simplistische kwadratische vergelijking hebben: $x^2 -4 = 0$. Om het op te lossen, ‘verplaatsen’ we de 4 naar de andere kant van het =-teken door 4 aan beide kanten erbij op te tellen: $x^2 -4 +4 = 0 + 4$, wat dan simpelweg verwordt tot $x^2 = 4$. Als je de wortel trekt aan beide zijden van het =-teken, verkrijg je $\sqrt{x^2} = \sqrt{4}$. De oplossing is dus $x=2$ en/of $x=-2$ (want -2 keer -2 is ook 4).

Goed. In feite probeerden de wiskundigen van de zestiende eeuw ook oplossingen te vinden voor een variant hierop: $x^2 + 4 = 0$. Laten we wederom de 4 naar de andere kant halen door nu 4 af te trekken van beide zijden: $x^2 + 4 – 4 = 0 – 4$, wat $x^2 = -4$ oplevert. Wederom is de vraag, wat is $x$?

Laten we ook hier weer de wortel proberen te trekken van beide zijden: $\sqrt{x^2} = \sqrt{-4}$. Halt. Stop. Wat is de wortel van -4? Wat is de wortel van een negatief getal?

We verkeren nu in dezelfde situatie als die waarbij we de wortel van een negatief oppervlak proberen te trekken. Het antwoord kan niet -2 zijn, want -2 keer -2 is niet -4. Wat nu?

Vóór Del Ferro, Tartaglia en Cardano zouden mensen hebben geconcludeerd dat er simpelweg geen oplossing bestaat. Maar dankzij hen kunnen we het nu wel oplossen! Het antwoord ligt in de volgende definitie: $$i^2 = -1.$$

Dit bedrieglijk eenvoudige concept stelt ons in staat om $x^2 = -4$ op te lossen. We kunnen dan namelijk schrijven $x = 2i$ en/of $x = -2i$.

Laten we de eerste oplossing bekijken. Als we dit kwadrateren krijgen we $x^2 = (2i)^2$, wat we ook kunnen schrijven als $x^2 = 2^2i^2$. Aangezien $i^2 = -1$ kunnen we dit substitueren zodat we verkrijgen: $x^2 = 2^2(-1)$ en dat is natuurlijk $x^2 = -4$. Tadaa! We zien dat $x= 2i$ dus een oplossing is voor $x^2 = -4$.

Hetzelfde geldt voor de andere oplossing $x = -2i$. Als we dit kwadrateren, verkrijgen we $x^2 = (-2i)^2$, en dat kunnen we schrijven als $x^2 = (-2)^2i^2 = 4i^2$. En als we ook hier weer $i^2 = -1$ substitueren, krijgen we $x = 4(-1) = -4$. Tadaa!

Welnu, wat voor duivels concept is dit $i^2 =-1$? De letter $i$ staat voor ‘imaginair’ en $i$ wordt een imaginair getal genoemd.

Aangezien $i^2 = -1$ kunnen we concluderen(beginfootnote)Eigenlijk geef ik er de voorkeur aan $i^2 = -1$ te schrijven boven $i = \sqrt{-1},$ hoewel die laatste ook vaak gebruikt wordt in studieboeken. Ik vind het een tikkeltje verwarrend. Aangezien de regel is dat $\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ waar $a$ en $b$ positieve, reële getallen zijn, zou je kunnen denken dat het ook van toepassing is op de negatieve, reële getallen, zoals wanneer $a=b=-1$. In dat geval zou je echter de onjuiste stelling $\sqrt{-1} \sqrt{-1} = \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1$ verkrijgen, terwijl het natuurlijk eigenlijk $-1$ moet zijn. Daarom probeer ik de notatie $i = \sqrt{-1}$ zoveel mogelijk te vermijden.(endfootnote) dat $i = \sqrt{-1}$. En dit is het verbluffende van de hele situatie: hoe kun je dan in hemelsnaam de wortel trekken van een negatief getal? Hoe bereken je de wortel van een negatief oppervlak? Het antwoord is: dat kan niet. Tenminste… niet in de wereld van de reële getallen $\mathbb{R}$. Inmiddels hebben we ons vertrouwde slootje aan de rand verlaten en zetten we onze eerste stappen in het uitgestrekte landschap van de complexe getallen. Dag $\mathbb{R}$, welkom in $\mathbb{C}$.

Enkele voorbeelden van complexe getallen: $2i$, $\frac{2}{3}i$, $i\sqrt{2}$, $i \pi$ en $-0,25i$. Bovendien kun je een reëel getal zoals 3 erbij optellen. Dat doe je zo: $3 + 2i$ of $3 + \frac{2}{3}i,$ etc. Deze combinaties zijn ook complexe getallen. Je kunt het en hoeft het niet verder te vereenvoudigen.

Een complex getal $z$ heeft de vorm $z = a + bi,$ waarbij $a$ en $b$ reële getallen zijn en $i^2 = -1.$ Het eerste reële getal, $a$, is het zogenaamde reële deel van $z$. Het tweede reële getal, $b$, is het zogenaamde imaginaire deel van $z$. De verzameling van alle complexe getallen wordt aangeduid met $\mathbb{C}$.

En aldus hebben we nu

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}.$$

Merk op dat ieder reëel getal een complex getal is maar niet ieder complex getal is een reëel getal. Dat is wat het zijn van een deelverzameling van een andere verzameling betekent. Zo is bijvoorbeeld het reële getal 9 een complex getal waarbij $b =0$. Met andere woorden, het reële getal 9 kan worden geschreven als het complexe getal $9 + 0i$; het laatste, imaginaire deel valt weg want alles vermenigvuldigd met 0 is 0, dus houden we het getal 9 over. Het is dus naast complex ook reëel.

Echter, $z = 3 + 2i$ is geen reëel getal aangezien het imaginaire deel is niet gelijk aan 0. Dus $z$ is hier exclusief een complex getal.

Complexe vlak

Grafisch kun je de reële getallen van $\mathbb{R}$ zien als een punt op de getallenlijn.

Waar laat je dan de complexe getallen?

Dankzij mensen als Wallis, Wessel, Argand, Buée, Mourey, Warren, Français, Bellavitis, Gauss en Euler kreeg op een gegeven moment het antwoord op deze vraag zijn geometrische vorm[1]. Het idee is dat de reële getallenlijn werd uitgebreid met een imaginaire getallenlijn die loodrecht staat op de reële getallenlijn. Het resultaat is het zogenaamde complexe vlak, soms ook het argandvlak, gaussvlak of de $z$-plane genoemd.

Een complex getal zoals $z = 3 + 2i$ ‘omvat’ het getal $3$ langs de reële as en langs de imaginaire as het imaginaire getal $2i$. Een complex getal wordt dus altijd gerepresenteerd door een punt in een tweedimensionale ruimte. Merk op dat alle getallen binnen de deelverzamelingen van de complexe getallen, oftewel $\mathbb{R}$ tot en met $\mathbb{N}$, eveneens kunnen worden gerepresenteerd in dit tweedimensionale, complexe vlak – de punten liggen echter precies op de reële as.

Berekeningen met complexe getallen verwerden hiermee tot geometrische problemen! Wat dat betreft, een van de mooiste vergelijkingen in de wiskunde (wat mij betreft, althans) heeft betrekking op trigonometrie in het complexe vlak en heet de Formule van Euler.

Meer dan imaginair

Het is wat ongelukkig dat het getal $i$ en ieder product hiermee imaginaire getallen worden genoemd. De bekende Franse filosoof en wiskundige René Descartes was de eerste die de term toepaste omdat hij meende dat de getallen illusoir waren. Zelfs Cardano had de getallen al als duistere, derderangs soort dingen bestempeld[2].

Het is wat ongelukkig omdat het woord tegenwoordig onnodige, semantische ambiguïteit met zich meebrengt. Ik begrijp waar het vandaan komt: je zult nooit zoiets als $\sqrt{-1}$ in de echte wereld tegenkomen. Aan de andere kant zul je ook nooit zoiets als $\sqrt{2}$ tegenkomen en toch kan dat precies de lengte van de schuine zijde van een rechthoekige driehoek zijn waar een handige doet-het-zelver haar hand niet voor omdraait. Voor mij is een reëel getal zoals $\pi = 3.1415926535897 \dots$ waarvan de decimalen nooit stoppen net zo echt als ‘imaginaire’ getallen echt zijn (en vice versa). Cirkels bestaan er niet minder om en met $\pi$ kun je er prima berekeningen op loslaten. Welnu, met imaginaire getallen kun je er net zo goed berekeningen op loslaten.

Complexe getallen worden toegepast in een scala aan wetenschappen. In Einsteins relativiteit die bijvoorbeeld GPS-navigatie mogelijk maakt, kun je gebruik maken van zogenaamde imaginaire tijd. Het klinkt als iets dat rechtstreeks uit een sciencefictionroman afkomstig is, maar het is een prima gedefinieerd concept. Zo hebben we in een vorige post een afleiding gegeven van een centrale set vergelijkingen in zijn speciale relativiteitstheorie, de Lorentztransformaties, met behulp van imaginaire tijd.

In de kwantummechanica – de succesvolste theorie tot nu toe – kom je complexe getallen overal tegen. Zonder die getallen zouden computers, mobiele telefoons, tablets, de tv, de videorecorder, zelfs de moderne koelkast niet hebben bestaan aangezien elektrotechnici niet in staat waren geweest computerchips te bouwen. De golffunctie is een complexe functie in een complexe Hilbertruimte die complexe waarschijnlijkheidsamplitudes aanneemt en evolueert volgens de Schrödingervergelijking, die zelf een complexe vergelijking is.

In de wiskunde vervullen complexe getallen een centrale rol in de bekendere onderzoeksgebieden als niet-lineaire, complexe, dynamische systemen. De uitgelichte titel-illustratie hierboven is een detail van de beroemde Mandelbrotverzameling. Het is een speciale verzameling van complexe getallen die op kleurrijke wijze geprojecteerd zijn in het complexe vlak. De studie van niet-lineaire, complexe dynamica informeert tevens de studie van allerlei soorten patronen in de natuur en in groei, zelfs in weersvoorspellingen en klimaatwetenschap. Op een andere manier hebben we zelf nog complexe getallen toegepast in het berekenen of een laboratoriumcentrifuge met $n$ beschikbare plekken gebalanceerd ingepakt kan worden met een $k$ aantal reageerbuisjes.

Een andere leuke toepassing van complexe getallen is bij computergames. Om de driedimensionale rotaties in een driedimensionale ruimte te berekenen, maken computerprogrammeurs gebruik van quaternionen – uitbreidingen van de complexe getallen. Een quaternion is een expressie in de vorm van $a + bi + cj + dk$, waarbij $a,b,c,d$ ieder reëel getal zijn en $i^2 = j^2 = k^2 = -1.$ Echter is dit wellicht een interessant onderwerp voor another bit of maths and physics.

[1] Cooke, R. (2005) The history of mathematics : a brief course. 2nd edn. New York, N.Y.: Wiley.

[2] Open University (2014) Essential mathematics 1. Milton Keynes: Open University.

Images

Uitgelichte foto: Mandelbrot set – Step 6 of a zoom sequence door Wolfgang Beyer onder CC BY-NC-SA 2.0; aangepast voor layout.

Hinken (Hopscotch Game) door ncassullo.

Niccolò Fontana Tartaglia. Rijksmuseum, Dutch National Museum. Public domain.

Girolamo Cardano. Wellcome Images onder CC BY 4.0.

2020-07-05
Het Vermoeden van Collatz
Het Vermoeden van Collatz is waarschijnlijk een van de makkelijkst te begrijpen problemen waarvan niettemin nog nooit in de geschiedenis der wiskunde de geldigheid is bewezen. Het mooie is dat een leerling in de laatste groep van de basisschool heel goed in staat is om de berekeningen uit te voeren, terwijl zelfs de grootste wiskundige geesten nog niet in staat zijn gebleken om te bewijzen of en zo ja, waarom het Vermoeden van Collatz waar is of niet. Wijlen de grote Hongaarse wiskundige Paul Erdős wordt vaak geciteerd: ‘Wiskunde is waarschijnlijk niet voorbereid op dit soort problemen.’[1]
De regels

Er bestaat enige controverse over of het werkelijk de productieve Duitse wiskundige Lothar Collatz was die als eerste op het idee kwam in 1937, twee jaar na zijn promotie tot doctor in de wiskunde. Het is mede hierom ook bekend als het ‘3n + 1 probleem’, het Vermoeden van Ulam, het Probleem van Kakutani, het Vermoeden van Thwaites, Hasse’s Algoritme of het Probleem van Syracuse. Mocht je vermoeden dat de meeste benamingen verwijzen naar andere mensen, dan klopt dat.

De regels van het Vermoeden zijn zo eenvoudig dat het niet onwaarschijnlijk is dat velen hetzelfde idee kregen, onafhankelijk van elkaar.

De regels zijn als volgt:
1. Neem ieder positief, geheel getal.
2. Doe een van de volgende dingen:
  - als het een even getal is, deel het door 2;
  - als het een oneven getal is, vermenigvuldig met 3 en tel er 1 bij op.
3. Doe met het antwoord een van de volgende dingen:
  - als het antwoord 1 is, stop;
  - als het antwoord niet 1 is, gebruik dan het antwoord om terug te gaan naar stap 2 om er opnieuw een van de twee handelingen mee uit te voeren. En zo verder.
Het Vermoeden luidt als volgt: ongeacht welk positief, geheel getal je neemt als startpunt, ongeacht het aantal stappen die doorlopen moeten worden, je komt altijd uit bij 1.

(Als je door zou gaan met het getal 1, zou je simpelweg een klein cirkeltje maken en in drie stappen weer terugkeren bij 1, tot het einde der tijden. Dat zou een beetje dom zijn, dus stop er dan gewoon mee.)

Voorbeeld

Laten we het eens in de praktijk bekijken. Laten we beginnen met 10.
10 is even; gedeeld door 2 is 5.
5 is oneven; vermenigvuldigd met 3 plus 1 is 16;
16 is even; gedeeld door 2 is 8.
8 is even; gedeeld door 2 is 4.
4 is even; gedeeld door 2 is 2.
2 is even; gedeeld door 2 is 1. We zijn er!

Dit kostte 6 stappen. Je kunt zelf een paar getallen proberen, als je wilt. Dat wil zeggen, je kunt de computer, de telefoon of de tablet het saaie werk laten doen. Dat kan hier.

Visualisatie

Zoals je misschien al wel zag via de voorgaande link is het mogelijk om de stappen te visualiseren die geproduceerd worden door het Collatz-algoritme. Hier laten we snel enkele alternatieven de revue passeren voordat we de bekendste visualisatie bespreken, die van Edmund Harriss (waar we een JavaScript-applet voor schreven, hoera!).

Stel dat we de voortgang van de resultaten van ons voorbeeld hierboven willen visualiseren. We begonnen met 10. Dat ziet er uit zoals hieronder weergegeven. Zoals je ziet, fluctueert de waarde een beetje voordat het neerdaalt naar 1:

Kijk nu eens naar de volgende Collatz-sequentie. We beginnen bij 8000. De numerieke progressie is dan 8000 → 4000 → 2000 → 1000 → 500 → 250 → 125 → 376 → 188 → 94 → 47 → 142 → 71 → 214 → 107 → 322 → 161 → 484 → 242 → 121 → 364 → 182 → 91 → 274 → 137 → 412 → 206 → 103 → 310 → 155 → 466 → 233 → 700 → 350 → 175 → 526 → 263 → 790 → 395 → 1186 → 593 → 1780 → 890 → 445 → 1336 → 668 → 334 → 167 → 502 → 251 → 754 → 377 → 1132 → 566 → 283 → 850 → 425 → 1276 → 638 → 319 → 958 → 479 → 1438 → 719 → 2158 → 1079 → 3238 → 1619 → 4858 → 2429 → 7288 → 3644 → 1822 → 911 → 2734 → 1367 → 4102 → 2051 → 6154 → 3077 → 9232 → 4616 → 2308 → 1154 → 577 → 1732 → 866 → 433 → 1300 → 650 → 325 → 976 → 488 → 244 → 122 → 61 → 184 → 92 → 46 → 23 → 70 → 35 → 106 → 53 → 160 → 80 → 40 → 20 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1.

Dat zijn heel veel getallen voordat je uiteindelijk bij 1 uitkomt. Honderdveertien stappen. Dit is een visualisatie ervan:

Zoals je ziet fluctueert het behoorlijk. Het is een beetje chaotisch, lijkt het. Er is geen duidelijk patroon te zien, anders dan dat je uiteindelijk bij 1 uitkomt. Omdat de waarden vrij groot lijken te kunnen worden, laten we bovenstaande weergave iets wijzigen en het semi-logaritmisch maken. De y-as wordt logaritmisch, de x-as laten we nog even lineair.

En gewoon, omdat het misschien leuk is, laten we nu de stapvolgorde omdraaien: de grafiek wordt op die manier gespiegeld en convergeert naar 1 in de hoek linksonder.

Omdat het eigenlijk moeilijk te voorspellen is hoeveel stappen een bepaalde serie in beslag gaat nemen, laten we nu ook de x-as in een logaritmische schaal zetten. We krijgen dan:

Met deze manier van weergeven kunnen we waarschijnlijk een heleboel van deze sequenties tonen! Laten we als laatste daarom een reeks van sequenties gaan plotten! Oftewel, we laten ons JavaScript-applet eerst een sequentie vanaf het getal 10000 berekenen. Daarna laten we het automatisch een sequentie vanaf het getal 9999 produceren. En zo verder, tot we het begingetal 4 bereiken. En dan plotten we het allemaal tegelijk! Om te voorkomen dat het te warrig gaat worden – aangezien verschillende sequenties elkaar zullen overlappen – maken we de weergave van een sequentie iets doorzichtig. Als sequenties elkaar overlappen wordt de grafiek daar donkerder. Dit is het resultaat:

Het wordt bijna een soort kunst. Als je deze grafiek zou inlijsten, zonder titels, assen en schaalverdelingen – alleen de grafiek – dan zou je een geometrische kunstvorm kunnen hebben met de titel ‘Het Vermoeden van Collatz’ of iets dergelijks. Ik denk eigenlijk dat ik dat ga doen.

Met dit applet kun je je eigen ‘kunst’ genereren.

De Edmund-Harriss-visualisatie

Edmund Harriss, een wiskundige aan de University of Arkansas, bedacht een prachtige visualisatie van Collatz-sequenties. Het werd uitgebreid besproken op het wiskundige YouTube-kanaal Numberphile.

Een screenshot van de video van Numberphile waarin een deels handgemaakte versie van Edmund Harriss’ visualisatie getoond wordt

De regels van zijn visualisatie zijn eenvoudig. Als de huidige stap twee keer zo groot is als de volgende stap, draai een bepaalde hoeveelheid met de klok mee, anders draai de helft van die hoeveelheid tegen de klok in (totdat je natuurlijk de waarde 1 bereikt). Het resultaat is een organische bundel van draden – rommelig en ogenschijnlijk willekeurig, binnen bepaalde grenzen, net als in de natuur.

We schreven een JavaScript-applet waarmee we deze manier van weergeven probeerden te benaderen. We gebruikten het om er de grote afbeelding bovenaan deze pagina mee te maken. Je kunt het hier zelf proberen.

Als je al deze verschillende visualisaties bekijkt en de ogenschijnlijk wanordelijke voortgang van de sequenties in ogenschouw neemt, is het misschien niet verwonderlijk dat het geheim tot nu toe nog niet gekraakt is.

[1] Guy, Richard K. (2004). “E17: Permutation Sequences”. Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. pp. 336–7. ISBN 0-387-20860-7. Zbl 1058.11001.
2020-04-27
Bewijs dat wortel 2 irrationaal is

Hoewel het een van de bekendste bewijzen is onder de bewijzen, kan de irrationaliteit van $\sqrt{2}$ eigenlijk niet ontbreken op een blog over wiskunde en natuurkunde. Dus, bij deze.

Wat is irrationaal?

In het geval men niet geheel bekend is met wiskundig jargon lichten we eerst toe wat het betekent om irrationaal te zijn. Uiteraard doelen we niet op de psychologische attributie ‘irrationeel’. Je schrijft het net iets anders. We spreken over het wiskundige begrip irrationaal.

Misschien dat je je nog de breuken van de lagere of basisschool kunt herinneren:

\begin{equation} 1 = \frac{4}{12} + \frac{2}{3}. \end{equation}

Een voorbeeld van de toepassing van een breuk is bij een lekker recept waar een zekere verhouding van water en rijst in voorkomt. Mogelijk ben je je er niet altijd van bewust, maar die verhouding kan worden opgeschreven als een breuk: het is de ratio tussen water en rijst. In feite is een breuk een verhouding, een ratio. Daarom wordt een getal dat óók kan worden weergegeven als een breuk, een rationaal getal genoemd (dus, nogmaals, niet rationeel, maar rationaal).

Om de perfecte, luchtige rijst te verkrijgen zonder af te hoeven gieten na afloop, moet men bijvoorbeeld een verhouding van 1 kop rijst en 1,5 kop water aanhouden(beginfootnote)Spoel de rijst eerst goed af om het zetmeel en het stof te verwijderen. Hiermee bevorder je de luchtigheid van de gekookte rijst. Voeg 1.5 keer de hoeveelheid rijst aan water toe. Voeg zout toe als je vindt dat het moet. Breng het water zo snel mogelijk aan de kook. Draai het vuur laag tot het kokende water zachtjes pruttelt. Roer de rijst nog een keer goed om en doe het deksel erop. Laat het acht minuten zo staan. Verwijder het deksel niet van de pan, ook niet om even te kijken. Al het water moet in de pan blijven. Draai na acht minuten het vuur uit en laat het nu rusten voor weer acht minuten. Laat nog steeds het deksel erop zitten. Laat de rijst zoveel mogelijk al het water opnemen, ook nog in dampvorm. Dat is het.(endfootnote). Dus, de breuk is $\frac{1}{1.5}$.

Uiteraard is het gebruikelijk om een breuk op te schrijven met gehele getallen in de noemers en delers. Dus, $\frac{1}{1.5} = \frac{2}{3}$. Vermenigvuldig de noemer en de deler met twee. Met andere woorden, voeg voor iedere twee koppen rijst, drie koppen water toe.

Op de rekenmachine zien we dat $\frac{2}{3} = 0.666\dots$ Er komt geen eind aan dat getal, maar het getal is niettemin prima op te schrijven als een breuk, een verhouding, een ratio: $\frac{2}{3}$.

Uiteraard is $\frac{2}{3}$ hetzelfde als $\frac{4}{6}$, $\frac{10}{15}$ of $\frac{200}{300}$, aangezien deze allen – en dit is van cruciaal belang – veelvouden zijn van de originele breuk: ze kunnen allemaal vereenvoudigd worden tot hun meest simpele vorm, $\frac{2}{3}$. Iets technischer uitgedrukt: als een breuk niet verder vereenvoudigd kan worden, is de grootste gemene deler van de teller en de noemer gelijk aan 1. De breuk $\frac{2}{3}$ is de meest vereenvoudigde breuk, want je kunt de teller en de noemer niet verder delen door hetzelfde gehele getal, afgezien van het getal 1. Goed onthouden.

Nu kunnen we aangeven wat irrationaliteit betekent.

Premisse 1. Een getal is irrationaal als het niet geschreven kan worden als breuk, een ratio, die zo ver mogelijk vereenvoudigd is.

Twee bekende voorbeelden van irrationale getallen zijn $\pi$ en $\sqrt{2}$. Op de rekenmachine zien we dat er geen numerieke herhaling in deze getallen lijkt voor te komen. Dit is een eigenschap van irrationale getallen.

Babylonisch kleitablet met wortel 2. (Credits beneden.)

Bewijs uit het ongerijmde

Hoe bewijzen we nu dat $\sqrt{2}$ irrationaal is, oftewel, hoe tonen we aan dat het niet als een verhoudingsgetal, een breuk, kan worden geschreven? Dat doen we via het zogenaamde bewijs uit het ongerijmde: als het tegenovergestelde van een stelling aantoonbaar onwaar is (en er zijn ook werkelijk maar twee mogelijkheden), dan moet de oorspronkelijke stelling waar zijn. In een vorig artikel gebruikten we dezelfde strategie om te bewijzen dat min min plus is.

Dat doen we hier nu ook.

Even en oneven

Premisse 2

We maken ook gebruik van het feit dat een getal vermenigvuldigd met 2 gelijk is aan een even getal. Neem ieder getal, even of oneven, vermenigvuldig dat met 2 en je krijgt een even getal. Dit is verder geen hogere wiskunde: karakteristiek van een even getal is immers precies dat het deelbaar is door 2. In ons bewijs zullen het symbool $k$ voor ‘een getal, ieder getal, even of oneven’ gebruiken, dat vermenigvuldigd zal worden met 2.

Premisse 3

Als je het kwadraat neemt van een oneven getal, is het resultaat altijd een oneven getal. Als je het kwadraat neemt van een even getal, is het resultaat altijd een even getal. Andersom, als je de vierkantswortel van een oneven kwadraat neemt, is het resultaat altijd oneven. Bij even kwadraten krijg je een even wortel. Check in het hoofd even dat het klopt (het klopt). We zullen in een andere post bewijs hiervoor leveren.

Oké? Let’s go.

Bewijs dat wortel 2 irrationaal is

Anti-premisse 1. Stel het tegenovergestelde: $\sqrt{2}$ kan wel worden geschreven als een zoveel mogelijk vereenvoudigde verhouding: enig (geheel) getal $a$ gedeeld door enig (geheel) getal $b$.

Met andere woorden, stel dat

\begin{equation} \sqrt{2} = \frac{a}{b}. \end{equation}

Om het gemakkelijker te maken, ontdoen we ons van de vierkantswortel door beide zijden van de vergelijking te kwadrateren:

\begin{equation} 2 = \frac{a^2}{b^2}. \end{equation}

Als we dit herschikken, verkrijgen we

\begin{equation} a^2 = 2b^2. \end{equation}

Nu zien we dus dat $a^2$ een even getal is aangezien $b^2$ – eender welk getal dit moge zijn – vermenigvuldigd wordt met 2. Dit betekent ook dat $a$ geen oneven getal kan zijn, het is een even getal – zie premisse 3.

Conclusie 1: $a$ kan niet oneven zijn, het is een even getal.

We kunnen ook stellen dat $a = 2k$, waarbij $k$ enig getal is, eender welk getal, even of oneven. Als we dit substitueren in vergelijking (4), verkrijgen we

\begin{equation} (2k)^2 = 2b^2. \end{equation}

Als we dit herschikken, verkrijgen we

\begin{equation} b^2 = \frac{(2k)^2}{2}. \end{equation}

Als we dit nog een stap verder vereenvoudigen, verkrijgen we

\begin{equation} b^2 = \frac{4k^2}{2} = 2k^2. \end{equation}

Dit betekent dat, onafhankelijk van wat de waarde van $k^2$ is, het is een even getal omdat het wordt vermenigvuldigd met 2. Met andere woorden, $b^2$ is ook een even getal. En dat betekent weer dat $b$ ook een even getal is.

Conclusie 2. $b$ kan geen even getal zijn – het is ook een even getal.

Kijkend naar Conclusies 1 en 2, verkrijgen we

Conclusie 3: $\frac{a}{b}$ is niet de meest vereenvoudigde breuk aangezien $a$ en $b$ nog steeds door 2 gedeeld kunnen worden.

Dit is een contradictie. De breuk $\frac{a}{b}$ kan niet zowel de meest vereenvoudigde breuk zijn en tegelijkertijd niet de meest vereenvoudigde breuk. Conclusie 3 rijmt niet met Anti-premisse 1: ze zijn zelfs in tegenspraak. Met andere woorden, er bestaat geen breuk $\frac{a}{b}$ in de meest vereenvoudigde vorm die gelijk is aan $\sqrt{2}$. En dus, de oorspronkelijke stelling Premisse 1 is waar.

Credentials of the Babylonian tablet clay tablet showing the root of 2: Photograph by Bill Casselman under CC BY-SA 3.0, and the Yale Babylonian Collection as the original holder of the tablet. A black and white rendition of Casselman’s own photograph of the Yale Babylonian Collection’s Tablet YBC 7289 (c. 1800–1600 BCE), showing a Babylonian approximation to the square root of 2 (1 24 51 10 w: sexagesimal) in the context of Pythagoras’ Theorem for an isosceles triangle. The tablet also gives an example where one side of the square is 30, and the resulting diagonal is 42 25 35 or 42.4263888…(30 x square root of 2).

2019-09-14
De normaalkracht bij een versnelde rotatie in een vlak met polaire coördinaten
In dit artikel leiden we een vergelijking af voor de normaalkracht op een massa in een versnelde rotatiebeweging in een vlak met gebruikmaking van polaire coördinaten. Zo’n vergelijking is zeer nuttig om de omstandigheden te berekenen waaronder de massa uit zijn circulaire baan zal vliegen. Uiteraard zijn er talloze situaties waarbij we de normaalkracht zouden moeten kunnen vinden. Hier zullen we echter een systeem zoals weergegeven in Figuur 1 beschouwen. Soms is het verkrijgen van een vergelijking in termen van de gegeven variabelen niet eenvoudig. In stap 7 tref je daartoe een handig truc aan waarmee je tot een vergelijking komt in termen van een simpele $\theta$ in plaats van de initieel verkregen tweedegraads afgeleide $\ddot\theta$.

Dit artikel is mogelijk op het niveau van bachelorstudenten natuurkunde. Download dit artikel

Notatie

We passen Newtons notatie toe waar mogelijk aangezien het de meest compacte vorm is. Als $\mathbf{x}$ bijvoorbeeld een vector is dan worden hiervan de eerste- en tweedegraads afgeleiden ten opzichte van tijd $t$ respectievelijk genoteerd als

\[ \dot{\mathbf{x}}\text{ en }\ddot{\mathbf{x}}. \]
In andere gevallen waarbij het handig is om te expliciteren dat we te maken hebben met tijdsafhankelijke afgeleiden – bijvoorbeeld om een tijdsintegraal te berekenen – zullen we de notatie van Leibniz toepassen, dat wil zeggen

\[ \frac{\text{d}\mathbf{x}}{\text{d}t}\text{ en }\frac{\text{d}^2\mathbf{x}}{\text{d}t^2}. \]
De opdracht

Bestudeer het systeem van Figuur 1. Stel dat we voor het systeem staan. Massa $m$ is bevestigd aan een modeldraad. Op $t=0$ rust het ter hoogte van het centrum van de cilinder met radius $R$ met het draad langs de bovenkant. Een constante kracht $\mathbf{P}$ trekt de draad naar beneden. Op een later tijdstip $t$ zal massa $m$ via de bovenkant glijden met een wrijvingscoëfficiënt $\mu$. De hoek $\theta$ is de hoek tussen de initiële positie van $m$ en zijn huidige positie zoals weergegeven in de figuur. Bereken de normaalkracht op $m$ en bewijs daarmee dat de straal van de cilinder hier irrelevant is.

Figuur 1. Het systeem

Stap 1. Krachtendiagram en eenheidsvectoren

Het is van essentieel belang om een schets te maken van de krachten, parameters en de eenheidsvectoren. We kiezen hier de radiale eenheidsvector en de tangente eenheidsvector. Dit maakt de berekening een stuk eenvoudiger. Zie Figuur 2.

Figuur 2. Krachtendiagram en de eenheidsvectoren op tijdstip $t>0$

We onderscheiden de volgende krachten op $m$:
- $\mathbf{P}$ is de vector die de constante trekkracht op de modeldraad representeert,
- $\mathbf{N}$ is de vector die de normaalkracht op $m$ door de cilinder representeert,
- $\mathbf{F}$ is de vector voor de wrijvingskracht,
- $\mathbf{W}$ is de vector voor het gewicht van $m$ als gevolg van het zwaartekrachtveld van de planeet waar het systeem zich bevindt,
- $\mathbf{e}_r$ is de radiale eenheidsvector,
- $\mathbf{e}_\theta$ is de tangente eenheidsvector.
Stap 2. Toepassing van Newtons tweede wet

Aangezien het een dynamisch systeem betreft, waarbij $m$ zich in een versnelde cirkelvormige beweging bevindt, passen we Newtons tweede wet toe. Om precies te zijn, deze vorm:

\begin{equation}
\sum\mathbf{F} = m\ddot{\mathbf{r}},
\end{equation}

waarbij $\ddot{\mathbf{r}}$ de snelheidsverandering in de tijd is, oftewel, het tweedegraads tijdsderivaat van de verplaatsingsvector $\mathbf{r}$ van massa $m$. We kunnen nu de componenten van de som der vectoren onderscheiden zoals we al eerder deden in stap 1. En dus, vergelijking (1) wordt

\begin{equation}m\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{P} + \mathbf{N} + \mathbf{F} + \mathbf{W}.
\end{equation}

Stap 3. Herschrijf de krachten in termen van hun grootte en eenheidsvectoren

Aangezien trekkracht $\mathbf{P}$ met grootte $|\mathbf{P}|$ in de richting van de tangente eenheidsvector $\mathbf{e}_\theta$ acteert, kunnen we voor $\mathbf{P}$ schrijven:

\begin{equation}
\mathbf{P} = |\mathbf{P}|\mathbf{e}_\theta.
\end{equation}

We hebben geen nadere informatie over deze kracht, dus dit is wat het is.

De normaalkracht $\mathbf{N}$ wijst in de richting van de radiale eenheidsvector $\mathbf{e}_r$, dus kunnen we schrijven:

\begin{equation}
\mathbf{N} = |\mathbf{N}|\mathbf{e}_r.
\end{equation}

Wrijving $\mathbf{F}$ opereert in de tegenovergestelde richting van de tangente eenheidsvector $\mathbf{e}_\theta$, dus plaatsen we een min-teken in de uitdrukking. Bovendien, aangezien een (droge) wrijvingskracht normaal gesproken gemodelleerd wordt door het product van de wrijvingscoëfficiënt en de normaalkracht, kunnen we schrijven:

\begin{equation}
\mathbf{F} = \mu|\mathbf{N}|(-\mathbf{e}_\theta).
\end{equation}

Ten slotte is gewicht de kracht als gevolg van de zwaartekracht: $|\mathbf{W}|=mg$, waarbij $g$ de gravitatieconstante is. Niettemin moeten we ook deze kracht in termen van zijn componenten langs de radiale en parallel met de tangente eenheidsvectoren opschrijven. Aangezien deze laatsten omhoog wijzen terwijl de eerste omlaag wijst, weten we al dat beide componenten een min-teken verkrijgen, namelijk $(-\mathbf{e}_r)$ en $(-\mathbf{e}_\theta)$. Wat overblijft is de correcte vergelijking voor de grootte van het gewicht in termen van de eenheidsvectoren.

Om duidelijk aan tonen hoe we een uitdrukking voor $\mathbf{W}$ in termen van zijn componenten parallel aan $\mathbf{e}_r$ en $\mathbf{e}_\theta$ verkrijgen, zie Figure 3.

Figuur 3. De componenten van $\mathbf{W}$

Wat je ziet is de gewichtsvector $\mathbf{W}$ van het krachtendiagram in Figuur 2, inclusief de radiale en tangentiële eenheidsvectoren $\mathbf{e}_r$ and $\mathbf{e}_\theta$. Voor de duidelijkheid hebben we deze op de plek van massa $m$ afgebeeld. Tevens zijn er de twee componentvectoren in de tegenovergestelde richting van de eenheidsvectoren waarvoor we de expressies moeten vinden.

Stel, componentvector $\mathbf{v}_r = a(-\mathbf{e}_r)$ en componentvector $\mathbf{v}_\theta = b(-\mathbf{e}_\theta)$, waar $a$ en $b$ twee waarden zijn zodanig dat de vectorsom van $\mathbf{v}_r$ en $\mathbf{v}_\theta$ gelijk is aan $\mathbf{W}$. Met andere woorden,

\begin{equation}
\mathbf{W} = \mathbf{v}_r + \mathbf{v}_\theta = a(-\mathbf{e}_r) + b(-\mathbf{e}_\theta).
\end{equation}

Om waarden te vinden voor de grootte van $a$ en $b$ gebruiken het feit dat de magnitude $|\mathbf{W}| = mg$. Dus, gebruikmakende van middelbareschooltrigonometrie concluderen we

\begin{align}
a &= mg\sin\theta, \\
b &= mg\cos\theta.
\end{align}

Nu kunnen we $\mathbf{W}$ in termen van zijn componenten opstellen, gebruikmakende van de in vergelijking (6) te substitueren situaties van vergelijking (7) en (8):

\begin{equation}
\mathbf{W} = mg\sin\theta(-\mathbf{e}_r) + mg\cos\theta(-\mathbf{e}_\theta).
\end{equation}

En dus, als we vergelijkingen (3), (4), (5), en (9) in vergelijking (2) substitueren, krijgen we:

\begin{align}
m\ddot{\mathbf{r}} &= |\mathbf{P}|\mathbf{e}_\theta + |\mathbf{N}|\mathbf{e}_r + \mu|\mathbf{N}|(-\mathbf{e}_\theta)\nonumber \\
&\hspace{2em}+ mg\sin\theta(-\mathbf{e}_r) + mg\cos\theta(-\mathbf{e}_\theta).
\end{align}

Stap 4. Druk de Cartesiaanse $\ddot{\mathbf{r}}$ uit in polaire coördinaten

We weten dat de vergelijking van het tweedegraads tijdsderivaat van de versnelde cirkelvormige beweging

\begin{equation}
\ddot{\mathbf{r}} = -R\dot{\theta}^2\mathbf{e}_r + R\ddot{\theta}\mathbf{e}_\theta,
\end{equation}

waarbij $R$ de straal van de rotatie is, i.e. de cilinder. We vervolgen door vergelijking (11) in (10) te substitueren.

En dus verkrijgen we

\begin{align*}
m(-R\dot{\theta}^2\mathbf{e}_r + R\ddot{\theta}\mathbf{e}_\theta) &= |\mathbf{P}|\mathbf{e}_\theta + |\mathbf{N}|\mathbf{e}_r + \mu|\mathbf{N}|(-\mathbf{e}_\theta) \\
&\hspace{2em}+ mg\sin\theta(-\mathbf{e}_r) + mg\cos\theta(-\mathbf{e}_\theta),
\end{align*}

wat, uiteraard, uitgewerkt, verwordt tot

\begin{align}
-mR\dot{\theta}^2\mathbf{e}_r + mR\ddot{\theta}\mathbf{e}_\theta &= |\mathbf{P}|\mathbf{e}_\theta + |\mathbf{N}|\mathbf{e}_r + \mu|\mathbf{N}|(-\mathbf{e}_\theta) \nonumber \\
&\hspace{2em}+ mg\sin\theta(-\mathbf{e}_r) + mg\cos\theta(-\mathbf{e}_\theta).
\end{align}

Stap 5. Radiaal en tangentieel ontbinden

We kunnen nu vergelijking (12) in zijn radiale en tangentiële componenten ontbinden:

\begin{align}
\mathbf{e}_r &: -mR\dot{\theta}^2 = N – mg\sin\theta, \\
\mathbf{e}_\theta &: mR\ddot{\theta} = P – \mu N – mg\cos\theta.
\end{align}

Stap 6. Construeer de bewegingsvergelijking in polaire coördinaten

Herschikking van vergelijking (14) leidt tot de volgende tweedegraads differentiaalvergelijking van beweging:

\begin{equation}
\ddot{\theta} = \frac{P – \mu N – mg\cos\theta}{mR}.
\end{equation}

Hoewel we nu al vergelijking (14) hadden kunnen oplossen voor $N$ zou dit niettemin de opname van het tweedegraads tijdsderivaat betekenen van $\theta$. In plaats daarvan willen we een expressie voor $N$ in termen van een simpele $\theta$. Dit betekent dat we ons op een of andere wijze moeten ontdoen van $\ddot{\theta}$. Het is niet direct duidelijk hoe vergelijking (14) of (15) moet worden bewerkt om dit te bereiken. Er is echter een mooie truc.

Stap 7. De truc

Kijk naar de volgende vergelijking waar we de kettingregel toepassen:

\begin{equation}
\frac{\text{d}\dot{\theta}^2}{\text{d}t} = \frac{\text{d}\dot{\theta}^2}{\text{d}\dot{\theta}}\frac{\text{d}\dot{\theta}}{\text{d}t} = 2\dot{\theta}\frac{\text{d}\dot{\theta}}{\text{d}t} = 2\dot{\theta}\ddot{\theta}.
\end{equation}

Dus, als we vergelijking (15) in (16) substitueren, verkrijgen we

\begin{equation}
\frac{\text{d}\dot{\theta}^2}{\text{d}t} = 2\dot{\theta}\left(\frac{P – \mu N – mg\cos\theta}{mR}\right).
\end{equation}

Als we nu beide zijden integreren ten opzichte van de tijd, verkrijgen we

\begin{align}
\int \frac{\text{d}\dot{\theta}^2}{\text{d}t}\text{d}t &= \int 2\dot{\theta}\left(\frac{P – \mu N – mg\cos\theta}{mR}\right)\text{d}t, \nonumber \\
\dot{\theta}^2 + A &= 2 \int \frac{\text{d}\theta}{\text{d}t}\left(\frac{P – \mu N – mg\cos\theta}{mR}\right)\text{d}t, \nonumber \\
&\text{waarbij $A$ een willekeurige constante is}, \nonumber \\
\dot{\theta}^2 + A &= 2 \int \left(\frac{P – \mu N – mg\cos\theta}{mR}\right)\text{d}\theta, \nonumber \\
\dot{\theta}^2 + A &= \frac{2}{mR} \int (P – \mu N – mg\cos\theta)\,\text{d}\theta, \nonumber \\
\dot{\theta}^2 + A &= \frac{2}{mR} \left( P\int 1\,\text{d}\theta – \mu N\int 1\,\text{d}\theta – mg\int \cos\theta\,\text{d}\theta\right), \nonumber \\
\dot{\theta}^2 + A &= \frac{2P\theta}{mR} – \frac{2\mu N\theta}{mR} – \frac{2mg\sin\theta}{mR} + B, \nonumber \\
&\text{waarbij $B$ een willekeurige constante is}, \nonumber \\
\dot{\theta}^2 &= \frac{2P\theta}{mR} – \frac{2\mu N\theta}{mR} – \frac{2g\sin\theta}{R} + B – A, \nonumber \\
\dot{\theta}^2 &= \frac{2P\theta}{mR} – \frac{2\mu N\theta}{mR} – \frac{2g\sin\theta}{R} + C, \\
&\text{waarbij $C=B-A$} \nonumber.
\end{align}

Om het probleem van initiële conditie op te lossen om de waarde van $C$ te vinden, gebruiken we het feit dat op tijdstip $t=0$, hoek $\theta = 0$, en dus $\dot{\theta} = \ddot{\theta} = 0$. Dit levert op $C = 0$ in vergelijking (18), en dus verkrijgen we

\begin{equation}
\dot{\theta}^2 = \frac{2P\theta}{mR} – \frac{2\mu N\theta}{mR} – \frac{2g\sin\theta}{R}.
\end{equation}

Let wel, we hebben nu een vergelijking voor $\dot{\theta}^2$, die al verscheen in vergelijking (13). We kunnen daarom vergelijking (19) in (13) substitueren:

\begin{equation}
-mR\left(\frac{2P\theta}{mR} – \frac{2\mu N\theta}{mR} – \frac{2g\sin\theta}{R}\right) = N – mg\sin\theta.
\end{equation}

Verder uitgewerkt en opnieuw geschikt, levert

\begin{align}
N – mg\sin\theta &= -2P\theta + 2\mu N\theta + 2mg\sin\theta, \nonumber \\
N – 2\mu N\theta &= -2P\theta + 2mg\sin\theta + mg\sin\theta, \nonumber \\
N(1 – 2\mu \theta) &= -2P\theta + 3mg\sin\theta, \nonumber \\
N &= \frac{3mg\sin\theta – 2P\theta}{1-2\mu\theta}.
\end{align}

En dus hebben we nu een uitdrukking voor $N$ in termen van de gravitatieconstante $g$, de variabelen $m$, $\mu$ en $P$, en de veel handzamere $\theta$ in plaats van $\dot\theta^2$.

Als we willen berekenen wanneer een massa uit de bocht zal vliegen schrijven we $N = 0$, aangezien hier de massa fysiek niet langer op de cilinder rust (er wordt immers niet langer een normaalkracht op de massa uitgeoefend). Met andere woorden, vind de nulpunten van vergelijking (21) om de onbekende variabele te vinden. Merk op dat $R$ geen rol meer speelt. Houd daarbij uiteraard in het achterhoofd dat $m$ als puntmassa is gemodelleerd.
2019-06-27
De afleiding van het volume van een bol met gebruikmaking van bolcoördinaten

Hoewel de bekende Archimedes al lang voor wij geboren werden de formule voor de inhoud van een bol had afgeleid, komt zo’n afleiding met gebruikmaking van bolcöordinaten en een volume-integraal niet vaak voor in studieboeken.

In dit artikel zullen we de volgende formule voor de inhoud van een bol gaan afleiden:

\begin{equation}
V = \frac{4}{3}\pi r^3,
\end{equation}

waarbij $r$ de straal is.

Dit artikel is mogelijk op het niveau van tweedejaars natuurkundestudenten.

Bolcoördinaten

Het volume van een rechthoekig blok $\delta V$ met lengte $a$, breedte $b$ en hoogte $c$ is gegeven door $\delta V = a \times b \times c$.

Figuur 1: Een stuk van een bol

In Figuur 1 zie je een stuk van een bol. Hoewel de randen gekromd zijn kunnen we hier ook

\begin{equation}
\delta V \approx a \times b \times c
\end{equation}

toepassen, ook al is het een benadering.

Om bolcoördinaten te gebruiken definiëren we $a$, $b$ en $c$ als volgt:

\begin{align}
a &= PQ\delta\phi = r\sin\theta \, \delta\phi, \\
b &= r\delta\theta, \\
c &= \delta r.
\end{align}

Daarmee verwordt vergelijking (2)

\begin{align}
\delta V &\approx r\sin\theta \, \delta\phi \times r\delta\theta \times \delta r, \nonumber \\
&\approx r^2\sin\theta \, \delta\phi \, \delta\theta \, \delta r.
\end{align}

Volume-integraal

Merk op dat deze relatie nauwkeuriger wordt als $\delta\phi$, $\delta\theta$ en $\delta r$ de nulwaarde naderen. Voor het volume-integraal van een bol $B$ kunnen we daarom schrijven:

\begin{equation}
V_B = \int_B dV_B = \int_\phi \int_\theta \int_r r^2\sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi.
\end{equation}

Figuur 2: Om te integreren over een oneindige hoeveelheid punten in en op een bal varieert één hoek van $0$ tot en met $2\pi$, en hier is dat hoek $\phi$. Hoek $\theta$ hoeft slechts de helft daarvan te variëren aangezien een bol rotatiesymmetrie bevat. Uiteraard, de straal is $r$.

Om de grenzen van de intervallen te bepalen merken we op dat een bol een rotatiesymmetrie heeft om de $z$-as (afgezien van de oneindige hoeveelheid andere assen door het middelpunt). Dit zullen we gebruiken. We verwijzen hier naar Figuur 2.

Ten eerste, om over een oneindige hoeveelheid punten tussen $0$ en $r$ te integreren schrijven we simpelweg dat dit het interval is:

\begin{equation*}
V_B = \int_B dV_B = \int_\phi \int_\theta \int_{r=0}^r r^2\sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi.
\end{equation*}

Ten tweede, om over een oneindige hoeveelheid punten in het vlak van hoek $\theta$ te integreren hoeven we enkel de hoeken tussen $0$ en $\pi$ in beschouwing te nemen,

\begin{equation*}
V_B = \int_B dV_B = \int_\phi \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \int_{r=0}^r r^2\sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi,
\end{equation*}

aangezien we, ten derde, overgaan op het roteren van dit vlak, zogezegd, om de $z$-as om te integreren over de oneindige hoeveelheid vlakken om deze as, die de vorm van de bol completeren. En dus, $\phi$ varieert tussen $0$ en $2\pi$.

En dus, berekenen we

\begin{align}
V_B = \int_B dV_B &= \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \int_{r=0}^r r^2\sin\theta \, dr \, d\theta \, d\phi, \\
&= \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} \left(\frac{1}{3} r^3\sin\theta \Big|_0^r\right) d\theta \, d\phi, \nonumber \\
&= \frac{1}{3} \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \int_{\theta=0}^{\theta=\pi} r^3\sin\theta \, d\theta \, d\phi, \nonumber \\
&= -\frac{1}{3} \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} \left( r^3\cos\theta \Big|_0^{\pi} \right) \, d\phi, \nonumber \\
&= \frac{2}{3} \int_{\phi=0}^{\phi=2\pi} r^3 \, d\phi, \nonumber \\
&= \frac{2}{3} \left( \phi r^3 \Big|_0^{2\pi} \right), \nonumber \\
&= \frac{4}{3}\pi r^3,
\end{align}

wat het gewenste resultaat is, gelijk aan vergelijking (1).

2019-05-30
Happy birthday mister Einstein, happy Pi Day to you!

Π-dag is de dag waarop we Albert Einsteins (1879-1955) geboortedag herdenken. Maar naast dit noemenswaardige feit, vieren mensen vandaag het bestaan van $ \pi $, aangezien in Amerikaanse notatie de datum 3/14 is. En 3, 1 en 4 zijn (minstens) de eerste drie cijfers van $ \pi $, in die volgorde. Sommige West-Europese critici – op Twitter bijvoorbeeld – hebben gesteld dat men dat niet zou moeten doen aangezien ‘wij, hier’ de Amerikaanse datumnotatie simpelweg niet hanteren. Omdat sowieso bijna alle andere bevolkingen van Aarde de Amerikaanse notatie eveneens niet gebruiken en het niettemin een mooie gelegenheid is om het doorgaans weinig geliefde maar onbetwistbaar essentiële vak der wiskunde een dag in het jaar in het zonnetje te zetten, heeft dit argument onder de rest van de planeet tot nu toe weinig effect gehad sinds de bedenker het bedacht.

Larry Shaw (1939-2017), geestelijke vader van Pi Day in het Exploratorium in San Francisco.

De natuurkundige Larry Shaw (1939-2017) bedacht in 1987 of 1988 dat het leuk zou zijn het bestaan van de wiskundige constanten te vieren op 14 maart, of ‘March 14th’. Hij werkte op dat moment inmiddels bij het Exploratorium, een museum voor de wetenschap, de kunsten en menselijke waarneming. Wat begon als een privépartijtje voor zijn collega’s, waarbij ‘pie’ – taart in Amerikaans-Engelse landstaal – werd gegeten, groeide het jaar daarop al uit tot een publiek evenement. Sindsdien wordt om 1:59pm, een tijdnotatie die hoofdzakelijk in de VS en de Commonwealth wordt gehanteerd en (ten minste) de vierde, vijfde en zesde cijfers van pi vormen, een optocht georganiseerd waarbij iedere bezoeker een cijfer van pi met zich meedraagt, onderwijl taart etend en ‘happy birthday’ voor Albert Einstein zingend. Larry vond het geweldig dat de jongere museumbezoekers genoten van de de festiviteiten, die voorts bestonden uit pi-poëzielezingen, ‘pi-ku’s’ (haiku’s over pi) en pi-limericks, een pizzadeegwerples en het eten ervan (afgebakken).

Verborgen pi’s

(Grow up.) Een van de meest fascinerende dingen van pi is dat het zomaar ergens op kan duiken op plekken waar je het ’t minst zou verwachten. Bijvoorbeeld, Albert Einstein en pi zijn onlosmakelijk met elkaar verbonden. Zijn algemene relativiteitstheorie draait om de volgende veldvergelijkingen:

\[ R_{\mu\nu}-\frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}=8\pi GT_{\mu\nu}. \]
We treden niet in de details, maar het is best cool dat een theorie die een van de fundamentele krachten van ons universum beschrijft, zwaartekracht, het getal pi nodig heeft.

Dankzij de leraar wiskunde en huidige voorzitter van Faro’s stadsbestuur Rogério Bacalhau is een lange reeks cijfers in de calçada portuguesa verwerkt. Credits: @kjrunia, gelicenseerd onder CC BY 4.0.

Deze is nog gaver. Wiskundigen vroegen zich af welk getal je zou verkrijgen als je alle termen van de volgende reeks bij elkaar op zou tellen als de reeks tot in het oneindige doorgaat:

\[ \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\dots \]
Dit zogenaamde Bazel-probleem werd opgelost door het wiskundige genie Leonhard Euler. De oneindige som is gelijk aan $ \pi^2/6 $. Dus zelfs als een reeks oneindig is, duikt er een pi’tje op.

Over pi gesproken, mijn favoriete stand-upwiskundige en YouTuber Matt Parker bracht een gaaf boek uit met de titel ‘Humble Pi’. Ik raad het aan. Het is leuk. In deze video probeert hij pi te benaderen met behulp van klassieke mechanica. Bekijk hem eens, zou ik zeggen. Door de jaren heen heeft hij een hele stapel coole en grappige pi-video’s gemaakt. Als je verstrikt raakt in de algoritmische fuik die de uitvinders YouTube hebben genoemd, graag gedaan.

Screenshot van Matt Parkers YouTube-video waarin hij pi berekent met behulp van een balancerende balk.

Een van de meest fascinerende situaties waar pi de kop opsteekt is die waarbij biljartballen tegen elkaar en tegen de elastische rand van de biljarttafel stuiteren. Gregory Galpering van de vakgroep wiskunde van de Eastern Illinois University schreef een paper waarin hij aantoonde hoe pi kon worden verkregen op een verbluffende manier.

De New York Times publiceerde hier al een blogpost over in 2014, maar wel pas nadat het YouTube-kanaal Numberphile – nog een favoriet – professor Ed Copeland het fenomeen liet uitleggen in 2012.

Recentelijk heeft Youtubekanaal 3Blue1Brown hier ook een video over gepubliceerd. (Ja, ook dit kanaal is een favoriet en ik besef dat ik het woord op tegenstrijdige manier gebruik.)

De video bevat een prachtige simulatie en ligt om één of andere reading meer dan gemiddeld prettig in het gehoor. Bovendien doet Grant Sanderson, de wiskundige achter de stem en video’s, heel goed werk met het visualiseren van de ontcijfering van de taal van het universum. Bekijk het! Hij geeft ook antwoord op ‘maar hoe dan’ en ‘omg, waarom überhaupt’ in een tweede video.

Als je het nog niet gezien hebt, ondersteun je kin dan stevig met je hand terwijl je de video bekijkt, aangezien het zou kunnen worden aangetrokken door de zwaartekracht van de aarde, radiaalgewijs.

Screenshot van 3Blue1Browns video over het berekenen van pi met gebruikmaking van botsingen.

Foto van Larry Shaw: credits: Ronhip, gelicentieerd onder CC BY-SA 3.0.
Foto van cijfers van pi in een de traditionele, Portuguese bestrating: credits: @kjrunia, gelicentieerd onder CC BY 4.0.

2019-03-14
Spiegeltje, spiegeltje, hoe zit dat met je spiegelschrift?
Ooit afgevraagd waarom letters, woorden en zinnen in een spiegel bijna uitsluitend van rechts naar links in spiegelschrift staan en niet ook op de kop? Er vinden processen plaats die wellicht niet voor de hand liggen. Om te beginnen, spiegels wisselen links en rechts niet om.

We zijn intelligente types met (soms iets te veel) zelfbewustzijn. We kijken in de spiegel en we weten dat het onze reflectie is. Het is niet iemand anders die ons recht in de ogen staart. Maar mocht het zo zijn dat je in de veronderstelling verkeert dat bijvoorbeeld de linker- en rechterzijde van je gezicht verwisseld zijn door de spiegel, dan is het wellicht toch nodig om nog eens bij jezelf na te gaan of je niet stiekem alsnog denkt dat het iemand anders is. Hoewel de situaties op elkaar lijken, zijn ze niet dezelfde – niet alleen in de metafysische zin, maar, relevanter, in de wiskundige zin. Dit hangt samen met waarom bij letters, woorden en zinnen, links en rechts verwisseld lijken te zijn en ze bijna nooit ondersteboven worden gereflecteerd. Maar daar komen we later op terug.

Man in the mirror.

Laten we onderstaande foto eens bestuderen. De man, die voor de spiegel zijn vlinderstrik strikt voor een etentje in rokkostuum, kijkt naar zichzelf. O, wonder. Ik weet dat het een open deur is, maar houd vol, het wordt zo duidelijk. Het is, gek genoeg, van cruciaal belang om vast te stellen dat hijzelf het spiegelbeeld is en niet iemand anders.

Fotografie: Pete Souza

Laten we nu een gedachte-experiment uitvoeren. Stel je voor dat de man een grote L in de palm van zijn linkerhand en een grote R in die van zijn rechter tekent.
1. De man heeft een L op zijn linkerhandpalm en een R op zijn rechter;
2. het spiegelbeeld is niet iemand anders: het spiegelbeeld is de man;
3. de man drukt zijn linkerhandpalm met de L tegen de spiegel;
4. als een spiegel links en rechts omwisselt, zou het spiegelbeeld de hand met de R moeten gebruiken, want dat is de andere hand van de man;
5. dat doet het spiegelbeeld niet, het gebruikt de linkerhand met de L;
6. de linkerhand met de L van het spiegelbeeld is de linkerhand met de L van de man;
7. dus een spiegel verwisselt links en rechts niet.
Punt 6 is misschien moeilijk te accepteren. Vaststaat echter dat zowel de man als het spiegelbeeld de handpalm met de L tegen de spiegel houdt. Niettemin volharden we in de zienswijze dat een spiegel links en rechts verwisselt. De cognitieve horde is wellicht dat, uiteraard beseffend dat wijzelf ons spiegelbeeld zijn, het er bij ons desondanks is ingesleten dat we het voor de rest toch mentaal benaderen als ware het een ander persoon.

Waarschijnlijk hebben we meer interacties met mensen die tegenover ons staan of zitten dan met ons spiegelbeeld. We zijn aan de mentale verwisseling van links en rechts gewend geraakt, wat duidelijk zijn nut heeft bewezen in contacten met de alledaagse stervelingen. Al jong werd ons geleerd, ‘jouw links is haar rechts’ of ‘haar links is jouw rechts’. Evenzo weet een hoogleraar in de mathematische fysica, zich eenmaal te hebben omgedraaid richting de collegebanken, dat de vergelijkingen op het bord aan haar linkerzijde voor haar studenten op het bord aan de rechterkant staan.

De ironie wil dat verwisseling van links en rechts vooral in de echte wereld plaatsvindt en niet in de wereld van de spiegel. Onze linkerhand is simpelweg de linkerhand van ons spiegelbeeld – zo werkt het Spiegeluniversum nu eenmaal.

Transformaties

Met opzet schreef ik ‘omgedraaid’ cursief: het was een hint. Rotaties, reflecties en symmetrieën zijn lastig, daarom volgt hier een belangrijk onderscheid.

Iemand die met haar gezicht naar het jouwe gekeerd staat – of je kloon staat tegenover je – is wiskundig 180º geroteerd ten opzichte van jouw positie en kijkrichting, terwijl je spiegelbeeld dat niet is. In plaats daarvan is jouw spiegelbeeld… nou ja, een reflectie. (Verrassing.) De crux is dat rotatie en reflectie twee verschillende geometrische transformaties zijn. Stellen dat een spiegel links en rechts omgooit, komt overeen met het verwarren van rotatie met reflectie.

Rotatie is niet hetzelfde als reflectie

Dus na een rotatie van 180º moeten we het antoniem van ‘links’ of ‘rechts’ gaan gebruiken, terwijl we dat bij een reflectie niet hoeven te doen. Nu komt het niet vaak voor dat je met gereflecteerde mensen te maken krijgt. We hebben meestal met geroteerde tweevoeters van doen. Maar in het geval van je spiegelbeeld moet je dus meer dan je zou vermoeden ervan doordrongen zijn dat het hier niet iemand anders betreft.

Grappig genoeg is het makkelijker te accepteren dat een spiegel onder en boven niet omwisselt. Stel je voor dat de man met de vlinderstrik zijn hoofd tegen de spiegel zou bonken. Zijn spiegelbeeld schopt vervolgens natuurlijk niet met zijn voeten tegen de spiegel. Enfin, een spiegel wisselt dus onder en boven alsook links en rechts niet om.

Waarom spiegelschrift er gek uitziet

Maar hoe zit het dan met dat spiegelschrift? Er gebeurt natuurlijk wel iets met letters, woorden en complete werken, zoals Leonardo da Vinci zou beamen. Ja, er is inderdaad iets aan de hand, maar het is misschien niet wat je denkt. Wat dat betreft, de spiegel heeft er eigenlijk weinig mee te maken. Ik geef de relatieve ondoorschijnendheid van het meeste materiaal waarop wij letters schrijven er de schuld van dat we niet onmiddellijk inzien wat er precies gebeurt bij spiegelschrift.

Kijk eens naar Figuur 1. We hebben een min of meer symmetrisch mens vervangen door een asymmetrisch object dat nog het meeste weg heeft van de Griekse hoofdletter gamma ($\Gamma$) om het iets inzichtelijker te maken.

Figuur 1. Een asymmetrisch voorwerp voor een spiegel. Merk op dat de punten A en B niet omgewisseld zijn in het spiegelbeeld.

Zoals je onmiddellijk kan zien, zijn de punten A en B niet omgewisseld in het spiegelbeeld. Stel je nu voor dat je achter het object staat met je gezicht richting de spiegel. Punt A zou zich aan je linkerhand bevinden en punt B aan je rechterhand. Hetzelfde geldt voor het spiegelbeeld. Zoals we inmiddels begrijpen, hebben we dat te danken aan de geometrische transformatie genaamd reflectie – kenmerk van een goede spiegel.

Stel je nu voor dat we het voorwerp op een groot stuk papier zouden plakken, zoals weergegeven in Figuur 2. Dit representeert een enorme letter afgedrukt op een groot stuk papier.

Figuur 2. Ons lettervoorwerp is vastgelijmd op een groot stuk papier, daarmee een geprinte letter representerend

Nu hebben we als het ware een geprinte letter op een grote pagina. Het probleem is dat we in de spiegel nu niets anders zien dan de achterkant van het enorme vel. Wat doen we hieraan? Omdraaien? Zei je omdraaien? Oké, prima. Zoals je kunt zien in Figuur 3 hebben we het papier geroteerd. En kijk nu eens naar de punten A en B. Inderdaad, A en B zijn van positie gewisseld! En waarom? Omdat wij een rotatie hebben uitgevoerd om de verticale as.

Figuur 3. Het vel papier is geroteerd om de verticale as. De letter staat nu aan de andere zijde, maar is om agogische redenen nog lichtjes zichtbaar.

Hoe staat het met de spiegel? Welnu, zie Figuur 4. De spiegel toont precies wat je hem presenteert: de reflectie van een geroteerde letter, waarvan punt A zich nu rechts bevindt en punt B links.

Figuur 4. De spiegel toont exact wat je hem presenteert: een geroteerde letter.

Conclusie

En dus, spiegelschrift ontstaat doordat je een rotatie hebt uitgevoerd, niet omdat een spiegel reflecteert. Die rotatie veroorzaakt dat links en rechts worden verwisseld en letters en er zo gek uitzien.

Aangezien je papier met tekst meestal om de verticale as roteert voor je het voor de spiegel houdt, lijkt het alsof die laatste de letters, woorden en zinnen uitsluitend in de links-rechts-richting omwisselt. Dit is niet het geval zodra je een andere rotatieas kiest.

Ten slotte, drie mogelijk interessante bespiegelingen. [1] De term spiegelschrift is misleidend, al klinkt het iets preciezere ‘rotatieschrift’ dan ook weer niet echt lekker. [2] Zoals je jezelf in de spiegel ziet (reflectie), zien anderen jou niet (rotatie). [3] Om letters in spiegelschrift te verkrijgen, heb je eigenlijk geen spiegel nodig; schrijf op een goeie ouwe transparant, draai het 180º om de verticale as en houd het voor je neus.

Dus je begrijpt, er is geen spiegel, want het is niet wat de omwisseling van letters veroorzaakt: er is alleen maar jezelf.

Volledigheidshalve vermelden we hier dat hoewel spiegels links en rechts en onder en boven niet omwisselen, ze wel voor en achter omdraaien – de derde optie in een 3D-ruimte. Maar omdat letters symmetrisch zijn in die richting (wat dat betreft zijn ze immers plat), is dit doorgaans niet wat het spiegelschrift verklaart. Daarom bespraken we het verder niet. In plaats daarvan benadrukten we het verschil tussen reflectie (verwisselen van voor en achter) en de rotatie van een voorwerp.
2019-03-03
Maar even tussendoor: min en min en min keer min

Min en min is plus. En min keer min is ook plus. Deze uitspraken zul je misschien een paar keer hebben gehoord of zelf hebben geuit. Hoewel je het vast al wist, hier vind je een algebraïsch bewijs om er nog eens op na te slaan. Benodigd: algebra van de tweede klas van de middelbare school.

Download PDF

Min en min is plus

We zouden allemaal geleerd moeten hebben op de middelbare school dat het aftrekken van een negatief getal hetzelfde is als het optellen van de positieve variant van dat getal. Bijvoorbeeld:

\[ 1-(-2) = 1+2 = 3. \]
In de menselijke, Nederlandse taal klinkt het ongeveer als: ‘Eén min min twee is gelijk aan één plus twee is gelijk aan drie’.

Als we variabelen gebruiken in plaats van getallen kunnen we dit opschrijven als

\[ a-(-b) = a + b, \]
waarbij $a$ en $b$ reële getallen zijn.

Nou, laten we dat gaan bewijzen. Of toch niet…? Nee, nog niet. Laten we eerst doen alsof het tegenovergestelde waar is. Stel,

\[ a-(-b) = a-b. \]
Als we $a$ van beide zijden aftrekken, houden we over:

\[ -(-b) = -b. \]
Puur om het wat duidelijker te maken, zetten we ook wat haakjes om de $-b$ aan de rechterkant:

\[ -(-b) = (-b). \]
Nu zie je duidelijk: de vergelijking is in tegenspraak met zichzelf. Voor het geval het nog niet duidelijk is: stel, $(-b) = c$, dus als we $(-b)$ vervangen door $c$, krijgen we

\[ -c = c. \]
En dat is, overduidelijk, in dit universum, uiterst belachelijk. Immers, $-1=1$? Dacht het dus niet. Dus, onze oorspronkelijke bewering moet kloppen. Chin-chin, pour the glasses.

Min keer min is plus

We leerden ook op de middelbare school dat het vermenigvuldigen van een negatief getal met een ander negatief getal een of ander positive getal is. Dus we zullen bewijzen dat

\[ (-a) \times (-b) = a \times b, \]
waarbij $a$ en $b$ reële getallen zijn. (Ik plaatste haakjes om de negatieve getallen $-a$ en $-b$ om de leesbaarheid te vergroten, niet omdat ze andere, extra informatie representeren of omdat ze een later invallende, literair-narratieve gedachte zijn, zoals deze zin.)

Wiskundigen zijn ware meesters der vermenigvuldiging van bijna alles bijna altijd en er daarbij zelfs in slagen voor betaald te worden. Ze kunnen bij tijd en wijle behoorlijk productief zijn. Dus vanzelfsprekend, opdat de werkgever waar krijgt voor haar geld, zullen ze bijna nooit de moeite nemen om het ‘$\times$’-teken fatsoenlijk op te schrijven. Vandaar dat we bovenstaande vergelijking hieronder als een professional opschrijven:

\[ (-a)(-b) = ab. \]
Het volgende kan voor de hand liggend lijken, maar heb geduld, het is slechts de eerste stap. Laten we kijken naar de volgende tautologie:

\[ (-a)(-b) = (-a)(-b). \]
Okay, tot zover de tocht via deze open deur. Laten we een term toevoegen zonder de essentie van de vergelijking te verstoren:

\[ (-a)(-b) = (-a)(-b) + 0. \]
Nog steeds een waarheid als een koe. Wat ook als een koe is: alles dat vermenigvuldigd wordt met nul is gelijk aan nul. Dus, we kunnen de vergelijking herschrijven als

\[ (-a)(-b) = (-a)(-b) + a\times0, \]
wat we, om fijn pedant over de notatie te doen, op een compactere manier kunnen schrijven als

\[ (-a)(-b) = (-a)(-b) + a(0). \]
Laten we het getal 0 vervangen door variabelen — om precies te zijn, alleen de variabelen die we hier gebruiken. Dus, zeg…

\[ (-a)(-b) = (-a)(-b) + a\underbrace{(b-b)}_{\text{=0}}. \]
Laten we nu de haakjes van de laatste expressie na het ‘+’-teken wegwerken.

\[ (-a)(-b) = (-a)(-b) + ab + a(-b). \]
Laten we nu de volgorde van de laatste twee termen omdraaien. Dat maakt de volgende stap iets makkelijker. Dus, de termen omdraaiend, krijgen we

\[ (-a)(-b) = (-a)(-b) + a(-b) + ab. \]
Nu kunnen op ons gemak naar de eerste twee termen kijken:

\[ (-a)(-b) = \underbrace{(-a)(-b) + a(-b)}_{\text{kijk hier naar, op ons gemak}} +\ ab. \]
Weet je nog hoe je moet ontbinden in factoren, ook wel ‘buiten haakjes halen’ genoemd? Zoiets als $pq + pr$ wordt na ontbinding in factoren zoiets als $p(q+r)$, bijvoorbeeld. Welnu, dat kunnen we natuurlijk ook voor onze twee termen hierboven doen, alleen halen we hier $(-b)$ buiten haakjes:

\[ (-a)(-b) = (-b)\Big((-a) + a\Big) + ab. \]
Mooi. Kijk nou toch eens naar die mooie expressie tussen de grotere haakjes. Ik vind het superaantrekkelijk, want, inderdaad, het is gelijk aan 0. En alles dat wordt vermenigvuldigd met 0 is 0. Dus, wat we overhouden, is:

\[ (-a)(-b) = + ab. \]
Cheers.

2019-02-25
Het raadsel van de verjaardagen

Kansen zijn soms moeilijk te vatten. Wat is bijvoorbeeld de kans dat er onder de genodigden van een verjaardagsfeestje zich twee of meer mensen bevinden die op dezelfde dag jarig zijn? Misschien groter dan je denkt.

Download pdf

Mijn moeder is sinds haar geboorte jaarlijks op 1 januari jarig. Dit jaar vierde ze haar twaalfde kroonjaar in een gezellig zaaltje met een groepje van ongeveer vijftig mensen.

Feestnummer die ik ben, legde ik tijdens mijn praatje de genodigden voor dat de kans dat mijn moeder op 1 januari geboren werd gelijk was aan 1/365. Aangezien de meeste jaren bestaan uit 365 dagen, liet ik de schrikkeljaren geheel buiten beschouwing. Ik ging ook uit van een gelijkmatige verdeling der verjaardagen over een jaar, omdat het makkelijker rekenen is.

Vervolgens vroeg ik hen wat de kans was dat mijn vader op 8 juli geboren zou worden (dat is hij), als er dus 365 dagen waren om uit te kiezen. Het antwoord was wederom, 1 van de 365, oftewel 1/365. Zo beschouwd is een specifieke dag natuurlijk niet specialer dan een andere specifieke dag, afgezien van de culturele betekenis die we sommige dagen geven.

Toen kwam de vraag: wat is de kans dat er twee of meer mensen in deze zaal op dezelfde dag jarig zijn? Uiteraard los van het jaartal. Het ging puur om de dag van het jaar.

Met andere woorden, er zitten 365 dagen in een jaar en we hebben 50 mensen wiens verjaardagen verspreid zijn over die 365 dagen. Hoe groot is de kans dat er toch twee (of meer) verjaardagen op dezelfde dag vallen?

Hier verhoog ik de feestvreugde door tijdens mijn praatje een wiskunderaadsel ter tafel te brengen.

Soms denkt men daarbij aan het voorbeeld met de dobbelstenen. Stel, je hebt twee dobbelstenen. De kans dat je een zes gooit, is 1/6. De kans dat je met de andere dobbelsteen een zes gooit is ook 1/6. De kans dat je met beide dobbelstenen zessen gooit, is dus 1/6 $\times$ 1/6 = 1/36. Die kans is logischerwijs kleiner dan wanneer je met één dobbelsteen een zes gooit. (Lees ook Wanneer en waarom vermenigvuldig je kansen met elkaar?) Veel mensen redeneren dat de kans dat twee mensen op bijvoorbeeld 8 juli jarig zijn daarom gelijk is aan 1/365 $\times$ 1/365 = 1/133225; dat is een heel kleine kans dus. En dat zou dan kunnen kloppen met veler intuïtie: het zou toch wel heel toevallig zijn als er twee mensen op dezelfde dag jarig zijn in een groepje van vijftig. Toch?

Anderen denken aan 50 knikkers in een pot met 365 knikkers. Je trekt een knikker uit de pot en legt hem weer terug. Je schudt de pot. Je trek weer een knikker uit de pot; wat is de kans dat je dezelfde knikker trekt? Zo komt men op het antwoord van 50/365.

Maar nee, beide strategieën zijn onjuist. In werkelijkheid is de kans 97%, afgerond op de nabije gehele procent. Ik zou er dus een goede fles wijn om willen wedden.

De berekening

Zoals heel vaak in de wiskunde is het makkelijker om de tegenovergestelde situatie te bestuderen. Laten we dat hier ook doen. De tegenovergestelde situatie is dat van de groep niemand op dezelfde dag jarig is. Hoe groot is die kans?

We hebben 365 dagen. We hebben 50 mensen. Wat is de kans dat mens nummer 1 in de groep op een dag in het jaar jarig is? Let op de vraagstelling. Een dag, niet een specifieke dag. We vragen ons dus niet af wat de kans is om op bijvoorbeeld 8 juli jarig te zijn. We vragen ons af wat de kans is dat zij op één van de 365 dagen jarig is. Die kans is 365 van de 365 dagen, oftewel 365/365, oftewel 365 : 365 = 1, oftewel 100%.

Wat is nu de kans dat mens nummer 2 van die groep op een dag in het jaar jarig is, maar niet dezelfde als die van mens nummer 1? Dat betekent dus dat mens nummer 2 op één dag minder jarig kan zijn. Mens nummer 2 kan dus maar op 364 van de 365 dagen jarig zijn — anders zouden beiden op dezelfde dag jarig kunnen zijn. Dus de kans dat mens nummer 2 op een andere dag jarig is, is 364 van de 365, oftewel 364/365, oftewel 364 : 365 = 0,997 $\dots$, oftewel 99,7%.

Wat is dus de kans dat beiden op een andere dag jarig zijn? Dat is

\[ \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} = 1 \times 0,997\dots = 0,997\dots, \]
oftewel 100% als we afronden naar boven. Anders gezegd, de kans is praktisch nihil dat ze op dezelfde dag jarig zijn.

Maar wat als we een derde mens erbij betrekken? Wat is de kans dat mens nummer 3 op een andere dag dan die van mensen nummer 1 en 2 jarig is? Dat is 363 van de 365, oftewel 363/365, oftewel 363 : 365 = 0,994 $\dots$, oftewel 99,4%. En wat is dus de kans dat mensen nummer 1, 2 en 3 ieder op een andere dag jarig zijn? Dat is dan

\[ \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} = \frac{132132}{133225} = 0,991\dots, \]
oftewel 99%, afgerond.

Laten we voor de duidelijkheid nog een mens erbij betrekken, een vierde. De kans dat mens nummer 4 op een andere dag dan die van mensen nummers 1, 2 en 3 jarig is, is 362/365, oftewel 362 : 365 = 0,991 $\dots$. En wat is dus de kans dat mensen nummers 1, 2, 3 en 4 ieder op een andere dag jarig zijn? Dat is dan

\[ \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \frac{362}{365} = \frac{47831784}{48627125} = 0,983\dots, \]
oftewel 98%, afgerond. We zien dus dat de kans dat alle mensen op een andere dag jarig zijn met toevoeging van telkens wat extra mensen afneemt.

Stel nu dat we dit tot en met mens nummer 50 zouden blijven doen. De kans dat mens nummer 50 op geen van de dagen van haar voorgangers jarig is, wordt dan 316/365. Dus de kans dat alle vijftig mensen op een andere dag jarig zijn, berekenen we dan als volgt:

\[ \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \frac{362}{365} \times \dotsm \times \frac{317}{365} \times \frac{316}{365} = 0,029\dots, \]
oftewel nog maar 2,9%!

Dan hebben we nu ons antwoord. De omgekeerde situatie, de kans dat niet alle vijftig mensen op een andere dag jarig zijn, is dan het omgekeerde van 2,9% en dat is 97,1%. Oftewel, 97% afgerond.

Onder de vijftig verjaardagsgangers bleken trouwens maar liefst zes mensen een verjaardag met iemand te delen. Met andere woorden, we vonden drie ‘koppels’ met dezelfde verjaardag.

Trouwens, bij een groep van 23 mensen is de kans al 0,504 (dus iets meer dan 50%) dat er twee mensen tussen zitten die op dezelfde dag jarig zijn. De kansen groeien rap.

Mocht je er meer over willen weten, dit fenomeen berust op het zogenaamde duiventilprincipe of het ladenprincipe van Dirichlet — het werd waarschijnlijk voor het eerst formeel geformuleerd door deze negentiende eeuwse, Duitse wiskundige. Happy Googling! (Al bevelen we DuckDuckGo.com van harte aan.)

Je kunt met onze calculator zelf een groepsgrootte invoeren en laten berekenen hoe groot de kans is.

2019-01-25
Wanneer en waarom vermenigvuldig je kansen met elkaar?

Op de middelbare school heb je misschien geleerd dat je soms kansen met elkaar moet vermenigvuldigen. We bespreken kort wanneer en waarom je dit doet.

Download pdf

Eerst wat over de notatie van kansen. Als je met een ideale dobbelsteen gooit, is de gebeurtenis dat je een zes gooit 1 van de 6 mogelijkheden. Dat schrijven we op als een breuk, 1/6, of \[ \frac{1}{6}. \] We zeggen dan dat je een kans van 1 op 6 hebt om bijvoorbeeld een 6 te gooien. De kans is 1/6, een zesde.

Dat betekent dus ook dat de kans dat je een getal gooit — dat kan dus ieder getal zijn: 1, 2, 3, 4, 5 of 6 — gelijk is aan \[ \frac{6}{6} = 1. \]
Als je met een dobbelsteen gooit, is de kans dus 1 dat je een getal gooit, oftewel 100%. Kortom, als iets 100% zeker gaat gebeuren, is de kans 1. En als iets met een zekerheid van minder dan 100% gaat gebeuren, dan is de kans een zoveelste deel van 1.

Ten slotte nog een belangrijke mededeling over het vermenigvuldigen met een breuk: als je een zoveelste deel, bijvoorbeeld 1/2, van iets berekent, bijvoorbeeld 16, dan kun je dat op twee manieren opschrijven. Je deelt 16 door 2 of je vermenigvuldigt 16 met 1/2. Het is hetzelfde. Oftewel: \[ \frac{16}{2} = 16\times\frac{1}{2} = 8. \]
Twee munten

Stel, je gooit euro #1 in de lucht. Het wordt kop of munt. In Figuur 1 is dat schematisch weergegeven. De kans dat je kop gooit, is 1/2. De kans dat je munt gooit, is 1/2.

Figuur 1

Stel, je gooit euro #1 en euro #2 in de lucht. In Figuur 2 is die situatie schematisch weergegeven.

Stel jezelf nu de vraag: van alle keren dat ik met euro #1 kop gooide, hoe vaak zou je met euro #2 kop hebben gegooid? Het antwoord is dat je in de helft van alle keren dat je de euro’s omhoog gooide, euro #1 kop werd. Weer de helft daarvan gooide je kop met euro 2.

Wat is de helft van een helft? Dat is \[ \underbrace{\frac{1/2}{2}}_\text{de helft van de helft} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}. \]
Figuur 2

Een deel van een deel

Zie Figuur 3. Stel, we gooien in totaal 16 keer twee munten. Stel nu dat daarvan munt nummer 1 voor de helft kop blijkt; we kleuren de helft blauw. De vraag is, van de hoeveel keren dat munt nummer 1 kop is, gooien we kop met de tweede munt? Dat is wéér de helft. De helft van de helft. Die kleuren we groen.

Van het totaal, het hoeveelste deel is groen? De helft (4) van de helft (8) van het totaal (16), dus 4 van 16, oftewel 1 van 4. Wat is dus de kans dat je groen gooit (munt nr. 2 is kop) als je voor de helft van het totaal blauw gooit (munt nr.1 is kop)? \[ \frac{1/2}{2} = \frac{1}{2}\times\frac{1}{2} = \frac{1}{4}. \]
Figuur 3

Een euro en een dobbelsteen

Nog een voorbeeld. Stel, je gooit een euro en een dobbelsteen in de lucht. De kansverdeling van kop of munt is 1/2, zoals we inmiddels weten. Voor de dobbelsteen ligt dat iets anders. Het kan 1, 2, 3, 4, 5 of 6 worden. Dus de kans dat je 6 gooit, is 1/6.

Van alle keren dat je met de euro kop gooide — en dat is de helft van het totale aantal pogingen — hoe vaak zou je een 6 hebben geworpen met de dobbelsteen? Dat is dus 1/6e deel van de helft van het totale aantal pogingen. Oftewel, \[ \frac{1/2}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{12}. \]
Conclusie

Stel dus dat de kans 2/3 is dat gebeurtenis $A$ plaatsvindt en de kans is 1/6 dat gebeurtenis $B$ plaatsvindt en 4/5 dat gebeurtenis $C$ plaatsvindt, dan is de kans dat een combinatie van de gebeurtenissen $A$, $B$ en $C$ optreedt gelijk aan \[ \underbrace{\frac{2}{3}}_A \times \underbrace{\frac{1}{6}}_B \times \underbrace{\frac{4}{5}}_C = \frac{8}{90} = \frac{4}{45} \approx 0.088\dots, \] en dat is 8,9% afgerond op één decimaal.

Om te weten wat de kans op een combinatie van gebeurtenissen is, berekenen we dus in feite de zoveelste keer van een zoveelste keer. En een zoveelste keer van een zoveelste keer (van een zoveelste keer, etc…) is hetzelfde als het vermenigvuldigen van de twee (of meer) breuken.

2019-01-25
Reële eigenwaarden en eigenvectoren van 3×3 matrices, voorbeeld 3

In deze serie voorbeelden hebben we te maken met matrices waarvan de eigenwaarden reële waarden blijken te zijn. Oftewel, de eigenwaarden en de eigenvectoren bevinden zich in $\mathbb{R}^n$.

Download pdf
Stel, de volgende matrix is gegeven: \begin{equation*} \mathbf{A}= \begin{pmatrix} \phantom{-}5 & 2 & 0 \\ \phantom{-}2 & 5 & 0 \\ -3 & 4 & 6 \end{pmatrix}. \end{equation*} De opdracht is om de eigenwaarden en de bijbehorende eigenvectoren te berekenen. 1. Karakteristieke vergelijking Stel eerst de karakteristieke vergelijking op en los deze vervolgens op. De gevonden oplossingen zijn de eigenwaarden van matrix $ \mathbf{A} $. Als $ \mathbf{I} $ de eenheidsmatrix (ook wel identiteitsmatrix) is van $ \mathbf{A} $ en $ \lambda $ de te vinden eigenwaarde(n), dan is de karakteristieke vergelijking: \begin{equation*} \det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0. \end{equation*} Als we die opschrijven in matrixvorm, verkrijgen we \begin{equation} \label{eq:characteristic1} \begin{vmatrix} \phantom{-}5-\lambda & 2 & 0 \\ \phantom{-}2 & 5-\lambda & 0 \\ -3 & 4 & 6-\lambda \end{vmatrix} =0. \end{equation} Kies de makkelijkste rij of kolom om de determinant van de matrix van vergelijking \eqref{eq:characteristic1} te berekenen. Oftewel, hier gaan we langs de laatste kolom naar beneden. Deze kolom bevat namelijk de meeste nullen, wat de lengte van de karakteristieke vergelijking danig zal verkorten: \begin{align*} &0\begin{vmatrix}\phantom{-}2 & 5-\lambda \\ -3 & 4 \end{vmatrix} \\ &\quad – 0\begin{vmatrix}5-\lambda & 2 \\ -3 & 4 \end{vmatrix} \\ &\qquad+ (6-\lambda)\begin{vmatrix}5-\lambda & 2 \\ 2 & 5-\lambda \end{vmatrix} = 0, \end{align*} en dus \begin{equation} (6-\lambda)\begin{vmatrix}5-\lambda & 2 \\ 2 & 5-\lambda \end{vmatrix} = 0. \end{equation} Als we dit verder uitwerken, verkrijgen we \begin{align*} (6-\lambda)[(5-\lambda)(5-\lambda)-2^2] &= 0, \\ (6-\lambda)[25-5\lambda-5\lambda+\lambda^2-4] &= 0, \\ (6-\lambda)[\lambda^2-10\lambda+21] &= 0, \end{align*} waardoor we een hanteerbaardere vorm van de karakteristieke vergelijking hebben gevonden: \begin{equation} (6-\lambda)[(\lambda-3)(\lambda-7)] = 0, \end{equation} waarvan de oplossingen van $ \lambda $ vervolgens makkelijk af te lezen zijn: \begin{equation} \therefore \lambda = 6 \vee \lambda = 3 \vee \lambda = 7. \end{equation} We kunnen ten slotte nog twee controles uitvoeren. De som van de gevonden waarden moet gelijk zijn aan de spoor, of trace, van $\mathbf{A}$, oftewel, de som van de hoofddiagonaal van $\mathbf{A}$: \begin{equation*} \text{tr } \mathbf{A}=5+5+6=16. \end{equation*} En inderdaad is ook de som van de gevonden waarden van $\lambda$ gelijk aan 16. Ten slotte kunnen we nog controleren of het product van de gevonden waarden gelijk is aan $\det\mathbf{A}$: \begin{align*} \det\mathbf{A} &= 0\begin{vmatrix}\phantom{-}2&5\\-3&4\end{vmatrix} \\ &\qquad -0\begin{vmatrix}\phantom{-}5&2\\-3&4\end{vmatrix} \\ &\qquad\quad +6\begin{vmatrix}5&2\\2&5\end{vmatrix} \\ &= 6\begin{vmatrix}5&2\\2&5\end{vmatrix} \\ &= 6(5^2-2^2) \\ &= 126. \end{align*} En inderdaad is ook het product van de gevonden waarden van $\lambda$ gelijk aan $6\cdot3\cdot7=126$. 2. Benoem de eigenwaarden De eigenwaarden van matrix $ \mathbf{A} $ zijn dus $ \lambda = 6 $, $ \lambda = 3 $ en $ \lambda = 7$. 3. Eigenvectorvergelijkingen We herschrijven nu de karakteristieke vergelijking in matrixvorm naar een stelsel van drie lineaire vergelijkingen. Omdat het de bedoeling is dat we een (of meer) eigenvector(en) $ \mathbf{v} $ gaan vinden, stel dan dat \begin{equation} \label{eq:v01} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{equation} en dat \begin{equation} (\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0}. \end{equation} In dat geval schrijven we \begin{equation} \label{eq:A-lambda I times v = 0} \begin{pmatrix} \phantom{-}5-\lambda & 2 & 0 \\ \phantom{-}2 & 5-\lambda & 0 \\ -3 & 4 & 6-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \mathbf{0}, \end{equation} wat we vervolgens als een stelsel van drie lineaire vergelijkingen kunnen opstellen: \begin{equation*} \left\{ \begin{matrix}[r] (5-\lambda)x_1 + 2x_2 + 0x_3 = 0, \\ 2x_1 + (5-\lambda)x_2 + 0x_3 = 0, \\ -3x_1 + 4x_2 + (6-\lambda)x_3 = 0. \end{matrix} \right. \end{equation*} Als we dit nog enigszins vereenvoudigen, hebben we de volgende eigenvectorvergelijkingen verkregen: \begin{equation} \label{eq:eigenvectorvergelijkingen01} \left\{ \begin{matrix}[r] (5-\lambda)x_1 + 2x_2 &= 0, \\ 2x_1 + (5-\lambda)x_2 &= 0, \\ 3x_1 – 4x_2 – (6-\lambda)x_3 &= 0. \end{matrix} \right. \end{equation} 4. Substitueer elke verkregen eigenwaarde $\boldsymbol{\lambda}$ in de eigenvectorvergelijkingen 4.1. Eigenwaarde $\boldsymbol{\lambda = 3}$ Laten we beginnen met eigenwaarde $ \lambda = 3 $. Als we dit in eigenvectorvergelijkingen \eqref{eq:eigenvectorvergelijkingen01} substitueren, verkrijgen we \begin{align*} (5-3)x_1 + 2x_2 &= 0, \\ 2x_1 + (5-3)x_2 &= 0, \\ 3x_1 – 4x_2 – (6-3)x_3 &= 0. \end{align*} Dat kunnen we vereenvoudigen tot \begin{align*} 2x_1 + 2x_2 &= 0, \\ 2x_1 + 2x_2 &= 0, \\ 3x_1 – 4x_2 – 3x_3 &= 0. \end{align*} Van de eerste en de tweede vergelijking blijft over: $ x_1 = -x_2 $. Laten we $x_1$ in de derde vergelijking substitueren. \begin{align*} 3(-x_2) – 4x_2 – 3x_3 &= 0 \\ \therefore 7x_2 &= -3x_3. \end{align*} Met andere woorden, als $ x_2 = -3 $, dan is $ x_3 = 7 $ en $ x_1 = 3 $. We kunnen nu dus de waarden van $ \mathbf{v} $ in \eqref{eq:v01} invullen: \begin{equation} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \phantom{-}3 \\ -3 \\ \phantom{-}7 \end{pmatrix}. \end{equation} Met andere woorden, een eigenvector bij de eigenwaarde $ \lambda = 3 $ is $ \begin{pmatrix}3 & -3 & 7\end{pmatrix}^T $. (Noot: we schrijven hier met opzet een eigenvector, aangezien bijvoorbeeld de eigenvector $ \begin{pmatrix}54 & -54 & 126\end{pmatrix}^T $ ook een eigenvector is bij deze eigenwaarde. Zolang $ x_1 = -x_2 $ en $ 7x_2 = -3x_3 $, met andere woorden, zolang de verhoudingen tussen $ x_1$, $ x_2 $ en $ x_3 $ maar onveranderd blijven, is het een eigenvector die bij deze eigenwaarde hoort. De conventie is echter om de laagst mogelijke gehele waarden te hanteren.) Dit kunnen we nog controleren door het inwendig product van $\mathbf{A}$ met de eigenvector te berekenen. Als het goed is, verkrijgen we het inwendige product met dezelfde eigenvector als resultaat, oftewel, $ \mathbf{Av}=\lambda \mathbf{v} $. Als we dit uitschrijven in matrixnotatie (waarbij we voor de duidelijkheid aangeven welk deel welke variabele is), verkrijgen we inderdaad \begin{align*} & \underbrace{\begin{pmatrix} \phantom{-}5 & 2 & 0 \\ \phantom{-}2 & 5 & 0 \\ -3 & 4 & 6 \end{pmatrix}}_{\mathbf{A}} \underbrace{\begin{pmatrix} \phantom{-}3 \\ -3 \\ \phantom{-}7 \end{pmatrix}}_{\mathbf{v}} \\ &= \begin{pmatrix} 5\cdot3 + 2\cdot-3 + 0\cdot7 \\ 2\cdot3 + 5\cdot-3 + 0\cdot7 \\ -3\cdot3 + 4\cdot-3 + 6\cdot7 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \phantom{-}9 \\ -9 \\ \phantom{-}21 \end{pmatrix} = \underbrace{3}_{\lambda} \underbrace{ \begin{pmatrix} \phantom{-}3 \\ -3 \\ \phantom{-}7 \end{pmatrix}}_{\mathbf{v}}. \end{align*} 4.2. Eigenwaarde $ \boldsymbol{\lambda = 6} $ Op dezelfde manier vervangen we $ \lambda = 6 $ in de eigenvectorvergelijkingen van \eqref{eq:eigenvectorvergelijkingen01}. We schrijven dan de volgende drie lineaire vergelijkingen op: \begin{align*} (5-6)x_1 + 2x_2 &= 0, \\ 2x_1 + (5-6)x_2 &= 0, \\ 3x_1 – 4x_2 – (6-6)x_3 &= 0. \end{align*} Die kunnen we verder uitwerken: \begin{align*} x_1 &= 2x_2, \\ 2x_1 &= x_2, \\ 3x_1 &= 4x_2. \end{align*} We zien dat alleen $ x_1 = x_2 = 0 $ een oplossing kan vormen voor dit stelsel van gelijktijdige vergelijkingen. En omdat $ x_3 $ altijd wordt vermenigvuldigd met 0 (die komt dan ook niet langer voor in dit stelsel), kan $ x_3 $ iedere waarde aannemen. Een eigenvector die bij eigenwaarde $ \lambda = 6 $ hoort, is dan ook simpelweg $ \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\end{pmatrix}^T $. Als we dit checken met behulp van het inwendig product van matrix $\mathbf{A}$ met $ \begin{pmatrix}0 & 0 & 1\end{pmatrix}^T $, verkrijgen we inderdaad $\lambda\mathbf{v}$: \begin{align*} &\begin{pmatrix} \phantom{-}5 & 2 & 0 \\ \phantom{-}2 & 5 & 0 \\ -3 & 4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \phantom{-}5\cdot0 + 2\cdot0 + 0\cdot1 \\ \phantom{-}2\cdot0 + 5\cdot0 + 0\cdot1 \\ -3\cdot0 + 4\cdot0 + 6\cdot1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} = 6 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{align*} 4.3. Eigenwaarde $ \boldsymbol{\lambda = 7} $ Vullen we $\lambda=7$ in, dan verkrijgen we \begin{align*} (5-7)x_1 + 2x_2 &= 0, \\ 2x_1 + (5-7)x_2 &= 0, \\ 3x_1 – 4x_2 – (6-7)x_3 &= 0. \end{align*} Dit kunnen we verder uitwerken: \begin{align*} x_1 &= x_2, \\ x_1 &= x_2, \\ 3x_1 – 4x_2 + x_3 &= 0. \end{align*} Als we $ x_1 = x_2 $ substitueren in de derde vergelijking, krijgen we \begin{align*} 3x_2 – 4x_2 &= -x_3, \\ x_2 &= x_3. \end{align*} En dus concluderen we dat \begin{equation} x_1 = x_2 = x_3. \end{equation} Een eigenvector die bij eigenwaarde $\lambda=7$ hoort, is dus $\begin{pmatrix}1 & 1 & 1\end{pmatrix}^T$. Uiteraard kunnen we dit ook controleren: \begin{align*} &\begin{pmatrix} \phantom{-}5 & 2 & 0 \\ \phantom{-}2 & 5 & 0 \\ -3 & 4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} \phantom{-}5\cdot1 + 2\cdot1 + 0\cdot1 \\ \phantom{-}2\cdot1 + 5\cdot1 + 0\cdot1 \\ -3\cdot1 + 4\cdot1 + 6\cdot1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ 7 \end{pmatrix} = 7 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \end{align*} dus dat klopt.

2018-12-14
Reële eigenwaarden en eigenvectoren van 3×3 matrices, voorbeeld 2
In deze serie voorbeelden hebben we te maken met matrices waarvan de eigenwaarden reële waarden blijken te zijn. Oftewel, de eigenwaarden en de eigenvectoren bevinden zich in $\mathbb{R}^n$.

Download pdf
Stel, de volgende matrix is gegeven: \begin{equation*} \mathbf{A}= \begin{pmatrix} 8 & 0 & -5 \\ 9 & 3 & -6 \\ 10 & 0 & -7 \end{pmatrix}. \end{equation*} De opdracht is om de eigenwaarden en de bijbehorende eigenvectoren te berekenen. 1. Karakteristieke vergelijking Stel eerst de karakteristieke vergelijking op en los deze vervolgens op. De gevonden oplossingen zijn de eigenwaarden van matrix $ \mathbf{A} $. Als $ \mathbf{I} $ de eenheidsmatrix (ook wel identiteitsmatrix) is van $ \mathbf{A} $ en $ \lambda $ de te vinden eigenwaarde(n), dan is de karakteristieke vergelijking: \begin{equation*} \det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0. \end{equation*} Als we die opschrijven in matrixvorm, verkrijgen we \begin{equation} \label{eq:characteristic1} \begin{vmatrix} 8-\lambda & 0 & -5 \\ 9 & 3-\lambda & -6 \\ 10 & 0 & -7-\lambda \end{vmatrix} =0. \end{equation} Kies de makkelijkste rij of kolom om de determinant van de matrix van vergelijking \eqref{eq:characteristic1} te berekenen. Oftewel, hier gaan we langs de middelste kolom naar beneden. Deze kolom bevat namelijk de meeste nullen, wat de lengte van de karakteristieke vergelijking danig zal verkorten: \begin{align*} &-0\begin{vmatrix}9 & -6 \\ 10 & -7-\lambda \end{vmatrix} \\ &\quad + (3-\lambda)\begin{vmatrix}8-\lambda & -5 \\ 10 & -7-\lambda \end{vmatrix} \\ &\qquad- 0\begin{vmatrix}8-\lambda & -5 \\ 9 & -6 \end{vmatrix} = 0, \end{align*} en dus \begin{equation} (3-\lambda)\begin{vmatrix}8-\lambda & -5 \\ 10 & -7-\lambda \end{vmatrix} = 0. \end{equation} Als we dit verder uitwerken, verkrijgen we \begin{align*} (3-\lambda)[(8-\lambda)(-7-\lambda)-(-5)(10)] &= 0, \\ (3-\lambda)[-56-8\lambda+7\lambda+\lambda^2+50] &= 0, \\ (3-\lambda)[\lambda^2-\lambda-6] &= 0, \end{align*} waardoor we een hanteerbaardere vorm van de karakteristieke vergelijking hebben gevonden: \begin{equation} (3-\lambda)[(\lambda+2)(\lambda-3)] = 0, \end{equation} waarvan de oplossingen van $ \lambda $ vervolgens makkelijk af te lezen zijn: \begin{equation} \therefore \lambda = 3 \vee \lambda = -2 \vee \lambda = 3. \end{equation} We kunnen ten slotte nog twee controles uitvoeren. De som van de gevonden waarden moet gelijk zijn aan de spoor, of trace, van $\mathbf{A}$, oftewel, de som van de hoofddiagonaal van $\mathbf{A}$: \begin{equation*} \text{tr }\mathbf{A}=8+3-7=4. \end{equation*} En inderdaad is ook de som van de gevonden waarden van $\lambda$ gelijk aan 4. Ten slotte kunnen we nog controleren of het product van de gevonden waarden gelijk is aan $\det\mathbf{A}$: \begin{align*} \det\mathbf{A} &= -0\begin{vmatrix}9&-6\\10&-7\end{vmatrix} \\ &\qquad +3\begin{vmatrix}8&-5\\10&-7\end{vmatrix} \\ &\qquad\quad -0\begin{vmatrix}8&-5\\9&-6\end{vmatrix} \\ &= 3\begin{vmatrix}8&-5\\10&-7\end{vmatrix} \\ &= 3¹ \\ &= -18. \end{align*} En inderdaad is ook het product van de gevonden waarden van $\lambda$ gelijk aan $3\cdot-2\cdot3=-18$. 2. Benoem de eigenwaarden De eigenwaarden van matrix $ \mathbf{A} $ zijn dus $ \lambda = -2 $ en $ \lambda = 3$. 3. Eigenvectorvergelijkingen We herschrijven nu de karakteristieke vergelijking in matrixvorm naar een stelsel van drie lineaire vergelijkingen. Omdat het de bedoeling is dat we een (of meer) eigenvector(en) $ \mathbf{v} $ gaan vinden, stel dan dat \begin{equation} \label{eq:v01} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{equation} en dat \begin{equation} (\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0}. \end{equation} In dat geval schrijven we \begin{equation} \label{eq:A-lambda I times v = 0} \begin{pmatrix} 8-\lambda & 0 & -5 \\ 9 & 3-\lambda & -6 \\ 10 & 0 & -7-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \mathbf{0}, \end{equation} wat we vervolgens als een stelsel van drie lineaire vergelijkingen kunnen opstellen: \begin{equation*} \left\{ \begin{matrix}[r] (8-\lambda)x_1 + 0x_2 – 5x_3 = 0, \\ 9x_1 + (3-\lambda)x_2 – 6x_3 = 0, \\ 10x_1 + 0x_2 + (-7-\lambda)x_3 = 0. \end{matrix} \right. \end{equation*} Als we dit nog enigszins vereenvoudigen, hebben we de volgende eigenvectorvergelijkingen verkregen: \begin{equation} \label{eq:eigenvectorvergelijkingen01} \left\{ \begin{matrix}[r] (8-\lambda)x_1 – 5x_3 &= 0, \\ 9x_1 + (3-\lambda)x_2 – 6x_3 &= 0, \\ 10x_1 + (-7-\lambda)x_3 &= 0. \end{matrix} \right. \end{equation} 4. Substitueer elke verkregen eigenwaarde $\boldsymbol{\lambda}$ in de eigenvectorvergelijkingen 4.1. Eigenwaarde $\boldsymbol{\lambda = -2}$ Laten we beginnen met eigenwaarde $ \lambda = -2 $. Als we dit in eigenvectorvergelijkingen \eqref{eq:eigenvectorvergelijkingen01} substitueren, verkrijgen we \begin{align*} (8-(-2))x_1 – 5x_3 &= 0, \\ 9x_1 + (3-(-2))x_2 – 6x_3 &= 0, \\ 10x_1 + (-7-(-2))x_3 &= 0. \end{align*} Dat kunnen we vereenvoudigen tot \begin{align*} 10x_1 &= 5x_3, \\ 9x_1 + 5x_2 – 6x_3 &= 0, \\ 10x_1 &= 5x_3. \end{align*} Van de eerste en de derde vergelijking blijft over: $ 2x_1 = x_3 $. Laten we $x_3$ in de tweede vergelijking substitueren. \begin{align*} 9x_1 + 5x_2 -6(2x_1) &= 0 \\ \therefore 3x_1 &= 5x_2. \end{align*} Met andere woorden, als $ x_1 = 5 $, dan is $ x_2 = 3 $ en $ x_3 = 10 $. We kunnen nu dus de waarden van $ \mathbf{v} $ in \eqref{eq:v01} invullen: \begin{equation} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}. \end{equation} Met andere woorden, een eigenvector bij de eigenwaarde $ \lambda = -2 $ is $ \begin{pmatrix}5 & 3 & 10\end{pmatrix}^T $. (Noot: we schrijven hier met opzet een eigenvector, aangezien bijvoorbeeld de eigenvector $ \begin{pmatrix}30 & 18 & 60\end{pmatrix}^T $ ook een eigenvector is bij deze eigenwaarde. Zolang $ 2x_1 = x_3 $ en $ 3x_1 = 5x_2 $, met andere woorden, zolang de verhoudingen tussen $ x_1$, $ x_2 $ en $ x_3 $ maar onveranderd blijven, is het een eigenvector die bij deze eigenwaarde hoort. De conventie is echter om de laagst mogelijke gehele waarden te hanteren.) Dit kunnen we nog controleren door het inwendig product van $\mathbf{A}$ met de eigenvector te berekenen. Als het goed is, verkrijgen we het inwendige product met dezelfde eigenvector als resultaat, oftewel, $ \mathbf{Av}=\lambda \mathbf{v} $. Als we dit uitschrijven in matrixnotatie (waarbij we voor de duidelijkheid aangeven welk deel welke variabele is), verkrijgen we inderdaad \begin{align*} & \underbrace{\begin{pmatrix} 8 & 0 & -5 \\ 9 & 3 & -6 \\ 10 & 0 & -7 \end{pmatrix}}_{\mathbf{A}} \underbrace{\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}}_{\mathbf{v}} \\ &= \begin{pmatrix} 8\cdot5 + 0\cdot3 + -5\cdot10 \\ 9\cdot5 + 3\cdot3 + -6\cdot10 \\ 10\cdot5 + 0\cdot3 + -7\cdot10 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} -10 \\ -6 \\ -20 \end{pmatrix} = \underbrace{-2}_{\lambda} \underbrace{ \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 10 \end{pmatrix}}_{\mathbf{v}}. \end{align*} 4.2. Eigenwaarde $ \boldsymbol{\lambda = 3} $ Op dezelfde manier vervangen we $ \lambda = 3 $ in de eigenvectorvergelijkingen van \eqref{eq:eigenvectorvergelijkingen01}. We schrijven dan de volgende drie lineaire vergelijkingen op: \begin{align*} (8-3)x_1 – 5x_3 &= 0, \\ 9x_1 + (3-3)x_2 – 6x_3 &= 0, \\ 10x_1 + (-7-3)x_3 &= 0. \end{align*} Die kunnen we verder uitwerken: \begin{align*} 5x_1 &= 5x_3, \\ 9x_1 &= 6x_3, \\ 10x_1 &= 10x_3. \end{align*} We zien dat alleen $ x_1=x_3=0 $ een oplossing kan vormen voor dit stelsel van gelijktijdige vergelijkingen. En omdat $ x_2 $ altijd wordt vermenigvuldigd met 0 (die komt dan ook niet langer voor in dit stelsel), kan $ x_2 $ iedere waarde aannemen. Een eigenvector die bij eigenwaarde $ \lambda = 3 $ hoort, is dan ook simpelweg $ \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\end{pmatrix}^T $. Als we dit checken met behulp van het inwendig product van matrix $\mathbf{A}$ met $ \begin{pmatrix}0 & 1 & 0\end{pmatrix}^T $, verkrijgen we inderdaad $\lambda\mathbf{v}$: \begin{align*} &\begin{pmatrix} 8 & 0 & -5 \\ 9 & 3 & -6 \\ 10 & 0 & -7 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 8\cdot0 + 0\cdot1 + -5\cdot0 \\ 9\cdot0 + 3\cdot1 + -6\cdot0 \\ 10\cdot0 + 0\cdot1 + -7\cdot0 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 0 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \end{align*} dus dat klopt.
1. 8)(-7)-(-5)(10[↩]
2018-12-13
Reële eigenwaarden en eigenvectoren van 3×3 matrices, voorbeeld 1

In deze serie voorbeelden hebben we te maken met matrices waarvan de eigenwaarden reële waarden blijken te zijn. Oftewel, de eigenwaarden en de eigenvectoren bevinden zich in $\mathbb{R}^n$.

Download pdf
Stel, de volgende matrix is gegeven: \begin{equation*} \mathbf{A}= \begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}. \end{equation*} De opdracht is om de eigenwaarden en de bijbehorende eigenvectoren te berekenen. 1. Karakteristieke vergelijking Stel eerst de karakteristieke vergelijking op en los deze vervolgens op. De gevonden oplossingen zijn de eigenwaarden van matrix $ \mathbf{A} $. Als $ \mathbf{I} $ de eenheidsmatrix (ook wel identiteitsmatrix) is van $ \mathbf{A} $ en $ \lambda $ de te vinden eigenwaarde(n), dan is de karakteristieke vergelijking: \[ \det(\mathbf{A}-\lambda \mathbf{I})=0. \] Als we die opschrijven in matrixvorm, verkrijgen we \begin{equation} \label{eq:characteristic1} \begin{vmatrix} 5-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} =0. \end{equation} Kies de makkelijkste rij of kolom om de determinant van de matrix van vergelijking \eqref{eq:characteristic1} te berekenen. Oftewel, begin hier met het eerste element van de eerste rij, $ 5-\lambda $. Deze rij bevat namelijk voor de rest nullen, wat de lengte van de karakteristieke vergelijking danig zal verkorten: \begin{align*} &(5-\lambda)\begin{vmatrix}2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} \\ &\quad – 0\begin{vmatrix}1 & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} \\ &\qquad+ 0\begin{vmatrix}1 & 2-\lambda \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0, \end{align*} en dus \begin{equation} (5-\lambda)\begin{vmatrix}2-\lambda & 1 \\ 1 & 2-\lambda \end{vmatrix} = 0. \end{equation} Als we dit verder uitwerken, verkrijgen we \begin{align*} (5-\lambda)[(2-\lambda)(2-\lambda)-(1)(1)] &= 0, \\ (5-\lambda)[4-2\lambda-2\lambda+\lambda^2-1] &= 0, \\ (5-\lambda)[\lambda^2-4\lambda+3] &= 0, \end{align*} waardoor we een hanteerbaardere vorm van de karakteristieke vergelijking hebben gevonden: \begin{equation} (5-\lambda)[(\lambda-1)(\lambda-3)] = 0, \end{equation} waarvan de oplossingen van $ \lambda $ vervolgens makkelijk af te lezen zijn: \begin{equation} \therefore \lambda = 5 \vee \lambda = 1 \vee \lambda = 3. \end{equation} We kunnen ten slotte nog twee controles uitvoeren. De som van de gevonden waarden moet gelijk zijn aan de spoor, of trace, van $\mathbf{A}$, oftewel, de som van de hoofddiagonaal van $\mathbf{A}$: \begin{equation*} \text{tr }\mathbf{A}=5+2+2=9. \end{equation*} En inderdaad is ook de som van de gevonden waarden van $\lambda$ gelijk aan 9. Ten slotte kunnen we nog controleren of het product van de gevonden waarden gelijk is aan $\det\mathbf{A}$: \begin{align*} \det\mathbf{A} &= 5\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix}-0\begin{vmatrix}1&1\\1&2\end{vmatrix}+0\begin{vmatrix}1&2\\1&1\end{vmatrix} \\ &= 5\begin{vmatrix}2&1\\1&2\end{vmatrix} \\ &= 5(2\cdot2-1\cdot1) \\ &= 15. \end{align*} En inderdaad is ook het product van de gevonden waarden van $\lambda$ gelijk aan $5\cdot1\cdot3=15$. 2. Benoem de eigenwaarden De eigenwaarden van matrix $ \mathbf{A} $ zijn dus $ \lambda = 1 $, $ \lambda = 3 $ en $ \lambda = 5 $. 3. Eigenvectorvergelijkingen We herschrijven nu de karakteristieke vergelijking in matrixvorm naar een stelsel van drie lineaire vergelijkingen. Omdat het de bedoeling is dat we een (of meer) eigenvector(en) $ \mathbf{v} $ gaan vinden, stel dan dat \begin{equation} \label{eq:v01} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{equation} en dat \begin{equation} (\mathbf{A}-\lambda\mathbf{I})\mathbf{v}=\mathbf{0}. \end{equation} In dat geval schrijven we \begin{equation} \label{eq:A-lambda I times v = 0} \begin{pmatrix} 5-\lambda & 0 & 0 \\ 1 & 2-\lambda & 1 \\ 1 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \mathbf{0}, \end{equation} wat we vervolgens als een stelsel van drie lineaire vergelijkingen kunnen opstellen: \begin{equation*} \left\{ \begin{aligned} (5-\lambda)x_1 + 0x_2 + 0x_3 &= 0, \\ x_1 + (2-\lambda)x_2 + x_3 &= 0, \\ x_1 + x_2 + (2-\lambda)x_3 &= 0. \end{aligned} \right. \end{equation*} Als we dit nog enigszins vereenvoudigen, hebben we de volgende eigenvectorvergelijkingen verkregen: \begin{equation} \left\{ \begin{aligned} (5-\lambda)x_1 &= 0, \\ x_1 + (2-\lambda)x_2 + x_3 &= 0, \\ x_1 + x_2 + (2-\lambda)x_3 &= 0. \end{aligned} \right. \label{eq:ev01} \end{equation} 4. Substitueer elke verkregen eigenwaarde $\boldsymbol{\lambda}$ in de eigenvectorvergelijkingen 4.1. Eigenwaarde $\boldsymbol{\lambda = 1}$ Laten we beginnen met eigenwaarde $ \lambda = 1 $. Als we dit in eigenvectorvergelijkingen \eqref{eq:ev01} substitueren, verkrijgen we \begin{align*} (5-1)x_1 &= 0, \\ x_1 + (2-1)x_2 + x_3 &= 0, \\ x_1 + x_2 + (2-1)x_3 &= 0. \end{align*} Dat kunnen we vereenvoudigen tot \begin{align*} 4x_1 &= 0, \\ x_1 + x_2 + x_3 &= 0, \\ x_1 + x_2 + x_3 &= 0. \end{align*} Van de eerste vergelijking blijft weinig over: $ x_1 = 0 $ is de enige oplossing. De andere twee vergelijkingen zijn hetzelfde. En omdat $ x_1 = 0 $, reduceren die tot een enkele $ x_2 = -x_3 $, met andere woorden, als $ x_3 = 1 $, dan is $ x_2 = -1 $. We kunnen nu dus de waarden van $ \mathbf{v} $ in \eqref{eq:v01} invullen: \begin{equation} \mathbf{v} = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{equation} Met andere woorden, een eigenvector bij de eigenwaarde $ \lambda = 1 $ is $ \begin{pmatrix}0 & -1 & 1\end{pmatrix}^T $. (Noot: we schrijven hier met opzet een eigenvector, aangezien bijvoorbeeld de eigenvector $ \begin{pmatrix}0 & -13 & 13\end{pmatrix}^T $ ook een eigenvector is bij deze eigenwaarde. Zolang $ x_2 = -x_3 $, met andere woorden, zolang de verhouding tussen $ x_2 $ en $ x_3 $ maar onveranderd blijft, is het een eigenvector die bij deze eigenwaarde hoort. De conventie is echter om de laagst mogelijke waarden te hanteren.) Dit kunnen we nog controleren door het inwendig product van $\mathbf{A}$ met de eigenvector te berekenen. Als het goed is, verkrijgen we het inwendige product met dezelfde eigenvector als resultaat, oftewel, $ \mathbf{Av}=\lambda \mathbf{v} $. Als we dit uitschrijven in matrixnotatie (waarbij we voor de duidelijkheid aangeven welk deel welke variabele is), verkrijgen we inderdaad \begin{align*} & \underbrace{\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}}_{\mathbf{A}} \underbrace{\begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\mathbf{v}} \\ &= \begin{pmatrix} 5\cdot0 + 0\cdot-1 + 0\cdot1 \\ 1\cdot0 + 2\cdot-1 + 1\cdot1 \\ 1\cdot0 + 1\cdot-1 + 2\cdot1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \underbrace{1}_{\lambda} \underbrace{ \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}}_{\mathbf{v}}. \end{align*} 4.2. Eigenwaarde $ \boldsymbol{\lambda = 3} $ Op dezelfde manier vervangen we $ \lambda = 3 $ in de eigenvectorvergelijkingen van \eqref{eq:ev01}. We schrijven dan de volgende drie lineaire vergelijkingen op: \begin{align*} (5-3)x_1 &= 0, \\ x_1 + (2-3)x_2 + x_3 &= 0, \\ x_1 + x_2 + (2-3)x_3 &= 0. \end{align*} Die kunnen we verder uitwerken: \begin{align*} 2x_1 &= 0, \\ x_1 – x_2 + x_3 &= 0, \\ x_1 + x_2 – x_3 &= 0. \end{align*} Ook hier levert de eerste vergelijking $ x_1 = 0 $ op. De tweede en de derde vergelijking zijn dan allebei te reduceren tot $ x_2 = x_3 $, oftewel, als $x_3 = 1 $, dan $ x_2 = 1 $. Een eigenvector die bij eigenwaarde $ \lambda = 3 $ hoort, is dan ook simpelweg $ \begin{pmatrix}0 & 1 & 1\end{pmatrix}^T $. Als we dit checken met behulp van het inwendig product van matrix $\mathbf{A}$ met $ \begin{pmatrix}0 & 1 & 1\end{pmatrix}^T $, verkrijgen we inderdaad $\lambda\mathbf{v}$: \begin{align*} &\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 5\cdot0 + 0\cdot-1 + 0\cdot1 \\ 1\cdot0 + 2\cdot-1 + 1\cdot1 \\ 1\cdot0 + 1\cdot-1 + 2\cdot1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix} = 3 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}. \end{align*} 4.3. Eigenwaarde $ \boldsymbol{\lambda = 5} $ Vullen we $\lambda=5$ in, dan verkrijgen we \begin{align*} (5-5)x_1 &= 0, \\ x_1 + (2-5)x_2 + x_3 &= 0, \\ x_1 + x_2 + (2-5)x_3 &= 0. \end{align*} Dit kunnen we verder uitwerken: \begin{align*} 0x_1 &= 0, \\ x_1 – 3x_2 + x_3 &= 0, \\ x_1 + x_2 – 3x_3 &= 0. \end{align*} De eerste vergelijking reduceert tot $0=0$, dat is een andere manier om te zeggen dat $x_1$ logischerwijs elke waarde kan aannemen als oplossing voor die vergelijking. Als we ook de andere vergelijkingen verder uitwerken, krijgen we \begin{align*} 0 &= 0, \\ x_3 &= 3x_2 – x_1, \\ x_2 &= 3x_3 – x_1. \\ \end{align*} De laatste twee vergelijkingen vergen nog wat nadere uitwerking. Als we de tweede vergelijking in de derde substitueren, verkrijgen we \begin{align*} x_2 &= 3(3x_2 – x_1)-x_1, \\ x_2 &= 9x_2 – 3x_1-x_1, \\ 8x_2 &= 4x_1, \\ x_2 &= \frac{x_1}{2}. \end{align*} Als we dit resultaat in de tweede vergelijking substitueren, verkrijgen we \begin{align*} x_3 &= 3\left(\frac{x_1}{2}\right)-x_1, \\ x_3 &= \frac{3x_1}{2}-x_1, \\ x_3 &= \frac{x_1}{2}. \end{align*} En dus concluderen we dat \begin{equation} \frac{1}{2}x_1=x_2 = x_3. \end{equation} Een eigenvector die bij eigenwaarde $\lambda=5$ hoort, is dus $\begin{pmatrix}2 & 1 & 1\end{pmatrix}^T$. Uiteraard kunnen we dit ook controleren: \begin{align*} &\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 5\cdot2 + 0\cdot1 + 0\cdot1 \\ 1\cdot2 + 2\cdot1 + 1\cdot1 \\ 1\cdot2 + 1\cdot1 + 2\cdot1 \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} 10 \\ 5 \\ 5 \end{pmatrix} = 5 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}, \end{align*} dus dat klopt.

2018-12-13